专题26.5 反比例函数章末按知识点分类基础达标篇培优卷-2024-2025学年九年级数学下册（人教版）重难点专题突破（典例+变式训练）及提优测试卷

专题26.5 反比例函数章末按知识点分类基础达标篇培优卷（原卷版） 知识点一 反比例函数的图象 1．（2023•罗湖区二模）函数y（a≠0）与y＝ax2﹣1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C．D． 2．（2022秋•南开区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y（k＞0）的图象大致是（　　） A．B． C． D． 3．（北京中考）如图，A、B两点在函数y（x＞0）的图象上． （1）求m的值及直线AB的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数． 知识点二 反比例函数的性质 4．（2022秋•任泽区校级月考）已知反比例函数，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是，则当x≥8时，y有（　　） A．最大值，且最大值为 B．最大值，且最大值为 C．最小值，且最小值为 D．最小值，且最小值为 5．（2021秋•南岗区校级月考）反比例函数y，在x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k＞﹣2 C．k＜﹣2 D．k＞2 6．（2022•海珠区校级自主招生）已知反比例函数y（x＞0），且y随x的增大而减小，则一次函数y＝（k﹣1）x+k的大概图象可能是（　　） A． B． C． D． 知识点三 反比例函数系数k的几何意义 7．（2023秋•秀英区校级期中）如图，点A是反比例图数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为6，则m+n＝（　　） A．﹣8 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣24 8．（2022•市南区校级三模）如图，点A，B是反比例函数图象上任意两点，过点A，B分别作x轴、y轴的垂线，S阴影＝2，S1+S2＝　 　． 9．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，A、B是反比例函数y的图象上两点，过点A作AC⊥x轴于点C（2，0），点B的横坐标是4，则△ABO的面积是　 　． 10．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，过点A1，A2，A3，…，An分别作x轴的垂线与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点P1，P2，P3，…，Pn，得△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，…，△An﹣1PnAn，其面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为 ． 知识点四 反比例函数图象上点的坐标特征 11．（2022•美兰区校级二模）已知函数y的图象过点（2，﹣3），则该函数的图象必在（　　） A．第二、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 12．（2023春•常州期末）已知点A（a，m）、B（b，n）在反比例函数的图象上，且a＜b，mn＜0，则m 　 　n（填“＞”或“＜”）． 13．（2020•九龙坡区校级模拟）大家都知道我们初中学过一次函数、反比例函数、二次函数这三种函数，现在我们把这三种函数组合成分段函数y，y与x的部分对应关系如下表； x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y 1 2 3 2 1 0 2 n 0 （1）解析式中的m＝　 ，表格中的n＝　 ； （2）在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中各点，并画出函数图象，根据函数图象，写出函数的一条性质：　 　． （3）若直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：　 　． 知识点五 待定系数法求反比例函数解析式 14．（2020•雁塔区校级模拟）若一个反比例函数的图象经过点A（a，a）和B（3a，﹣2），则这个反比例函数的表达式为　 ． 15．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，求该反比例函数的表达式． 知识点六 反比例函数与一次函数的交点问题 16．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+3分别与x，y轴交于点N，M，与反比例函数（x＞0）的图象交于点A，若AM：MN＝2：3，则k＝　 　． 17．（2023•宜春模拟）如图，已知A（0，2），B（1，0），连接AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD与反比例函数y（k≠0）相交于D，E两点，连接CE，交x轴于点F． （1）求k的值及直线DE的解析式；（2）求△DEC的面积． 18．（2021•市中区校级一模）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当x＞0时，kx+b的解集． 19．（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积． 20．如图，正比例函数y1＝2x与反比例函数y2的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）写出不等式2x的解集． 21．（2022•邓州市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），D（0，2），反比例函数y的图象经过了矩形的顶点B，且tan∠ABD． （1）求反比例函数表达式； （2）动手画直线OB，记为y＝mx，结合图象直接写出关于x的不等式mx0的解集． 22．（2020秋•平山区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx和y＝2x的图象相交于点A，反比例函数y的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）设一次函数yx的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B，求△AOB的面积． 知识点七 反比例函数的应用 23．某地去年电价为每度0.8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y（亿度）与x﹣0.4（元）成反比例，且当x＝0.65元时，y＝0.8亿度． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至0.6元时，今年电力部门的收益将比去年多多少万元？（收益＝用电量×实际电价﹣用电量×成本价） 知识点八 反比例函数综合题 24．（2021•宁波自主招生）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y（k＞0）的图象交于C、D两点（点C在点D的左边）．若OB＝OC，OD平分∠COA，则的值为（　　） A． B． C． D． 25．（2024•南阳一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）请用无刻度的直尺和圆规过点B作BD∥x轴，交OA于点D，（提示：即作一个角∠ABD等于已知角∠ACO，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出梯形OCBD的面积． 26．（2020秋•泰山区期中）如图，正比例函数的图象y＝kx（k≠0）与反比例函数y的图象交于点A（n，2）和点B． （1）求n、k的值；（2）点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，求点C的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.5 反比例函数章末按知识点分类基础达标篇培优卷（解析版） 知识点一 反比例函数的图象 1．（2023•罗湖区二模）函数y（a≠0）与y＝ax2﹣1（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先根据抛物线顶点排除B、C，然后根据函数y（a≠0）图象得到a的正负，再与二次函数y＝ax2﹣1（a≠0）的图象相比较看是否一致． 【解答】解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线的顶点为（0，﹣1），故B、C错误； A、由抛物线可知，a＜0，由双曲线可知，a＞0，故A错误； D、由抛物线可知，a＜0，由双曲线可知，a＜0，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数图象，反比例函数的图象，熟记反比例函数与二次函数的有关性质是解题的关键． 2．（2022秋•南开区期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y（k＞0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+k＝k（x+1）， ∴直线经过点（﹣1，0），A、B、D错误； C、由一次函数的图象经过第一、二、三象限可知k＞0，反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值． 3．（北京中考）如图，A、B两点在函数y（x＞0）的图象上． （1）求m的值及直线AB的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数． 【分析】（1）将A点或B点的坐标代入y求出m，再将这两点的坐标代入y＝kx+b求出k、b的值即可得到这个函数的解析式； （2）画出网格图帮助解答． 【解答】解：（1）由图象可知，函数（x＞0）的图象经过点A（1，6）， 可得m＝6． 设直线AB的解析式为y＝kx+b． ∵A（1，6），B（6，1）两点在函数y＝kx+b的图象上， ∴， 解得． ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7； （2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共3个． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的图象性质，综合性较强，体现了数形结合的思想． 知识点二 反比例函数的性质 4．（2022秋•任泽区校级月考）已知反比例函数，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是，则当x≥8时，y有（　　） A．最大值，且最大值为 B．最大值，且最大值为 C．最小值，且最小值为 D．最小值，且最小值为 【分析】根据反比例函数的性质可知当x＝﹣3时，y取得最大值，求出m的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可． 【解答】解：∵反比例函数，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是， ∴m＞0， ∴在每一个象限内，y随着x增大而减小， 当x＝﹣3时，y取得最大值， 此时， ∴当x＝8时，， ∴当x≥8时，， ∴y有最大值． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 5．（2021秋•南岗区校级月考）反比例函数y，在x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k＞﹣2 C．k＜﹣2 D．k＞2 【分析】直接利用反比例函数的性质得出2+k的符号，进而得出答案． 【解答】解：∵反比例函数y，在x＞0时，y随x的增大而减小， ∴2+k＞0， 解得：k＞﹣2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出系数的取值范围是解题关键． 6．（2022•海珠区校级自主招生）已知反比例函数y（x＞0），且y随x的增大而减小，则一次函数y＝（k﹣1）x+k的大概图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据反比例函数的增减性，得到1﹣2k＞0，得到，进而得到，再根据一次函数的性质，进行判断即可． 【解答】解：∵反比例函数，且y随x的增大而减小， ∴1﹣2k＞0， ∴， ∴， ∴的图象过二，三，四象限， 故只有选项D满足题意； 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的综合判断．解题的关键是掌握相关函数的性质，求出k的取值范围． 知识点三 反比例函数系数k的几何意义 7．（2023秋•秀英区校级期中）如图，点A是反比例图数图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y图象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为6，则m+n＝（　　） A．﹣8 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣24 【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC|m|m，S△BOC|n|n，利用AB＝2BC得到S△ABO＝2S△OBC＝6，所以﹣n＝3，解得n＝﹣6，再利用m＝6+3，得m＝﹣18，然后计算m+n的值． 【解答】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝（x＜0）图象交于点B， 而m＜0，n＜0， ∴S△AOC|m|m，S△BOC|n|n， ∵AB＝2BC，△OAB的面积为6， ∴S△OAB＝2S△OBC＝6， 即n＝3， 解得n＝﹣6 ∵m＝6+3，解得m＝﹣18， ∴m+n＝﹣18﹣6＝﹣24． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 8．（2022•市南区校级三模）如图，点A，B是反比例函数图象上任意两点，过点A，B分别作x轴、y轴的垂线，S阴影＝2，S1+S2＝　4　． 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得S1+S阴影＝S2+S阴影＝4，进而便可求得结果． 【解答】解：∵点A，B是反比例函数图象上任意两点，过点A，B分别作x轴、y轴的垂线， ∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝4， ∵S阴影＝2， ∴S1＝S2＝2， ∴S1+S2＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了反比例函数y中k的几何意义，即图象上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积S＝|k|． 9．（2023秋•雁塔区校级期中）如图，A、B是反比例函数y的图象上两点，过点A作AC⊥x轴于点C（2，0），点B的横坐标是4，则△ABO的面积是　3　． 【分析】利用反比例函数k的几何意义，求得A的横坐标进而根据图象上点的坐标特征求得点B的坐标，然后根据即S△ABO＝S△AOC+S梯形ABDC﹣S△BOD＝S梯形ABDC可得出结论． 【解答】解：作BD⊥x轴于D， ∵S△AOC4＝2， ∴OC•AC＝2， ∵OC＝2， ∴AC＝2， ∵点B的横坐标是4， ∴代入解析式得：y1 ∴点B（4，1）， ∴S△ABO＝S△AOC+S梯形ABDC﹣S△BOD＝S梯形ABDC（2+1）（4﹣2）＝3 故答案为：3． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求得交点坐标，利用S△ABO＝S△AOC+S梯形ABDC﹣S△BOD＝S梯形ABDC解答． 10．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，过点A1，A2，A3，…，An分别作x轴的垂线与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点P1，P2，P3，…，Pn，得△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，…，△An﹣1PnAn，其面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为 　　． 【分析】连接OP1、OP2、OP3……OPn，根据反比例函数k值的几何意义可得出Sn的值． 【解答】解：如图，连接OP1、OP2、OP3……OPn，根据反比例函数k值的几何意义， S△OA1P1＝S△OA2P2＝S△OA3P3＝……＝S△OAnPn＝1， ∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An， ∴An﹣1AnOAn， ∴S＝S△An﹣1AnPnS△OAnPn． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数的k值就是图象上点的纵横坐标之积． 知识点四 反比例函数图象上点的坐标特征 11．（2022•美兰区校级二模）已知函数y的图象过点（2，﹣3），则该函数的图象必在（　　） A．第二、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【分析】先求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可判断． 【解答】解：∵函数y的图象过点（2，﹣3）， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6＜0， ∴函数的图象在二、四象限， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 12．（2023春•常州期末）已知点A（a，m）、B（b，n）在反比例函数的图象上，且a＜b，mn＜0，则m 　＜　n（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据反比例函数图象的和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可． 【解答】解：∵点A（a，m）、B（b，n）反比例函数的图象上， ∴am＝bn＝1， ∵mn＜0，即m、n异号， ∴a、b异号， ∵a＜b， ∴a＜0，b＞0， ∴点A（a，m）在反比例函数第三象限的图象上，而B（b，n）在反比例函数第一象限的图象上， ∴m＜0＜n， 故答案为：＜． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提． 13．（2020•九龙坡区校级模拟）大家都知道我们初中学过一次函数、反比例函数、二次函数这三种函数，现在我们把这三种函数组合成分段函数y，y与x的部分对应关系如下表； x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y 1 2 3 2 1 0 2 n 0 （1）解析式中的m＝　﹣6　，表格中的n＝　　； （2）在如图所示的平面直角坐标系中描出上表中各点，并画出函数图象，根据函数图象，写出函数的一条性质：　函数有最大值　． （3）若直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点，则k的取值范围：　﹣1＜k≤0　． 【分析】（1）把点（﹣4，2）代入y即可求得m的值，把点（3，n）代入y即可求得n的值； （2）根据表格数据描点、连线画出函数图象即可，根据图象得出函数有最大值； （3）观察图象，当1≤﹣k+1＜2时，直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点，进而求得k的取值范围． 【解答】解：（1）把点（﹣4，2）代入y得，2，解得m＝﹣6， 把x＝3代入y得，y2×3， ∴n， 故答案为﹣6，； （2）画出函数图象如图： 由图象可知，函数有最大值， 故答案为函数有最大值； （3）观察图象，当1≤﹣k+1＜2时，直线y＝﹣k+1与该函数图象有四个交点，则k的取值范围﹣1＜k≤0， 故答案为﹣1＜k≤0． 【点评】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 知识点五 待定系数法求反比例函数解析式 14．（2020•雁塔区校级模拟）若一个反比例函数的图象经过点A（a，a）和B（3a，﹣2），则这个反比例函数的表达式为　y　． 【分析】设反比例函数的表达式为y，依据反比例函数的图象经过点A（a，a）和B（3a，﹣2），即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式． 【解答】解：设反比例函数的表达式为y， ∵反比例函数的图象经过点A（a，a）和B（3a，﹣2）， ∴k＝a2＝﹣6a， 解得a1＝﹣6，a2＝0（舍去）， ∴k＝36， ∴反比例函数的表达式为y． 故答案为：y． 【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 15．如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y（x＞0）的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE＝CE，CD＝2BD，S△ABC＝6，求该反比例函数的表达式． 【分析】作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N，设C（m，），则OM＝m，CM，根据平行线分线段成比例求出DN，BN，OA，MN，再根据面积公式即可求出k的值． 【解答】解：如图，作CM⊥AB于点M，DN⊥AB于点N， 设C（m，）， 则OM＝m，CM， ∵OE∥CM，AE＝CE， ∴， ∴AO＝m， ∵DN∥CM，CD＝2BD， ∴， ∴DN， ∴D的纵坐标为， ∴， ∴x＝3m， 即ON＝3m， ∴MN＝2m， ∴BN＝m， ∴AB＝5m， ∵S△ABC＝6， ∴5m••6， ∴k． 故该反比例函数的表达式为y． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 知识点六 反比例函数与一次函数的交点问题 16．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，一次函数y＝kx+3分别与x，y轴交于点N，M，与反比例函数（x＞0）的图象交于点A，若AM：MN＝2：3，则k＝　2　． 【分析】过点A作AB⊥x轴于点B，通过AB∥MO找出△NMO∽△NAB，根据相似三角形的性质找出，再根据AM：MN＝2：3以及OM＝3可求出AB的长度，由此即可得出点A的坐标，结合点A的坐标利用待定系数法即可求出k值． 【解答】解：过点A作AB⊥x轴于点B，如图所示． ∵AB⊥x轴，MO⊥x轴， ∴AB∥MO， ∴△NMO∽△NAB， ∴． ∵AM：MN＝2：3， ∴MN：AN＝3：（2+3）＝3：5． 令一次函数y＝kx+3中x＝0，则y＝3， ∴MO＝3． ∵， ∴AB＝5， 令反比例函数y中y＝5，则5， 解得：x＝1． ∴点A的坐标为（1，5）． 将点A（1，5）代入一次函数y＝kx+3中， 得：5＝k+3，解得：k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的判定及性质以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点A的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键． 17．（2023•宜春模拟）如图，已知A（0，2），B（1，0），连接AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD与反比例函数y（k≠0）相交于D，E两点，连接CE，交x轴于点F． （1）求k的值及直线DE的解析式； （2）求△DEC的面积． 【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y（k≠0）和直线DE的解析式． （2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）， ∴OA＝2，OB＝1， 作DM⊥y轴于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠OAB+∠DAM＝90°， ∵∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠DAM＝∠ABO， 在△AOB和△DMA中， ， ∴△AOB≌△DMA（AAS）， ∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2， ∴D（2，3）， ∵双曲线y（k≠0）经过D点， ∴k＝2×3＝6， ∴双曲线为y， 设直线DE的解析式为y＝mx+n， 把B（1，0），D（2，3）代入得， 解得， ∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3； （2）连接AC，交BD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD垂直平分AC，AC＝BD， 解， 得或， ∴E（﹣1，﹣6）， ∵B（1，0），D（2，3）， ∴DE3，DB， ∴CNBD， ∴S△DECDE•CN． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了正方形的性质、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理的应用，求得D、E的坐标是解题的关键． 18．（2021•市中区校级一模）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）直接写出当x＞0时，kx+b的解集． 【分析】（1）过点A作AD⊥x轴于D，求出OB＝5＝AB，根据△OAB的面积求出AD，根据勾股定理求出BD，求出OD，再求出函数解析式即可； （2）求出两函数解析式组成的方程组的解，再得出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于D， ∵B（5，0）， ∴OB＝5， ∵S△OAB， ∴5×AD， ∴AD＝3， ∵OB＝AB， ∴AB＝5， 在Rt△ADB中，BD4， ∴OD＝OB+BD＝9， ∴A（9，3）， 将点A坐标代入反比例函数y中得，m＝9×3＝27， ∴反比例函数的解析式为y， 将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b得：， 解得：k，b， ∴直线AB的解析式为yx； （2）由得：或， ∴两个函数的交点分别为（9，3）或（﹣4，）， 结合图象可知：当x＞0时，不等式kx+b的解集为0＜x＜9． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解不等式，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，勾股定理等知识点，能求出A点的坐标是解此题的关键． 19．（2022•菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y的图象都经过A（2，﹣4）、B（﹣4，m）两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积． 【分析】（1）把A，B两点的坐标代入y中可计算k和m的值，确定点B的坐标，根据待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式； （2）如图，设AB与x轴交于点D，证明CD⊥x轴于D，根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求得． 【解答】解：（1）将A（2，﹣4），B（﹣4，m）两点代入y中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m， 解得，k＝﹣8，m＝2， ∴反比例函数的表达式为y； 将A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得， 解得， ∴一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2； （2）如图，设AB与x轴交于点D，连接CD， 由题意可知，点A与点C关于原点对称， ∴C（﹣2，4）． 在y＝﹣x﹣2中，当x＝﹣2时，y＝0， ∴D（﹣2，0）， ∴CD垂直x轴于点D， ∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD4×（2+2）4×（4﹣2）＝8+4＝12． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积等，数形结合是解题的关键． 20．如图，正比例函数y1＝2x与反比例函数y2的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数的解析式及点B的坐标； （2）写出不等式2x的解集． 【分析】（1）将点A的横坐标为2．代入正比例函数y1＝2x，可确定点A的坐标，代入反比例函数关系式可确定k的值，进而得出反比例函数的关系式，由对称性可得点B的坐标； （2）由两个函数的图象以及交点坐标，直接得出答案． 【解答】解：（1）∵点A的横坐标为2．点A在正比例函数y1＝2x的图象上， ∴y＝2×2＝4， ∴点A（2，4）， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴k＝2×4＝8， ∴反比例函数的关系式为y， 由对称性可知，点B（﹣2，﹣4）， 答：反比例函数的关系式为y，点B（﹣2，﹣4）； （2）由两个函数的图象以及交点坐标可知， 不等式2x的解集为﹣2＜x＜0或x＞2． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，求出函数关系式以及交点坐标是正确解答的前提． 21．（2022•邓州市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），D（0，2），反比例函数y的图象经过了矩形的顶点B，且tan∠ABD． （1）求反比例函数表达式； （2）动手画直线OB，记为y＝mx，结合图象直接写出关于x的不等式mx0的解集． 【分析】（1）根据直角三角形的勾股定理和矩形的性质求出点B的坐标，进而求出反比例函数的关系式； （2）根据对称性求出直线y＝mx与双曲线y的交点坐标，根据图象可直接得出关于x的不等式mx0的解集． 【解答】解：点A（1，0），D（0，2），即OA＝1，OD＝2， ∴AD， 在Rt△ABD中， ∵tan∠ABD， ∴AB＝2， ∴BD5， ∵tan∠ODAtan∠ABD， ∴∠ODA＝∠ABD， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°， ∴∠ADB+∠ABD＝90°， ∵∠OAD+∠ODA＝90°， ∴∠OAD＝∠ADB， ∴BD∥OA， ∴点B的坐标为（5，2）， ∵点B在反比例函数y的图象上， ∴k＝10， ∴反比例函数的关系式为y； （2）如图，直线OB与反比例函数图象的另一个交点为E，由对称性可得点E的坐标为（﹣5，﹣2）， 由图象可知，关于x的不等式mx0的解集为﹣5＜x＜0或x＞5． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例函数图象的交点坐标，求出点B的坐标是解决问题的关键． 22．（2020秋•平山区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx和y＝2x的图象相交于点A，反比例函数y的图象经过点A． （1）求反比例函数的解析式； （2）设一次函数yx的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B，求△AOB的面积． 【分析】（1）联立方程求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得； （2）联立方程求得交点B的坐标，进而求得直线与x轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可． 【解答】解：（1）由得， ∴A（1，2）， ∵反比例函数y的图象经过点A， ∴k＝1×2＝2， ∴反比例函数的表达式是y； （2）解得或， ∴B（4，）， 由直线AB的解析式为yx得到直线与x轴的交点为（5，0）， ∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC5×25． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键． 知识点七 反比例函数的应用 23．某地去年电价为每度0.8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y（亿度）与x﹣0.4（元）成反比例，且当x＝0.65元时，y＝0.8亿度． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至0.6元时，今年电力部门的收益将比去年多多少万元？（收益＝用电量×实际电价﹣用电量×成本价） 【分析】（1）因为本年度新增用电是y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例关系，所以y，根据当每度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度可确定k的值； （2）根据增加的收入＝新增加的电度×（0.6﹣0.3）计算即可． 【解答】解：（1）∵本年度新增用电是y（亿度）与（x﹣0.4）成反比例关系， ∴y， ∵当每度电价为0.65元时，新增用电是0.8亿度， ∴0.8， 解得k＝0.2． ∴y； （2）（0.6﹣0.3）＝0.3（亿元）＝3（万元）． 答：今年电力部门的收益将比去年多3万元． 【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是设出函数解析式，代入自变量确定的函数值，确定函数式．第二问根据本年度电力部门的收益将比上年度增加20%列方程求解． 知识点八 反比例函数综合题 24．（2021•宁波自主招生）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y（k＞0）的图象交于C、D两点（点C在点D的左边）．若OB＝OC，OD平分∠COA，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，作DG⊥OB于G，作DH⊥AO于H，先证明BC＝AD，根据面积法或相似三角形或三角函数求得BM，OM，表示出CD，进而根据OM＝DM列出方程，从而解得结果． 【解答】解：如图， 作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，作DG⊥OB于G，作DH⊥AO于H， 设C（m，），D （n，）， ∴GI＝OE＝m，DG＝OH＝n，IE＝OG，CE＝OF， ∴， ∴GE∥CD， ∵DG∥OA， ∴四边形GEAD是平行四边形， ∴AD＝GE， 同理可得，BC＝GE， ∴BC＝AD， 如图2， 作OM⊥AB于M， ∵OB＝OC， ∴BM＝CMBC，∠COM， ∵∠COD， ∴∠DOM＝∠COM+∠COD45°， 设OB＝a，OA＝b， ∴AB， ∵cos∠ABO， ∴BM， ∴AD＝BC＝2•， ∴CD＝AB﹣2AD4， ∴DM＝CM+CD3， ∵S△AOB， ∴OM， ∵△DOM是等腰直角三角形， ∴OM＝DM， ∴3， ∴2a2+ab﹣b2＝0， ∴2．（）21＝0， ∴（1）1）＝0， ∴或1（舍去）， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数及其图象性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是一次函数和反比例函数交点与坐标轴截得的线段相等（图中的BC＝AD）． 25．（2024•南阳一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与反比例函数的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，2）两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当x＞0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）请用无刻度的直尺和圆规过点B作BD∥x轴，交OA于点D，（提示：即作一个角∠ABD等于已知角∠ACO，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出梯形OCBD的面积． 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式； （2）利用数形结合思想可求解； （3）用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，由梯形OCBD的面积（BD+OC）×yB（3+6）×2＝9，即可求解． 【解答】解：（1）∵反比例函数图象点B（4，2）， ∴k＝4×2＝8， ∴反比例函数的表达式为：y， 把A（a，4）代入 y得：a＝2， ∴A（2，4）， ∵一次函数y＝mx+n的图象过点A，点B， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+6； （2）观察函数图象可得，﹣x+6≥的解集为：2≤x≤4； （3）用作一个角∠ABD等于已知角∠ACO的方法作出BD，如图： 由一次函数的表达式知，点C（6，0）， 由点A的坐标得，直线OA的表达式为：y＝2x， 当y＝2时，2y＝2x， 则x＝1， 即点D（1，2），则BD＝4﹣1＝3， 则梯形OCBD的面积（BD+OC）×yB（3+6）×2＝9． 【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到面积的计算、函数作图、解不等式等，有一定的综合性，难度适中． 26．（2020秋•泰山区期中）如图，正比例函数的图象y＝kx（k≠0）与反比例函数y的图象交于点A（n，2）和点B． （1）求n、k的值； （2）点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，求点C的坐标． 【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k； （2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可． 【解答】解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y中，得n＝﹣4， ∴A（﹣4，2）， 把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k， （2）过A作AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥y轴于点E，如图， ∵A（﹣4，2）， ∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2）， 设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2， ∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°， ∴∠ACO＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴△ACD∽△CBE， ∴，即， 解得，b＝2，或b＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴C（0，2）； 另一解法：∵A（﹣4，2）， ∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2）， ∴， ∵∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴， ∴）． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象与性质，正比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，矩形的判定，待定系数法，第（2）小题关键是证明相似三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$