09 第二章 3.匀变速直线运动的位移与时间的关系-【名师导航】2024-2025学年高中物理必修第一册同步讲义(人教版2019)

3．匀变速直线运动的位移与时间的关系 [学习任务]　任务1．知道匀变速直线运动的位移与 v-t 图像中图线与坐标轴围成面积的关系。 任务2．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系并会用来分析、解决问题。 任务3．会推导速度与位移的关系式，并知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式中各物理量的含义。 任务4．会用公式＝2ax进行分析和计算。 [问题初探]　问题1　位移公式x＝v0t＋at2适用于哪种运动形式？ 问题2　公式＝2ax中各符号的意义是什么？ 问题3　教材拓展学习中利用v-t图像推导位移与时间关系体现了科学思维中什么思想？ [自我感知]　经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。 　匀变速直线运动的位移 1．位移在v-t图像中的表示 做匀变速直线运动的物体的位移大小对应着v-t图像中的图线和时间轴包围的图形的“面积”。如图所示，物体在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积。 2．位移与时间的关系式：x＝。 当初速度为0时，x＝。 如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。请思考： 问题1　汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？ 提示：加速度方向不同。 问题2　根据位移公式求加速过程及减速过程中的位移，速度及加速度的正负号如何确定？ 提示：根据位移公式求位移时，一般取初速度方向为正方向，加速时，加速度取正值，减速时，加速度取负值。 问题3　汽车加速过程的位移与时间成正比吗？ 提示：不是，与时间的平方成正比。 1．对位移公式x＝v0t＋at2的理解 公式意义 位移随时间变化的规律 各量意义 x、v0、a分别为t时间内的位移、初速度、加速度 公式特点 含有4个量，若知其中三个，能求另外一个 矢量性 x、v0、a均为矢量，应用公式时，一般选v0的方向为正方向，若匀加速，a＞0；若匀减速，a＜0 适用条件 匀变速直线运动 2．两种特殊形式 (1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比。 (2)当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移x与t成正比。 【典例1】　(对位移公式符号的理解)物体做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(m)，则该物体(　　) A．运动的初速度是2.5 m/s B．运动的加速度是0.5 m/s2 C．第1 s内的位移是5 m D．在前4 s内的平均速度是9 m/s D　[根据位移与时间的关系式x＝v0t＋at2，与题目中的关系式对比，根据对应关系可得到v0＝5 m/s，a＝2 m/s2，故A、B错误；把t＝1 s代入位移—时间关系式，解得第1 s内的位移是6 m，故C错误；在前4 s内，物体的平均速度为＝＝(5＋t) m/s＝9 m/s，故D正确。] 【典例2】　(位移公式的应用)一质点沿直线从静止开始以1 m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动，经5 s加速后，做匀速直线运动4 s，又经2 s做匀减速直线运动直到静止，则： (1)质点匀速直线运动时速度是多大？ (2)做减速直线运动时的加速度？ (3)质点通过的总位移为多大？ [解析]　(1)加速过程的末速度为v＝v0＋a1t1＝0＋1×5 m/s＝5 m/s。 (2)减速运动时a3＝＝ m/s2＝－2.5 m/s2，负号表示方向与运动方向相反，即方向向左。 (3)加速位移x1＝＝×1×52 m＝12.5 m 匀速位移x2＝vt2＝5×4 m＝20 m 减速位移x3＝＝(5×2－×2.5×22) m＝5 m 则总位移x＝x1＋x2＋x3＝37.5 m。 [答案]　(1)5 m/s　(2)2.5 m/s2，方向向左　(3)37.5 m 　应用位移公式x＝v0t＋at2的解题步骤 (1)规定一个正方向(一般以初速度的方向为正方向)。 (2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。 (3)根据位移与时间的关系式或其变形式列式、求解。 (4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。 　匀变速直线运动的速度与位移的关系 1．公式：＝2ax。 2．推导 速度公式：v＝v0＋at。 位移公式：x＝v0t＋at2。 由以上两式消去t得：＝2ax。 解放军航母山东舰在2023年10月26日穿越巴士海峡，再次进入西太平洋海域战斗部署。假设某次歼-15战机在山东舰上起飞，若已知歼-15战机的加速度为a，起飞速度为v。 问题1　如果山东舰静止在海上，应该如何来确定飞机跑道的最小长度？ 提示：根据v2＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝。 问题2　如果山东舰以v0匀速航行呢？ 提示：根据＝2ax，知飞机跑道的最小长度为x＝。 问题3　如果知道飞机从落到甲板上到停下的航行距离，能否推算飞机刚落到甲板上的速度？为什么？ 提示：能。因为速度和位移存在一定的关系，即＝2ax。 1．适用条件：匀变速直线运动，尤其是不涉及时间t的问题。 2．公式的意义：公式反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中任意三个物理量已知时，可求另一个未知量。 3．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0方向为正方向。 4．两种特殊形式 (1)当v0＝0时，v2＝2ax(表示初速度为零的匀加速直线运动)。 (2)当v＝0时＝2ax(表示末速度为零的匀减速直线运动)。 【典例3】　(速度与位移的关系简单应用)一个质点做加速直线运动，依次经过A、B、C三点，B为AC中点。质点在A、B、C三点的速度之比为1∶2∶3，质点在AB段加速度大小恒为a1，在BC段加速度大小恒为a2，则a1∶a2等于(　　) A．2∶5 B．3∶5 C．4∶5 D．1∶1 B　[设质点依次经过A、B、C三点的速度分别为v、2v、3v，由题意知(2v)2－v2＝2a1xAB，(3v)2－(2v)2＝2a2xBC，又xAB＝xBC，因此得＝，解得a1∶a2＝3∶5，故选B。] 【典例4】　(鲁科版教材例题·位移公式的综合应用)汽车从开始制动到停止所行驶的距离，是衡量汽车制动性能的参数之一。某型号的汽车以100 km/h的速度在柏油路面上行驶，急刹车后做匀减速直线运动。若匀减速时的加速度大小为5 m/s2，开始制动后2 s内汽车行驶的距离是多少？从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离是多少？ [解析]　选定初速度方向为正方向，由题意知v0＝100 km/h≈27.8 m/s，a＝－5 m/s2，vt＝0，t＝2 s 根据速度公式v＝v0＋at，可知汽车刹车时间 t0＝＝5.56 s 因为t<t0，所以汽车在刹车后2 s内一直运动。根据位移公式，可得开始制动后2 s内汽车的位移 s1＝v0t＋at2 ＝27.8 m/s×2 s＋×(－5 m/s2)×(2 s)2＝45.6 m 根据公式＝2as，可得汽车从开始制动到完全停止的位移s2＝≈77.3 m 所以，开始制动后2 s内汽车行驶的距离为45.6 m；从开始制动到完全停止，汽车行驶的距离为77.3 m。 [答案]　45.6 m　77.3 m 　应用速度—位移关系的两点注意 (1)若不涉及时间，优先选用＝2ax。 (2)选用＝2ax，要注意符号关系，必要时应对计算结果进行分析，验证其合理性。 　刹车问题 1．问题特点：匀减速到速度为零后停止运动，加速度a突然消失。 2．求解时要注意确定实际运动时间(减速到零所用时间为t0) (1)如果t0<t，加速度的大小为a，则不能用题目所给的时间t求解位移，此时运动的最长时间为t0＝，最大距离为x0＝。 (2)如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则能用题目所给的时间t直接求解位移。 3．求解实际刹车时间和刹车位移时可以采用逆向思维法把整个刹车过程看成反向的初速度为零的匀加速直线运动。 【典例5】　(刹车问题的计算)一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动。设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求： (1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离； (2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离。 [解析]　汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2 汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s。 (1)因为t1＝2 s<t， 所以汽车2 s末没有停止运动， 故x1＝＝(20×2－×5×22)m＝30 m。 (2)因为t2＝5 s>t， 所以汽车5 s时已停止运动， 故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40 m。 [答案]　(1)30 m　(2)40 m 【典例6】　(逆向思维的应用)汽车刹车前的速度为10 m/s，刹车获得的加速度大小为2 m/s2，求： (1)汽车刹车开始后2 s时的速度； (2)汽车静止前最后3 s内滑行的距离。 [解析]　(1)汽车刹车开始后2 s时的速度为v＝v0－at1＝10 m/s－2×2 m/s＝6 m/s。 (2)可以进行逆向分析，认为汽车由静止开始在t2＝3 s内做逆向的匀加速运动， 故x＝＝×2×32 m＝9 m。 [答案]　(1)6 m/s　(2)9 m 【教用·备选例题】 【典例】　(多选)汽车以10 m/s的速度开始刹车，刹车中加速度大小为2 m/s2，关于汽车的运动情况，下列说法正确的是(　　) A．刹车后6 s末的速度为2 m/s B．刹车后6 s内的位移为25 m C．刹车后6 s内的位移为24 m D．停止前第3 s、第2 s、最后1 s的位移之比为 5∶3∶1 BD　[汽车开始刹车到最终停止的过程为匀减速直线运动，初速度v0＝10 m/s，末速度为零，加速度为a＝－2 m/s2。设汽车经过时间t停止运动，则有t＝＝ s＝5 s，汽车在5 s末停止运动，此后速度为零，A错误；汽车5 s末停止运动，刹车位移x＝＝ m＝25 m，第6 s内汽车静止不动，B正确，C错误；汽车的刹车过程，反过来看就是初速度为零、加速度为a′＝2 m/s2的匀加速直线运动，则由x＝a′t2，可知汽车最后1 s、第2 s、第3 s内的位移之比为1∶3∶5。那么，汽车停止前第3 s、第2 s、最后1 s的位移之比就为5∶3∶1，D正确。] 1．某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则(　　) A．赛车的加速度是2 m/s2 B．赛车的加速度是3 m/s2 C．赛车第4 s内的位移是32 m D．赛车第4 s内的位移是14 m D　[赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x＝at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δx＝解得赛车第4 s内的位移为14 m，故C错误，D正确。] 2．如图所示，一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v，则xAB∶xBC等于(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 C　[设小车做匀加速直线运动的加速度大小为a，则有2axAB＝v2－0，2axBC＝(2v)2－v2＝3v2，解得xAB∶xBC＝1∶3，故选C。] 3．(多选)一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的数学规律是x＝10t－2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是(　　) A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝4 m/s2 B．初速度v0＝4 m/s，加速度大小a＝10 m/s2 C．汽车刹车到停止所用时间为5 s D．汽车刹车后4 s内的位移是12.5 m AD　[根据x＝v0t＋at2＝(10t－2t2) m可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，即初速度为10 m/s，加速度大小为4 m/s2，故A正确，B错误；汽车速度减为零的时间为t0＝＝ s＝2.5 s，则刹车后4 s内的位移为x＝＝ m＝12.5 m，故C错误，D正确。] 4．空军特级飞行员李峰驾驶歼-10战机执行战术机动任务，在距机场 54 km、离地1 170 m高度时飞机发动机停车失去动力。在地面指挥员的果断引领下，安全迫降机场，成为成功处置国产单发新型战机空中发动机停车故障、安全返航第一人。若飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动，其着陆后的初速度为60 m/s，则它着陆后12 s内滑行的距离是多少？ [解析]　设飞机着陆后到停止所用时间为t，由v＝v0＋at，得 t＝＝ s＝10 s 由此可知飞机在12 s内不是始终做匀减速运动，它在最后2 s内是静止的。 故它着陆后12 s内滑行的距离为x＝v0t＋＝60×10 m＋(－6)× m＝300 m。 [答案]　300 m 回归本节知识，完成以下问题： 1．匀变速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋at2，式中x的含义是什么？ 提示：x是物体在时间t内的位移，如果认为物体在t＝0时刻位于坐标原点，则x也是物体在时刻t的位置。 2．如果物体在做匀减速直线运动，在使用上述公式分析问题时，需要注意什么？ 提示：若以初速度方向为正方向，则加速度a代入数据时要用负数。 3．速度与位移的关系式＝2ax是怎样推导出来的？ 提示：运用公式v＝v0＋at和x＝v0t＋at2，两个公式联立，消掉时间t。 4．在“刹车”类问题中要关注什么？ 提示：关注实际停止的时间。 课时分层作业(七) 题组一　匀变速直线运动的位移 1．在平直公路上，一辆汽车以 2 m/s2 的加速度从静止开始做匀加速直线运动，经过 4 s 汽车行驶的路程是(　　) A．6 m B．8 m C．12 m D．16 m D　[由运动学公式x＝v0t＋at2，代入数据可得x＝16 m，故选D。] 2．小球以某一较大初速度冲上足够长的光滑斜面，加速度大小为5 m/s2，则小球在沿斜面上滑过程中最后一秒的位移是(　　) A．2.0 m B．2.5 m C．3.0 m D．3.5 m B　[小球沿光滑斜面向上做匀减速运动可等效看成反向的初速度为零的匀加速运动，故上滑最后一秒的位移x＝at2＝×5×12 m＝2.5 m，故B正确。] 3．某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为x＝(0.5t＋t2) m，则当物体速度为3 m/s时，物体已运动的时间为(　　) A．1.25 s B．2.5 s C．3 s D．6 s A　[比较位移公式x＝v0t＋at2与x＝(0.5t＋t2) m, 得v0＝0.5 m/s，a＝2 m/s2。由于v＝v0＋at，所以t＝＝ s＝1.25 s，选项A正确。] 题组二　速度与位移的关系 4．如图所示，物体A在斜面上由静止匀加速滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则物体在斜面上的加速度a1与平面上加速度a2的大小关系为(　　) A．a1＝a2 B．a1＝2a2 C．a1＝a2 D．a1＝4a2 B　[设物体在斜面末端时的速度为vt，由＝2ax得－02＝＝2(－a2)x2，联立解得a1＝2a2。] 5．京杭大运河始建于春秋时期，是我国古代劳动人民创造的一项伟大工程。一艘游轮在运河上航行，做匀加速直线运动，该游轮的初始速度是3 m/s，航行50 m后速度变为7 m/s，则它的加速度大小是(　　) A．0.30 m/s2 B．0.25 m/s2 C．0.40 m/s2 D．0.45 m/s2 C　[根据位移—速度公式2ax＝，解得a＝0.4 m/s2，故A、B、D错误，C正确。] 6．一滑雪运动员由静止开始沿斜坡匀加速下滑。当下滑距离为l时，速度为v。那么，当他的速度是时，下滑的距离是(　　) A． C． C　[由＝2ax，得a＝，则l1＝＝＝，故选项C正确。] 题组三　刹车问题 7．以初速度为10 m/s运动的汽车，某时刻开始以大小为5 m/s2的加速度刹车，刹车后第1 s的运动距离和刹车后2 s内的运动距离之比为(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．2∶3 D．3∶4 D　[设刹车时初速度为v0，加速度大小为a，汽车开始刹车到停止所需时间为t＝＝ s＝2 s。根据位移—时间公式可知刹车后第1 s的运动距离为x1＝＝7.5 m，汽车经过2 s刚好停止，故刹车后2 s内的运动距离为x2＝＝10 m，可知x1∶x2＝3∶4，故选D。] 8．一辆汽车以初速度v0＝25 m/s在平直的公路上匀速行驶，当驾驶员发现较远的前方堵车，于是开始刹车，最后1 s的位移为2.5 m，求： (1)刹车时加速度的大小； (2)刹车开始后最初2 s内的平均速度； (3)刹车后6 s内的位移大小。 [解析]　(1)汽车最后1 s的位移为2.5 m，由逆向思维可得x1＝，解得汽车加速度大小为a＝＝5 m/s2。 (2)由匀变速直线运动公式可得，汽车前2 s的位移为x2＝＝40 m 所以前2 s的平均速度为v2＝＝20 m/s。 (3)由题可知，汽车经过时间t速度减小为零，t＝＝5 s<6 s，5 s末汽车已经停下，所以刹车6 s的位移大小为x＝＝62.5 m。 [答案]　(1)5 m/s2　(2)20 m/s　(3)62.5 m 9．某同学做研究匀变速直线运动的实验，通过定滑轮用钩码拖拽小车，使得小车由静止开始做匀加速直线运动，测得小车在第5 s内的位移是27 m，则(　　) A．小车在2 s末的速度是20 m/s B．小车在第5 s内的平均速度是9 m/s C．小车在第2 s内的位移是9 m D．小车在5 s内的位移是125 m C　[设加速度大小为a，由题意可得a×(5 s)2－a×(4 s)2＝27 m，解得a＝6 m/s2，小车在2 s末的速度是v1＝at1＝12 m/s故A错误；小车在第5 s内的平均速度是＝ m/s＝27 m/s，故B错误；小车在第2 s内的位移是x1＝(×6×22－×6×12)m＝9 m，故C正确；小车在5 s内的位移是x2＝×6×52 m＝75 m，故D错误。] 10．如图所示，一条笔直的公路边每隔d＝16 m有一棵树，一辆小汽车正在做匀减速运动，车头经过第1棵树时小汽车的速度是v1＝16 m/s，车头经过第4棵树时小汽车的速度是v4＝8 m/s，求： (1)小汽车的加速度大小； (2)车头经过第5棵树时小汽车的速度。 [解析]　(1)设小汽车的加速度大小为a，从第1棵树到第4棵树经过的位移是 x1＝3d＝48 m 根据速度—位移关系式＝－2ax1 代入数据得a＝2 m/s2。 (2)设小汽车到第5棵树时的速度大小为v5，从第4棵树到第5棵树经过的位移是x2＝d＝16 m 根据速度—位移关系式＝－2ax2 代入数据得v5＝0。 [答案]　(1)2 m/s2　(2)0 11．如图所示，A、B、C依次是光滑斜面上的三个点，OA间距为20 m，AB＝4BC。一个小球以初速度12 m/s从斜面底端O冲上该固定斜面，沿斜面做匀减速直线运动。经过2 s，小球第一次通过A点，又经5 s第二次通过C点。 (1)小球的加速度大小为多少？ (2)BC间的距离是多大？ (3)小球两次经过B点的时间差是多少？ [解析]　(1)取沿斜面向上为正方向，从O运动到A过程，有xOA＝ 解得a＝－2 m/s2 小球的加速度大小为2 m/s2。 (2)从O开始运动到第二次通过C点，有 xOC＝v0(t1＋t2)＋a(t1＋t2)2 解得xOC＝35 m 可知xAC＝xOC－xOA＝15 m 解得xBC＝xAC＝3 m。 (3)从O运动到B过程，有xOB＝ 解得tB1＝4 s，tB2＝8 s 经过B点的时间差为Δt＝tB2－tB1＝4 s。 [答案]　(1)2 m/s2　(2)3 m　(3)4 s 13/13 学科网（北京）股份有限公司 $$