数列并项求和分组求和专项练习-2025届高三数学一轮专题复习

答案 1．C 【分析】根据求出，，，，得到的周期为4，从而利用数列周期求出答案. 【详解】由题意，，， ，， ， 故的一个周期为4． 又， 故． 故选：C 2．480 【分析】求出，则，利用的定义及对数函数的性质确定，求和可得答案． 【详解】由题意得，∴， ∵，∴， ∴公差， ∴，， 当时，，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴； 当时，，即，∴， 所以数列的前100项和为． 故答案为：480． 3.【解析】（1）设等差数列的公差为， ，为的前项和，，， 则，即，解得， 故； （2）证明：由（1）可知，，， 当为偶数时，， ，， 当为奇数时，，， ，故原式得证． 4．(1)或 (2)或 【分析】（1）由题意，根据等差数列的通项公式建立方程，解得或，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1），结合等差、等比数列前项求和公式计算即可求解. 【详解】（1）设正项等差数列的公差为，由成等比数列， 得，则， 又，即，解得或， 当时， 当时， 所以数列的通项公式为或. （2）由题意得，当时，，则， 所以数列的前项和； 当时，，则，且， 故是以2为首项，4为公比的等比数列， 则， . 故数列的前项和或. 5．(1)， (2) 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以， 又，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上， 所以，即，又， 所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2）因为是所有的正偶数，又，所以， 所以 . 6．(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列基本量法建立方程组并求解，进而求出通项公式可得； （2）两两并项应用平方差公式化简后再根据等差数列求和公式可求. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，则. 依题意，，即， 解得，，所以. 故. （2）由（1）得，， . 7．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）若选①，令，利用等差数列基本量运算求得，即可求解等差数列的通项公式；若选②，由与的关系求得，从而为常数列，求得通项公式即可；若选③，由与的关系求得，所以是以2为公差的等差数列，从而利用等差数列的通项公式求解即可； （2）根据分组求和法求数列前项和即可. 【详解】（1）若选①，因为为等差数列，令，则，所以公差， 所以等差数列的通项公式为； 若选②，当时，，因此， 即，所以为常数列，因此，所以； 若选③，当时，，即. 又因为，所以. 当时，有，， 所以，即. 又因为，所以，所以是以2为公差的等差数列， 所以. （2）若选①，由（1）可知， ； 若选②，由（1）可知， ； 若选③，由（1）可知， . 8．(1)证明见详解 (2)（i）证明见详解；（ii）证明见详解 【分析】（1）先构造函数证明，，再由的单调性得出即可证明； （2）（i）利用错位相减法求和后放缩即可得证；（ii）利用函数不等式可得，得出递推关系，累乘后可得，求和即可得证. 【详解】（1）设，当时，， 所以在上为增函数，故当时，， 所以当时， 设，当时，， 所以在上单调递增，故当时，， 所以当时， 故当时， 因为，当时，， 所以在上为增函数， 因为当时，，且由， 可得，所以，即， 所以 （2）（i）因为， 所以， 则， 所以， 即， 所以 （ii）函数， 因为当时，， 所以当时，， 所以当时，， 因此， 故，即 因为， 所以当时，， 综上，，所以， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：在第一步的证明过程中，首先要构造函数，利用导数证明几个不等式，比较难想到，当求出单调性后，得到，再由单调性得到，技巧性很强，一般不容易想到，属于难题. 9．(1) (2) 【分析】（1）令，求出的值，当时，由可得，作差可得，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）对任意的，计算出，问题转化为求数列的前项和，利用错位相减法结合分组求和可求得. 【详解】（1）因为数列的前项和满足：， 则，则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 令，可得，则，解得， 所以，，且， 所以，数列为等比数列，首项为，公比为， 所以，，故. （2）因为， 对任意的，， 问题转化为求数列的前项和，记数列的前项和为， ， 则， 上式下式得 ， 化简得， 因此，. 10．(1) (2) 【分析】（1）根据取倒数，结合等差数列的定义可得为等差，即可根据等差数列的通项求解， （2）利用分组求和，结合等差等比求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，假设，则结合已知得， 所以，． 因为，所以， 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 即， 所以． （2）由（1）得，所以， 所以 ． 所以． 11．(1) (2) 【分析】（1）利用求通项公式，但要注意首项是； （2）利用正负讨论来去绝对值，然后转化为前项和问题来求解即可. 【详解】（1）当时， 当时， 所以. （2）由于数列前3项都小于0，第4项等于0，从第5项开始都大于0， 当时，， ， 当时， 所以 12.【分析】（1）根据求解即可； （2）先利用分组求和法求出，再建立不等式，构造新的数列并判断其单调性即可得解. 【小问1详解】由，① 当时，，解得（舍去）， 当时，，② 由①②得，即， 因为，所以，当时由，得，矛盾， 所以，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以 ， 【点睛】思路点睛：已知数列前项和，求通项公式的步骤： （1）当时，； （2）当时，根据可得出，化简得出； （3）如果满足当时的通项公式，那么数列的通项公式为；如果不满足当时的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列求和专项练习--并项求和分组求和 1．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 2．已知为不超过的最大整数，例如，设等差数列的前项和为且，记，则数列的前100项和为 ． 3．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，． （1）求的通项公式；（2）证明：当时，． 4．已知正项等差数列满足：且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的前项和. 5．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上． (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和． 6．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 7．在①数列为等差数列，且；②，；③正项数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答. 问题：已知数列的前项和为，且__________. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 8．已知函数． (1)若，证明：； (2)记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 9．已知数列的前项和满足：,． (1)求； (2)若，求的前项和． 10．已知数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 11．设数列的前n项和为，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和… 12．已知正项数列前n项和为，满足，数列满足，记数列的前n项和为， （1）求数列的通项公式；（2）求． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$