专题06：圆锥的体积（学习目标+知识要点+自我评量）-2025年六年级数学寒假自学课（苏教版）

编者的话 随着寒假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家寒假愉快，学业进步！ 2025年六年级数学寒假自学课 专题06：圆锥的体积 1、理解圆锥体积公式的推导过程,掌握圆锥的体积计算公式。 2、能应用圆锥体积公式解决相关的实际问题。 3、在活动中培养动手操作、观察、分析、推理的能力。 1、圆锥的体积计算公式。 圆锥的体积=底面积×高×，圆锥的体积计算公式用字母表示是V=Sh。 2、圆柱和圆锥的关系。 （1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积。 （2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。 （3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。 掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。 一、选择题 1．圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（    ）升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 2．一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面直径的比是1∶2，如果圆柱的高是12厘米，那么圆锥的高是（    ）厘米。 A．3 B．9 C．12 D．24 3．一个圆柱和一个圆锥的底面半径的比是1∶2，它们高的比是2∶3，它们体积的比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 4．如图，将这个容器倒过来后，水面的高度是（    ）厘米。 A．16 B．12 C．11 D．9 5．一个圆柱形容器底面积是240cm2，高20cm，原来水面高度是8cm，分别往该容器内完全浸没不同物体后，水面高度均上升至10cm（如图）。比较浸没物体的体积，下面说法正确的是（    ）。    A．正方体大 B．圆锥大 C．圆柱大 D．一样大 二、填空题 6．一个圆锥底面周长是6.28分米，高是3分米，它的体积是（ ）立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方分米。 7．下图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器倒置后，水面高7cm，如果将这个容器正放，那么容器内水面高是（ ）cm。 8．把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱的（ ），是圆锥的（ ）。如果圆锥体积是9立方分米，那么削去的体积是（ ）立方分米。 9．把一个高12厘米、底面半径是5厘米的铁圆锥熔铸成底面半径是5厘米的圆柱，这个圆柱的高是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 10．六一儿童节快到了，爸爸送给明明一个圆锥形玩具，玩具的底面直径是6厘米，高是10厘米，这个玩具的体积是（ ）立方厘米；如果把它放进一个长方体包装盒里，这个包装盒的容积至少是（ ）立方厘米。 三、计算题 11．计算下面图形的体积。（单位：厘米） 四、解答题 12．千垛景区菜籽油现榨坊内有一种油菜籽榨油机，它的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成。（如图）底面周长是18.84分米，圆柱和圆锥的高都是6分米。（π取3.14） （1）这个漏斗的容积是多少立方分米？（漏斗的厚度忽略不计）    （2）张阿姨家的垛田去年共收获油菜籽800千克，如果这批油菜籽的出油率是42%至46%，这批油菜籽最少可以榨出多少千克菜籽油？ 13．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，然后把这个圆锥沿着高切开，得到两个如图的物体，一个截面的面积是30平方厘米。如果这个圆锥的高是6厘米，那么这个圆柱形木料的体积是多少？ 14．如图，一个粮仓的主体部分是近似的圆柱，顶部是近似的圆锥，高如图所示，量得底面内部周长是18.84米。 （1）这个粮仓的空间有多大？ （2）将这个粮仓装满稻谷，如果每立方米稻谷大约重0.6吨，用一辆载重10吨的卡车至少要运多少次才能把它运完？ 15．如图，一根长2米，横截面直径是0.6米的木头浮在水面上，且正好是一半露出水面。 （1）这根木头与水接触的面的面积是多少平方米？ （2）如果将这根木头削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方米？ 参考答案 一、选择题 1．圆锥形容器中有10升水，水的高度是圆锥高度的一半，这个容器还能装（    ）升水。 A．20 B．80 C．40 D．70 【分析】因为水的高度是圆锥高度的一半，所以圆锥的底面半径是水面所在的底面半径的2倍。根据V＝πr2h，得到πr2h的值是60升，再用公式计算圆锥整体的容积，最后用圆锥的容积减去10升计算出还能装多少升水，据此解答。 【解答】设圆锥的底面半径是R，水面所在的底面半径是r，R＝2r。 ×π×r2×h＝10 ×π×r2×h×6＝10×6 πr2h＝60（升） ×π×R2×h ＝×π（2r）2h ＝×πr2h ＝×60 ＝80（升） 80－10＝70（升） 所以这个容器还能装70升水。 故答案为：D 2．一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面直径的比是1∶2，如果圆柱的高是12厘米，那么圆锥的高是（    ）厘米。 A．3 B．9 C．12 D．24 【分析】设圆柱、圆锥体积为V立方厘米，圆柱底面半径是r厘米，圆锥底面半径2r厘米，据此利用圆柱的体积V＝πr2h与圆锥的体积V＝πr2h分别表示出它们的高，并求出高的比，再根据已知的圆柱高12厘米，即可求出圆锥的高。 【解答】设圆柱底面半径是r厘米，圆锥底面半径2r厘米，高为h厘米， 圆柱的体积：12πr2立方厘米 圆锥的体积：4πr2h÷3立方厘米 圆柱体积＝圆锥体积：12πr2＝4πr2h÷3 12πr2×3＝36πr2 36πr2÷4πr2＝9 所以圆锥的高是9厘米。 故答案为：B 3．一个圆柱和一个圆锥的底面半径的比是1∶2，它们高的比是2∶3，它们体积的比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 【分析】根据圆柱和圆锥的底面半径的比和高的比，将圆柱底面半径看作1，高看作2，圆锥底面半径看作2，高看作3，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，两数相除又叫两个数的比，据此写出圆柱和圆锥的体积比，化简即可。 【解答】（3.14×12×2）∶（3.14×22×3÷3） ＝（12×2）∶22 ＝（1×2）∶4 ＝2∶4 ＝（2÷2）∶（4÷2） ＝1∶2 它们体积的比是1∶2。 故答案为：B 4．如图，将这个容器倒过来后，水面的高度是（    ）厘米。 A．16 B．12 C．11 D．9 【分析】观察图形可知，容器中水的体积＝下面的圆锥的容积＋有水部分的圆柱的容积，圆柱和圆锥的底面积相等。设圆柱和圆锥的底面积是S平方厘米，感觉圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高×，分别用含有字母的式子表示圆柱和圆锥的容积，继而求出水的体积。将这个容器倒过来后，水的体积不变，形状变为底面积为S的圆柱，用水的体积除以S即可求出水面的高度。 【解答】设圆柱和圆锥的底面积是S。 6S×＋（15－6）S ＝2S＋9S ＝11S（平方厘米） 11S÷S＝11（厘米） 则水面的高度是11厘米。 故答案为：C 5．一个圆柱形容器底面积是240cm2，高20cm，原来水面高度是8cm，分别往该容器内完全浸没不同物体后，水面高度均上升至10cm（如图）。比较浸没物体的体积，下面说法正确的是（    ）。    A．正方体大 B．圆锥大 C．圆柱大 D．一样大 【分析】根据题意，浸没物体的体积等于上升的水的体积，根据圆柱体积公式：V＝Sh，用圆柱的底面积乘水面上升的厘米数可得水面上升的体积，即被浸没物体的体积。 【解答】由分析可得： 水面上升的体积为： 240×（10－8） ＝240×2 ＝480（cm3） 正方体、圆锥体、小圆柱体被浸没后，水面都是从8cm上升到10cm，所以上升的水的体积都是480cm3，即这几个物体体积一样大。 故答案为：D 【点评】本题考查了圆柱体体积公式的应用，解题的关键是明确水增加的体积就是几个被浸没的物体的体积。 二、填空题 6．一个圆锥底面周长是6.28分米，高是3分米，它的体积是（ ）立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方分米。 【分析】将底面周长除以2，再除以3.14，求出底面半径。根据圆锥体积＝×底面积×高，求出圆锥体积。圆柱体积是与它等底等高圆锥体积的3倍，那么将圆锥体积乘3，即可求出圆柱的体积。 【解答】6.28÷2÷3.14＝1（分米） ×3.14×12×3 ＝×3.14×3 ＝3.14（立方分米） 3.14×3＝9.42（立方分米） 所以，圆锥的体积是3.14立方分米，与它等底等高的圆柱的体积是9.42立方分米。 7．下图，将一个由圆柱和圆锥组合成的容器倒置后，水面高7cm，如果将这个容器正放，那么容器内水面高是（ ）cm。 【分析】从题意可知，容器中水的体积＝3cm高圆锥的体积＋（7－3）cm高的圆柱的体积。圆锥与圆柱的底面积相等。根据体积相等、底面积相等的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，当容器正放时，3cm高圆锥的水转换成底面积不变的圆柱，圆柱的高是3÷3＝1cm。用1＋（7－3）即可求出容器正放时水面高度。据此解答。 【解答】3÷3＋（7－3） ＝1＋4 ＝5（cm） 容器内水面高是5cm。 8．把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱的（ ），是圆锥的（ ）。如果圆锥体积是9立方分米，那么削去的体积是（ ）立方分米。 【分析】根据题意，结合圆柱和圆锥等底等高，则圆锥的体积是圆柱体积的，所以把圆柱的体积看作单位“1”，则削去部分的体积为（1－），用削去部分的体积除以圆锥的体积，求出削去部分的体积是圆锥体积的2倍，最后用9乘2即可求出削去的体积。 【解答】削去部分的体积：1－＝ ÷ ＝×3 ＝2 2×9＝18（立方分米） 所以把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱的，是圆锥的2倍。如果圆锥体积是9立方分米，那么削去的体积是18立方分米。 9．把一个高12厘米、底面半径是5厘米的铁圆锥熔铸成底面半径是5厘米的圆柱，这个圆柱的高是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 【分析】根据题意可知，铁圆锥熔铸成圆柱，体积不变；根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出铁圆锥的体积，也就是圆柱的体积；由于体积不变；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；铁圆锥的底面半径是5厘米，熔铸成的圆柱的底面半径也是5厘米，即铁圆锥的底面与圆柱的底面相等，所以圆柱的高＝铁圆锥高×，据此解答。 【解答】3.14×52×12× ＝3.14×25×12× ＝78.5×12× ＝942× ＝314（立方厘米） 12×＝4（厘米） 把一个高12厘米、底面半径是5厘米的铁圆锥熔铸成底面半径是5厘米的圆柱，这个圆柱的高是4厘米，体积是314立方厘米。 10．六一儿童节快到了，爸爸送给明明一个圆锥形玩具，玩具的底面直径是6厘米，高是10厘米，这个玩具的体积是（ ）立方厘米；如果把它放进一个长方体包装盒里，这个包装盒的容积至少是（ ）立方厘米。 【分析】圆锥的体积＝πr2h，据此求出这个玩具的体积；如果把它放进一个长方体包装盒里，这个长方体的长至少是6厘米，宽6厘米，高10厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【解答】3.14×（6÷2）2×10× ＝3.14×9×10× ＝3.14×30 ＝94.2（立方厘米） 6×6×10＝360（立方厘米） 这个玩具的体积是94.2立方厘米；如果把它放进一个长方体包装盒里，这个包装盒的容积至少是360立方厘米。 三、计算题 11．计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【分析】图中是一个圆柱与圆锥的组合体，圆柱的底面直径是4厘米，高是5厘米，圆锥的底面直径是4厘米，高是3厘米。根据圆柱体积计算公式“V＝πr2h”、圆锥体积计算公式“V＝πr2h”及半径与直径的关系“r＝d”即可解答。 【解答】4÷2＝2（厘米） π×22×5＋π×22×3 ＝π×4×5＋π×4×3 ＝20π＋4π ＝24π ＝24×3.14 ＝75.36（立方厘米） 这个图形的体积是75.36立方厘米。 四、解答题 12．千垛景区菜籽油现榨坊内有一种油菜籽榨油机，它的漏斗是由圆柱和圆锥两部分组成。（如图）底面周长是18.84分米，圆柱和圆锥的高都是6分米。（π取3.14） （1）这个漏斗的容积是多少立方分米？（漏斗的厚度忽略不计）    （2）张阿姨家的垛田去年共收获油菜籽800千克，如果这批油菜籽的出油率是42%至46%，这批油菜籽最少可以榨出多少千克菜籽油？ 【分析】（1）容积的求法和体积相同，也就是求圆柱和圆锥的体积和，根据圆柱的体积，圆锥的体积，即可分别求出圆柱和圆锥的体积再相加，据此解答。 （2）由题意可知这批油菜籽的最少出油率是42%，油率是42%的意思是榨出的菜籽油是菜籽质量的42%，根据求一个数的百分之几是多少用乘法，即这批油菜籽最少可以榨（800×42%）千克，据此解答。 【解答】（1） ＝3.14×9×6＋×3.14×9×6 ＝169.56＋56.52 ＝226.08（立方分米） 答：这个漏斗的容积是226.08立方分米。 （2）800×42%＝336（千克） 答：这批油菜籽最少可以榨出336千克菜籽油。 13．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，然后把这个圆锥沿着高切开，得到两个如图的物体，一个截面的面积是30平方厘米。如果这个圆锥的高是6厘米，那么这个圆柱形木料的体积是多少？ 【分析】把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，则这个圆锥与圆柱等底等高。沿着高切开，截面是一个等腰三角形，三角形的底是圆锥底面圆的直径，高是圆锥的高。由截面的面积求出圆锥的半径，即圆柱的半径，再根据公式“圆柱体积＝底面积×高”求出圆柱形木料的体积。 【解答】（厘米） （立方厘米） 答：这个圆柱形木料的体积是471立方厘米。 14．如图，一个粮仓的主体部分是近似的圆柱，顶部是近似的圆锥，高如图所示，量得底面内部周长是18.84米。 （1）这个粮仓的空间有多大？ （2）将这个粮仓装满稻谷，如果每立方米稻谷大约重0.6吨，用一辆载重10吨的卡车至少要运多少次才能把它运完？ 【分析】（1）粮仓的空间＝圆柱的容积＋圆锥的容积，圆柱的容积＝底面积×高，圆锥的容积＝底面积×高÷3，据此列式解答； （2）粮仓的容积就是稻谷的体积，稻谷体积×每立方米吨数＝稻谷总吨数；稻谷总吨数÷卡车载重，最后无论剩下多少稻谷，都得需要运一次，结果用进一法保留近似数即可。 【解答】（1）18.84÷3.14÷2＝3（米） 3.14×32×3＋3.14×32×1÷3 ＝3.14×9×3＋3.14×9×1÷3 ＝84.78＋9.42 ＝94.2（立方米） 答：这个粮仓的空间有94.2立方米。 （2）94.2×0.6÷10 ＝56.52÷10 ≈6（次） 答：用一辆载重10吨的卡车至少要运6次才能把它运完。 15．如图，一根长2米，横截面直径是0.6米的木头浮在水面上，且正好是一半露出水面。 （1）这根木头与水接触的面的面积是多少平方米？ （2）如果将这根木头削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少立方米？ 【分析】（1）求这根木头与水接触面的面积，就是这个圆柱体木头表面积的一半，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，求出圆柱的表面积，再除以2，即可； （2）将这根木头削成一个最大的圆锥，圆锥与圆柱是等底等高，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；代入数据，即可解答。 【解答】（1）3.14×（0.6÷2）2×2＋3.14×0.6×2 ＝3.14×0.32×2＋1.884×2 ＝3.14×0.09×2＋3.768 ＝0.2826×2＋3.768 ＝0.5652＋3.768 ＝4.3332（平方米） 4.3332÷2＝2.1666（平方米） 答：这根木头与水接触的面的面积是2.1666平方米。 （2）3.14×（0.6÷2）2×2× ＝3.14×0.32×2× ＝3.14×0.09×2× ＝0.2826×2× ＝0.5652× ＝0.1884（立方米） 答：圆锥的体积是0.1884立方米。 学科网（北京）股份有限公司 $$