精品解析：河南省青桐鸣大联考2024-2025学年高一上学期12月考数学试题（北师大版）

2027届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. （    ） A. B. C. D. 4. 已知是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 或 B. C. D. 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知且，则函数的图象必经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 7. 已知关于x的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 8. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 函数与是同一函数 B. 若函数，则 C. 若函数的定义域为，则的定义域为 D. 函数的最大值为 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在R上单调递减 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题“，”是假命题，则实数k的取值范围为______． 13. 已知函数 若，则________． 14. 已知实数，满足，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知幂函数在内单调递增，. （1）求的值； （2）设，判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论. 17. 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 18. 已知函数且的图象经过点． （1）求的解析式； （2）求的值； （3）已知，求关于的不等式的解集． 19. 已知函数且的定义域为． （1）当时，求； （2）将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； （3）已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届普通高等学校招生全国统一考试 青桐鸣大联考（高一） 数学（北师大版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】因为，， 所以． 故选：B． 2. 已知命题，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题的否定是全称求解即可； 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，将“”改为“”，同时否定结论，所以命题p的否定为，． 故选：D． 3. （    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 4. 已知是奇函数，则实数a的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义列式求解. 【详解】易知的定义域为，由奇函数的定义可知，，则， 整理得恒成立，所以，解得． 故选：D 5. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】由得，， 所以且，则，充分性成立； 由，不妨取，则， 显然，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 6. 已知且，则函数的图象必经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】A 【解析】 【分析】分，两种情况讨论可求得结论. 【详解】当时，函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，函数的图象经过第一、二、三象限， 综上可知，函数的图象必经过第一、二象限． 故选：A． 7. 已知关于x的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的解集可得，是方程的两个根，进而可得，进而利用对勾函数的单调性可求最小值. 【详解】由题中条件可知，，是方程的两个根， 则，，所以， 设，令，可知该函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，则的最小值为． 故选：C． 8. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的. 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由条件可知，，再根据不等式的性质，函数性质，以及作差法判断选项. 【详解】因为，所以，又，则，所以，A正确； 因为，所以，所以，则，B正确； 因为，所以，C错误； 因为，在单调递增，所以，D错误． 故选：AB． 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. 函数与是同一函数 B. 若函数，则 C. 若函数的定义域为，则的定义域为 D. 函数的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数的定义域不同可得A错误；由换元法可得B正确；由抽象函数括号内的范围相同可得C正确；由换元法结合二次函数的性质可得D正确. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，的定义域为R， 显然这两个函数不是同一函数，故A错误； 对于B选项，令，则， 所以，即，故B正确； 对于C选项，因为函数的定义域为，即，所以， 令，解得，所以的定义域为，故C正确； 对于D选项，设，则， 所以， 所以函数的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在R上单调递减 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据偶函数定义判断A；根据指数函数单调性进而则在R上单调递增判断B；计算函数解析式比较判断C；根据函数单调性计算判断D. 【详解】因为的定义域为R，，所以为偶函数，所以，则为偶函数，A正确； 因为函数，在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，则在R上单调递增，B错误； 因为，， 所以，C错误； 令，易知在R上单调递增， 因为，所以，则，即， 又，所以，D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题“，”是假命题，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得不等式解集不是，故，可求k的取值范围. 【详解】由题意可知，，解得，故k的取值范围为． 故答案为：. 13. 已知函数 若，则________． 【答案】0或 【解析】 【分析】通过分析分段函数的值域，易知时，讨论的范围即可代入求解. 【详解】当时，，因为，所以； 当时，， 令，即，解得， 当时，令，解得； 当时，令，解得， 故答案为：0或 14. 已知实数，满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对式子进行变形得，同理可变为，故和是方程的两个根，构造函数求解即可. 【详解】由，得， 所以，所以， 所以， 又可化为， 所以和是方程的两个根， 令，易知在R上单调递增， 注意到 所以， 所以，解得， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由交集的运算求解即可； （2）先求，再由并集关系列不等式组求解即可. 【小问1详解】 当时，，又，所以． 【小问2详解】 因为，所以或． 因为，所以，解得， 故实数m的取值范围为． 16. 已知幂函数在内单调递增，. （1）求的值； （2）设，判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论. 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由幂函数定义求出或，再根据单调性得. （2）结合单调性的定义，按照证明单调性的步骤解答即可. 【小问1详解】 由幂函数的定义可知，， 即，解得或， 又在内单调递增，由幂函数的单调性可知，． 【小问2详解】 在上单调递减． 证明：由（1）可知，，则． ，且， 则 ， 因为，所以，又，所以， 则，即，所以， 故函数在上单调递减． 17. 已知正数a，b满足． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【小问1详解】 因为， 当且仅当时，取得等号，所以，故的最小值为2． 【小问2详解】 由得，， ， 当且仅当，即，时，取得等号， 故的最小值为． 18. 已知函数且的图象经过点． （1）求的解析式； （2）求的值； （3）已知，求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）8 （3）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）点代入解析式求解即可； （2）利用求解； （3）利用（2）中结论，结合的单调性及一元二次不等式的解法求解． 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以 8． 【小问3详解】 由（1）可知，， 易知函数在上单调递增，且， 所以在上单调递减． 由（2）可知，． 由得，， 即， 根据在上单调递减得，， 整理得，即． 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得． 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 19. 已知函数且的定义域为． （1）当时，求； （2）将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； （3）已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 【答案】（1） 当时，的定义域为； 当时，的定义域为． （2） （3） 存在． 易知当时，的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在其定义域上为增函数． 由题意可知，，即， 所以是方程的两个不同的实数根， 即是方程的两个不同的实数根． 设，则方程有两个不同的实数根． 设，其对称轴为， 则，解得， 故的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）当时，可得，分为，两种情况解不等式即可； （2）根据“类线性函数”的概念可得，利用对数和指数幂的运算性质求解； （3）根据题中条件及的单调性可得是方程的两个不同的实数根，设，则方程有两个不同的实数根，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 当时，，即， 当时，，得，解得； 当时，，得，解得， 故当时，的定义域为； 当时，的定义域为． 【小问2详解】 由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得． 根据“类线性函数”的概念可知，，总有， 即， 则， 所以， 即， 所以对于恒成立， 又不恒为0，所以． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $