18 ”圆锥曲线“跟踪训练-《中学生数理化》高考数学2024年12月刊

■陕西省礼泉县教育局教研室 陈银会 一、单选题 1.过抛物线y2=4x 的焦点作直线l,交 抛物线于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐 标为3,则 |AB|=( )。 A.10 B.8 C.6 D.4 2.已知双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0) 的一条渐近线的斜率为 3,一个焦点在抛物 线y2=24x 的准线上,则双曲线的顶点到渐 近线的距离为( )。 A.33 B.3 C. 33 2 D.6 3.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP',P'为垂 足,则 线 段 PP'的 中 点 M 的 轨 迹 方 程 为 ( )。 A. x2 16+ y2 4=1 (y>0) B. x2 16+ y2 8=1 (y>0) C.y 2 16+ x2 4=1 (y>0) D.y 2 16+ x2 8=1 (y>0) 4.过点 M(-2,0)的直线与椭圆x2+ 2y2=2相交于P1,P2 两点,设线段P1P2 的 中点为 P,若直线 P1P2 的斜率为k1(k1≠ 0),直线OP(O 为原点)的斜率为k2,则k1k2 =( )。 A.—2 B.2 C. 1 2 D.- 1 2 5.已知椭圆C: x2 3+y 2=1的左、右焦点 分别为F1、F2,直线y=x+m 与C 交于A, B 两点,若△F1AB 的面积是△F2AB 的面 积的2倍,则m=( )。 A. 2 3 B. 2 3 C.- 2 3 D.- 2 3 6.已知双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b> 0)的离心率为 5,C 的一条渐近线与圆(x- 2)2+(y-3)2=1交于A,B 两点,则|AB| =( )。 A. 5 5 B. 25 5 C. 35 5 D. 45 5 7.已知椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)的 左顶点为A,点P、Q 均在C 上,且关于y 轴 对称。若直线AP,AQ 的斜率之积为 1 4 ,则 C 的离心率为( )。 A. 3 2 B. 2 2 C. 1 2 D. 1 3 8.已知抛物线C:y2=45x,F1、F2 分 别是双曲线G: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的 左、右焦点,抛物线的准线过双曲线的左焦点 F1,准线与渐近线交于点 A,若∠F1F2A= π 4 ,则双曲线的标准方程为( )。 A. x2 10-y 2=1 B.x2-y 2 16=1 C.x2-y 2 4=1 D. x2 4-y 2=1 9.设O 为坐标原点,F1,F2 为椭圆C: x2 9+ y2 6=1 的两个焦点,点 P 在椭圆C 上, 且cos∠F1PF2= 3 5 ,则|OP|=( )。 A. 13 5 B. 30 2 C. 14 5 D. 35 2 二、多选题 10.下列结论正确的有( )。 A.平面内与两个定点F1,F2 的距离之 和等于常数的点的轨迹是椭圆 B.椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆 C.方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠ n)表示的曲线是椭圆 D. x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)与y 2 a2 + x2 b2 =1 44 演练篇 核心考点AB券 高考数学 2024年12月 (a>b>0)的焦距相同 11.设A,B 为双曲线x2-y 2 9=1 上两 点,则下列四个点中,可为线段AB 中点的是 ( )。 A.(1,-5) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) 三、填空题 12.若双曲线y2- x2 m2 =1(m>0)的渐近 线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则 m= 。 13.已知圆(x-1)2+y2=25的圆心与 抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 重合,两曲 线在第一象限交于点 P,则原点到直线 PF 的距离为 。 14.设双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F2 作平行 于y 轴的直线交C 于A,B 两点,若|F1A|= 13,|AB|=10,则C 的离心率为 。 15.已知一个离心率为 1 2 ,长轴长为4的 椭圆,其两个焦点分别为F1,F2,在椭圆上存 在一点 P,使得∠F1PF2=60°,设△PF1F2 的内切圆的半径为r,则r= 。 四、解答题 16.已知双曲线C 的中心为坐标原点, 左焦点为(-25,0),离心率为 5。 (1)求C 的方程; (2)记C 的左、右顶点分别为A1、A2,过 点(-4,0)的直线与C 的左支交于M、N 两 点,M 在第二象限,直线 MA1 与 NA2 交于 点P。证明:点P 在定直线上。 17.在平面直角坐标系xOy 中,已知点 F1(- 17,0),F2( 17,0),且|MF1|- |MF2|=2,记点 M 的轨迹为C。 (1)求C 的方程; (2)设点T 在直线x= 1 2 上,过T 的两 条直线分别交C 于A、B 两点和P、Q 两点, 且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线 AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和。 18.已知 O 为坐标原点,F 为椭圆C: x2+y 2 2=1 在y 轴正半轴上的焦点,过F 且 斜率为- 2的直线l与椭圆C 交于A、B 两 点,点P 满足OA→+OB→+OP→=0。 (1)证明:点P 在椭圆C 上; (2)设P 关于点O 的对称点为Q,证明: A,P,B,Q 四点在同一圆上。 19.已知直线x-2y+1=0与抛物线 C:y2=2px(p>0)交于A,B 两点,且|AB| =4 15。 (1)求p; (2)设F 为抛物线C 的焦点,M,N 为抛 物线C 上两点,且FM→·FN→=0,求△MFN 面积的最小值。 参考答案及提示: 一、单选题 1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6.D 7.A 提示:已知A(-a,0),设P(x0, y0),则 Q(-x0,y0),kAP = y0 x0+a ,kAQ = y0 a-x0 ,故 kAP ·kAQ = y0 x0+a · y0 a-x0 = y20 a2-x20 = 1 4 ① 。因为x 2 0 a2 + y20 b2 =1,即y20= b2(a2-x20) a2 ②,将②代入①整理得 b2 a2 = 1 4 , 所以e= c a= 1- b2 a2 = 3 2 。 8.C 提示:由题意知,抛物线的准线为 x=- 5,所以c= 5。因为双曲线的渐近线 为y=± b ax ,不妨令 A 在x 轴 上 方,则 A -c, bc a ,由于∠F1F2A=π4,故bca=2c, 可得a=1,b=2。 9.B 提示:设∠F1PF2=2θ,0<θ< π 2 , 所以S△PF1F2=b2tan ∠F1PF2 2 =b 2tan θ。由 cos 2θ= cos2θ-sin2θ cos2θ+sin2θ = 1-tan2θ 1+tan2θ = 3 5 ,解得 tan θ= 1 2 。由椭圆方程知,a2=9,b2=6,c2 54 演练篇 核心考点AB券 高考数学 2024年12月 =a2-b2=3,所以S△PF1F2= 1 2×|F1F2|× |yP|= 1 2×23×|yP|=6× 1 2 ,解得y2P= 3,所以x2P=9× 1- 3 6 =92,因此|OP|= x2P+y2P = 3+ 9 2= 30 2 。 二、多选题 10.CD 提示:对于 A,由椭圆的定义 知,当常数大于|F1F2|时,其轨迹是椭圆,当 常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,当 常数小于|F1F2|时,不存在这样的图形,故 A错误;对于B,因为e= c a= a2-b2 a ,所以 e越大, b a 越小,椭圆就越扁,故B错误;CD 正确。 11.AD 提示:由x2-y 2 9=1 ,知a=1, b=3,则渐近线方程为y=±3x。观察选项 知,四个点均在双曲线外,所以点A,B 分别 在双曲线的两支上,所以-3<kAB<3。设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x21- y21 9=1 , x22- y22 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 作差 得(x21-x22)- y21-y22 9 =0 ,则kAB= y1-y2 x1-x2 = 9(x1+x2) y1+y2 。对于 A, x1+x2=2, y1+y2=-10, 则kAB =- 9 5 ,直线AB 的方程为y+5=- 9 5 (x- 1),即y=- 9 5x- 16 5 ,由 y=- 9 5x- 16 5 , x2-y 2 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消 去y 整理得134x2-288x-481=0,因为 Δ=2882-4×134×(-481)>0,且x1x2< 0,所以直线AB 与双曲线的两支分别相交, 故A正确。对于B,可得kAB=- 9 2<-3 ,所 以B不满足题意,故B错误。对于C,可得 kAB=3,所以C不满足题意,故C错误。对于 D,可得kAB= 9 4 ,则AB:y= 9 4x- 7 4 ,联立 y= 9 4x- 7 4 , x2-y 2 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去y 整理得63x 2+126x- 193=0,Δ=1262-4×63×(-193)>0,且 x1x2<0,所以直线AB 与双曲线的左右两支 分别相交,故D正确。 三、填空题 12. 3 3 提示:双曲线y2- x2 m2 =1(m> 0)的渐近线方程为x=±my,圆x2+y2-4y +3=0的圆心为(0,2),半径为1,双曲线y2 - x2 m2 =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y +3=0相切,则 2m 1+m2 =1,解得 m= 3 3 , 或m=- 3 3 (舍去)。 13. 4 5 提示:因为(x-1)2+y2=25的 圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 重 合,所以F(1,0),所以p=2,所以y2=4x。 联 立 (x-1)2+y2=25, y2=4x, 解 得 x=4 , y=4 或 x=4, y=-4。 因为两曲线在第一象限交于点P, 所以P(4,4),所以直线 PF 的方程为y -4 x-4 = 0-4 1-4= 4 3 ,即4x-3y-4=0,所以原点到 直线PF 的距离为d= |-4| 42+(-3)2 = 4 5 。 14. 3 2 提示:由题意知,|F1A|=13, |F2A|= 1 2|AB|=5 ,所以|F1A|-|F2A| =2a=8,解得a=4。又当x=c时,y= b2 a , 即|F2A|= b2 a=5 ,所以b2=5a=20,所以 c2=a2+b2=16+20=36,所以c=6,所以双 曲线C 的离心率e= c a= 3 2 。 64 演练篇 核心考点AB券 高考数学 2024年12月 15. 3 3 提示:因为椭圆的离心率为1 2 , 长轴长为4,所以a=2,c=1。在△PF1F2 中,由 余 弦 定 理 得|F1F2|2=|PF1|2+ |PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°=(|PF1|+ |PF2|)2-3|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2| =4,所以S△PF1F2= 1 2|PF1||PF2|sin 60°= 1 2r (|PF1|+|PF2|+|F1F2|),即 1 2×4× 3 2= 1 2r× (4+2),解得r= 3 3 。 四、解答题 16.(1)设双曲线方程为 x2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0),由焦点坐标可知c=25。 由e= c a = 5 ,得 a=2,所 以 b= c2-a2=4,所以双曲线方程为 x2 4- y2 16=1 。 (2)由(1)可得A1(-2,0),A2(2,0),设 M(x1,y1),N(x2,y2),显然直线 MN 的斜 率不为0,所以可设直线 MN 的方程为x= my-4,且- 1 2<m< 1 2 。 联立 x=my-4, x2 4- y2 16=1 , 消去y 整理得(4m2- 1)y2-32my+48=0,且Δ=64(4m2+3)> 0,y1+y2= 32m 4m2-1 ,y1y2= 48 4m2-1 。 直线 MA1 的方程为y= y1 x1+2 (x+2), 直线NA2 的方程为y= y2 x2-2 (x-2),联立 直线 MA1 与直线 NA2 的方程可得 x+2 x-2= y2(x1+2) y1(x2-2) = y2(my1-2) y1(my2-6) = my1y2-2(y1+y2)+2y1 my1y2-6y1 = m· 48 4m2-1 -2· 32m 4m2-1 +2y1 m× 48 4m2-1 -6y1 = -16m 4m2-1 +2y1 48m 4m2-1 -6y1 =- 1 3 ,由x+2 x-2=- 1 3 得x= -1,即xP=-1。 所以点P 在定直线x=-1上运动。 17.(1)由双曲线的定义可知,M 的轨迹 C 是双曲线的右支,设C 的方程为 x2 a2 -y 2 b2 = 1(a>0,b>0),x≥1。 由题意得 c= 17, 2a=2, c2=a2+b2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=1, b=4, c= 17, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所 以C的方程为x2-y 2 16=1 (x≥1)。 (2)设T 12 ,t ,直线AB 的方程为y= k1 x- 1 2 +t,A(x1,y1),B(x2,y2),设 1 2<x1<x2 。 联立 y=k1 x- 1 2 , x2-y 2 16=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去y 整理得(16 -k21)x2+(k21-2tk1)x- 1 4k 2 1+k1t-t2-16 =0,由韦达定理得x1 + x2= k21-2k1t k21-16 ,x1x2 = - 1 4k 2 1 +k1t-t2-16 16-k21 。 由A x1,k1x1- 1 2k1+t ,T 12,t ,得 |TA| = 1+k21 x1- 1 2 。 同理可得|TB| = 1+k21 x2 - 1 2 。 所以|TA|·|TB| = (1+k21)· x1 - 1 2 x2 -12 = (1+k21)(t2+12) k21-16 。 设直线PQ 的方程为y=k2 x- 1 2 + t,P(x3,y3),Q(x4,y4),设 1 2<x3<x4 ,同理 可得,|TP|·|TQ| = (1+k22)(t2+12) k22-16 。 74 演练篇 核心考点AB券 高考数学 2024年12月 因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,所 以 1+k21 k21-16 = 1+k22 k22-16 ,化简得k21= k22。又k1≠ k2,则k1=-k2,即k1+k2=0,所以直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0。 18.(1)由题意知,F(0,1),直线l的方程 为y=- 2x+1,代入x2+ y2 2=1 并化简得 4x2-22x-1=0。 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),则 x1+x2= 2 2 ,所以y1+y2=- 2(x1+x2) +2=1。 由题意得x3=-(x1+x2)=- 2 2 ,y3= -(y1+y2)= -1,所 以 点 P 的 坐 标 为 - 2 2 ,-1 。 经验证,点P 的坐标 - 2 2 ,-1 满足方 程x2+y 2 2=1 ,故点P 在椭圆C 上 。 (2)由(1)和题设知,Q 2 2 ,1 ,PQ 的垂 直平分线l1 的方程为y=- 2 2x 。 设AB 的中点为 M,则 M 2 4 ,1 2 ,AB 的垂直平分线l2 的方程为y= 2 2x+ 1 4 。 联立l1,l2 的方程,可得N - 2 8 ,1 8 。 |NP|= - 2 2+ 2 8 2 + -1- 1 8 2 = 3 11 8 ,|AB|= 1+(- 2)2·|x2-x1| = 32 2 ,|MN|= 2 4+ 2 8 2 + 12- 1 8 2 = 33 8 ,|AM | = 32 4 ,| NA | = |AM|2+|MN|2= 3 11 8 ,所以|NP|= |NA|。 因为|NP|=|NQ|, |NA|=|NB|,所 以|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|,所以A, P,B,Q 四点在以N 为圆心,NA 为半径的 圆上。 19.(1)设A(xA,yA),B(xB,yB)。 由 x-2y+1=0, y2=2px, 消去 x 整理得y2- 4py+2p=0,所以yA+yB=4p,yAyB=2p。 所以|AB|= (xA-xB)2+(yA-yB)2 = 5|yA-yB|= 5× (yA+yB)2-4yAyB =4 15,化简得2p2-p-6=0,又p>0,解 得p=2。 (2)因为F(1,0),显然直线 MN 的斜率 不可能为零,所以可设直线 MN:x=my+ n,M(x1,y1),N(x2,y2)。 由 y2=4x, x=my+n, 消去x 整理得y2-4my -4n=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4n。 由Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0。 因为FM→·FN→=0,所以(x1-1)(x2- 1)+y1y2=0,即(my1+n-1)(my2+n-1) +y1y2=0,即(m2+1)y1y2+m(n-1)· (y1+y2)+(n-1)2=0,将y1+y2=4m, y1y2=-4n 代入,得4m2=n2-6n+1,即 4(m2+n)=(n-1)2>0,所以n≠1,且n2- 6n+1≥0,解得n≥3+22或n≤3-22。 设点F 到直线MN 的距离为d,则d= |n-1| 1+m2 。 又|MN|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = 1+m2 |y1 - y2 | = 1+m2 × 16m2+16n = 1+m2 × 4(n2-6n+1)+16n=2 1+m2|n-1|, 所以S△MFN= 1 2×|MN|×d= 1 2× |n-1| 1+m2 ×2 1+m2|n-1|=(n-1)2。 因为n≥3+22或n≤3-22,所以当 n=3-2 2时,(S△MFN)min=(2-2 2)2= 12-82。 (责任编辑 王福华) 84 演练篇 核心考点AB券 高考数学 2024年12月