精品解析：辽宁省沈阳私立联考2024-2025学年上学期12月考九年级数学试题

2024-2025学年度上学期九年级阶段练习（二） 数学 （范围：九上+九下第一、二章） 满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．同学们须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本练习题规定位置填写自己的班级、姓名及练习号； 2．须在答题卡上作答； 3．本练习题分选择题和非选择题两个部分，包括三道大题，23道小题，共6页． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 5. 已知反比例函数的图象经过点，下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 函数图象在第一、三象限 C. 随的增大而减小 D. 点在此函数的图象上 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 正方形的对角线互相垂直平分 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 7. 某市年投入教育经费亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从年到年共投入教育经费亿元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象向上平移个单位后得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 10. 下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象与轴无交点 C. 函数的最大值为5 D. 当时，的值随值的增大而减小 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 12. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是床铺整理，衣物清洗，手工制作，简单烹饪，绿植栽培． 小兰同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，则两位同学选择相同课程的概率为______． 13. 对于实数，，定义新运算“”：，如．若，则实数的值是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，点是边的中点，点均在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为，则平行四边形的面积为______． 15. 如图，在中，于点为上一点，于点，交于点．则____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤． 结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售． （1）若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为____元； （2）水果经销商每天销售该品种葡萄获得利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 18. 如图，某同学想测量旗杆高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度． 19. 如图1，在中，，点为上一点（点不与，重合），，过点作交于点． 点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）求分别关于的函数表达式； （2）在图2的平面直角坐标系中，画出函数的图象； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 20. 某校将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求做出了设计方案． 现把方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，抛物线型拱门的跨度，拱高，其中，点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，其面积越大越好． 方案一：如图，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上； 方案二：如图，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． （1）求抛物线函数表达式； （2）方案一中，已知，方案二中，已知，比较，的大小． 21. 中山广场的灯杆上挂着一个广告牌，某数学“综合与实践”小组计划测量该广告牌上下边缘高度差．测量方案如图所示，是高为18米的灯杆，广告牌的上边缘在点处，下边缘在点处．小林同学站在距灯杆16米远的处，借助测角仪观察，测得灯杆上的点的仰角是，小林同学的眼睛到地面的距离米；小赵同学借助无人机技术在观测点处进行测量，测得平行于水平线，灯杆上的点的俯角是，点，之间的距离是10米．请根据以上数据，求灯杆上广告牌的高度．（结果精确到米） （参考数据：，，，） 22. 折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题． 数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学探究． 在矩形中，，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）如图1，点与点重合，连接，猜想四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，延长线过点，若，求的长； （3）如图3，点对应点落在边上，过的中点，连接，若，求的长． 23. 定义：函数图象上到两坐标轴距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有______（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求和的值； 【定义拓展】 （4）若二次函数的图象上存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期九年级阶段练习（二） 数学 （范围：九上+九下第一、二章） 满分120分，时间120分钟． 注意事项： 1．同学们须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本练习题规定位置填写自己的班级、姓名及练习号； 2．须在答题卡上作答； 3．本练习题分选择题和非选择题两个部分，包括三道大题，23道小题，共6页． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 下列是描述小明和小颖在同一盏路灯下影子的图片，其中合理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“在同一时刻同一地点阳光下的影子的方向应该一致，人与影子的比相等”对各选项进行判断． 【详解】解：小明和小颖在同一盏路灯下影子与身高比例相等且影子方向相反． 故选：D． 【点睛】本题考查中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 3. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据题意可得，列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的方程有实数根， ， ， 故选：C． 4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为12， 故选：B． 5. 已知反比例函数的图象经过点，下列说法错误的是（ ） A. 当时， B. 函数图象在第一、三象限 C. 随的增大而减小 D. 点在此函数的图象上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ， ∴函数图象分布在第一、三象限，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，选项B正确；选项C错误； 当时，，选项A正确； ， ∴点在此函数的图象上， ∴选项D正确， 故选：C． 6. 下列命题中，假命题是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 正方形的对角线互相垂直平分 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的判定，掌握菱形，矩形，平行四边形，正方形的判定和个性质是解题的关键． 根据菱形，矩形，平行四边形的判定和性质进行判定即可求解． 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原选项是假命题，符合题意； B、正方形的对角线互相垂直平分，是真命题，不符合题意； C、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； 故选：A ． 7. 某市年投入教育经费亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从年到年共投入教育经费亿元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该市每年教育经费的年增长率均为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该市每年教育经费的年增长率均为， 由题意得，， 故选：． 8. 二次函数的图象向上平移个单位后得到的图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图形的平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解． 【详解】解：二次函数的图象向上平移个单位后得到的图象的函数表达式为， 故选：B ． 9. 在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的三线合一，余弦的计算，掌握勾股定理，构造直角三角形计算余弦的方法是解题的关键．运用勾股定理可得的长，则有是等腰三角形，过点作与点，可得，在直角三角形中根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：网格是边长为1的正方形， ∴，，， ∴是等腰三角形， 如图所示，过点作与点， ∴， ∴在中，， 故选：A ． 10. 下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向上 B. 函数图象与轴无交点 C. 函数的最大值为5 D. 当时，的值随值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故A错误，不符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有交点，故B错误，不符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故C错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故D正确，符合题意； 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心的坐标为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心． 【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心 ∴M点坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键． 12. 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是床铺整理，衣物清洗，手工制作，简单烹饪，绿植栽培． 小兰同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从三门课程中随机选择一门参加劳动实践，则两位同学选择相同课程的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图解答即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中两位同学选择相同课程的结果有种， ∴两位同学选择相同课程的概率为， 故答案为：． 13. 对于实数，，定义新运算“”：，如．若，则实数的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了定义新运算，解一元二次方程，理解定义新运算的方法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据定义新运算的方法可得，整理得，，再运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∴实数的值是， 故答案为： ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，点是边的中点，点均在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为，则平行四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数的几何应用，相似三角形的判定和性质，如图，过点作轴于，过点作轴于，利用平行四边形的性质可得，进而可得，，反比例函数解析式为，再根据可得，即得，，得到，最后根据平行四边形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴轴，，， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 把代入得，， ∴, ∴反比例函数解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积， 故答案为：． 15. 如图，在中，于点为上一点，于点，交于点．则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．设，由勾股定理得，证明得，证明得，然后根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、特殊角的三角函数、实数的混合运算． 用提公因式法解一元二次方程即可； 根据任何不等于的数的次幂为可得：，根据特殊角的三角函数值可得：，根据绝对值的定义可得：，可得：原式，然后再根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 提公因式得：， 如果两个因数的积为，则这两个因数中至少有一个为， 可得：或， ，； 解： ． 17. 某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤． 结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果经销商决定降价销售． （1）若每公斤售价降价5元，则每天的销售利润为____元； （2）水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润能否达到800元？如果能，请求出葡萄的销售单价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与销售利润问题的综合运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法，正确列式求解是解题的关键． （1）每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤，降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为（公斤），由此即可求解； （2）设降价元，则销售量为公斤，得到一元二次方程，因式分解解一元二次方程，结合尽快减少库存，即可求解． 【小问1详解】 解：∵售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤， ∴每公斤售价降价5元，则每天的销售量增加50公斤， ∴降价后的销售价格为（元），降价后每公斤的利润为（元），降价后的销售量为：（公斤）， ∴每天的销售利润为：（元）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：能达到800元，理由如下， 设降价元，则销售量为公斤， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 当降价2元时，销售量为（公斤），当降价4元时，销售量为（公斤）， ∵减少库存，， ∴降价4元，此时的销售单价为（元）， ∴葡萄的销售单价为16元时，水果经销商每天销售该品种葡萄获得的利润达到800元 18. 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度． 【答案】16米 【解析】 【分析】过C作CE⊥AB于E，首先证明四边形CDBE为矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，设AE＝x，则，求出x即可解决问题． 【详解】解：过C作CE⊥AB于E， ∵CD⊥BD，AB⊥BD， ∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°， ∴四边形CDBE为矩形， ∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2， 设AE＝x， ∴， 解得：x＝14， ∴旗杆的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型． 19. 如图1，在中，，点为上一点（点不与，重合），，过点作交于点． 点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）求分别关于的函数表达式； （2）在图2的平面直角坐标系中，画出函数的图象； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】（1）， （2）作图见详解 （3）时的取值范围为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，一次函数，反比例函数的综合运用，掌握相似三角形的判定和性质，根据图象法求不等式的解集是解题的关键． （1）根据题意可证，得到，把已知条件代入计算即可求解； （2）根据一次函数，反比例函数作图方法即可求解； （3）根据一次函数、反比例函数图象交点求不等式解集即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 由题意可得，，的周长与的周长之比为， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意作图如下， 【小问3详解】 解：由（2）中图象可得的交点为， ∴当时，， ∴时的取值范围为． 20. 某校将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素，设计部门按要求做出了设计方案． 现把方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，抛物线型拱门的跨度，拱高，其中，点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，其面积越大越好． 方案一：如图，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上； 方案二：如图，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）方案一中，已知，方案二中，已知，比较，的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由题意得抛物线顶点坐标为，设抛物线函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）把代入可求出，即可求出，再根据可求出，进而求出，据此即可判断求解； 本题考查了二次函数的几何应用，利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 设抛物线函数表达式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， 解得，， ∴, ∴； ∵， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 中山广场的灯杆上挂着一个广告牌，某数学“综合与实践”小组计划测量该广告牌上下边缘高度差．测量方案如图所示，是高为18米的灯杆，广告牌的上边缘在点处，下边缘在点处．小林同学站在距灯杆16米远的处，借助测角仪观察，测得灯杆上的点的仰角是，小林同学的眼睛到地面的距离米；小赵同学借助无人机技术在观测点处进行测量，测得平行于水平线，灯杆上的点的俯角是，点，之间的距离是10米．请根据以上数据，求灯杆上广告牌的高度．（结果精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】灯杆上广告牌的高度约为米 【解析】 【分析】根据题意，过点作与点，则，可得四边形是矩形，（米），（米），在中，运用正切值可得，则有（米），（米），根据题意可得是等腰直角三角形，运用勾股定理可得，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米），（米）， 在中，（米），， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵灯杆上的点的俯角是，点，之间的距离是10米，， ∴，（米）， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即，且， ∴（负值舍去）， ∴（米）， ∵，，结果精确到米， ∴（米）， ∴灯杆上广告牌的高度约为米． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 22. 折叠变换是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决相关问题． 数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学探究． 在矩形中，，点，分别在边，上，将矩形沿折叠，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）如图1，点与点重合，连接，猜想四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，延长线过点，若，求的长； （3）如图3，点的对应点落在边上，过的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质可证，得到，再证，得到，则有，结合菱形的判定方法即可求解； （2）根据题意，如图所示，连接，可证，得到，设，则，在中，由勾股定理可得，列式求解即可； （3）根据题意可证，得到，设，则，可得，，在中，运用勾股定理可得，在中，可得，则，设，则，在中，，，如图所示，过点作延长线于点，则，可证，可得的值，在中，运用勾股定理即可求解． 小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵折叠，点与点重合， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，连接， ∵折叠， ∴，，，， ∴， ∵延长线过点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴，，，， ∴，且， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，整理得，， ∴（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，过点作延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得，，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质是解题的关键． 23. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有______（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求和的值； 【定义拓展】 （4）若二次函数的图象上存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）②④ （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解； （2）根据反比例函数图象在第二象限可得，结合完美点的计算可得横纵坐标互为相反数，由此可得，得到，求出完美点的坐标，运用待定系数法即可求解； （3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可； （4）根据题意，分类讨论：第一种情况，设这个完美点的坐标为；第二种情况，设这个完美点的坐标为；根据完美点的计算，代入，运用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）∵函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点， ∴①点到轴距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴此点在函数图象上，且， ∴不是完美点； ②点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴此点在函数图象上，且， ∴是完美点； ③点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴此点不在函数图象上，且， ∴不是完美点； ④点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴， ∴是完美点； ∴四点中是完美点的有②④， 故答案为：②④； （2）反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∵点为第二象限的完美点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴； （3）∵二次函数的图象上有且只有一个完美点，且完美点是到两坐标轴的距离相等， ∴二次函数与直线有且只有一个交点， ∴，整理得，， ∴，即， 把点代入二次函数得，，即， ∴联立方程组得，， 解得，； （4）∵二次函数的图象上存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点， ∴横、纵坐标相等或互为相反数， ∴完美点在直线或直线的图象上， ∴第一种情况，设这个完美点的坐标为， ∴，整理得，， ∵有完美点， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，，把代入得， 解得，； 当时，，把代入得， 解得，（不符合题意，舍去），； 综上所述，； 第二种情况，设这个完美点的坐标为， ∴，整理得，， ∵有完美点， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，，把代入得， 解得，； 当时，，把代入得， 解得，，（不符合题意，舍去）； 综上所述，； ∵存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点， ∴． 【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $