专题09 高二期末多选题专题训练-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题09 高二期末多选题专题训练 （1）空间向量与立体几何 1．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D. 【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确； 对于B：因为,，所以，B选项正确； 对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误； 对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确. 故选：ABD. 2．下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】BC 【分析】根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解可判断A；根据空间向量基本定理可判断B；根据四点共面的结论可判断C；根据空间向量基本定理分析可判断D. 【详解】对于A，在上的投影向量为 ，故A错误； 对于B，如图，是四面体的底面的重心，延长交与点， 则点是的中点，所以 ，故B正确；    对于C，若，则， 所以四点共面，故C正确； 对于D，设在基底下的坐标为， 则， 因为在单位正交基底下的坐标为，所以，解得， 则在基底下的坐标为，故D错误. 故选：BC. 3．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AC 【分析】对于A，由不重合两直线方向向量平行可判断直线相互平行；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直. 【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是， 则，所以，即，故正确； 对于B，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以，即或，故B错误； 对于C，两个不同的平面，的法向量分别是， 则，所以，故C正确； 对于D，直线的方向向量，平面的法向量是， 则，所以，即，故D错误． 故选：AC． 4．如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面 C．二面角的大小为 D．点到平面的距离为2 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，明确各点的坐标和相关向量的坐标.用向量法证明线线垂直，判断A的真假；判断与平面的法向量的关系，判断B的真假；用向量法求二面角的大小，判断C的真假；用向量法求点到平面的距离判断D的真假. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， ， 对A：. ，A项正确； 对B：. 设为平面的一个法向量，则， 即，令，得，则， 因为，不在平面内，所以平面，则B项正确； 对C：由图可知，平面，所以是平面的一个法向量， 则， 故二面角的大小不是，所以C项不正确. 对D：由，所以点到平面的距离为，D项正确； 故选：ABD 5．如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 【答案】AC 【分析】以为坐标原点建立空间坐标系所示，利用异面直线的向量求法可判断A正确，由线面角的向量表示可判断B错误，再根据点到面的距离的向量求法可得C正确；再由面面角的向量求法可得D错误. 【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，， 设， 由E为的中点可得， 解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示： ，，，，， 则，，，， 对于A，易知， 所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确； 对于B，设平面的法向量为，，即， 取，， 设与平面所成的角为，则，选项B不正确； 对于C，点A到平面的距离为，选项C正确. 对于D，设平面的法向量为，， 则，即，取， ，， 所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确. 故选：AC. 6．在正方体中，，点是的中点，空间中一点满足，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得平面 D．当时，有且仅有一个点，使得与所成角为 【答案】AC 【分析】根据选项逐个分析当x，y取不同值时相应的图形关系，再判断选项是否正确即可. 【详解】对于选项A，当时，， 如图所示，    根据平面向量基本定理，此时P在线段上， 由于在正方体中，平面，平面， 所以，选项A正确； 对于选项B，当时，， 如图所示，    由平面向量基本定理，此时P在线段上， 由图可知，三棱锥当以平面为底面时为定值， 但因为顶点P在线段上运动，所以P到底面的高不确定， 故三棱锥的体积不是定值，选项B错误； 对于选项C，当时，如图所示，    此时， 由平面向量基本定理，取AB与中点M，N，则P在线段MN上运动， 由图可知，过B点且与平面平行的平面为平面， 平面，所以此时平面， 又P是MN与交点，即当且仅当P是MN中点时，有平面， 故选项C正确； 对于选项D，如图所示，    以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，则有， 又， 所以， 所以. 于是，， 所以的夹角为时有， ， 解得或， 即或都可以使得的夹角为， 选项D错误. 故选：AC. 7．在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（   ） A． B．该三棱柱的体积为4 C．过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D．直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用题设建系，对于A，通过空间向量证明平面即得；对于B，利用直棱柱体积公式计算即得；对于C，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除C；对于D，设点，利用空间向量的夹角公式计算得出关于的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切值的最大值. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则. 对于A，， 因， ， 可得， 因，且两直线在平面内，则有平面， 又为棱上的动点，故，即A正确； 对于B，由题意，该三棱柱的体积为，故B正确； 对于C，如图，设经过，，三点的截面交于点，连接， 因，平面，平面，则平面， 又平面，故得，即截面为梯形. 因，， 设梯形的高为，则，解得. 则故C错误； 对于D，如图，因平面，平面，则， 又，，且两直线在平面内，故得平面， 故可取平面的法向量为， 又为棱上的动点，可设，则， 设直线与平面所成角为，则， 因，故当且仅当时，取得最小值为5，此时取得最大值为， 因，而正弦函数和正切函数在上均为增函数， 故此时取得最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题. 解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明；利用线面平行的性质作出截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解. 8．如图，在四棱锥中，平面平面，，，若 ，，为棱的中点在，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．二面角的余弦值为 C．二面角的正弦值为 D．若在线段上存在点，使得点到平面的距离是，则 的值为 【答案】ABD 【分析】选项A，取中点，连接，通过条件得到为平行四边形，进而得出，即可判断出选项A的正误；对于选项BCD，通过建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法和空间距离的向量法，对选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对选项A，取中点，连接， 因为是中点，所以，且， 又，，所以，且，所以为平行四边形， 所以，又面，面，所以平面，故选项A正确， 因为，，得到，又， 所以，得到， 又平面平面，平面平面，平面， 所以面，又，所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 ，， 则，所以， 易知平面即为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 则， 由图易知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为，故选项B正确， 对于选项C，因二面角的正弦值为，所以选项C错误， 对于选项D，设，又，得到， 所以，得到， 设到平面距离为，则，解得，所以选项D正确， 故选：ABD. （2）直线方程和直线的位置关系 9．已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．若两条平行直线与间的距离为，则 D．点到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点问题可判断A；结合题设直线的方程易得，进而结合直线垂直与斜率的关系即可判断B；先根据直线平行与斜率的关系可得时，，再结合平行直线之间的距离公式求解判断C；分析可得时，点到直线距离最大，进而求出即可判断D 【详解】由， 令，所以直线过定点，故A对； 若，所以，故B对； 若，则，即， 此时，即，， 因为直线与间的距离为， 所以或15，故C错； 由C知，直线过定点，要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D对； 故选：ABD 10．下列说法正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为； D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 【答案】AC 【分析】A根据垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程判断；B注意截距不为0的情况；C判断已知点为抛物线的焦点，结合通项性质求最短弦长；D根据给定直线和曲线的形状，数形结合求参数范围. 【详解】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为， 即，对； B：若截距不为0时，令直线为，则， 此时直线方程为，错； C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对； D：由过定点，是圆上半部分，如下图， 当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得， 当动直线过半圆左侧端点时，即， 结合图知，，D错. 故选：AC 11．已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．存在，使 【答案】ABC 【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D. 【详解】对于A，当时，直线，直线， 联立，解得， 所以两直线的交点为，故A正确； 对于B，直线，即， 令，即，所以直线恒过点，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C正确； 对于D，假设存在，使，则， 解得或， 当，，，两直线重合，舍去， 当时，，即， ，即，两直线重合，舍去， 所以不存在，使，故D错误. 故选：ABC. 12．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ACD 【分析】选项A可由含参直线的定点坐标求法可得；选项B当时，，重合；选项C由一般方程垂直时系数关系可得；选项D化为斜截式后，由斜率和和轴上的截距可判断. 【详解】选项A：：，令，得，过点，A正确； 选项B：当时，，重合，故B错误； 选项C：当时，由，得或2，故C正确； 选项D：当时，：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确. 故选：ACD （3）直线与圆的位置关系 13．已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 14．已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 【答案】AD 【分析】根据题意，对y分类讨论，画出图形，对于A,找出最大值，运用两点间距离求解；对于B,对m分类讨论，解方程可解；对于C,作出临界状态的切线，求出切线方程即可；对于D,找出封闭图形，借助扇形和三角形面积公式计算. 【详解】曲线.当， 当. 曲线可以看作是以点和为圆心，半径为的两段优弧组成，构成“8”字形， 不含圆的虚线部分，如图., 对于A,曲线上两点间的最大距离为,故A正确. 对于B,因为点在曲线上，将点代入曲线方程. 当时，，解得或. 当时，，展开解得.此时无解. 所以或，选项B错误. 对于C,直线与曲线有公共点,则如图在切线a，b之间即可. 当直线与上圆切时，则，解得，则. 同理，可得当直线与下圆切时，求得，则. 则，选项C错误. 对于D,在，则，则, 则扇形的面积为. 直角三角形的面积为. 则弓形面积为. 圆的面积为：. 曲线C所围成的封闭图形的面积为两个圆的面积减去两个弓形面积即可. 即为.选项D正确. 故选：AD. 15．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可知最大距离为；对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得所以；对于C，若为圆的切线，则，解得，另一条切线为，斜率不存在；对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时，点到的距离取最大值. 【详解】对于A，由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为3， 设圆心到直线的距离为， 当时，； 当与直线不垂直时，总有， 综上，，所以点到的最大距离为，故A正确； 对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得， 所以，故B正确； 对于C，若为圆的切线，则，解得， 另一条切线为，斜率不存在，故C错误； 对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时， 点到的距离取最大值，故D正确. 故选：ABD 16．平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 【答案】ACD 【分析】对于A：设点，结合题意分析求解即可；对于B：分析可知点在圆内，结合圆的性质分析求解；对于C：求圆心到直线的距离，即可判断；对于D：分析可知当时，取到最小值，四边形面积取最小值，运算求解即可. 【详解】对于选项A：设点， 因为，整理可得，故A正确； 对于选项B：因点的轨迹方程是，圆心是，半径是， 且，可知点在圆内， 过点的直线被圆所截得的弦最短时，点是弦的中点， 根据垂径定理得弦的最小值是，故B错误； 对于选项C：圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故C正确； 对于选项D：因为四边形面积， 由数形分析可知：当时，取到最小值， 所以四边形面积取最小值，故D正确； 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：对于BD：先判断点、线与圆的位置关系，进而结合圆的性质分析最值. 17．已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】A.由圆的对称性可知，直线过圆心，B.判断直线所过的定点，当定点为弦的中点时，弦长最短，结合弦长公式，即可求解，C.利用数量积的坐标表示，结合圆的方程，即可判断，D.利用切线长公式，结合直线与圆的位置关系，即可判断D. 【详解】对于A，若圆关于直线对称，则圆心在直线上， 将代入方程解得，故正确. 对于，直线过定点，当直线与垂直时，弦长最短， 此时，圆心到直线的距离为 弦长为，故错误. 对于，设，，，， 由圆的方程可知，的最大值为5，所以的最大值为，故正确. 对于，因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直， 为点到直线的距离，为，由勾股定理得，故D正确.    故选：ACD （4）圆与圆的位置关系 18．已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】根据两圆圆心距与半径间的关系判断各项中圆与圆的位置关系，结合点线距离与半径的大小关系判断直线与圆的关系，相交情况下两圆方程相减求得公共弦所在直线的方程. 【详解】由题可知圆心，半径，圆心，半径； 故两圆圆心距为， 对于A，当时，，此时两圆相离，故圆与圆有4条公切线，即A错误； 对于B，当时，是圆的切线， 又圆心到的距离为，即圆与相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，此时圆与圆相离，即C正确； 对于D，当时，，此时圆与圆相交， 将两圆方程相减可得，即圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D错误. 故选：BC 19．点P在圆上，点Q在圆上，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值为7 C．两个圆心所在直线的斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】求两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距求的最值判断AB选项；由斜率公式计算两个圆心所在直线的斜率，判断选项C；由两圆位置关系判断选项D. 【详解】圆，圆心，半径. 圆的一般方程化成标准方程，得，则圆心，半径， 两圆圆心距，，， A选项错误，B选项正确. 两个圆心所在直线的斜率， C选项正确. 又，所以两圆外离，不相交，没有公共弦， D选项错误. 故选：BC. 20．已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，圆， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆外切时，，解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD 21．已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 22．在平面直角坐标系中，已知圆，圆，是圆的一条直径，点在圆上，设直线为两圆的公切线，则（    ） A．圆和圆外切 B．直线斜率的最小值为0 C．直线斜率的最大值为 D．面积的最大值为7 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出圆心距，得到，A错误；B选项，画出图形，得到内公切线的斜率最小，计算出最小斜率；C选项，内公切线的斜率最大，设其倾斜角为，利用二倍角公式和斜率定义求出答案；D选项，计算出，得到面积最大值. 【详解】A选项，的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， ，因为，所以和外离，选项错误； B选项，画出两圆如下：    可以看出共有4条公切线，其中内公切线的斜率最小， 其中：与和均相切，所以直线斜率的最小值为正确； C选项，由B选项可知，：，内公切线的斜率最大，设其倾斜角为， 直线的斜率，即， 则， 所以直线斜率的最大值为．C选项正确； D选项，易知，此时三点共线，    当时，面积取得最大值，最大值为，选项正确， 故选：． 23．已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为、则（    ） A．为圆上一动点，则最小值为 B．的最大值为 C．直线恒过定点 D．若圆平分圆的周长，则 【答案】AD 【分析】求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可求出的最小值，可判断A选项；求出的最大值，可得出的最大值，可判断B选项；求出直线的方程，可求出该直线所过定点的坐标，可判断C选项；求出圆、圆的公共弦所在直线的方程，分析可知，圆心在公共弦所在直线上，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，圆心到直线的距离为， 所以，若为圆上一动点，则最小值为，A对； 对于B选项，如下图所示：    连接、，则，，由切线长定理可得， 因为，，，则， 所以，，且， 由图可知，为锐角，则，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，B错； 对于C选项，设点，则， ， 所以，以点为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 将圆的方程与圆的方程作差可得， 即，即， 整理可得，由可得， 所以，直线直线恒过定点，C错； 对于D选项，若圆平分圆的周长， 将圆、圆的方程作差可得， 则圆心在直线上，即，可得，D对. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：求圆的切点弦所在直线的方法如下： （1）求出两切线与圆的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程； （2）写出两圆在切点（在圆上）处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程； （3）写出圆外一点为圆心，以圆外一点到切点的距离为半径的圆的方程，将两圆方程作差可得出切点弦所在直线的方程. 24．已知圆，圆，则（    ） A．若圆与圆相交，则 B．当时，圆与圆有两条公切线 C．当时，两圆的公共弦所在直线的方程为 D．当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等 【答案】AD 【分析】由圆与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确、B不正确；由两圆的公共弦方程的求法，可判定C不正确；过点引圆和圆的切线分别为，结合，列出方程，求得，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为，且， 对于A中，若圆与圆相交，可得，解得，所以A正确； 对于B中，当时，可得，此时两圆项外切，可得圆与圆有三条公切线，所以B错误； 对于C中，当时，可得圆， 两圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为，所以C错误； 对于D中，当时，两圆相外离，过点引圆和圆的切线分别为， 由，可得，即 ， 整理得， 可得过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等，所以D正确. 故选：AD. （5）椭圆 25．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．直线与直线斜率乘积为定值 B．存在点，使得 C．有最小值 D．的范围为 【答案】ACD 【分析】设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可得判定A；根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可判定B；根据椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用，可判定C；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 设，则，可得， 所以，故A正确； 对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得， 则，故B错误； 对于C，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 即有最小值，故C正确； 对于D，因为，则点Q在椭圆外，由 如图所示，设直线与椭圆相交于，又， 则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 26．已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（   ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 【答案】AD 【分析】A项，根据方程求出即可得出离心率；B项，作出图象，利用几何知识即可得出结论；C项，利用几何知识即可知道的取值范围，进而得出结论；D项，求出点的位置，分别得出，即可得出结论. 【详解】由题意， 在中，， A项，离心率，故A正确； B项，如图所示， 由对称性知，， ，故B错误； C项，由几何知识得， ,即， 因为，故C错误； D项，设， ∴， 当的面积为时，， 由几何知识得，，解得： 当，即时，此时，， ∴， ∴， 当，即时，同理可得，， 故D正确； 故选：AD. 27．设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，三角形面积公式可判定B，利用向量数量积公式可判定C，根据等面积法可判定D. 【详解】由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 对于A，在中，设，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； 对于B，的面积为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ABD． 28．已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（    ） A．椭圆的焦距为 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，可判断A和B；设椭圆上一点，求得，根据二次函数的性质可求最值，进而判断C和D. 【详解】对于AB，由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的焦距，离心率为，故A不正确，B正确； 对于CD，由圆，得圆心，半径， 设椭圆上任意一点， 则， 令，其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 则的最小值为，故C正确，D不正确. 故选：BC. 29．法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若点在椭圆上，且直线的斜率之和为0，则直线的斜率为 C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】AB 【分析】过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，即可得到交点在圆上，从而求出离心率，即可判断A；依题意可得直线经过坐标原点，则点，关于原点对称，设，由斜率公式求出、即可判断B；设，椭圆的左焦点为，连接，表示出，再由的范围，求出的最小值，即可判断C；依题意可得为圆的直径，则，再由面积公式即可判断D. 【详解】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线， 则这两条垂线的交点在圆上， 所以，得，所以椭圆的离心率，故A正确； 对于B，由可知，又过点，所以，解得， 所以椭圆方程为， 因为点都在圆上，且，所以为圆的直径， 所以直线经过坐标原点，易得点，关于原点对称， 设，则，，，， 所以，所以， 又，，所以，故B正确； 对于C，设，椭圆的左焦点为，连接， 因为，即， 所以， 又，所以， 所以则到左焦点的距离的最小值为，故C不正确； 对于D，因为点都在圆上，且，所以为圆的直径，则， 设点到的距离为，则， 所以面积，故D不正确； 故选：AB 【点睛】关键点点睛：C选项关键是结合的范围，D选项关键是推导出. 30．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则下列结论正确的是（   ） A．若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 B．若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 C．若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为 D．若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为 【答案】BCD 【分析】根据焦点三角形结合再应用即可求出离心率范围判断A；根据短半轴得出不等式关系，计算求出离心率即可判断B;应用已知结合椭圆定义，最后应用余弦定理即可得出离心率判断C；应用左右平方结合余弦定理及定义计算即可得出离心率判断D. 【详解】对于A，若存在点，使得，则当在短轴顶点时，即， 因为，所以，所以，故A错误. 对于B，若存在，则只需，所以，故B正确. 对于C，因为，，所以，. 因为，所以，，所以，故C正确. 对于D，因为，所以. 因为，所以，所以. 因为， 所以，所以. 由，得，所以D正确. 故选：BCD. （6）双曲线 31．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 32．已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（    ） A．若，则或9 B．左焦点到渐近线距离为 C．若A，B两点分别位于的两支，则 D．点不可能是线段AB的中点 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据双曲线的定义判断；对于选项B，根据点到直线距离公式判断；对于选项C，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，两横坐标的一正一负可求得的范围；对于选项D，，假设点是线段AB的中点，结合C选项可得，求解可得，检验可得结论. 【详解】对于选项A，根据双曲线定义，又， 则，解得或， 但，所以，所以选项A错误. 对于选项B，由双曲线，得渐近线方程为，即.， 左焦点，左焦点到渐近线距离，选项B正确. 对于选项C，直线的方程为， 联立，消去得， 展开并整理得， 若A，B两点分别位于的两支，则方程有一正根与一负根， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，设，由C选项可得， 若点是线段AB的中点，则，则， 解得，代入，矛盾. 所以点不可能是线段AB的中点，选项D正确. 故选：BCD. 33．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的交点，设，、分别为椭圆和双曲线的离心率，则以下结论正确的是（    ）    A． B．当时， C．若，则 D．的面积为 【答案】BD 【分析】由椭圆和双曲线有相同的焦点可判断A选项；由椭圆和双曲线的定义、余弦定理化简可判断B选项；在等式两边同时除以，可判断C选项；利用海伦秦九韶公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为椭圆和双曲线有相同的焦点，所以，，A错； 对于B选项，由椭圆的定义， 由双曲线的定义，所以有，， 因为，， 由余弦定理可得， 整理得，所以，，整理可得，B对； 对于C选项，因为，等式两边同时除以可得，C错； 对于D选项，的半周长为， 由海伦秦九韶公式可得 ，D对. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 34．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上位于第一象限内任意一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的渐近线方程为 C．为定值 D． 【答案】BCD 【分析】由双曲线的性质可判断；根据离心率，可得，即可判断；由即可判断；由，根据即可判断. 【详解】 因为是上位于第一象限内任意一点，所以不是定值，故错误； 因为离心率，所以， 所以，即，所以的渐近线方程为，故正确； 设，因为，， 因为点在上，所以， 所以，故正确； ， 因为是上位于第一象限内任意一点，所以， 所以，故正确. 故选：. 35．已知是双曲线上任意一点，，是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，，若恒成立，且实数的最大值为1，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．函数的图象恒过双曲线的一个焦点 D．设分别是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则 【答案】ACD 【分析】可设代入双曲线的方程，结合不等式恒成立的思想，以及基本不等式求得，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，即可判断ABC；由双曲线定义及面积求出判断D. 【详解】依题意，，，设，则，即 则，，， 因此，当且仅当时等号成立，则， 由实数的最大值为1，得即， 对于AB，双曲线的方程为，离心率，A正确，B错误； 对于C，双曲线的焦点为，函数图象恒过点，C正确； 对于D，，令，则， 由余弦定理得 ，于是， 因此，两边平方得，而， 解得，又，所以，D正确. 故选：ACD    36．已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（    ） A．若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为 B．若，则的最小值是 C．若内切圆的半径为1，则点的坐标为 D．若线段的中垂线过点，则直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】根据共渐近线设双曲线方程，结合双曲线得性质即可得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线的定义转换可得的最小值，从而判断B；设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为，根据双曲线的定义结合与三角形内切圆的几何性质，即可得点的坐标，从而判断C；根据线段垂直平分线结合点差法确定直线与垂线斜率关系，并检验直线是否符合即可确定直线斜率，从而判断D. 【详解】对于A，依题意设双曲线（且），即， 又的焦距为8，所以，，所以的方程为或，故A错误； 对于B，因为，所以，    ，当且仅当三点共线时等号成立，故B正确； 对于C，设内切圆圆心为，直线与圆的切点分别为．    则，，，所以， ，解得，， 连接，则内切圆半径，，，， 所以轴，点在第二象限，坐标为，故C正确； 对于D，设的中点为，两渐近线可写成，设，， 则，且，作差可得， 整理得，即（*）， 在中，，则， 故，即， 将此式代入（*）得，，解得，由直线的倾斜角为钝角知，则，故D正确． 故选：BCD． （7）抛物线 37．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（    ）. A． B． C．以为直径的圆与相离 D．为等腰三角形 【答案】BC 【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A：由直线，可得当时，， 所以抛物线的焦点为，所以，解得， 所以抛物线，所以准线为,故选项A错误； 对于选项B：由,可得， 解得或,所以， 故选项B正确； 对于选项C：由上述分析可知，所以的中点，其到准线的距离为,所以以为直径的圆与相切，与相离，故选项C正确； 对于选项D：,, 而，所以不是等腰三角形.故选项D错误. 故选：BC.    38．已知抛物线的焦点为，且三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．若直线BC过点F，O为坐标原点，则 C．若，则线段BC的中点到轴距离的最小值为 D．若直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为 【答案】ABD 【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可；对于B，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可；对于C，运用焦半径公式结合基本不等式求解即可；对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可. 【详解】对于A：因为在抛物线上，所以，解得，所以，故A正确； 对于B：显然直线BC的斜率不为0，设直线BC的方程为，由得，所以，所以，所以，故B正确； 对于C：因为，当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以，所以，即线段BC的中点到轴距离的最小值为，故C错误； 对于D：直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为，即，又直线AB与圆相切，所以，整理得，即，同理可得，所以直线BC的方程为，故D正确. 故选：ABD. 39．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是(    ). A．若，则线段的中点到轴的距离为 B．若直线的倾斜角为且过点，则 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．若直线的倾斜角为且过点，则的面积 【答案】AC 【分析】根据抛物线的定义知，进而即可判断A； 直线与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断B； 设，结合选项A可得该圆的半径，再求该圆的圆心到x轴的距离即可判断该圆与x轴的位置关系，进而即可判断C； 直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求，再用点到直线距离公式和面积公式即可判断D. 【详解】对于A：由抛物线，则其准线方程为． 分别设M、N到准线的距离为、，则， 所以线段的中点到x轴的距离为，A正确； 对于B：因为直线的倾斜角为且过点，所以直线的方程为， 且直线与抛物线必相交，联立方程，消去x化简并整理得. 设、，则，所以，B错误； 对于C：设，结合选项A可得，以线段为直径的圆的半径为 ．又，则以线段为直径的圆的圆心为， 所以圆心到x轴的距离为，则以线段为直径的圆与x轴相切，C正确； 对于D：直线的倾斜角为且过点，直线的方程为， 且直线与抛物线必相交，联立方程， 消去x化简并整理得．设、，则， 所以，点到的距离设为， 则，所以的面积，D错误. 故选： 40．已知抛物线的焦点为F，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），与抛物线C的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据抛物线得焦半径公式即可求得，再利用两点之间的距离公式以及焦半径公式一一判断即可得到结果. 【详解】设．由题意知，直线l的斜率， 则直线l的方程为，将其代入抛物线C，得， 得，由，得，选项A正确; 抛物线C的方程为，所以， 所以，选项C正确; 将直线l的方程为与准线联立，得， 所以，选项B正确; ，选项D错误． 故选：ABC． 41．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作直线的垂线，垂足依次为，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（    ） A． B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在上，且，则 【答案】ABD 【分析】根据的最小值求得，利用根与系数关系、向量法、抛物线的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线的焦点， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 由消去并化简得， ，设， 则， ， ，当时等号成立， 所以， 所以抛物线，焦点为， 对于选项A: 由上述分析可知， ， 所以，故A正确； 对于选项B：因为的倾斜角为，抛物线的焦点为，点在第一象限， 设 ， 由直线的点斜式方程可得：直线的方程为： ， 其与抛物线联立方程组可得： ， 解得 ； 所以，故B正确； 对于选项C：设直线的方程为： ， 其与抛物线联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 所以， 即， 所以，解得 ，故C错误； 对于选项D：由， 得：, 所以，故D正确； 故选：ABD. 42．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示：    过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 43．已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．抛物线的方程为 C． D．点在以线段为直径的圆上 【答案】BD 【分析】过点作，垂足为，根据抛物线的定义知，得到，利用二倍角的正切公式求出可判断A；根据为等腰直角三角形，可求出可判断B；将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出的值可判断C；设线段的中点为，求出的坐标，得到可判断D. 【详解】对于A选项，如图，过点作，垂足为， 由抛物线的定义知， 所以与全等，则， 因为，，， 所以， 则， 则，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于B选项，设直线与轴交于点，则， 由上可知，，则为等腰直角三角形， 因为，则，得， 所以抛物线方程为，故B正确； 对于C选项，由上可知，直线的方程为， 设、， ，则， 联立，整理得， 则，所以，则， 所以，故C错误； 对于D选项，设线段的中点为， 则，，则， 由上可知，则， 又， 所以点在以线段为直径的圆上，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. (8)数列 44．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列. 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于C，，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 45．已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（   ） A． B．为递减数列 C．若，则，且 D．当或时，取得最大值 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合二次函数的性质逐项分析即可得答案. 【详解】由题意得，解得，故A正确； ，故为递减数列，即B正确； ，解得且，故C错误； 由二次函数的性质可知：的图象开口向下且关于直线对称， 由于，所以当或时，取最大值，故D正确； 故选：ABD. 46．已知数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D．的前项积 【答案】AB 【分析】将代入判断A；关系及等比数列定义求通项，并确定前n项和判断B、C；根据分析及等差数列前n项和公式判断D. 【详解】A：令，则，对； B：由，若时，作差可得， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列，则，对； C：由B分析知，，错； D：由上知，，错. 故选：AB 47．已知数列满足，则（ ） A． B．数列是等差数列 C．数列的最小项为4 D．的前项和为 【答案】ABD 【分析】对递推公式两边同时加6，这样可以确定数列是等比数列，再结合等比数列的通项公式、前项和公式，对数的运算性质、等差数列的定义、基本不等式逐一判断即可. 【详解】由， 因此是以为首项，公比为的等比数列，因此有 . A：因为，所以A正确； B：因为 ， 所以数列是等差数列，因此B正确； C：， 当且仅当时取等号，即当时取等号，因为是正整数， 所以上述不等式等号不成立，即，所以C错误， D：因为， 所以的前项和为，所以D正确； 故选：ABD 48．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，下列结论错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】ABC 【分析】先假设与即可得到不符合题意，从而可得，，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，则不合乎题意， 所以，故数列为正项等比数列， 因为，，， 若，则， 则，，则， 这与已知条件矛盾，所以不符合题意， 所以，则， 因为数列为正项等比数列，所以，故A错误； 由，，可得， 则，即，故B错误； 由，可知为数列的最大值，故C错误； ，故D正确； 故选：ABC 49．已知数列，下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则数列是等比数列 D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列 【答案】ABD 【分析】A.利用累加法求和，即可判断；B.利用构造法，构造为等比数列，求通项公式，即可判断;C.利用公式，即可求解通项公式，判断选项；D.根据等差数列前项和公式，结合等差数列的定义，即可判断选项. 【详解】对于选项A，由，得， 则 ，故A项正确； 对于选项B，由得， 所以为等比数列，首项为，公比为2， 所以，所以，故B项正确； 对于选项C，因为， 当时，， 当时，， 将代入，得， 所以，所以数列不是等比数列，故C项错误. 对于选项D，设等差数列的公差为d， 由等差数列前项和公式可得， 所以与n无关， 所以数列为等差数列，故D项正确. 故选：ABD 50．已知定义在R上的函数满足：，若为数列的前n项和，且，（）则下列结论中正确的有（    ） A． B．数列为等比数列 C．为等差数列 D． 【答案】CD 【分析】选项A：利用对称性求解，选项B利用退一步相减法结合等差数列的通项公式是伪一次函数的性质求解即可，选项C利用等差数列的性质求解即可，选项D利用利用裂项相减法求解即可. 【详解】因为所以 ， ， 两式相加：所以，故选项A错误. 当时，当时， 所以符合一次函数的形式， 所以数列为等差数列不是等比数列，故选项B错误. 符合一次函数的形式，故为等差数列，故选项C正确. 因为所以 ，所以. 故选：CD. 51．在数列中，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C． D．是等比数列 【答案】BCD 【分析】对已知递推式变形可得是以1为首项，为公差的等差数列，则可求出，从而可求出，然后逐个分析判断. 【详解】，则， 因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列， 则，则， 所以，， 所以， 所以是首项为3，公比为1的等比数列， 所以A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD 52．下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若是等比数列，，则 D．若，则数列单调递增 【答案】AD 【分析】利用数列周期性判断A；求出通项公式判断B；利用等比数列片段和的性质计算判断C；作商求出通项并确定单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，则数列的周期为3， 又，因此，A正确； 对于B，，则数列是等比数列，， 当，而不满足上式，B错误； 对于C，是等比数列，，则成等比数列， 其首项为1，公比为3，则，C错误； 对于D，，当时，， 当，，满足上式， 因此且，则数列单调递增，D正确. 故选：AD 53．在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列，下列说法正确的是（    ） A．若为1阶等比数列，，，则为等比数列且公比2 B．若为1阶等差数列，共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50，则为等差数列且公差为2 C．若为m阶等比数列，则为m阶等差数列 D．若既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，则是等比数列 【答案】BCD 【分析】对于A，根据题意可得为正项等比数列，求出首项与公比，再根据等比数列的前项和公式即可得解；对于B，根据题意可得为等差数列，根据题意写出，，两式相减即可得解；对于C，由为阶等比数列，可得，使得成立，再根据阶等差数列即可得出结论；对于D，根据既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，可得与同时成立，再结合等比数列的定义即可得出结论. 【详解】对于A，因为为1阶等比数列，所以，则为正项等比数列， 设公比为，则为正数， 由已知得 两式相除得，所以（舍去），故A错误． 对于B，  因为为1阶等差数列，则，则为等差数列. 设公差为d． 因为共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50. 则，，两式相减得到， 解得.故B正确. 对于C，因为为阶等比数列， 所以，使得成立， 所以， 又， 所以， 即成立， 所以为阶等差数列；故C正确． 对于D，因为既是3阶等比数列，又是4阶等比数列， 所以与同时成立， 所以与同时成立， 又的各项均为正数，所以对任意的， 数列和数列都是等比数列， 由数列是等比数列， 得也成等比数列， 设， 所以，所以是等比数列． 故D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新的概念来创设全新的问题情境，要求学生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息迁移，达到灵活解题的目的，遇到新定义的问题，应耐心读题，分析新定义，弄清新定义的性质，按新定义的要求运算求解. 54．定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（    ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和与数列的前项和相等 D．数列的前项和为，则 【答案】ACD 【分析】由递推关系可得数列是以为首项，以为公差的等差数列，从而可得，再结合等比数列的求和公式，即可判断ABC，再由裂项相消法代入计算，即可判断D 【详解】由可得，且， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，即， 则，所以，故A正确； 因为，由等比数列的求和公式可得该数列的前项和为，故B错误； 因为，，这两个数列的通项公式相同， 则其前项和相等，故C正确； 因为，则， 则其前项和 ， 且当时，取得最小值为，所以，故D正确； 故选：ACD 55．已知数列满足，且，，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列的前n项和为 C．数列的前n项和为 D．若，数列的前n项和为，则 【答案】BCD 【分析】由条件可得，即可判断A，由数列的通项公式即可判断B，由错位相减法即可判断C，由裂项相消法即可判断D 【详解】对A,因为，则，其中， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，故A错误； 对B,，则， 所以， 则数列的前n项和为，故B正确； 对C,设数列的前n项和为，则， 即①， 则②， ①②可得， 则，故C正确； 对D,因为， 则 ，故D正确； 故选：BCD 56．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可. 【详解】因为数列满足，， 所以 ， 所以， 所以AB正确，C错误， 因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而， 所以，所以D正确， 故选：ABD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 高二期末多选题专题训练 （1）空间向量与立体几何 1．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 2．下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 3．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 4．如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．平面 C．二面角的大小为 D．点到平面的距离为2 5．如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（   ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．直线与平面所成的角的余弦值为 C．点A到平面的距离为 D．平面与平面所成的角的大小为 6．在正方体中，，点是的中点，空间中一点满足，则（    ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得平面 D．当时，有且仅有一个点，使得与所成角为 7．在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（   ） A． B．该三棱柱的体积为4 C．过，，三点截该三棱柱的截面面积为 D．直线与平面所成角的正切值的最大值为 8．如图，在四棱锥中，平面平面，，，若 ，，为棱的中点在，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．二面角的余弦值为 C．二面角的正弦值为 D．若在线段上存在点，使得点到平面的距离是，则 的值为 （2）直线方程和直线的位置关系 9．已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．直线过定点 B．若，则 C．若两条平行直线与间的距离为，则 D．点到直线距离的最大值为 10．下列说法正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C．曲线过点的最短弦长为； D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 11．已知直线，直线，则（    ） A．当时，与的交点为 B．直线恒过点 C．若，则 D．存在，使 12．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 （3）直线与圆的位置关系 13．已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 14．已知曲线，则（    ） A．曲线上两点间的最大距离为 B．点在曲线上，则 C．直线与曲线有公共点，则 D．曲线C所围成的封闭图形的面积为 15．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点到的最大距离为8 B．若被圆所截得的弦长最大，则 C．若为圆的切线，则的取值为0或 D．若点也在圆上，则点到的距离的最大值为3 16．平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（    ） A．点的轨迹的方程是 B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是 C．直线与点的轨迹相离 D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4 17．已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．若圆关于直线对称，则 B．若直线与圆交于M，N两点，则的最小值为 C．若，动点在圆上，则的最大值为30 D．若过直线上任意一点作圆的切线，切点为，则的最小值为 （4）圆与圆的位置关系 18．已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 19．点P在圆上，点Q在圆上，则（    ） A．的最小值为0 B．的最大值为7 C．两个圆心所在直线的斜率为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 20．已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 21．已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 22．在平面直角坐标系中，已知圆，圆，是圆的一条直径，点在圆上，设直线为两圆的公切线，则（    ） A．圆和圆外切 B．直线斜率的最小值为0 C．直线斜率的最大值为 D．面积的最大值为7 23．已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为、则（    ） A．为圆上一动点，则最小值为 B．的最大值为 C．直线恒过定点 D．若圆平分圆的周长，则 24．已知圆，圆，则（    ） A．若圆与圆相交，则 B．当时，圆与圆有两条公切线 C．当时，两圆的公共弦所在直线的方程为 D．当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等 （5）椭圆 25．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．直线与直线斜率乘积为定值 B．存在点，使得 C．有最小值 D．的范围为 26．已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（   ） A．的离心率为 B． C．的值可以为3 D．若的面积为，则 27．设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 28．已知是椭圆上的动点，是圆上的动点，则（    ） A．椭圆的焦距为 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 29．法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．若点在椭圆上，且直线的斜率之和为0，则直线的斜率为 C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为 D．面积的最大值为 30．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则下列结论正确的是（   ） A．若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 B．若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 C．若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为 D．若存在点，使得，且，则椭圆的离心率为 （6）双曲线 31．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 32．已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（    ） A．若，则或9 B．左焦点到渐近线距离为 C．若A，B两点分别位于的两支，则 D．点不可能是线段AB的中点 33．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的交点，设，、分别为椭圆和双曲线的离心率，则以下结论正确的是（    ）    A． B．当时， C．若，则 D．的面积为 34．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上位于第一象限内任意一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为2，则下列说法正确的是（ ） A．为定值 B．的渐近线方程为 C．为定值 D． 35．已知是双曲线上任意一点，，是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，，若恒成立，且实数的最大值为1，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．双曲线的离心率为 C．函数的图象恒过双曲线的一个焦点 D．设分别是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则 36．已知分别是双曲线的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于两点，点为上第二象限内一点，则（    ） A．若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为8，则的方程为 B．若，则的最小值是 C．若内切圆的半径为1，则点的坐标为 D．若线段的中垂线过点，则直线的斜率为 （7）抛物线 37．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（    ）. A． B． C．以为直径的圆与相离 D．为等腰三角形 38．已知抛物线的焦点为，且三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B．若直线BC过点F，O为坐标原点，则 C．若，则线段BC的中点到轴距离的最小值为 D．若直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的方程为 39．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是(    ). A．若，则线段的中点到轴的距离为 B．若直线的倾斜角为且过点，则 C．以线段为直径的圆与轴相切 D．若直线的倾斜角为且过点，则的面积 40．已知抛物线的焦点为F，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点（点B在第四象限），与抛物线C的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 41．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，过分别作直线的垂线，垂足依次为，若长的最小值为4，则下列结论正确的有（    ） A． B．若的倾斜角为，点在第一象限，则 C．若，则的斜率为1 D．若点在上，且，则 42．已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 43．已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上位于第一象限内的点，直线为抛物线的准线，点在直线上，若，，，且直线与抛物线交于另一点，则下列结论正确的是（   ） A．直线的倾斜角为 B．抛物线的方程为 C． D．点在以线段为直径的圆上 (8)数列 44．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 45．已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（   ） A． B．为递减数列 C．若，则，且 D．当或时，取得最大值 46．已知数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D．的前项积 47．已知数列满足，则（ ） A． B．数列是等差数列 C．数列的最小项为4 D．的前项和为 48．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，下列结论错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 49．已知数列，下列结论正确的有（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则数列是等比数列 D．若为等差数列的前项和，则数列为等差数列 50．已知定义在R上的函数满足：，若为数列的前n项和，且，（）则下列结论中正确的有（    ） A． B．数列为等比数列 C．为等差数列 D． 51．在数列中，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C． D．是等比数列 52．下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若是等比数列，，则 D．若，则数列单调递增 53．在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为m阶等差数列，下列说法正确的是（    ） A．若为1阶等比数列，，，则为等比数列且公比2 B．若为1阶等差数列，共有30项，其中奇数项之和为20，偶数项之和为50，则为等差数列且公差为2 C．若为m阶等比数列，则为m阶等差数列 D．若既是3阶等比数列，又是4阶等比数列，则是等比数列 54．定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（    ） A． B．数列的前项和为 C．数列的前项和与数列的前项和相等 D．数列的前项和为，则 55．已知数列满足，且，，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列的前n项和为 C．数列的前n项和为 D．若，数列的前n项和为，则 56．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$