精品解析：江苏省苏州市立达中学校2024-2025学年上学期八年级数学12月月考试题

12月初二数学随堂练习 一、选择题（共9小题，每题2分） 1. 下列图象中，表示y是x的函数的有（ ） A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③ 2. 下列数2.134，0，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若点在y轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 手机通用信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数和（a，b为常数且）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（ ）米． A B. 20 C. 15 D. 9. 公路旁依次有，，三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，，分别表示小明和小红与村距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论： ①A，两村相距； ②小明每小时比小红多骑行； ③出发后两人相遇； ④图中． 其中正确的是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（共10小题，每题2分） 10. 16的平方根是__________． 11. 使有意义的x的取值范围是________． 12. 如果是关于x的正比例函数，则k的值为________． 13. 如图，在中，，于D，且，，则长为________． 14. 已知实数x，y满足，则________． 15. 一次函数与坐标轴围成的三角形面积是________． 16. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简=_________. 17. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则_____． 18. 若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是，则此函数解析式为__________________． 19. 如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为______． 三、解答题（共7小题） 20. 计算： （1） （2） 21. （1）已知，求x的值． （2）已知实数x，y满足，求的算术平方根． 22. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x函数表达式； （2）若点，在这个函数的图象上，求的值． 23. 已知，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B． （1）请直接写出A，B两点坐标：A：________，B：________； （2）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （3）利用图象直接写出：当时，x的取值范围：________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． （1）求m和k的值． （2）若点在直线上，连接，求的面积． （3）结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 25. 小丽准备在双十一活动期间网购一些笔记本，甲、乙两商店都在进行打折促销．已知两商店的标价都是每本20元，但甲商店的优惠条件是：若购买不超过5本，则按标价卖．购买5本以上，从第6本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：若关注店铺就可以成为会员并赠送5元优惠券（凡购买物品超过10元均可使用），且会员从第一本开始按标价的八五折卖．设购买笔记本x本，在甲商店购买所需要费用为元，在乙商店购买所需要费用为元． （1）分别写出、与之间的函数关系式； （2）当购买20本的时候，去哪家商店比较划算？为什么？ 26. 阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点．例如：如图，在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，已知，直线：交x轴于点，交y轴于点C，点D为x轴上一个点； （1）直线经过点A， ①________，若在直线上，则比较t与6的大小：t________6； ②当点D坐标为时，点B恰好为、的关联点，求直线的解析式； （2）若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至， ①求证：点E为直线：与直线：的关联点； ②对于直线：上任意两点M、N，始终有，直接写出m的值． 附加题：（20分） 27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式______． 28. 如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则________． 29. 如图，已知，直线，直线，在上有一动点M，在上有一动点N，连接、，则的最小值为________． 30. 对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最大的数，例如，，．那么观察图象，可得到的最小值为________． 31. 如图，直线分别交x，y轴于A、B两点，过点B的另一条直线交x轴于点C，D为中点，过点A作的垂线交于点E，若，则直线的函数表达式为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12月初二数学随堂练习 一、选择题（共9小题，每题2分） 1. 下列图象中，表示y是x的函数的有（ ） A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线，在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点，据此判断即可． 【详解】解：根据函数的定义可知，每给定自变量x一个值，都有唯一的函数值y与之相对应， ①④符合题意． 故选：B． 2. 下列数2.134，0，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根等知识点，根据无限不循环小数是无理数的定义解答即可，熟练掌握无理数的定义是解决此题的关键． 【详解】解：∵下列数2.134，0，，，，中，，是无限不循环小数，是无理数， ∴共2个无理数， 故选：B． 3. 若点在y轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上点的坐标特征得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，在第四象限， 故选：D． 4. 手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键． 根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 则信号最强的是． 故选：D． 5. 下列各式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，同类二次根式的定义等知识点，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵，，最简二次根式，， 四个数中，只有与是同类二次根式， 故选：B． 6. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的上方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项A符合题意， 故选：A． 7. 一次函数和（a，b为常数且）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题． 根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，做出判断． 【详解】解：A、若，， ∴一次函数与都是经过一、二、三象限，故A错误； B、若，， ∴直线经过一、二、四象限，直线经过一、三、四象限，故B正确； C、若，， ∴直线经过一、二、四象限，直线经过一、三、四象限，故C错误； D、若，， ∴直线与都是经过二、三、四象限，故D错误． 故选：B． 8. 如图，在底面周长为3米的华表上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高为12米，则石柱上的雕龙有（ ）米． A. B. 20 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案． 【详解】解：展开图： （米）， （米）， （米， 故选：C． 9. 公路旁依次有，，三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、村同时出发匀速前往村（到了村不继续往前骑行，也不返回），如图所示，，分别表示小明和小红与村的距离和骑行时间之间的函数关系，下列结论： ①A，两村相距； ②小明每小时比小红多骑行； ③出发后两人相遇； ④图中． 其中正确的是（ ） A. ②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， A，两村相距，故①正确，符合题意； 小明的速度为：，小红的速度为：， 则小明每小时比小红多骑行，故②正确，符合题意； 设出发后两人相遇， 则， 解得， 即出发后两人相遇，故③正确，符合题意； ，故④错误，不符合题意； 综上分析可知，正确是①②③，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（共10小题，每题2分） 10. 16的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根， 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 故答案为：． 11. 使有意义的x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，注意掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．根据二次根式的意义，被开方数是非负数，从而可得答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 12. 如果是关于x的正比例函数，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义．熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．由是关于的正比例函数，可知中，求解作答即可． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴中， 解得，， 故答案为：． 13. 如图，在中，，于D，且，，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，利用面积法求解即可，解题的关键是学会利用面积法解决问题． 【详解】解：在中，，若，， ， ， ， ． 故答案：． 14. 已知实数x，y满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出x、y的值是解题关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式组，可得x、y的值，最后代入再进行计算即可． 【详解】解：∵实数x，y满足， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 15. 一次函数与坐标轴围成的三角形面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，结合一次函数的图象可以求出图象与x轴的交点以及y轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵在中， 令，则， ， 令，则， ∴次函数的图象可以求出图象与x轴的交点，与y轴的交点， ∴， 故答案为：． 16. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简=_________. 【答案】- 【解析】 【详解】根据数轴可知1＜a＜2，可知a＜，即a-＜0，因此根据绝对值的性质和二次根式的性质，可得=-a+a-2=-. 故答案为-. 点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是利用绝对值的非负性，和二次根式的性质，注意在解题时二次根式的估算. 17. 如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理．连接，先根据线段垂直平分线的性质得到的长，再判定是斜边边上的中线，得到的长，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵是边上的高线， ∴是直角三角形，且． ∵是边上的中线， ∴是斜边边上的中线， ∴， ∴． ∴． 故答案为：6． 18. 若正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是，则此函数的解析式为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查求正比例函数的解析式，设解析式为，设点的坐标为，根据点到坐标轴的距离之比为，即：，得到，即可得出结果． 【详解】解：设解析式为， ∵正比例函数图象上一点到y轴与到x轴距离之比是，设该点坐标为：， ∴， ∴， ∴， ∴解析式为或． 故答案为：或 19. 如图，点在轴上，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是线段，上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，过点作于，则的最小值，三角形面积公式得到的长度便可． 【详解】解：如图，点关于的对称点，过点作交于点，连接，，， 则， 当、、三点共线，且、重合时，为最小值， 直线的解析式为， ∴当时，， 当时，， ∴，， ， ， ， ∴， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称性找到点、点位置，属于中考常考题型． 三、解答题（共7小题） 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合计算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则，乘法公式是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可； （2）先化简各二次根式和绝对值，再合并计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. （1）已知，求x的值． （2）已知实数x，y满足，求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，非负数的性质，算术平方根等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用立方根的定义解方程即可； （2）先根据绝对值、完全平方数的非负性求出x和y的值，进而求出代数式的值，然后计算算术平方根即可． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2），，， ，， ，， ， ， 的算术平方根是． 22. 已知与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数表达式； （2）若点，在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了正比例的定义，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据正比例的定义设，然后把，代入计算求出k值，再整理即可得解； （2）将点，代入（1）中所求的函数的解析式求的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴，即； 【小问2详解】 解：点，在函数的图象上， ∴，， 解得：，， ∴． 23. 已知，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，B． （1）请直接写出A，B两点坐标：A：________，B：________； （2）在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； （3）利用图象直接写出：当时，x的取值范围：________． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴交点问题，一次函数与不等式． （1）根据题目即可求出A、B两点的坐标； （2）根据（1）中A、B两点的坐标即可画出函数图象； （3）根据一次函数与x轴的交点坐标，由函数图象即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B， ∴当时，， 当时，， ∴A、B两点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得：A、B两点的坐标为， ∴函数图象如图所示： 【小问3详解】 解：根据函数图象得：当时，x的取值范围为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． （1）求m和k的值． （2）若点在直线上，连接，求的面积． （3）结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标． （1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）由（1）知，由（2）知，然后根据函数图象求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：将代入，得：， ， 将代入，得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 直线的解析式为：， 当时，，则， 当时，，则直线与轴交点为， 【小问3详解】 解：由（1）知，由（2）知， 根据函数图象可知，当时，直线在直线的下方，直线与直线在x轴的上方， ∴不等式的解集为：． 25. 小丽准备在双十一活动期间网购一些笔记本，甲、乙两商店都在进行打折促销．已知两商店的标价都是每本20元，但甲商店的优惠条件是：若购买不超过5本，则按标价卖．购买5本以上，从第6本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：若关注店铺就可以成为会员并赠送5元优惠券（凡购买物品超过10元均可使用），且会员从第一本开始按标价的八五折卖．设购买笔记本x本，在甲商店购买所需要费用为元，在乙商店购买所需要费用为元． （1）分别写出、与之间的函数关系式； （2）当购买20本的时候，去哪家商店比较划算？为什么？ 【答案】（1），； （2）去甲商店比较划算． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据甲乙两个商店的优惠方案直接得出关系式； （2）把分别代入、的函数关系式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴，； 【小问2详解】 解：当购买20本的时候，即时， ， ； ， ∴去甲商店比较划算． 26. 阅读材料，若点M到直线a，b的距离相等，则称点M为直线a，b的关联点．例如：如图，在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，已知，直线：交x轴于点，交y轴于点C，点D为x轴上一个点； （1）直线经过点A， ①________，若在直线上，则比较t与6的大小：t________6； ②当点D坐标为时，点B恰好为、的关联点，求直线的解析式； （2）若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至， ①求证：点E为直线：与直线：的关联点； ②对于直线：上任意两点M、N，始终有，直接写出m的值． 【答案】（1）①，<；② （2）①见解析；②m的值为或 【解析】 【分析】（1）①把代入，即可求得m，把代入，得 ，再由，即可求得答案； ②利用勾股定理可得，作于点H，根据新定义可得，利用三角形面积求得，再运用待定系数法即可求得答案； （2）①根据中点坐标可得，将代入：中，可求得k的值，进而得出点P的坐标，过点P作轴于点M，过点E作交的延长线于点N，再证得，求得点E的坐标，得出，连接，则，根据新定义即可证得结论； ②根据题意可得，作，交于点L，作于J，作于K，证得，可得，再求得，联立方程求解即可求得答案． 【小问1详解】 ①解：把代入，得， 解得：， 把代入，得， ， ， ， ， 故答案为：，<； ②解：由①得：， 则直线的解析式为， ， 在中，， 作于点H，如图， 点B恰好为、的关联点， ， ，， ， ， ， ， 把代入，得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 ①证明：，D为中点， 则， 将代入：中，得：， 解得：， ， 点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点， 设，则， 解得：， ， 过点P作轴于点M，过点E作交的延长线于点N，如图， ，， ， 在和中， ， ， ，， 故，， 连接，则， ，， 由题知， ， 点E为直线：与直线：的关联点； ②解：直线：交y轴于点C， ， ， ， 作，交于点L，作于J，作于K， 则，， 由①知，则直线：， 对于直线：上任意两点M、N，始终有， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 的值为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，旋转变换的性质，新定义等，理解运用新定义是解题关键． 附加题：（20分） 27. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 作交于，过点作轴于，可证明，得，，设，则，，再根据图象上点的坐标特征求得的值，再由待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：作交于，过点作轴于， 一次函数的图象分别交，轴于点，， ，， ，， ，， 又，， ， ， ， 和中， ， ， ，， ， 设，则，， 把代入得，， 解得， ， 设直线为， ， ， 直线的函数表达式为． 故答案为：． 28. 如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴交点问题．根据一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，如图，在轴上截取，过作轴交直线于，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：直线与坐标轴交于点，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，， 如图，在轴上截取，过作轴交直线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 29. 如图，已知，直线，直线，在上有一动点M，在上有一动点N，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点K，过作轴于点G，过作轴于点H，连接，过作，垂足为N，交直线于M，利用对称的性质得到的最小值即为的长，证明，推出，利用勾股定理结合完全平方公式及非负数的性质即可解答． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点K，过作轴于点G，过作轴于点H，连接，过作，垂足为N，交直线于M，过作轴交直线于点P， ∵是第一象限的平分线，点与点关于直线对称， ∴，是垂直平分线， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵是垂直平分线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合问题，涉及三角形全等的判定与性质，对称的性质，勾股定理，完全平方公式的应用及非负数的性质，正确作出辅助线，构造三角形全等，求出的坐标是解题的关键． 30. 对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最大的数，例如，，．那么观察图象，可得到的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，； ②，解得，； ③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 31. 如图，直线分别交x，y轴于A、B两点，过点B的另一条直线交x轴于点C，D为中点，过点A作的垂线交于点E，若，则直线的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数解析式分别求得A、B点坐标，求出，连接，根据直角三角形的性质求出，再利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理证明是直角三角形，设，根据三角形，面积公式求出，再利用勾股定理求出的值，设直线的解析式为，将B、C两点坐标分别代入即可求得函数解析式． 【详解】解：∵直线分别交x，y轴于A、B两点， 令，则，令，则，解得：， ， ∴， ∴， 如图，连接， ∵D为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，即， ∵D为中点， ∴，即， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，线段中点公式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．解题关键是熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式，本题中计算量较大，需仔细． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $