专题08 等比数列（5大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（四川专用）

专题08 等比数列 等比数列基本量的计算 1．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知等比数列满足，则首项（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出关于的方程组，再求解即得. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 所以. 故选：C 2．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可. 【详解】若等比数列的各项均为正数，所以公比， 且成等差数列，可得, 即得 可得， . 故选：C. 3．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知等比数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得等比数列的公比，进而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，则，所以， 所以，， 所以，所以. 故选：B 4．（23-24高三下·四川·期末）已知各项都为正数的等比数列满足，，则（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】D 【分析】设出等比数列的公比，由给定等式列出方程组求解. 【详解】设正数等比数列的公比为，由，得， 整理得，解得，所以. 故选：D 5．（21-22高一下·四川绵阳·期末）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比中项得，再利用和等比数列的通项公式计算，即可得到的值. 【详解】因为是正项等比数列，所以 ，， 由等比中项得，解得， 所以解得，， 所以. 故选：B. 6．（21-22高一下·四川成都·期末）数列的前n项和为，，若，则m的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用关系可得，并求得，根据等比数列的定义及其前n项和公式，即可求m的值. 【详解】由，则，两式相减得：，而， 所以，故是首项、公比均为的等比数列， 所以，可得. 故选：C 7．（20-21高一下·四川宜宾·期末）设是等比数列的前n项和，，，则首项（    ） A． B．12 C．1或 D．3或12 【答案】D 【分析】根据等比数列的基本量计算即可. 【详解】是等比数列的前n项和，，， ∴当公比q＝1时，，此时满足题意， 当公比q≠1时，， 解得， ∴首项的值为3或12． 故选：D． 等比数列的性质 8．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知为等比数列，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质直接计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选:B. 9．（21-22高一下·四川成都·期末）正项数列中，对任意，满足，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由已知条件判断数列为等比数列，然后利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为对任意，满足，所以， 所以，所以数列为等比数列， 因为，所以， 所以， 因为为正项数列，所以， 故选：C 10．（20-21高一下·四川雅安·期末）在等比数列中，，是方程的二根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质、韦达定理列方程组求解． 【详解】解：在等比数列中，，是方程的二根， 则，， 则． 故选：B． 11．（23-24高二上·四川·期末）数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．是等差数列 D．、、成等比数列 【答案】ABC 【分析】利用等比数列的定义可判断ABD选项，利用等差数列的性质可判断C选项. 【详解】设等比数列的公比为，对任意的，，则， 对于A选项，，则数列是等比数列，A对； 对于B选项，，则数列是等比数列，B对； 对于C选项，为常数，则是等差数列，C对； 对于D选项，， ， 所以，、、不成等比数列，D错. 故选：ABC. 12．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为单调递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】ABC 【分析】利用的关系求出可判断AD；利用等比数列的定义可判断C；由首项及公比可判断B. 【详解】∵，∴，故A正确； 当时，， ∴，也适合， ∴，故D错误； ∵，∴数列是公比为3的等比数列，故C正确； ∵，公比大于1，∴数列为单调递增数列，故B正确. 故选：ABC. 13．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知数列是等差数列，是等比数列，.（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用等差数列、利用等差数列的性质判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 当时，，故A正确； 当公差时，是常数列，，但与不一定相等，故B不正确； 设等比数列的公比为， 若“”，则，故C正确； 当公比时，是常数列，，但与不一定相等，故D不正确. 故选：AC. 等比数列前n项和性质 14．（20-21高一下·四川成都·期末）设数列的前项和为，有下面四个结论： ①若是二次函数，则数列是等差数列； ②若数列是等差数列，则是二次函数； ③若，其中，，则数列是等比数列； ④若数列是等比数列则，，也是等比数列其中结论正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】依次举出符合命题①②③④的条件的事例进行分析、计算并判断作答. 【详解】对于①，令，则时，，而，不满足上式，即数列不是等差数列，①不正确； 对于②，令，数列是等差数列，而，不是二次函数，②不正确； 对于③，，则，时，，数列不是等比数列，③不正确； 对于④，等比数列公比，为偶数时，，，为0，即它们不成等比数列，④不正确. 所以命题①②③④都是错误的，正确的个数为0. 故选：A 15．（10-11高一下·四川成都·期末）已知数列()，其前项和为，给出下列四个命题： ①若是等差数列，则三点、、共线； ②若是等差数列，且，，则、、…、这个数中必然存在一个最大值； ③若是等比数列，则、、()也是等比数列； ④若(其中常数)，则是等比数列. 其中正确命题的序号是 .(将你认为的正确命题的序号都填上) 【答案】①④. 【分析】命题①：求出，判断出为一条直线，即可证明； 命题②：求出公差d=2，则数列是递增数列，没有最大值，即可判断； 命题③：取特殊数数列：设，否定结论； 命题④：利用等比数列的定义直接证明. 【详解】命题①：若是等差数列，则，所以为一条直线，所以三点、、共线；结论成立； 命题②：设等差数列的公差为d，由，，解得：d=2，该数列是递增数列，，，故最小，没有最大值.结论错误； 命题③：若是等比数列，不妨设，则当m=2时，有，，，不能构成等比数列；结论错误； 命题④：由（*），时有（**）. （*）-（**）可得：. 因为常数，符合等比数列的定义，则是等比数列.结论成立． 故答案为：①④. 16．（23-24高一下·四川·期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（    ） A．80 B．120 C．150 D．180 【答案】C 【分析】根据等比数列的片段和性质，即可容易求得结果. 【详解】因为数列是等比数列， 故可得依然成等比数列， 因为，故可得， 故该数列的首项为，公比为2， 故可得. 故选：. 【点睛】本题考查等比数列的前项和，属基础题. 17．（23-24高三上·安徽池州·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【分析】利用前100项中奇数项和与偶数项和的关系. 【详解】设，则， 又因为，所以， 所以. 故选: D 【点睛】若等比数列有偶数项，则,用整体的思想处理问题，方便简捷. 18．（23-24高二下·四川成都.期末）已知等比数列中，满足，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 【答案】ACD 【分析】根据等比数列的定义以及性质即可根据选项判断ABC，由，成等比数列即可判断D. 【详解】对于A，，所以，故，又， 所以为等比数列，故A正确， 对于B，，，所以为等比数列， 且公比为，首项为1，故是递减数列，故B错误； 对于C，，所以为公差为1的等差数列，故C正确， 对于D， 又， 所以，成等比数列，故D成立， 故选：ACD 19．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C．成等比数列 D．“”是“成等差数列”的充要条件 【答案】ABD 【分析】 对A、B、D，结合与的关系，将与互相转化计算即可得；对C，举出反例当时其不成立即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：当时，有，等比数列不能有项为，故C错误； 对D：当时， ，故由“”可得“成等差数列”， 当成等差数列时，可得， 即有， 即，可得，即由“成等差数列”可得“”， 故“”是“成等差数列”的充要条件，故D正确. 故选：ABD. 20．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 【答案】/0.5 【分析】设数列共有项，根据等比数列的性质得出奇偶项的和之间的关系，即可求得答案. 【详解】设数列共有项， 由题意得，， 则， 解得， 故答案为： 21．（23-24高一下·四川南充·期中）等比数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列得前项和公式可得，即可求出结果. 【详解】因为等比数列得前项和为，又因为，所以，即， 故答案为：. 等比数列的证明 22．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列满足则 . 【答案】1024 【分析】由可得，从而可得数列是以2为公比，1为首项的等比数列，可求出通项公式，进而可求出 【详解】因为 所以， 所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以，所以， 所以， 故答案为：1024 23．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，消去，即可证明为等比数列，求得通项； （2）将数列的通项进行裂项，再运用裂项相消法即可求出并证得. 【详解】（1）因为①， 所以当时，②， ①②得：，即(*)， 又当时，，即，所以， 由(*)可得，， 则数列为以2为首项，2为公比的等比数列，故； （2）由（1）知， 故， 因，，故得. 24．（23-24高二下·四川南充·期末）已知是数列的前项和，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由，可得，可得，得到证明. （2）由（1）可得，则，则，利用错位相减求和法计算得到答案. 【详解】（1）， 当时，，解得， 当时，，， 两式相减得，， 所以， 故是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可知，， 所以， ， 则， 两式相减得， ， 所以. 25．（23-24高二上·四川内江·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)是等比数列，； (2)证明见解析. 【分析】（1）应用求得且，注意验证，即可判断是否为等比数列，进而写出通项公式； （2）由（1）得，裂项相消法求，即可证结论. 【详解】（1）由题设，即，且， 又时，，可得， 综上，是公比为2的等比数列，通项公式为. （2）由题设，故， 所以 ，又， 所以，得证. 26．（21-22高一下·四川凉山·期末）已知数列前n项和，满足． (1)证明是等比数列； (2)数列，，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由得，.从而得到 是等比数列. （2）将代入并化简得 ，裂项相消即可. 【详解】（1）由得：，， 所以，即，， 当时，，则，所以是以为首项，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，则， 故，. 所以. 27．（20-21高一下·四川宜宾·期末）已知数列满足，． (1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，为数列的前n项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知，解得；再由当时，，又，两式相减可得，即为，即可证明答案，进而求出的通项公式； （2）根据题意，可得，对和的前n项进行求和得和，由，故可证. 【详解】（1）证明：由，，可得，解得； 当时，，又， 两式相减可得， 即为，由于，， 所以数列是首项和公比均为2的等比数列， 则，可得； （2）证明：，可得， 当时，； 又， 可得时，； 当时，，满足．所以． 等比数列的前n项和 28．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【分析】A、B、C均可由等比数列的概念和通项公式可得；D选项需要利用错位相减法求和，进而可得答案. 【详解】由等比数列的公比为，，，可得，即，故A错误； ，故B正确； 又，所以， 即是一个以为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 验证当时的结果，此时，则， 所以， ， ， 得， 所以，故D错误， 故选：BC. 29．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 【答案】77 【分析】根据等差数列及等比数列求和公式分组求和计算即可. 【详解】因为当n为奇数时为等差数列，公差为1，, ; 当n为偶数时为等比数列，公比为2，, ; 所以. 故答案为：77. 30．（23-24高二上·四川成都·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式求出，设的公差为，结合求出，即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，，令得，解得， 设的公差为， 因为，所以， 所以， 故的通项公式为． （2）由（1）知， 所以①， ②， ①②得， 化简得， 所以． 31．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，求解即可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法可求. 【详解】（1）设数列的公差为，则， 又是和的等比中项，所以， 解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以，所以 32．（23-24高三上·四川成都·期末）数列的前项和， (1)求数列的通项公式： (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用得出的递推关系，从而求得通项公式； （2）利用错位相减法求和． 【详解】（1）因为，所以当时，，所以， 当时，，所以， 整理可得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）由（1）有，所以， 错位相减可得： ， 令； 错位相减可得： 所以， 所以. 所以. 33．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知数列的前项和为.数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列为等比数列； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用与的关系即可求解； （2）利用倒数法及等比数列的定义，结合等比数列的通项公式即可求解； （3）根据（1）（2）的结论，求出，利用数列求和中的分组求和法、等差数列的前项和公式及错位相减法即可求解 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，依然成立， 所以的通项公式是. （2）由，得， . 又. 故是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以. （3）由（1）（2）知，， 则 . 令①， ②， ①－②得，， ， ， . 34．（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，，且，数列满足， ，其中n∈N*． (1)分别求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意推得，得到数列为等比数列，求得，再由，利用累乘法，求得数列的通项公式； （2）由（1）知，，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 两式相减，可得，即， 又由时，，可得， 所以， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 故数列的通项公式为， 由，可得， 故，，，……，，， 以上个式子相乘得，， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，， 可得，所以， 所以，， 两式相减得，， 所以． 等比数列的函数特性 35．（23-24高一下·四川成都·期末）已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列单调递减，得到，，再根据，求解. 【详解】因为等比数列单调递减， 所以，， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用以及数列的单调性的应用，属于基础题. 36．（2021·四川巴中·一模）已知公差不为的等差数列的前项和为，且，设，数列的前项积为.给出以下四个结论：①的最大值为；②；③数列是递增等比数列；④其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由已知条件可得出，利用等差数列的求和公式可判断②④的正误，取可判断①的正误，取可判断③的正误. 【详解】设等差数列的公差为，由可得，则. 所以，. 若，则无最大值，①错误； ，②正确； ，故， 当时，数列是递减的等比数列，③错误； ，则，④正确. 故选：B. 37．（20-21高二上·吉林·期末）已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】等比数列的通项公式为，由指数函数的单调性结合充分条件以及必要条件的概念可得结果. 【详解】因为等比数列的通项公式为， 当，时，数列为递减数列，即充分性不成立； 当“数列是递增数列”时，可能是，，即必要性不成立； 即“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 38．（18-19高一下·四川成都·期中）下面关于等比数列和公比叙述正确的是（ 　） A．为递增数列 B．为递增函数 C．为递减数列 D．为递增函数列且为递增函数 【答案】D 【分析】通过举反例即可将项分别排除，确定正确答案. 【详解】项：若，则的各项为……，显然是递减数列，不正确. 项：等比数列的各项为……，是递增数列，，该选项不正确. 项：若，则的各项为……，显然是递增数列，不正确. 利用排除法即可知，只有项正确. 【点睛】主要考查了等比数列的单调性问题，属于基础题. 39．（23-24高二下·四川·期中）设无穷等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．是数列中的最大项 D．数列存在最小项 【答案】AC 【分析】根据等比数列的单调性可判断，进而可判断，，即可结合选项逐一求解. 【详解】由，所以，又， 当时，则，，不成立， 所以，所以数列为正项数列且单调递减. 对于A，由数列为正项数列，所以，故A正确； 对于B，由，所以，，所以， ，故B错误； 对于C，D，根据上面分析，数列为正项数列且单调递减，且，， 所以，所以是数列的最大项，无最小项，故C正确，D错误. 故选：AC. 40．（23-24高二下·四川南充·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是数列中的最大项 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质， 则或，，，所以，，推得公比，即可依次求解． 【详解】由，则或， ，，和同号，且同为正，且一个大于1，一个小于1， ，，，即数列的前2022项大于1， 而从第2023项开始都小于1， 对于A，公比，故A正确， 对于B，，，即，故B错误， 对于C，， ，，即，故C正确． 对于D，等比数列的前项积为， 且数列的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1， 故是数列中的最大项，故D正确. 故选：ACD. 41．（22-23高三上·湖北·期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】ACD 【分析】由等比数列的性质与条件得，对选项逐一判断， 【详解】由，，与等比数列性质， 可得， 对于A，，则成立，故A正确， 对于B，，则，故B错误， 对于C，当时，，当时， 故是数列中的最大项，故C正确， 对于D，，故D正确， 故选：ACD 等比数列的实际应用 42．（19-20高一下·四川宜宾·期末）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.在龙门石窟的某处“浮雕象”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕象”构成一幅优美的图案.已知该处共有个“浮雕象”，则正中间那层的“浮雕象”的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为2等比数列，故只需利用，求出最下层的浮雕数量，即可求出正中间那层，即第4层的“浮雕象”的数量. 【详解】根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为2等比数列， 设最下层的浮雕数量为，则由，解得， 所以正中间那层为第4层，其“浮雕象”的数量. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及等比数列的前项和公式的应用，属于基础题. 43．（23-24高二下·四川绵阳·期末）我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（记为第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设第年年底绿洲面积为万平方千米，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，列出第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系，利用递推关系，构造新数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可； 【详解】由题意得， ， ， 可变形为，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故. 故选：A 44．（23-24高三上·四川·期末）剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式求解． 【详解】由题意数列是等比数列，公比是2，且，∴， 故选：C． 45．（22-23高三上·四川·期末）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（    ） （注： 或或或的区间长度均为） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，可得第次操作剩余区间的长度和，即可得解. 【详解】解：将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得： 每次去掉的区间长组成的数为以为首项，为公比的等比数列， 第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为， 第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为， 第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为， 第4次操作去掉8个区间长为，剩余区间的长度和为， 第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为， 所以； 设定义区间为，则区间长度为1， 所以第次操作剩余区间的长度和为， 则去掉的区间长度和为. 故选：B 46．（22-23高三上·四川绵阳·期末）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（    ） A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里 C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里 【答案】D 【分析】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列,由题意求出首项，可得其通项公式，即可求出，判断A,B;求出可判断C,D. 【详解】由题意可知该人每天走的路程构成了公比为的等比数列， 设数列前n项和为，则， 故 ，解得， 则， 故 ，该人第五天走的路程为12里，A错误； ，该人第三天走的路程为48里，B错误； ，该人前三天共走的路程为里，C错误； 由（里），可知该人最后三天共走的路程为42里，D正确， 故选：D 47．（19-20高一下·四川成都·期末）“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）．这形象地说明了事物具有无限可分性．问：当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题可知截取第次后，剩余的棍棒长为尺，然后列不等式可求出的值 【详解】解：由题意可知第一次剩余的棍棒长度为尺，则第次剩余的棍棒长为尺， 由得，≥6 所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为6， 故选：A 【点睛】此题考查等比数列的应用，属于基础题. 48．（23-24高二上·四川·期末）2019年11月11日是石室中学周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱”的活动.其中一题如下：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.若该数列前项和为，则求满足，且是的倍数条件的整数的个数为 A．10 B．12 C．21 D．60 【答案】A 【分析】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前项和．将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：，，，，利用等比数列前项和公式，可得答案 【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1， 即：，，，， 根据等比数列前项和公式， 求得每项和分别为：，，，，， 每项含有的项数为：1，2，3，，， 总共的项数为， 所有项数的和为 ， 当时，成立，N=15, 当时，成立, N=55 ,,所以多出的6项符合． 综上所述，，故满足条件的N可表示为，共10个，选A. 【点睛】此题来自于2017年全国新课标Ⅰ卷试题改编，试题本身难度大，考生解决此类问题需要学会对数据分组，合理采用赋值法，也需要不断提升计算能力． 49．（23-24高一下·四川成都·期末）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是                       A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意建立方程，再结合等比数列求和公式，即可求出的值. 【详解】设每年偿还的金额为， 则， 所以， 解得 故选D. 【点睛】主要考查了等比数列求和，方程的求解，以及数学应用能力，属于中档题.这类型题的关键在于结合生活实际，读懂题意，合理地转化为数学问题，再进行求解. 等比数列的综合应用 50．（23-24高二下·四川泸州·期末）数列的前n项和满足，若，则的值是（    ） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】由已知结合化简变形可得数列是以2为首项，为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 因为，，所以，得， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故选：B 51．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案. 【详解】依题意，（），， 当时， ， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A 【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解. 52．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知数列的前项和为，首项， 且满足， 下列结论正确的（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】ABC 【分析】选项A，根据条件得到当为偶数时，，当为奇数时，，再利用，即可求解；选项B，利用条件得到，即可判断出选项B的正误；选项C，利用选项B中的结果，得到，进而可得到，即可求解；选项D，根据选项C中的结果，作差比较，即可求解. 【详解】因为， 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 对于选项A，因为，所以，，故选项A正确， 对于选项B，当，因为， 得到，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故选项B正确， 对于选项C，由选项B可得，即， 所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，由选项C知， 得到，所以选项D错误， 故选：ABC. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用余弦函数的周期，得到当为偶数时，，当为奇数时，，即可求解. 53．（23-24高二上·四川成都·期末）记为数列的前项和．已知，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D． 【答案】ACD 【分析】令代入已知，求出，判断A；求出，判断B；根据的关系结合等比数列定义判断C；求出，即可判断D. 【详解】对于A，由于，令，则，A正确； 对于B，令，则，则，B错误； 对于C，当时，，则， 即，则，而， 故数列为首项为，公比为的等比数列，C正确； 对于D，由C可知，即， 故，D正确， 故选：ACD 54．（23-24高二上·四川宜宾·期末）在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值 . 【答案】 【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果． 【详解】由整理得，即，又， 故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得, 不等式，可化为， 令，当时，； 当时，，， 故当时，单调递减，故， 综上，， 所以，故最小值为． 故答案为： 55．（23-24高二上·四川德阳·期末）等比数列满足，类比“”，我们记，则 . 【答案】32 【分析】利用等比数列的性质计算即可. 【详解】利用等比数列的性质可得 . 所以. 故答案为：. 56．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. (1)求数列， 的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用递推式可得，利用“累加法”可得； （2）利用“错位相减法”，结合等比数列前项和公式即可求解. 【详解】（1）由，可知当时，；     当时，因为， 所以， 两式相减得，， 即， 因为也满足上式， 所以； 又数列满足，且， 当时，可得 ， 当时，也满足上式， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，，     所以，     所以，      两式相减得： ， 所以． 57．（23-24高二下·四川乐山·期末）设数列是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列单调递增，记，求数列的前n项和，并证明：． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式求出公比和公差，即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由，，， 得，解得或， 所以或； （2）因为数列单调递增，所以， 则，故， 则，① ，② 由①②得 ， 所以， 令， 则， 所以， 所以， 所以． 58．（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列满足，，为数列的前n项和，则满足不等式的n的最大值为 . 【答案】8 【分析】已知递推关系凑配一个等比数列，从而可得通项公式，再由分组求得法及等比数列的前项和公式求得，化简不等式后求解即得． 【详解】由得，又，从而， 所以是等比数列，所以， ，所以， ，由得（因为是正整数）， 所以的最大值是8. 故答案为：8. 【点睛】方法点睛：在已知递推关系的数列，一般用凑配法得出等比数列，从而求得其通项公式：设，则，由此有，在时，因此只要，则数列是等比数列（，数列是等差数列，，数列是常数列）． 59．（23-24高二上·四川宜宾·期末）设正项数列的前项和为，，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和，求的值. 【答案】(1) (2)99 【分析】（1）由等式，得到，证明了数列是等比数列，求出公比，写出数列的通项公式即可； （2）首先将数列的通项公式代入，求出数列的通项公式，裂项相消法求其前项和即可. 【详解】（1）由， 及，得，则， 故正项数列为等比数列， 由于，，则， 则或（舍去） 故公比， 所以； （2）由（1）得：， 所以， 又，得，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等比数列 等比数列基本量的计算 1．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）已知等比数列满足，则首项（    ） A． B． C．1 D．2 2．（23-24高二下·四川成都·期末）若等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 3．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知等比数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·四川·期末）已知各项都为正数的等比数列满足，，则（   ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．（21-22高一下·四川绵阳·期末）设是正项等比数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一下·四川成都·期末）数列的前n项和为，，若，则m的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（20-21高一下·四川宜宾·期末）设是等比数列的前n项和，，，则首项（    ） A． B．12 C．1或 D．3或12 等比数列的性质 8．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知为等比数列，若，则的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 9．（21-22高一下·四川成都·期末）正项数列中，对任意，满足，且满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（20-21高一下·四川雅安·期末）在等比数列中，，是方程的二根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 11．（23-24高二上·四川·期末）（多选）数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．是等差数列 D．、、成等比数列 12．（23-24高二上·四川巴中·期末）（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为单调递增数列 C．数列是等比数列 D． 13．（24-25高二上·江苏苏州·期中）（多选）已知数列是等差数列，是等比数列，.（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 等比数列前n项和性质 14．（20-21高一下·四川成都·期末）设数列的前项和为，有下面四个结论： ①若是二次函数，则数列是等差数列； ②若数列是等差数列，则是二次函数； ③若，其中，，则数列是等比数列； ④若数列是等比数列则，，也是等比数列其中结论正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 15．（10-11高一下·四川成都·期末）已知数列()，其前项和为，给出下列四个命题： ①若是等差数列，则三点、、共线； ②若是等差数列，且，，则、、…、这个数中必然存在一个最大值； ③若是等比数列，则、、()也是等比数列； ④若(其中常数)，则是等比数列. 其中正确命题的序号是 .(将你认为的正确命题的序号都填上) 16．（19-20高一下·四川·期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（    ） A．80 B．120 C．150 D．180 17．（18-19高三上·安徽池州·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 18．（23-24高二下·四川成都·期末）（多选）已知等比数列中，满足，，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是递增数列 C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列 19．（23-24高二下·四川遂宁·期末）（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C．成等比数列 D．“”是“成等差数列”的充要条件 20．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ . 21．（23-24高一下·四川南充·期中）等比数列的前项和为，则 . 等比数列的证明 22．（20-21高一下·四川成都·期末）已知数列满足则 . 23．（23-24高二下·四川德阳·期末）数列的前n项和为，且. (1)求证：数列为等比数列，并求其通项公式； (2)令，数列的前n项和为.求证：. 24．（23-24高二下·四川南充·期末）已知是数列的前项和，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 25．（23-24高二上·四川内江·期末）设为数列的前项和，已知，. (1)数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由； (2)设，数列的前项和为，证明：. 26．（21-22高一下·四川凉山·期末）已知数列前n项和，满足． (1)证明是等比数列； (2)数列，，求数列的前n项和． 27．（20-21高一下·四川宜宾·期末）已知数列满足，． (1)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，为数列的前n项和，求证：． 等比数列的前n项和 28．（23-24高二上·四川凉山·期末）（多选）已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 29．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列满足 ，若 为数列 的前 项和，则 30．（23-24高二上·四川成都·期末）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 31．（23-24高二下·四川成都·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 32．（23-24高三上·四川成都·期末）数列的前项和， (1)求数列的通项公式： (2)若，求数列的前项和. 33．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知数列的前项和为.数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列为等比数列； (3)设，求数列的前项和. 34．（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，，且，数列满足， ，其中n∈N*． (1)分别求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 等比数列的函数特性 35．（19-20高一下·四川成都·期末）已知单调递减的等比数列中，，则该数列的公比的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（2021·四川巴中·一模）已知公差不为的等差数列的前项和为，且，设，数列的前项积为.给出以下四个结论：①的最大值为；②；③数列是递增等比数列；④其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 37．（20-21高二上·吉林·期中）已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于0，那么“”是“数列是递增数列”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（18-19高一下·四川成都·期中）下面关于等比数列和公比叙述正确的是（ 　） A．为递增数列 B．为递增函数 C．为递减数列 D．为递增函数列且为递增函数 39．（23-24高二下·四川·期末）（多选）设无穷等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．是数列中的最大项 D．数列存在最小项 40．（23-24高二下·四川南充·期末）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．是数列中的最大项 41．（22-23高三上·四川·期末）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 等比数列的实际应用 42．（19-20高一下·四川宜宾·期末）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.在龙门石窟的某处“浮雕象”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕象”构成一幅优美的图案.已知该处共有个“浮雕象”，则正中间那层的“浮雕象”的数量为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二下·四川绵阳·期末）我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（记为第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设第年年底绿洲面积为万平方千米，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高三上·四川·期末）剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（    ） A． B． C． D． 45．（22-23高三上·四川·期末）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（    ） （注： 或或或的区间长度均为） A． B． C． D． 46．（22-23高三上·四川绵阳·期末）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则下列说法正确的是（    ） A．该人第五天走的路程为14里 B．该人第三天走的路程为42里 C．该人前三天共走的路程为330里 D．该人最后三天共走的路程为42里 47．（19-20高一下·四川成都·期末）“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）．这形象地说明了事物具有无限可分性．问：当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 48．（19-20高二上·四川·期末）2019年11月11日是石室中学周年校庆日，学校数学爱好者社团组织“解题迎校庆，我爱”的活动.其中一题如下：已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.若该数列前项和为，则求满足，且是的倍数条件的整数的个数为 A．10 B．12 C．21 D．60 49．（23-24高一下·四川成都·期末）某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是                       A． B． C． D． 等比数列的综合应用 50．（23-24高二下·四川泸州·期末）数列的前n项和满足，若，则的值是（    ） A． B． C．6 D．7 51．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知数列的前项和为，首项， 且满足， 下列结论正确的（   ） A． B．数列是等比数列 C． D． 53．（23-24高二上·四川成都·期末）记为数列的前项和．已知，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D． 54．（23-24高二上·四川宜宾·期末）在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值 . 55．（23-24高二上·四川德阳·期末）等比数列满足，类比“”，我们记，则 . 56．（23-24高二下·四川绵阳·期末）已知数列满足，在数列中，，且对任意正整数都有. (1)求数列， 的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 57．（23-24高二下·四川乐山·期末）设数列是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列单调递增，记，求数列的前n项和，并证明：． 58．（23-24高三上·四川成都·期末）已知数列满足，，为数列的前n项和，则满足不等式的n的最大值为 . 59．（23-24高二上·四川宜宾·期末）设正项数列的前项和为，，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$