12 随机事件与概率-2025年高一数学寒假自学讲义（必修第二册课程）（人教A版2019专用）

12随机事件与概率（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：有限样本空间与随机事件 4 考点二：事件的关系和运算 5 考点三：古典概型 7 考点四：概率的基本性质 8 【自学检测】 10 自学概念 1. 随机试验 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2. 样本空间 定义 字母表示 样本点 把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用ω表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 3. 随机事件的含义 随机 事件 我们将样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 4. 事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 5. 事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 6. 古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 7. 概率与古典概型的概率计算公式 (1)概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 8. 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 自学考点 考点一：有限样本空间与随机事件 一、单选题 1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 2．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 3．（24-25高一下·全国·课后作业）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 二、多选题 4．（22-23高一下·广西·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上” B．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1．则甲组数提比乙组数据稳定 C．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数是3，众数是5 D．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式 5．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列四个命题中，是真命题的是（    ） A．若事件是互斥事件，则是对立事件 B．若事件是对立事件，则是互斥事件 C．若事件是必然事件，则 D．若事件是互斥事件，则 三、填空题 6．（23-24高一下·全国·课后作业）在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是 . 7．（2024·北京朝阳·一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加.为了使中签率超过，则至少需要邀请 位好友参与到“好友助力”活动. 考点二：事件的关系和运算 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 2．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024高三下·全国·专题练习）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广东广州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 三、填空题 7．（22-23高一下·全国·课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是 .（填序号）①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②；③A与C是互斥事件；④. 8．（24-25高一下·全国·随堂练习）甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 ． 9．（23-24高一下·浙江宁波·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则= 考点三：古典概型 一、单选题 1．（23-24高一·全国·课后作业）在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（    ） A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四名同学用抽签法选一人参加会议 D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率 二、多选题 4．（24-25高二上·云南文山·期末）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（   ）    A．这五个社团的总人数为100 B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C．这五个社团总人数占该校学生人数的5% D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45% 5．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 三、填空题 6．（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 7．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 考点四：概率的基本性质 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 2．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知事件互斥，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·山东临沂·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 5．（24-25高二上·湖北·阶段练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 6．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知事件A，B互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对于任意两个事件A和B，都有 B．扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为 C．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18 D．若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为4 8．（23-24高一下·全国·单元测试）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（    ） A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是 C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是 9．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（   ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件也是对立事件 C． D． 10．（24-25高二上·广东广州·期中）已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 三、填空题 11．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为 ． 12．（24-25高三上·湖北·期中）某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 . 13．（2023高一·全国·专题练习）对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹.设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是 ；互为对立事件的是 . 14．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 3．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 5．（21-22高一下·山东枣庄·期末）抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东·期中）已知与是互斥事件，且，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 8．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．不一定是必然事件 C． D． 10．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知口袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则（   ） A．取出的球颜色全不相同的概率为 B．取出的球颜色不全相同的概率为 C．取出的球恰有2次红球概率为 D．取出的球无红球的概率为 11．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（   ） A．，互为互斥事件 B．与互为互斥事件 C． D．与互为对立事件 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为 ． 13．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 16. (15分) （2024·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 17. (15分) （24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数和35分位数； (2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率. 18. (17分) （24-25高二上·浙江杭州·期中）杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差； (3)若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 19. (17分) （24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12随机事件与概率（人教2019A版专用） 目录 【自学概念】 2 【自学考点】 4 考点一：有限样本空间与随机事件 4 考点二：事件的关系和运算 7 考点三：古典概型 12 考点四：概率的基本性质 17 【自学检测】 24 自学概念 1. 随机试验 (1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示. (2)随机试验的特点： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2. 样本空间 定义 字母表示 样本点 把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点 用ω表示样本点 样本空间 全体样本点的集合称为试验E的样本空间 用Ω表示样本空间 有限样本空间 如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 3. 随机事件的含义 随机 事件 我们将样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然 事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 4. 事件的关系 定义 表示法 图示 包含关系 若事件A发生，事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 互斥事件 如果事件A与事件B不能同时发生，称事件A与事件B互斥(或互不相容) 若A∩B＝∅，则A与B互斥 对立事件 如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则A与B对立 5. 事件的运算 定义 表示法 图示 并事件 事件A与事件B至少有一个发生，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B或A＋B) 交事件 事件A与事件B同时发生，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 6. 古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个.(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 7. 概率与古典概型的概率计算公式 (1)概率：对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 8. 概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B). 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). 自学考点 考点一：有限样本空间与随机事件 一、单选题 1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 2．（2024高二下·安徽·学业考试）抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件“点数不大于2”，事件“点数大于1”，则下列结论中正确的是（    ） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．是不可能事件 D．是必然事件 3．（24-25高一下·全国·课后作业）从5个男生、2个女生中任意选派3人，则下列事件中是必然事件的是（    ） A．3个都是男生 B．至少有1个男生 C．3个都是女生 D．至少有1个女生 二、多选题 4．（22-23高一下·广西·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上” B．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1．则甲组数提比乙组数据稳定 C．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数是3，众数是5 D．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式 5．（23-24高二上·广东湛江·开学考试）下列四个命题中，是真命题的是（    ） A．若事件是互斥事件，则是对立事件 B．若事件是对立事件，则是互斥事件 C．若事件是必然事件，则 D．若事件是互斥事件，则 三、填空题 6．（23-24高一下·全国·课后作业）在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是 . 7．（2024·北京朝阳·一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加.为了使中签率超过，则至少需要邀请 位好友参与到“好友助力”活动. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C D B BC BC 1．C 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 2．D 【分析】根据事件的定义判断． 【详解】事件是点数为1或2，事件是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， 是点为2，是随机事件，是可能发生的， 是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件， 故选：D． 3．B 【分析】根据题意及必然事件的概念即可得解． 【详解】从5个男生、2个女生中任选派3人，由于女生只有2名，故至少有1个男生是必然事件， 故选：B． 4．BC 【分析】对于A根据随机事件的定义即可求解；对于B根据方差的性质及作用即可求解；对于C根据中位数和众数的定义即可求解；对于D抽样调查和全面调查的定义即可求解； 【详解】对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误； 对于B，因为方差越小越稳定，故B正确； 对于C，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，众数为5，故C正确； 对于D，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故D错误． 故选：BC. 5．BC 【分析】根据题意依次分析选项是否正确即可. 【详解】对于A，互斥事件不一定是对立事件，故A选项不符合题意， 对于B，对立事件一定是互斥事件，故B选项符合题意， 对于C，因为事件是必然事件，所以，故C选项符合题意， 对于D，若事件是互斥事件，则只有当事件是对立事件时才有，故D选项不符合题意. 故选：BC. 6．0 【解析】根据游戏规则,转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域,而得到随身听对应的区域均标为奇数,即可求得 【详解】 转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域, 又 得到随身听对应的区域均标为奇数, 得到的奖品为随身听的概率为. 故答案为:. 【点睛】本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是理解游戏规则和掌握概率的基础知识,考查了分析能力,属于基础题. 7． 【分析】先求出需要增加中签率为0.71，再用0.71除以0.05得14.2，取15即可得到答案. 【详解】因为摇号的初始中签率为，所以要使中签率超过，需要增加中签率， 因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加， 所以至少需要邀请，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动. 故答案为： 【点睛】本题考查了阅读理解能力，解题关键是求出需要增加的中签率，属于基础题. 考点二：事件的关系和运算 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 2．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024高三下·全国·专题练习）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林·阶段练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件两炮弹都击中飞机，事件两炮弹都没击中飞机，事件恰有一炮弹击中飞机，事件至少有一炮弹击中飞机，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广东广州·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 三、填空题 7．（22-23高一下·全国·课后作业）抛掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数是1或2或3或4”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则下列结论正确的是 .（填序号）①A与B是互斥事件，但不是对立事件；②；③A与C是互斥事件；④. 8．（24-25高一下·全国·随堂练习）甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为 ． 9．（23-24高一下·浙江宁波·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，记为事件A，B的对立事件，且，则= 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D ABD ABD AD 1．B 【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断. 【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选：B. 2．B 【分析】根据事件关系，即可判断选项. 【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B 3．D 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质列式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：D 4．ABD 【分析】根据事件之间的基本关系和基本运算，依次判断选项即可. 【详解】事件A表示表示“两次都投中”；事件B表示“两次都未投中”； 事件C表示“恰有一次投中”；事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投中”， A：事件A表示表示“两次都投中”，事件D表示“至少有一次投中”，故，故A正确； B：事件B和事件D是对立事件，故，故B正确； C：事件表示“两次都投中”或“两次都未投中”， 而事件表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故C错误； D：事件表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故，故D正确. 故选：ABD. 5．ABD 【分析】根据题意，先将事件等价求出，再结合事件之间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意得，事件第一枚击中第二枚未中或第一枚未击中第二枚击中 ，事件恰有一枚击中或两枚都击中， 对于A中，由事件两炮弹都击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得，正确； 对于B中，由事件两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机，得事件与事件是互斥事件，所以，正确； 对于C中，由事件两炮弹都击中飞机，两炮弹都没击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得不是必然事件，为必然事件，所以，不正确； 对于D中，事件两炮弹都击中飞机，恰有一炮弹击中飞机，至少有一炮弹击中飞机， 得至少有一炮弹击中飞机，所以，正确. 故选：ABD. 6．AD 【分析】根据对立事件、互斥事件的知识确定正确答案. 【详解】设是样本空间， A选项，由于，所以与是对立事件，A选项正确. B选项，由于“取出的球中，一个黄球一个白球”， 所以与不是互斥事件，B选项错误. C选项，由于“取出的球中，恰好有个白球”， 所以与不是对立事件，C选项错误. D选项，由于，所以，所以D选项正确. 故选：AD 7．①②④ 【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可. 【详解】试验的样本空间， 根据题意，，，，. 因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故①正确； 因为，，所以，故②正确； 因为，所以A与C不是互斥事件，故③错误； 因为，，所以，故④正确. 故答案为：①②④. 8．0.9/ 【分析】代入和事件概率公式，即可求解. 【详解】设甲射击命中的事件为，乙射击命中的事件为， 则. 故答案为： 9．0.3/ 【分析】先求出，根据得到，结合，求出，从而得到. 【详解】由题意得，为互斥事件， 即， ， 又①，②， 式子①②相加得， 故， 所以，则. 故答案为：0.3 【点睛】若事件A，B互斥，则有， 若事件A，B不互斥，则有. 考点三：古典概型 一、单选题 1．（23-24高一·全国·课后作业）在抽查作业的试验中，下列各组事件都是基本事件的是（    ） A．抽到第一组与抽到第二组 B．抽到第一组与抽到男学生 C．抽到女学生与抽到班干部 D．抽到班干部与抽到学习标兵 2．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在一个盒子中有3个红球和2个黑球，这5个球除颜色外没有其他差异.现从中依次不放回地随机抽取出2个球.则两次取到的球颜色相同的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·新疆·期末）下列实验中，是古典概型的有（    ） A．某人射击中靶或不中靶 B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个 C．四名同学用抽签法选一人参加会议 D．从区间上任取一个实数，求取到1的概率 二、多选题 4．（24-25高二上·云南文山·期末）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（   ）    A．这五个社团的总人数为100 B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20% C．这五个社团总人数占该校学生人数的5% D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45% 5．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 三、填空题 6．（22-23高二下·江苏宿迁·期末）现有编号为1，2，3，…，的n个相同的袋子，每个袋中均装有n个形状和大小都相同的小球，且编号为的袋中有k个红球，个白球. 当n=5时，从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，则摸到的两个球都是红球的概率为 ；现随机从个袋子中任选一个，再从袋中无放回依次摸出三个球，若第三次取出的球为白球的概率为，则n的值为 . 7．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知一个古典概型的样本空间和事件和，若，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A B C BD BC 1．A 【分析】利用基本事件是不可能同时发生的定义，即可得到答案； 【详解】在A中，抽到第一组与抽到第二组不能同时发生，都是基本事件，故A正确; 在B中，抽到第一组与抽到男学生有可能同时发生，不都是基本事件，故B错误; 在C中，抽到女学生与抽到班干部有可能同时发生，不都是基本事件，故C错误; 在D中，抽到班干部与抽到学习标兵有可能同时发生，不都是基本事件，故D错误． 故选：A 2．B 【分析】设3个红球为A,B,C,2个黑球为,分别列出试验的样本空间和所求事件含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得. 【详解】设3个红球为A,B,C,2个黑球为. 因为试验为“从中依次不放回地随机抽取出2个球”， 故试验的样本空间为：， 记“两次取到的球颜色相同”,则， 由古典概型概率公式，可得. 故选：B. 3．C 【分析】根据古典概型的性质判断各项所描述的试验是否满足要求即可. 【详解】由古典概型性质：基本事件的有限性及它们的发生是等可能的， A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不满足； B：基本事件坐标系中整数点是无限的，不满足； C：基本事件是四名同学是有限的，且抽到的概率相等，满足； D：基本事件是区间上所有实数是无限的，不满足； 故选：C 4．BD 【分析】根据朗诵社团的人数及其占比可计算出五个社团的总人数为80，即A错误，再根据太极拳社团的人数计算出其占比，可得脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%，即B正确，利用该校总人数可得C错误，由古典概型概率计算公式可得D正确. 【详解】对于A，参加朗诵社团的同学有8名，占比为，所以这五个社团的总人数为人，即A错误； 对于B，太极拳社团的同学有12名，可知其占比为， 因此脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，即B正确； 对于C，该校共有2000名，所以这五个社团总人数占该校学生人数的，即C错误； 对于D，由选项B易知脱口秀社团共有人，舞蹈社团共有人，两社团共有人， 所以从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，即D正确. 故选：BD 5．BC 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故B正确； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：BC. 6． /0.3 10 【分析】利用古典概率进行求解，利用互斥事件概率加法公式解决即可. 【详解】当n=5时编号为3的袋中有3个红球，2个白球.则从编号为3的袋中无放回依次摸出两个球，摸到的两个球都是红球的概率为. 现随机从个袋子中任选一个，所以有n种选法； 假设袋子中有个红球，个白球，从袋中无放回依次摸出三个球，有种方法； 若第三次取出的球为白球有四种情况：红红白、红白白，白红白，白白白，取法数为 ； 则若第三次取出的球为白球的概率为， 因为， 所以第三次取出的球为白球的概率为 ， 解得=10. 故答案为：. 7． 【分析】根据古典概型特点，求出，根据得到结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 考点四：概率的基本性质 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）从装有红球､白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．③ B．①③ C．②③ D．①② 2．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）已知事件互斥，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·山东临沂·期末）一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·上海·开学考试）装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，有如下的一些事件：①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球，其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 5．（24-25高二上·湖北·阶段练习）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加比赛，那么互斥且不对立的两个事件是（   ） A．至少有1名女生与全是女生 B．至少有1名女生与全是男生 C．恰有1名女生与恰有2名女生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 6．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知事件A，B互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．对于任意两个事件A和B，都有 B．扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为 C．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18 D．若一组数据的方差为16，则另一组数据的方差为4 8．（23-24高一下·全国·单元测试）甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（    ） A．甲获胜的概率是 B．甲不输的概率是 C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是 9．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（   ） A．和是互斥事件但不是对立事件 B．和是互斥事件也是对立事件 C． D． 10．（24-25高二上·广东广州·期中）已知事件发生的概率分别为，则（   ） A． B． C．若，则 D．一定有 三、填空题 11．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为 ． 12．（24-25高三上·湖北·期中）某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 . 13．（2023高一·全国·专题练习）对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹.设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一枚炮弹击中飞机}，D＝{至少有一枚炮弹击中飞机}，其中互为互斥事件的是 ；互为对立事件的是 . 14．（23-24高一下·广东潮州·期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B C D CD BCD BD AB 1．D 【分析】根据互斥事件和对立事件的含义分析即可得解. 【详解】从装口袋内一次取出2个球，按照取到白球数量分类有： 两球都不是白球；两球恰有一个白球；两球都是白球. 所以①②与事件“两球都为白球”互斥而不对立， 当“两球都为白球”时，③一定发生，所以③与事件“两球都为白球”不互斥. 故选：D 2．D 【分析】根据互斥事件、对立事件的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 解得. 故选：D 3．A 【分析】第二次摸出的球是红球有两种情况，利用古典概率公式分类列式计算即得. 【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况： 第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为， 第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为， 所以第二次摸出的球是红球的概率为. 故选：A. 4．B 【分析】写出事件的全部基本事件，再根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】解：设事件=｛装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球｝， 则所以包含的基本事件为：{(红，红)，(红，白)，(红，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}， 事件=｛两球都不是白球｝={(红，红)，(红，黑)，(黑，黑) }； 事件｛两球恰有一个白球｝=｛(红，白)，(白，黑)}， 事件｛两球至少有一个白球｝={(红，白)，(白，白)，(白，黑)}， 事件｛两球都为白球｝=｛(白，白)｝， 由互斥事件及对立事的定义可知事件、事件与均是互斥而非对立的事件. 故选：B 5．C 【分析】依题意列举出所有基本事件，根据互斥事件与对立事件的定义直接判断得出结论. 【详解】“从中任选2名同学参加比赛”所包含的基本情况有：两男、两女、一男一女. 至少有1名女生与全是女生可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； 至少有1名女生与全是男生是对立事件，故B错误； 恰有1名女生与恰有2名女生是互斥不对立事件，故C正确； 至少有1名女生与至多有1名男生是相同事件，故D错误. 故选：C. 6．D 【分析】由互斥事件的概率加法公式求出，然后求解即可. 【详解】因为事件A，B互斥，所以， 又，所以，故， 故选：D 7．CD 【分析】A选项由概率的加法公式判断；B选项由古典概型的计算来判断；C选项由分层抽样的性质判断；D选项由方差的性质判断. 【详解】A选项：只有事件A和B是互斥事件时，才有，故A选项错误； B选项：扔两枚相同的硬币，由古典概型得一正一反的概率为，故B选项错误； C选项：设样本容量为，则有，得，C选项正确； D选项：因为，所以当时，，D选项正确. 故选：CD. 8．BCD 【分析】由对立事件、互斥事件、并事件的概率计算公式代入计算，对选项逐一判断. 【详解】“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件A，则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件B，则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误； 故选：BCD 9．BD 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可. 【详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”、“选择历史学科”、“选择地理学科”， 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件、可以同时发生，不是互斥事件，A错； 事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，B对； 由题意可知，，所以，C错； 事件事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 故和是互斥事件，所以，D对. 故选：BD. 10．AB 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A：因为，故A正确； 对B：因为，所以， 所以. 故B正确； 对C：由，所以，所以C错误； 对D：记事件：掷一枚骰子，得到点数小于3.则，记事件：掷一枚骰子，得到点数为6,.则，但不成立，故D错误. 故选：AB 11．/ 【分析】若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为，由题知，由于，则，解之可得. 【详解】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为， 那么若开始有个珍稀生物、最终灭绝的概率则为， 由题意知， 从而可得，即， 因为，所以，所以。 解之可得，故的最大值为. 故答案为： 12． 【分析】设出事件，记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件， 根据事件的关系和运算法则得到，，相加得到答案. 【详解】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件， 则，，， 由，故， 则，则， 故， 而，即，故， 则. 故答案为： 13． A与B、A与C，B与C、B与D B与D. 【解析】由互斥事件，对立事件的概念逐一判断即可. 【详解】解：由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C、B与D也是互斥事件. 综上可得，A与B、A与C，B与C、B与D都是互斥事件. 在上述互斥事件中，再根据B、D满B∪D为必然事件，故B与D是对立事件， 故答案为A与B、A与C，B与C、B与D；B与D. 【点睛】本题考查了互斥事件，对立事件的关系，属基础题. 14． 【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值. 【详解】由与是对立事件，可得 由与是互斥事件，可得 . 故答案为： 自学检测 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（24-25高二上·上海静安·期中）下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 2．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为，则下列说法不正确的是（    ） A．事件是随机事件 B．事件是必然事件 C．事件是不可能事件 D．事件是随机事件 3．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（    ） A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生” 5．（21-22高一下·山东枣庄·期末）抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东·期中）已知与是互斥事件，且，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9 8．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．不一定是必然事件 C． D． 10．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知口袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则（   ） A．取出的球颜色全不相同的概率为 B．取出的球颜色不全相同的概率为 C．取出的球恰有2次红球概率为 D．取出的球无红球的概率为 11．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（   ） A．，互为互斥事件 B．与互为互斥事件 C． D．与互为对立事件 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（23-24高一下·湖南邵阳·期末）某地的中学生有40%的学生爱好篮球，有70%的学生爱好音乐，90%的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为 ． 13．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 . 14．（2024高三·全国·专题练习）已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有的会员喜爱书画，有的会员同时喜爱书画、戏曲．现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （24-25高二上·上海·随堂练习）掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件：“出现奇数点”，事件：“出现偶数点”，事件：“点数小于”，事件：“点数大于”，事件：“点数是的倍数”.求： (1)，； (2)，； (3)，，，. 16. (15分) （2024·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一､高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生？ (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. (3)从这100名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1个数据来自高三学生的概率. 17. (15分) （24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析.现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)估计这次月考数学成绩的平均分和众数和35分位数； (2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率. 18. (17分) （24-25高二上·浙江杭州·期中）杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差； (3)若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 19. (17分) （24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）. (1)若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率； (2)若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A C C D D BD AC 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 2．D 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可. 【详解】随机试验的样本空间为， 则事件是随机事件，故A正确； 事件是必然事件，故B正确； 事件是不可能事件，故C正确； 事件是不可能事件，故D错误. 故选：D 3．A 【分析】根据给定条件，利用列举法表示即可. 【详解】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 4．A 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A 5．C 【分析】根据古典概型的概率个数即可求解. 【详解】抛掷两个质地均匀的骰子,总的基本事件个数为种，其中“抛掷的两个骰子的点数之和是6”包含共5种， 故概率为， 故选：C 6．C 【分析】利用列举法求出甲队以3：2赢得比赛,五局的比赛的结果共6种,其中甲队输掉的两局恰好相邻的结果有3种,由此能求出甲队输掉的两局恰好相邻的概率. 【详解】若甲队以3:2赢得比赛,则五局的比赛的结果为: 甲甲乙乙甲，（表示第一局甲胜，第二局甲胜,第三局乙胜,第四局乙胜,第五局甲胜,以下类同） 甲乙甲乙甲，甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，乙乙甲甲甲，共6种结果， 其中甲队输掉的两局恰好相邻的结果有3种, 甲队输掉的两局恰好相邻的概率是. 故选:C. 7．D 【分析】根据对立事件、互斥事件的和事件的概率公式求解. 【详解】由，可得. 由于与是互斥事件， 故. 故选：D 8．D 【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 9．BD 【分析】根据三个事件，，不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解. 【详解】对于选项A：因为，，不一定是两两互斥事件，无法判断与是不是互斥事件，是不是对立事件，所以A不正确； 对于选项B：因为，，不一定是两两互斥事件，所以不一定是必然事件，所以B正确； 对于选项C：，所以C不正确； 对于选项D：，所以D正确； 故选：BD. 10．AC 【分析】用列举法求得所有的基本事件，结合每个选项，求得对应事件包含的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】根据题意，设黄球、红球、白球分别为，从中有放回地取3次，所有基本事件有如下种： ， ， . 对A：取出的球颜色全不相同的方法有6种，，，，，，， 总的取球方法有27种，因此取出的球颜色全不相同的概率为，A正确； 对B：取出的球颜色全相同的方法有3种，， 因此取出的球颜色不全相同的方法有种，因此取出的球颜色不全相同的概率为，B错误： 对C：取出的球恰有2次红球的方法有6种，，，，，，， 总的取球方法有27种，因此取出的球恰有2次红球的概率为，C正确； 对D：取出的球没有红球的方法有种， 总的取球方法有27种，因此取出的球没有红球的概率为， D错误. 故选：AC. 11．BD 【分析】由互斥事件和对立事件的性质集合题意逐项分析即可； 【详解】对于A，，两个事件可以同时发生，故A错误； 对于B，与不可能同时发生，故B正确； 对于C，为，的交事件，故C错误； 对于D，对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确. 故选：BD. 12．0.2/ 【分析】根据和概率基本性质计算即可. 【详解】设学生爱好篮球为事件A，学生爱好音乐为事件B，则学生爱好篮球或音乐为事件，既爱好篮球又爱好音乐为事件, , 又因为, 所以. 故答案为：. 13．/ 【分析】利用古典概型概率计算公式可得结果. 【详解】从5张卡片中无放回随机抽取2张共有种情况； 抽到的2张卡片上的数字之和是偶数需满足两张同是偶数或同是奇数， 同为偶数共有种情况，同为奇数共有种情况； 因此所求概率为. 故答案为：. 14．/0.75 【分析】应用概率的性质列方程求会员喜爱戏曲的概率即可. 【详解】记事件“该会员喜爱书画”，事件“该会员喜爱戏曲”， 由题意，知，，， 由概率的基本性质，知， 则，解得， 即从该协会中随机抽取一人，该会员喜爱戏曲的概率为． 故答案为： 15．(1)， (2)， (3)，，， 【分析】（1）根据交事件（积事件）的概念求解即可； （2）根据并事件（和事件）的概念求解即可； （3）根据对立事件与交事件、并事件运算求解即可. 【详解】（1）掷一枚质地均匀的正方体骰子，样本空间为， 事件包含的样本点为,. 故,. （2）由（1）知，. （3）由（1）知，, 故. 16．(1)1600 (2) (3) 【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案． 根据极差可得，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第百分位数的方法即可求得. 根据古典概型的概率计算，如果一次实验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件包含的结果有个，那么事件的概率为，即可解得. 【详解】（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，所以 又因为，所以样本的第40百分位数为： （3）因为100名学生的样本中随机抽取三个学生的总情况数为： 其中至少有1个数据来自高三学生的情况为： 所以至少有1个数据来自高三学生的概率为： 17．(1)68，65，； (2). 【分析】（1）先求出成绩在区间内的频率，再按平均数、众数及百分位数的定义求解即可； （2）用列举法求解即可. 【详解】（1）解：因各组的频率之和为1， 所以成绩在区间内的频率 ； 所以平均分； 众数的估计值是； 设分位数为，因为的频率为，的频率为，的频率为， 所以， 所以， 解得； （2）解：设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间内”， 由题意可知成绩在区间内的学生所选取的有：人， 记这4名学生分别为； 成绩在区间内的学生有人， 记这2名学生分别为； 则从这6人中任选2人的基本事件为： , ，共15种， 事件“至少有1名学生的成绩在区间内”的可能结果为：,，共9种， 所以. 故所求事件的概率为：. 18．(1)人 (2)， (3) 【分析】（1）根据频率算出人数即可； （2）根据长方体面积和为1，求出a，根据分层抽样的平均值，方差公式计算即可； （3）根据概率的乘法和加法公式，可得答案. 【详解】（1）人，人，不高于50分的抽到人. （2）由题意可知，解得. 由图中可知：落在的学生人数为30人，落在的学生人数为60人， 故， . （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件A， 则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 19．(1)； (2). 【分析】（1）使用列举法，结合古典概型概率公式可得； （2）先求2个小球上标号相同的概率，然后由对立事件的概率关系可得. 【详解】（1）分别记6个小球为，从中任取3个小球有： ，共20种. 3个小球上标号均不相同的有： 共8种， 所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为. （2）每次取球都有6种取法，所以总的取法有种取法. 2个小球上标号相同的取法有： 共12种取法， 所以2个小球上标号相同的概率为， 所以取出的2个小球上标号不相同的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$