《机械制图》点、直线和平面的投影（举一反三考点练）- 讲义

举一反三考点练 《机械制图》点、直线、平面的投影-讲义 知识点一 点的投影 1、 点的投影特性：点的投影永远是点。 2、 点的投影标记 如图1所示，将空间点A置于三投影面体系中，自点A 分别向三个投影面作垂线 (即投射线)，交得的三个垂足a、a'、a''即为点A的H面投影、V面投影和W面投影。 按统一规定，空间点用大写字母A、B、C…标记。空间点在H面上的投影用相应的小写字母a、b、c…标记；在V面上的投影用小写字母加一撇a'、b'、c'…标记；在W面上的投影用小写字母加两撇a"、b"、c"…标记。 图1 点的投影标记 3、 点的三面投影规律 如图2所示，点的三面投影是空间点同时向三个投影面作正投影，经过展开而得，有以下投影规律： 1. 点的正面投影与水平面投影的连线一定垂直于OX轴，即aa'⊥OX； 2. 点的正面投影与侧面投影的连线一定垂直于OZ轴，即a'a"⊥0Z； 3. 点的水平面投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ 轴的距离，即aax=a"az。 图2 点的投影规律 4、 点的投影与坐标 空间点的点的空间位置可用其直角坐标值来确定，把三投影面体系看作是直角坐标系，则投影面H、V、W面和投影轴X、Y、Z轴可分别看作是坐标面和坐标轴，三轴的交点O看作是坐标原点。点到三个投影面的距离可以用直角坐标系的三个坐标x 、y 、z表示，如图3表示。 在三投影面体系中，点的每个投影反映点的两个坐标，点的两个投影能反映点的三个坐标，所以，只要知道点的两个投影就可以完全确定点在空间的位置任一面投影。 图3 点的投影坐标 5、 两点的相对位置 在三投影面体系中，两点的相对位置是由两点的坐标差决定的，如图4所示。 图4 两点的相对位置 6、 重影点的投影 当空间两点的某两个坐标值相同时，该两点处于某一投影面的同一投射线上，则这两点对该投影面的投影重合于一点，称为对该投影面的重影点。空间两点的同面投影（同一投影面上的投影）重合于一点的性质，称为重影性。 重影点的可见性：在投影图上，如果两个点的同面投影重合，则对重合投影所在投影面的距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一点是不可见的， 加圆括号表示，如图5中(a")、(b)、(c') … … 图5 重影点的投影 如图所示，已知点A(20,10,18), 求作它的三面投影 【答案】 【解析】根据点的空间直角坐标值的含义可知： x=20mm=OaX y=10mm=OaY z=18mm=OaZ 作图步骤如图所示： 1.画出投影轴，定出原点O。 2.在X轴的正向量取Oax=20, 定出ax。 3.过aX作X轴的垂线，在垂线上沿0Z方向量取axa'=18 mm，沿OY方向量取axa=10 mm，分别得a'、a。 4.过a '作Z轴的垂线，得交点az，在垂线上沿OYW方向量取aza"=10mm定出 a''；或由a 作 X轴平行线，得交点aYH，再用圆规作图得a''。 。 1. 以下哪个不属于点的投影规律（ ） A. 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴 B. 点的正面投影到 OX轴的距离等于该点到H 面的距离 C. 点的侧面投影到 OZ 轴的距离等于点的水平投影到 OX 轴的距离 D. 根据点的两个投影不能求出第三投影 【答案】D 【解析】空间点的投影规律只有三条。 2. 如图所示关于点A 与 B 的相对位置关系，描述正确的是（ ） A. A点在B点的左面 B. A点 在B点的下面 C. A点在B点的前面 D. A点在B点的后面 【答案】D 【解析】空间两点的位置由坐标差决定，x坐标差决定左右位置，y坐标差决定前后位置，z坐标差决定上下位置。 3. 下列各图中表面求点作法正确的是（ ） 【答案】A 【解析】不可见点需加括号表示。 1. 圆台上A 点的侧面投影作法正确的是（ ） 【答案】A 【解析】由正视图，俯视图确定A可见，由正视图确定A在轴线上，A正确。 2. 已知几何体表面上点A的正面投影，求其另外两个投影，作图方法错误的是。（ ） 【答案】C 【解析】正视图和俯视图提供x，y坐标，对于C应以a'到边界的距离来确定俯视图中a点的位置。 3. 已知点A(12,5,8)，与点A对称于V面的点B的坐标值是（ ） A. (-12,5,8) B. (12,-5,8) C. (12,5,-8) D. (-12,5,-8) 【答案】B 【解析】V面指的是垂直于x轴（即x=0平面）的平面。关于V面对称意味着点B的x坐标与点A的x坐标相反，而y和z坐标保持不变。 · 在进行点的投影时，要遵循方法和步骤，确定投影体系、确定投影面的位置和方向 · 在绘制过程中，要注意保持投影的准确性和一致性，避免出现重影、错位。 · 点的投影是进行尺寸标注、角度测量和图形分析等工作的基础 知识点二 直线的投影 直线的投影讨论的是直线线段的投影。根据“两点决定一直线”的几何定理，在绘制直线的投影图时，只要作出直线上任意两点的投影，再将两点的同面投影连接起来，即得到直线的三面投影。 1、 直线的投影特性： 如图6所示。直线倾斜于投影面，投影变短线；直线平行于投影面，投影实长线；直线垂直于投影面，投影聚一点。 图6 直线的投影特性 2、 直线在三投影面体系中的投影特性 1. 一般直线位置： 在三个投影面上的投影均是倾斜直线；投影长度均小于实长； 2. 投影面平行线： 投影面平行线平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面。 在三投影面体系中，投影面平行线有三种位置：正平线（平行于V面的直线）；水平线（平行于H 面的直线）；侧平线（平行于W面的直线）。 表1所示为投影面平行线的投影及投影特性。 名 称 立 体 图 投 影 图 正平线 (//V面) 水平线 (//H面) 侧平线 (//W面) 表1 投影面平行线的投影及投影特性 3. 投影面垂直线： 投影面垂直线垂直于一个投影面，与另外两个投影面平行。 在三投影面体系中，也有三种位置：正垂线（垂直于V面的直线）；铅垂线（垂直于H 面的直线）；侧垂线（垂直于W面的直线）。 表2所示为投影面垂直线的投影及投影特性。 名 称 立 体 图 投 影 图 正垂线 （⊥V面） 铅垂线 ( ⊥ H 面 ) 侧垂线 (⊥W面) 表2 投影面垂直线的投影及投影特性 已知有直线 EF，在正投影面（V 面）上的投影长度为 5cm，水平投影面（H 面）上的投影长度为 8cm，侧投影面（W 面）上的投影长度为 6cm。判断直线 EF 是什么类型的直线。 【答案】直线EF是一般位置直线。 【解析】根据直线在三个投影面（正投影面V、水平投影面H、侧投影面W）上投影长度的关系来判断直线类型。如果直线平行于一个投影面，那么在这个投影面上的投影反映实长；如果直线垂直于一个投影面，那么在这个投影面上的投影积聚为一点；如果直线倾斜于三个投影面，那么三个投影面的投影都不反映实长。已知直线EF在V面投影长度为5cm，在H面投影长度为8cm，在W面投影长度为6cm，没有一个投影面的投影反映实长，且在三个投影面上都有长度不为0的投影，所以直线EF不是投影面平行线，也不是投影面垂直线。直线EF是一般位置直线。 1. 当一条直线垂直于投影面时，在该投影面上反映（ ） A. 真实性 B. 收缩性 C. 积聚性 D. 类似性 【答案】C 【解析】直线倾斜于投影面反应收缩性，直线平行于投影面反应真实性，直线垂直于投影面反应积聚性。 2. 如图所示两直线 AB与 CD的相对位置关系是（ ） A. 两直线相交 B. 两直线平行 C. 两直线交叉 D. 两直线共面 【答案】C 【解析】分析图AC//H面，BD⊥H面，AB与CD不在一个平面内，属于两直线交叉。 3. 在下列四种说法中，选择一种正确的答案。（ ） A. AB是侧平线，BC是水平线，CD是正平线 B. AB是水平线，BC是一般位置直线，CD是侧平线 C. AB是正垂线，BC是一般位置直线，CD是铅垂线 D. AB是正垂线，BC是水平线，CD是铅垂线 【答案】D 【解析】分析AB，直线AB的正面投影a'b'积聚为一点，根据正垂线的投影特性（正面投影积聚为一点），可判断直线AB为正垂线；分析BC，直线BC的正面投影b'c'平行于OX轴，水平投影bc反映实长且倾斜于投影轴，符合水平线的投影特性（正面投影平行于OX轴，水平投影反映实长），所以直线BC为水平线；分析CD，直线CD的水平投影cd积聚为一点，根据铅垂线的投影特性（水平投影积聚为一点），可判断直线CD为铅垂线。 1. 如图所示三角形ABC与直线 EF的相对位置关系是（ ） A. 相交 B. 重合 C. 平行 D. 垂直 【答案】A 【解析】由ee'与ff'的长度对比可知EF与直线AB，AC的位置关系属于交叉，又分析可得EF与BC相交,所以直线EF与三角形ABC相交。 2. 在下列四种说法中，选择一种正确的答案。 ( ) A. AB是水平线，BC是一般位置直线，CD是正平线 B. AB是正垂线，BC是正平线，CD是侧垂线 C. AB是侧平线，BC是一般位置直线，CD是水平线 D. AB是正平线，BC是侧平线，CD是铅垂线 【答案】B 【解析】分析AB，AB直线在正投影面（V面）上的投影积聚为一点，AB是正垂线；分析BC，BC直线在正投影面（V面）上的投影反映实长，在水平投影面（H面）和侧投影面（W面）上的投影平行于相应的投影轴，BC是正平线；分析CD直线，CD直线在侧投影面（W面）上的投影积聚为一点，所以CD是侧垂线。 3.若空间直线AB的两端点的坐标为A（20，15，10）和B（30，20，10），则该直线属于（ ）。 A. 正垂线 B. 铅垂线 C. 水平线 D. 一般位置直线 【答案】C 【解析】A与B的z坐标相同既直线AB平行于H面，所以AB为水平线。 · 直线投影一般为直线，由直线上两点同面投影连线确定。 · 直线投影特性依其与投影面位置而定，分垂直、平行、一般位置直线。 · 直线上的点投影必在该直线的同面投影上，且分割直线之比投影后不变。 · 两直线相对位置分为平行、相交、交叉，投影特性各异。 知识点三 平面的投影 1、 平面的三面投影 平面的投影是由其轮廓线投影所组成的图形。求作平面的投影时，根据平面的几何形状特点及其对投影面的相对位置，找出能够决定平面的形状、大小和位置的一系列点；然后，作出这些点的三面投影并连接这些点的同面投影，即得到平面的三面投影。 作平面图形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。 2、 平面的投影特性 如图7所示，平面的投影特性有： 1. 平面平行于投影面： 平面A的投影与原平面的形状、大小相同，这种性质叫作真实性。 2. 平面倾斜于投影面： 平面B的投影与原形相类似且比原形缩小，这种性质叫作收缩性。 3. 平面垂直于投影面： 平面C的投影积聚成一条直线，这种性质叫作积聚性 图7 平面的投影特性 3、 平面在三投影面体系中的投影特性 1. 一般位置平面： 如图8所示，与三个投影面都处于倾斜位置的平面，叫作一般位置平面。 一般位置平面的投影特性是：在三个投影面上的投影，均为原平面的类似形，而面积缩小，不反映真实形状。 图8 一般位置平面的投影 2. 投影面平行面： 平行于一个投影面，而垂直于其他两个投影面的平面，叫做投影面平行面。 投影面平行面可分为三种位置：正平面平行于V面的平面；水平面平行于H面的平面；侧平面平行于W面的平面。 表3所示为投影面平行面的投影及投影特性。 名 称 立体 图 投 影图 正平面 (//V面) 水平面 (//H面) 侧平面 (//W面) 表3 投影面平行面的投影及投影特性 3. 投影面垂直面： 垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面的平面，叫作投影面垂直面。 投影面垂直面也有三种位置：正垂面垂直于V面的平面；铅垂面垂直于H面的平面；侧垂面垂直于W面的平面。 表4所示为投影面垂直面的投影及投影特性。 名 称 立 体 图 投 影 图 正垂面 (⊥V面) 铅 垂 面 （⊥H面） 侧垂面 (⊥W面) 表4 投影面垂直面的投影及投影特性 已知有一平面ABC，在正投影面（V面）上的投影为一条直线，在水平投影面（H面）上的投影为一个三角形，其边长分别为3cm、4cm、5cm。判断平面ABC是什么类型的平面。 【答案】平面ABC是正垂面 【解析】 根据平面在不同投影面的投影特性来判断平面类型。如果平面平行于一个投影面，那么在这个投影面上的投影反映实形；如果平面垂直于一个投影面，那么在这个投影面上的投影积聚为一条直线；如果平面倾斜于三个投影面，那么三个投影面的投影都不反映实形。 已知平面ABC在V面投影为一条直线，在H面投影为三角形，既在V面投影积聚为直线，所以平面ABC不是投影面平行面是正垂面. 1. 如图所示正确表示侧垂面的是（ ） 【答案】B 【解析】侧垂面是垂直于侧投影面（W面），同时与正投影面（V面）和水平投影面（H面）倾斜的平面。 2. 如图所示的平面M 是（ ） A. 正平面 B. 侧平面 C. 侧垂面 D. 铅垂面 【答案】A 【解析】分析平面M的投影特性：在正视投影中反映实形，在俯视和侧视投影图中，平面M的投影m'积聚为一条直线，这说明平面M平行于V面。 3. 判别三棱锥上面SAC是。（ ） A. 水平面 B. 正平面 C. 侧垂面 D. 正垂面 【答案】C 【解析】水平面是平行于水平投影面的平面；正平面是平行于正投影面的平面；侧垂面是垂直于侧投影面的平面；正垂面是垂直于正投影面的平面。平面SAC的侧投影积聚成一条线，所以垂直于侧投影面。 1. 某平面的 H 面投影积聚成为一斜线，该平面为（ ） A. 水平面 B. 正垂面 C. 铅垂面 D. 一般位置平面 【答案】C 【解析】水平面：水平面的H面投影反映实形，是一个平面图形而不是斜线；正垂面：正垂面是垂直于V面的平面，它的V面投影积聚成一条直线，H面投影为平面图形，不是斜线；铅垂面：铅垂面是垂直于H面的平面，在H面上的投影就会积聚成一条直线（这里是斜线）；一般位置平面：一般位置平面与三个投影面都倾斜，它的三个投影都是缩小了的类似形，不是斜线。 2. 根据平面ABC在三视图中的投影，判定平面ABC的名称。（ ） A. 一般位置直线 B. 正垂面 C. 一般位置平面 D. 水平面 【答案】D 【解析】正垂面，正面投影积聚为一条直线；水平面，水平投影反映实形，另外两个投影积聚为直线；一般位置平面，其三个投影均为类似形；一般位置直线是线的概念不是面的概念。平面ABC，俯视投影为平面，其余两个投影为直线，所以平面ABC是水平面。 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 物体的正投影不改变物体的形状和大小 B．一个人的影子都是平行投影形成的 C．当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影不改变它的形状和大小 D. 有光就有影子 【答案】ABD 【解析】对于A选项，物体的正投影可能会改变物体的形状和大小，例如一个球体的正投影是一个圆形，形状发生了改变，所以A选项错误；B选项，人的影子不一定都是平行投影形成的，在灯光下形成的影子是中心投影，所以B选项错误；C选项，当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影与这个面是全等的，不改变它的形状和大小，C选项正确；D选项，有光但如果没有遮挡物就不会有影子，所以D选项错误。 · 平面投影由几何元素或迹线法表示，反映平面形状与投影面关系。 · 投影面垂直面、平行面投影特性各异，积聚、类似形反映平面实形。 · 一般位置平面投影不反映实形，无积聚性。 · 平面上的点、直线投影遵循平面投影规律，确定空间位置。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$