专题05：圆柱的体积（学习目标+知识要点+自我评量）-2025年六年级数学寒假自学课（苏教版）

编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年六年级数学寒假自学课 专题05：圆柱的体积 1、借助圆的面积计算公式的推导方法来推导圆柱的体积计算公式，并能运用公式解决相关的简单实际问题。 2、经历观察、猜想、操作等数学活动的过程，进一步体会数学研究的方法。 1、圆柱体积计算公式的推导。 圆柱的体积和拼成的长方体的体积相等，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 一、选择题 1．如果圆柱的底面周长扩大到原来的3倍，高不变，它的体积扩大到原来的（   ）倍。 A．3 B．9 C．27 D．6 2．把一个长3米的圆柱截成3段后，表面积增加了12.56平方分米，这个圆柱原本的体积是（    ）立方分米。 A．12.56 B．9.42 C．125.6 D．94.2 3．将一个高是2dm的圆柱截成体积比是2∶3的两个小圆柱，表面积增加50.24cm2，则较小的小圆柱的体积是（    ）cm3。 A．50.24 B．200.96 C．301.44 D．28.26 4．长方形的长是6cm，宽是2cm，以它的长所在直线为轴，旋转一周所得到的圆柱的体积是（    ）。 A．75.36cm3 B．150.72cm3 C．56.52cm3 D．226.08cm3 5．一个从里面量底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的，将一块石块放入，待完全浸没在水中后（水未溢出），这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是（    ）毫升。 A．6280 B．7536 C．7850 D．9420 二、填空题 6．要制作一个无盖圆柱形水桶，有如图几种型号的铁皮可以供搭配选择。（单位：分米） （1）你选择的材料是（ ）号和（ ）号。 （2）你选择的材料制成水桶的容积是（ ）升。 7．如图所示，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形的油桶（接头处忽略不计），这个油桶的底面直径是（ ）dm，油桶的容积是（ ）L。 8．把一张长4π分米、宽2π分米的长方形纸卷成一个圆柱。卷成的圆柱的体积是（ ）立方分米或（ ）立方分米。（接头处忽略不计，计算结果用含有π的式子表示） 9．公园新建一个圆柱形观赏鱼池，底面直径是20米，深1米。 （1）为了安全，在池口外1米处加装一圈围栏，围栏长（ ）米。 （2）现往鱼池内注水，要求水面离池口0.2米，应注入（ ）吨水。（1立方米水重1吨） 10．如下图，一个底面长和宽都是4厘米的长方体容器里装了3厘米深的水，当放入一个圆柱体铁块时，水深变为5.5厘米，这时铁块的刚好露出水面。这个圆柱体铁块的体积是（ ）立方厘米。 三、计算题 11．求下面各圆柱的体积。（单位：厘米） 四、解答题 12．一个水桶的容积是30立方分米，底面积是7.5平方分米。可是在距桶口0.6分米处出现了一个小洞。现在将这个水桶平放在地面上，最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克） 13．雯雯用自己的零花钱为要过生日的妈妈订制了一个双层蛋糕。她到蛋糕店里挑选了一款底面直径分别是40厘米和20厘米，每层高是10厘米的双层蛋糕。 （1）如果你是服务员，至少要用多少立方厘米的盒子才能装下这个蛋糕（盒子的厚度忽略不计）？ （2）蛋糕装好后，如图用彩带捆扎蛋糕盒，打结处正好是底面圆心，打结处用去彩带15厘米，请问捆扎这个蛋糕盒，至少要用彩带多少厘米？ 14．小明妈妈的茶杯（如下图所示）放在桌上。 （1）这个茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米？ （2）茶杯中部有一圈防烫的装饰带，宽5厘米，这一圈装饰带至少有多少平方厘米？ （3）这个茶杯最多能装多少毫升水？ 15．如图1，一种卷纸中间硬纸轴的直径是4厘米，卷纸环的厚度是4厘米，高度是10厘米。       （1）制作中间的硬纸轴需要多少平方厘米的硬纸板？ （2）如图2，纸箱正好可放入24个卷纸，这个纸箱的容积至少是多少立方厘米？ （3）此品牌卷纸有两种包装，规格及价格如图3所示，如果它们的纸质相同，你觉得买哪一种更划算？请通过计算说明。 参考答案 一、选择题 1．如果圆柱的底面周长扩大到原来的3倍，高不变，它的体积扩大到原来的（   ）倍。 A．3 B．9 C．27 D．6 【分析】圆的周长＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的周长扩大到原来的几倍，直径和半径也扩大到原来的几倍，圆的面积扩大到原来的倍数×倍数；圆柱体积＝底面积×高，高不变，只考虑底面积扩大到原来的倍数即可。 【解答】3×3＝9 它的体积扩大到原来的9倍。 故答案为：B 2．把一个长3米的圆柱截成3段后，表面积增加了12.56平方分米，这个圆柱原本的体积是（    ）立方分米。 A．12.56 B．9.42 C．125.6 D．94.2 【分析】把一根长3米的圆柱形钢材截成3段后，需要切两次，每切一次增加两个面的面积，表面积增加了12.56平方分米，表面积增加部分应该是圆柱体4个底面积的和，先根据除法意义，求出圆柱体底面积，再根据体积底面积×高即可得解。 【解答】3米＝30分米 12.56÷4×30 ＝3.14×30 ＝94.2（立方分米） 这个圆柱原本的体积是94.2立方分米。 故答案为：D 3．将一个高是2dm的圆柱截成体积比是2∶3的两个小圆柱，表面积增加50.24cm2，则较小的小圆柱的体积是（    ）cm3。 A．50.24 B．200.96 C．301.44 D．28.26 【分析】将圆柱截成两个小圆柱，表面积增加了2个底面积，增加的表面积÷2＝底面积。根据1dm＝10cm，统一单位，将比的前后项看成份数，原来圆柱的高÷总份数，求出一份数，一份数×较小份数＝小圆柱的高，根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出较小的小圆柱的体积。 【解答】50.24÷2＝25.12（cm2） 2dm＝20cm 20÷（2＋3）×2 ＝20÷5×2 ＝8（cm） 25.12×8＝200.96（cm3） 较小的小圆柱的体积是200.96cm3。 故答案为：B 4．长方形的长是6cm，宽是2cm，以它的长所在直线为轴，旋转一周所得到的圆柱的体积是（    ）。 A．75.36cm3 B．150.72cm3 C．56.52cm3 D．226.08cm3 【分析】以长方形的长为轴旋转一周所得到的圆柱，底面半径为宽的长度，即2cm，高为长的长度，即6cm；根据圆柱体积V＝πr2h求出体积即可。 【解答】3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（cm3） 旋转一周所得到的圆柱的体积是75.36cm3。 故答案为：A 5．一个从里面量底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的，将一块石块放入，待完全浸没在水中后（水未溢出），这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是（    ）毫升。 A．6280 B．7536 C．7850 D．9420 【分析】根据题意，可以先求出圆柱形杯子的高，已知原来杯子里面的水占杯子容量的，即杯中水的高也占杯子高，将一块石块放入浸没在水中，这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，把杯子的高看作单位“1”，12厘米占杯子高的，由此可以求出杯子的高；再根据圆柱体的体积（容积）公式，V＝πr2h，列式解答。 【解答】 （厘米） ＝3.14×100×20 ＝6280（立方厘米） 6280立方厘米＝6280毫升 所以这个玻璃杯的容积是6280毫升。 故答案为：A 【点评】此题解答关键是求出杯子的高，再根据圆柱体的体积（容积）计算公式解答即可。 二、填空题 6．要制作一个无盖圆柱形水桶，有如图几种型号的铁皮可以供搭配选择。（单位：分米） （1）你选择的材料是（ ）号和（ ）号。 （2）你选择的材料制成水桶的容积是（ ）升。 【分析】（1）要制作无盖圆柱形水桶，需要一个圆形作为底面，一个长方形作为侧面，且长方形的长应等于底面圆的周长。圆周长＝π×直径，①号圆直径 4 分米，①号圆周长＝3.14×4＝12.56分米，正好和④号长方形长相等（长方形围成一个桶形状则长方形的长就为桶的周长）所以选它们。第二个的周长是：3.14×3×2＝18.84（分米），没有与之搭配的长方形。 （2）依据容积计算公式，水桶的容积＝π×半径2×高，将数值代入算出结果即可。 【解答】（1）①号圆周长＝3.14×4＝12.56（分米），④号长方形围成一个桶，它的长为桶的周长，因此选择①和④作为选择材料。 （2）水桶的体积＝π×半径²×高 ＝3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米） ＝62.8（升） 选择的材料制成水桶的容积是62.8升。 7．如图所示，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱形的油桶（接头处忽略不计），这个油桶的底面直径是（ ）dm，油桶的容积是（ ）L。 【分析】通过观察图形可知，这个油桶的底面周长和底面直径的2倍的和是30.84dm，油桶的高等于圆柱的底面直径，设圆柱油桶的底面直径为厘米，根据圆的周长公式：，底面周长＋直径×2＝30.84dm，列出方程可以求出圆柱的底面直径，再根据圆柱的容积（体积）公式：，把数据代入公式求出油桶的容积。 【解答】解：设圆柱油桶的底面直径为厘米。 （立方分米） ＝169.56（升） 这个油桶的底面直径是6分米，油桶的容积是169.56升。 8．把一张长4π分米、宽2π分米的长方形纸卷成一个圆柱。卷成的圆柱的体积是（ ）立方分米或（ ）立方分米。（接头处忽略不计，计算结果用含有π的式子表示） 【分析】这个长方形的纸的面积相当于圆柱的侧面积；圆柱的侧面积＝底面周长×高，则可分别令4π分米、2π分米作为圆柱的底面周长和圆柱高；半径＝底面周长÷2÷π，圆柱的体积＝πr2h。 【解答】当圆柱的底面周长为4π，高为2π： 半径：4π÷2÷π＝2（分米） 体积： π×22×2π ＝π×4×2π ＝8π2（立方分米） 当圆柱的底面周长为2π，高为4π： 半径：2π÷2÷π＝1（分米） 体积： π×12×4π =π×1×4π ＝4π2（立方分米） 卷成圆柱的体积是2π2立方分米或4π2立方分米。 9．公园新建一个圆柱形观赏鱼池，底面直径是20米，深1米。 （1）为了安全，在池口外1米处加装一圈围栏，围栏长（ ）米。 （2）现往鱼池内注水，要求水面离池口0.2米，应注入（ ）吨水。（1立方米水重1吨） 【分析】（1）求围栏长多少米就是求直径为（20＋1×2）米的圆的周长，根据圆的周长公式代入数据计算； （2）水面离池口0.2米，则水面的高度为，根据圆柱的体积公式，先根据，求出半径，接着求水的体积是多少立方米，就用这个金鱼池的底面积乘以水的高度，最后用水的体积乘1得到水的重量。 【解答】（20＋1×2）×3.14 ＝（20＋2）×3.14 ＝22×3.14 ＝69.08（米） 因此，围栏长69.08米。 （2）3.14×（20÷2）2×（1－0.2） ＝3.14×102×0.8 ＝3.14×100×0.8 ＝314×0.8 ＝251.2（立方米） 251.2×1＝251.2（吨） 因此，应注入水251.2吨。 10．如下图，一个底面长和宽都是4厘米的长方体容器里装了3厘米深的水，当放入一个圆柱体铁块时，水深变为5.5厘米，这时铁块的刚好露出水面。这个圆柱体铁块的体积是（ ）立方厘米。 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用4×4×3，即可求出水的体积；当放入一个圆柱体铁块时，水深变为5.5厘米，则用4×4×5.5，求出水和圆柱铁块在水里部分的体积，然后减去水的体积，即可求出圆柱铁块在水里部分的体积；已知这个铁块的刚好露出水面，则把这个铁块看作单位“1”，在水里的铁块占（1－），用圆柱铁块在水里部分的体积除以（1－）即可求出圆柱铁块的体积。据此解答。 【解答】（4×4×5.5－4×4×3）÷（1－） ＝（16×5.5－16×3）÷ ＝（88－48）× ＝40× ＝50（立方厘米） 一个底面长和宽都是4厘米的长方体容器里装了3厘米深的水，当放入一个圆柱体铁块时，水深变为5.5厘米，这时铁块的刚好露出水面。这个圆柱体铁块的体积是50立方厘米。 三、计算题 11．求下面各圆柱的体积。（单位：厘米） 【分析】（1）圆柱的底面直径是8厘米，圆柱的高15厘米， 根据圆柱的体积：V＝Sh＝πr2h，代入相应数值计算即可； （2）圆柱的底面半径是4厘米，圆柱的高是5厘米，根据圆柱的体积：V＝Sh＝πr2h，代入相应数值计算即可。 【解答】 （8÷2）2×3.14×15 ＝42×3.14×15 ＝16×3.14×15 ＝753.6（立方厘米） 42×3.14×5 ＝16×3.14×5 ＝251.2（立方厘米） 四、解答题 12．一个水桶的容积是30立方分米，底面积是7.5平方分米。可是在距桶口0.6分米处出现了一个小洞。现在将这个水桶平放在地面上，最多能装水多少千克？（1立方分米水重1千克） 【分析】根据题意，在距桶口0.6分米处出现了一个小洞，那么这个水桶上部距桶口0.6分米处不能装水，根据圆柱的体积（容积）＝底面积×高，求出水桶不能装水部分的容积；再用这个水桶的容积减去不能装水部分的容积，即是这个水桶最多能装水的量，再根据1立方分米水重1千克，换算出最多能装水的重量。 【解答】7.5×0.6＝4.5（立方分米） 30－4.5＝25.5（立方分米） 1×25.5＝25.5（千克） 答：最多能装水25.5千克。 13．雯雯用自己的零花钱为要过生日的妈妈订制了一个双层蛋糕。她到蛋糕店里挑选了一款底面直径分别是40厘米和20厘米，每层高是10厘米的双层蛋糕。 （1）如果你是服务员，至少要用多少立方厘米的盒子才能装下这个蛋糕（盒子的厚度忽略不计）？ （2）蛋糕装好后，如图用彩带捆扎蛋糕盒，打结处正好是底面圆心，打结处用去彩带15厘米，请问捆扎这个蛋糕盒，至少要用彩带多少厘米？ 【分析】（1）要装下这个两层蛋糕，至少需要底面圆半径40厘米，高10＋10＝20厘米的圆柱形盒子。根据圆柱体积（容积）＝，可得出答案； （2）用彩带捆扎蛋糕盒，且打结处在圆心位置，则彩带长度是底面圆直径的4倍加上高的4倍，最后加上打结处的彩带长度，据此可得出答案。 【解答】（1）10＋10＝20（厘米） 至少需要盒子的体积为： （立方厘米） 答：至少要用25120立方厘米的盒子才能装下这个蛋糕。 （2）至少需要彩带： （厘米） 答：至少要用255厘米彩带。 14．小明妈妈的茶杯（如下图所示）放在桌上。 （1）这个茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米？ （2）茶杯中部有一圈防烫的装饰带，宽5厘米，这一圈装饰带至少有多少平方厘米？ （3）这个茶杯最多能装多少毫升水？ 【分析】（1）要求这个茶杯占据桌面的大小是多少平方厘米，就是求这个茶杯的底面积，根据圆的面积＝，把数据代入公式即可解答； （2）要这一圈装饰带至少有多少平方厘米，就是求一个底面直径为6厘米、高是5厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高即可求解； （3）根据圆柱的体积＝底面积×高求得这个茶杯的体积，再根据1立方厘米＝1毫升，进行单位转化，即可求得这个茶杯最多能装多少毫升水。 【解答】（1）3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 答：茶杯占据桌面的大小是28.26平方厘米。 （2）3.14×6×5 ＝18.84×5 ＝94.2（平方厘米） 答：这一圈装饰带至少有94.2平方厘米。 （3）28.26×15＝423.9（立方厘米） 423.9立方厘米＝423.9毫升 答：这个茶杯最多能装423.9毫升水。 15．如图1，一种卷纸中间硬纸轴的直径是4厘米，卷纸环的厚度是4厘米，高度是10厘米。       （1）制作中间的硬纸轴需要多少平方厘米的硬纸板？ （2）如图2，纸箱正好可放入24个卷纸，这个纸箱的容积至少是多少立方厘米？ （3）此品牌卷纸有两种包装，规格及价格如图3所示，如果它们的纸质相同，你觉得买哪一种更划算？请通过计算说明。 【分析】（1）求制作中间的硬纸轴需要硬纸板的面积，就是求底面直径4厘米、高10厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh即可求解。 （2）每卷纸的底面外圆直径是4＋4＋4＝12厘米；纸箱正好可放入24个卷纸，从图中可知，一层放了12个卷纸，所以放了2层；纸箱的长放了4个卷纸，宽放了3个卷纸，高放了2个卷纸，由此可知这个纸箱的长是（12×4）厘米、宽是（12×3）厘米、高是（10×2）厘米；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，求出这个纸箱的容积。 （3）比较哪种纸更划算，求1元钱可以买到哪种纸多，这种纸就划算。圆柱形卷纸的底面是圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出两种卷纸的体积，再除以各自的价格，即是1元钱可以买到多少纸，比较大小，即可得出结论。 【解答】（1）3.14×4×10 ＝12.56×10 ＝125.6（平方厘米） 答：制作中间的硬纸轴需要125.6平方厘米的硬纸板。 （2）每层放了：3×4＝12（个） 24÷12＝2（层） 每卷纸的底面外圆直径是：4＋4＋4＝12（厘米） 长方体的长：12×4＝48（厘米） 长方体的宽：12×3＝36（厘米） 长方体的高：10×2＝20（厘米） 长方体的容积： 48×36×20 ＝1728×20 ＝34560（立方厘米） 答：这个纸箱的容积至少是34560立方厘米。 （3）规格①： 底面的内圆半径：4÷2＝2（厘米） 底面的外圆半径：2＋4＝6（厘米） 体积： 3.14×（62－22）×10 ＝3.14×（36－4）×10 ＝3.14×32×10 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8÷3≈334.93（立方厘米） 规格②： 底面的内圆半径：4÷2＝2（厘米） 底面的外圆半径：2＋8＝10（厘米） 3.14×（102－22）×10 ＝3.14×（100－4）×10 ＝3.14×96×10 ＝3014.4（立方厘米） 3014.4÷8＝376.8（立方厘米） 376.8＞334.93 答：规格②更划算。 【点评】（1）本题考查圆柱侧面积公式的应用。 （2）关键是结合图形，确定长方体纸箱的长、宽、高，再运用长方体的体积（容积）公式解答。 （3）求出底面是圆环的两种圆柱卷纸的体积是解题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$