专题05 平行四边形（考点串讲）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（鲁教版五四制）

八年级新鲁教版（2024）数学上册期末考点大串讲 串讲05 平行四边形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理 五大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期末真题对应考点练 考点透视 知识点1．平行四边形的性质 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点2.　 平行四边形的判定 与边有关的判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 　 知识点3. 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的0.5倍,每个小三角形的面积为原三角形面积的0.25倍. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点4.　 多边形的内角和与外角和 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 题型剖析 题型一 平行四边形的性质 例1. 在中， ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 例2. 如图，下列条件，不能判断四边形 是平行四边形的是( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 返回 举一反三 1.如图，在 中，已知，， ， 则____ . 10 【解析】设与交于点 . 四边形 为平行四边形， ,, . , . 在中，由勾股定理得 , . 在中，由勾股定理得 . . 返回 题型二 平行四边形的判定 例1： 已知：如图，在▱ABCD中，E,F分别为AD和CB的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形. D A B C E F 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC（平行四边形的对边相等）， AD∥BC（平行四边形的定义）. ∵E,F分别是AD，CB的中点， ∴ED＝AD，FB= CB. ∴ED=FB，ED∥FB. ∴四边形BFDE是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 举一反三 1.如图所示，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F，猜想BE与CF之间的数量关系，并加以证明. 证明:BE=CF. ∵DE∥BC, ∴∠DBC=∠BDE. ∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠DBC=∠ABD. ∴∠ABD=∠BDE. ∴DE=BE. ∵DE∥BC,EF∥AC, ∴四边形DEFC是平行四边形. ∴DE=CF. ∴BE=CF. 题型三 平行四边形的中心对称性 例1.如图，直线BD可以将 ABCD分成全等的两部分，这样的直线还有很多. (1)多画几条这样的直线，看看它们有什么共同的特征； (2)尝试用中心对称图形的性质去解释你的发现. (2)因为平行四边形是中心对称图形，所以 图形的每一部分绕对称中心旋转180°后 都会与图形的另一部分重合，从而会有 两部分全等.为了保证“绕中心旋转 1800”，就需要经过点O画出直线. 解:(1)这些能将平行四边形面积平分的直线的 共同特征是： 都经过平行四边形的对称中心. A B C D A B C D O 举一反三 1.如图，正六边形ABCDEF的中心是点O. (1)分析它的对称性； (2)正六边形绕其中心旋转多少度可与自身重合？ (3)还有哪些正多边形是中心对称图形？ 解：(1)正六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．有6条对称轴． (2)旋转60°的正整数倍可与自身重合． (3)只要边数是偶数的正多边形都是中心对称图形． 题型四 三角形的中位线 例1. 如图，的周长为19，点，在边上， 的平分线垂直于，垂足 为，的平分线垂直于 ，垂足为，若，则 的长度为 . 【点拨】 的周长为19, . 平分, , , . 在和 中， . ， . 同理， . ,是 的中位线. ， . . 举一反三 如图，把两根钢条 ，的一个端点连在一起，点， 分别是，的中 点，若 ，则该工件内槽宽的长为___ . 6 题型五 多边形的内角和与外角和 例1：如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，求∠P的度数． 解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C,∠D,∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求得∠P的度数． 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， ∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°. ∵AP平分∠ EAB, ∴∠PAB＝ ∠EAB， 同理可得∠ABP＝ ∠ABC， ∵∠P+ ∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°． 举一反三 1.下列多边形中,内角和最小的是 ( ) 2.若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 3.要使如图的六边形框架形状稳定,至少需要添加对角线的条数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.正六边形的一个外角的度数为________°.  A B C 　60　 易错易混 易错题型一——根据平行四边形的性质解题 1、如图，在 □ABCD中， 若∠A+ ∠C= 220°，则∠A= 、 ∠B= 。 110° 70° 2、如图，在 □ABCD中， 若□ABCD的周长为18cm，AB=4cm，则CB= . 5cm 易错题型二——平行四边形判定的应用 例题巩固 1.如图，▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F。 求证：AE=CF。 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C，AD=CB 又∠AED=∠CFB=90° ∴ △ADE≌△CBF ∴AE=CF B A C D E F 四、拓展提高 2.如图△ABC是等腰三角形，AB=AC, P是底边BC上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点E，F分别在AC，AB上．求证：PE+PF=AB． 证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴四边形AEPF是平行四边形. ∴AF=PE，AE=PF. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. 又∵PF∥AC，∴∠FPB=∠C. ∴∠B=∠FPB,∴BF=PF. ∵AF+BF=AB,∴PE+PF=AB. 易错题型三——利用平行四边形的性质进行证明 1、如图，在□ABCD中，点E、F在对角线 AC上，而且AE=CF,求证:BE=DF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AB∥CD. ∴∠BAE=∠DCF. 在△ABE和△CDF中 AB=CD ∠BAE=∠DCF AE=CF ∴△ABE ≌△CDF（SAS） ∴BE=DF 易错题针对训练 1.如图，在四边形中， ，以，为边作，延长交于 ， 求证： . 【证明】过点作，交 的延长线 于，连结.又， 四边形 是平行四边形. 四边形 为平行四边 形，且且 四边形 为平行四边形. . 2.已知，如图，在四边形中，，为 的中点.求证： . 【证明】如图，过点作，交 的延长线于点，交于点 . 又 ， 四边形 为平行四边形. . , , . 又为的中点, . . . 3.如图，在四边形中，，且 .求证： . 【证明】如图，过点作，交 于点 ， . ， ， 四边形 是平行四边形. ， . 又 ， 易得 . . 押题预测 练习&巩固 1.[2023年烟台市8年级上册期末] 如图，E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点，且∠ABE＝∠CDF，AC分别交BE、DF于 点G、H. 有下列结论：① 四边形BFDE是平行四边形；② △ABG≌△CDH；③ GE＝HF；④ S△AGE∶S△CDH＝AE∶DH. 其中，正确的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 2. [2023年济宁市8年级上册期末] 如图，在▱ABCD中，AD＝3，AB＝5，AD⊥AC. 若AB的垂直平 分线分别交AB、AC于点E、F，则FC＋FB的长度为 ⁠. 4　 3． [2023年泰安市8年级期末] 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AC∥DF， BE＝CF，连结AD. 求证：四边形ABED是平行四边形. 证明：∵ AB∥DE，AC∥DF，∴ ∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F. ∵ BE＝CF，∴ BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF. 在△ABC和 △DEF中， ∴ △ABC≌△DEF. ∴ AB＝DE. 又∵ AB∥DE，∴ 四边形ABED是平行四边形 4. [2023年济宁市8年级上册期末] 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边 贴 着直尺推移到三角尺的位置，连结 ，这时四边形 就是平行四边形.小明这样做的依据是 _______________________________________. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5. [2023年临沂市8年级上册期末] 如图，在平面直角坐标系中，是的中点，已知 ， ，，，点 是线段上的一个动点，当 的长为______时， 1或9 以点，，， 为顶点的四边形是平行四边形. 【点拨】，， ， ，，， ， . 是 的中点， .当 时，以点，，， 为顶点的四边形是平行 四边形，分两种情况： 返回 ①当点在点 的左侧时， ； ②当点在点 的右侧时， . 综上所述，当的长为1或9时，以点 ， ，， 为顶点的四边形是平行四边形. $$