7.3 定义、命题、定理（教学课件）-【上好课】七年级数学下册同步高效课堂（人教版2024）

7.3 定义、命题、定理 第七章 相交线与平行线 人教版七年级下册 学习目标 通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义.结合具体实例，会区分命题的题设和结论. 一 知道证明的意义和证明的必要性；知道数学思维要合乎逻辑；会用综合法的证明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的． 二 三 经历几何命题的证明过程，增强推理能力，会用数学的思维思考现实世界；经历确立几何命题的过程，体会数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会用数学的语言表达现实世界. 1 复习引入 目录 2 合作探究 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 复习引入 问题 根据以往学过的内容填空. （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作 ； （2）使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作 ； （3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫 作 ； （4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作 . 方程的解 这个角的平分线 点到直线的距离 这样的描述称为数学对象的定义.它揭示了数学对象的本质特征. 数轴 复习引入 追问 你能再举出一些学过的定义的例子吗？ （1）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值. （2）求几个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. （3）由数或字母的积组成的代数式，叫作单项式. （4）含有未知数的等式叫作方程. （5）有公共端点的两条射线组成的图形叫作角. （6）两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线. ...... 像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句叫做命题. 被判断为正确(或真)的命题叫做真命题， 被判断为错误(或假)的命题叫做假命题. 合作探究 探究1 判断下列语句是否正确. （1）等式两边加同一个数，结果仍相等； （2）对顶角相等； （3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （4）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除. √ √ √ √ × 真命题 真命题 真命题 真命题 假命题 合作探究 追问1 判断下列语句是不是命题，如果是，请判断它们的真假. （1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. （2）取线段AB的中点C. （3）如果两个角互补，那么它们是邻补角. （4）两点确定一条直线. （5）当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行. （6）过直线外一点作已知直线的垂线. （7）对顶角相等吗？ 真命题 假命题 不是命题 不是命题 不是命题 假命题 真命题 复习引入 追问2 你能再举出一些学过的真命题的例子吗？ （1）互为相反数的两个数相加得0. （2）两点之间，线段最短. （3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （4）同位角相等，两直线平行. （5）两直线平行，内错角相等. ...... 合作探究 探究2 请同学们观察下列命题，并思考命题是由几部分组成的. 与同伴交流. （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除； （3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （4）同位角相等，两直线平行. （5）如果两个角互补，那么它们是邻补角. 如果 如果 如果 那么 那么 那么 如果 如果 那么 那么 数学中的命题常可以写成“如果......那么......”的形式. 命题由题设和结论两部分组成. “如果”后接的部分是题设, “那么”后接的部分是结论. 合作探究 探究2 你能将下列命题写成“如果+题设，那么+结论”的形式吗？ 从题设和结论的角度，如何理解真命题和假命题？ （1）等式两边加同一个数，结果仍相等； （2）对顶角相等； （3）互为相反数的两个数的绝对值相等； （4）绝对值相等的两个数互为相反数； （5）两直线平行，内错角相等. 如果在一个等式的两边加上同一个数，那么所得的结果仍相等； 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等； 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数； 如果两条直线平行，那么内错角相等. 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是真命题. 如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是假命题. 真命题 真命题 真命题 真命题 假命题 结论 题设 题设 题设 题设 结论 结论 结论 巩固练习 （1）若a=b，则5a=5b. （2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°. （3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3. （4）两直线平行，同位角相等. 指出下列命题的题设和结论. 合作探究 探究3 下列真命题，它们的正确性是经过推理证实的吗？ （1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （3）同位角相等，两直线平行； （4）内错角相等，两直线平行. 关于平行线的基本事实 判定两条直线平行的基本事实 经过推理证实 经过推理证实 (1)(3)的正确性是经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的，这样的真命题叫作基本事实.基本事实是推理的原始依据. (2)(4)的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据. 定理 定理 定理 基本事实 合作探究 追问 你能再举出一些学过的基本事实和定理的例子吗？ （1）等式两边可以交换. （2）相等关系可以传递. （3）两点确定一条直线. （4）两点之间线段最短. （5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直. ...... （1）同角(等角)的余角相等. （2）同角(等角)的补角相等. （3）对顶角相等. （4）同旁内角互补，两直线平行. （5）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. ...... 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明. 典例分析 例1 证明命题：“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”. 转化 自然语言→符号语言 如图，已知直线a⊥b，b∥c. 求证a⊥c. 典例分析 例1 如图，已知直线a⊥b，b∥c，求证a⊥c. 证明：∵a⊥b（已知）， ∴∠1=90°（垂直的定义）， ∵b∥c（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=90°（等式的基本事实）. ∴a⊥c（垂直的定义）. 证明的每一步推理都要有依据，不能想当然. 依据是已知条件、定义、基本事实、定理等. 典例分析 例2 判断命题“相等的角是对顶角”的真假，并说明理由. 判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 解：“相等的角是对顶角”是假命题. 反例：如图，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角. 巩固练习 1. 在下面的括号内填上推理的依据. 如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°. 证明：∵∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC（ ）. ∴∠C+∠D=180°（ ）. 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 巩固练习 2. 命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由，如果不是，请举出反例. 解：“同位角相等”是错误的. 反例：如图，∠ABC和∠DEF是同位角， 但它们不相等. B A F E D C 巩固练习 3. 完成下面的证明. （1）如图（1），AB∥CD，BC∥ED.求证∠B+∠D=180°. 证明：∵AB∥CD， ∴∠B= ( )， ∵BC∥ED， ∴∠C+∠D=180°( ). ∴∠B+∠D=180°. ∠C 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 巩固练习 3. 完成下面的证明. （2）如图（2），∠ABC=∠A’B’C’，BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线. 求证∠1=∠2. 证明：∵BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线， ∴∠1=∠ABC，∠2= ( ). 又 ∠ABC=∠A’B’C’， ∴∠ABC=∠A’B’C’， ∴∠1=∠2( ). ∠A’B’C’ 角平分线的定义 等式的基本事实 4. 完成下面的证明． 如图，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B+∠D＝180°．求证：BC∥DE． 证明：∵∠D＝∠E(已知)； ∴CD∥ 　( 　 )； ∵AB∥EF(已知)； ∴AB∥　 ( 　 　)； ∴∠B＝　 (　 )； ∵∠B+∠D＝180°(已知)； ∴　 +∠D＝180°( 　 )； ∴BC∥DE( 　 )． 巩固练习 EF 内错角相等，两直线平行 CD 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ∠C 两直线平行，内错角相等 ∠C 等式的基本事实 同旁内角互补，两直线平行 归纳总结 定义、命题、定理 定义 对数学对象的清晰、明确的描述称为数学对象的定义.它揭示了数学对象的本质特征. 命题 可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句叫做命题. 被判断为正确(或真)的命题叫做真命题， 被判断为错误(或假)的命题叫做假命题. 命题由题设和结论两部分组成. 基本事实 经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的真命题叫作基本事实. 定理 经过推理证实的真命题叫做定理. 证明 一个命题的正确性通常需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做证明. 反例 符合命题的题设，但不满足结论的例子叫作反例.它可以用来判断一个命题是错误的. 感受中考 1. (2022•梧州、盘锦、绥化) 下列命题中，假命题是 . ①﹣2的绝对值是﹣2； ②对顶角相等； ③如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ⑤如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等. ①⑤ 2. (2021•金华)某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（　） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4． 请完成下面的说理过程． 解：已知∠1＝∠2， 根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2． 再根据（※），得∠3＝∠4． 感受中考 C 感受中考 3. （2019•常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　） A．﹣2 B．﹣ C．0 D． A 无需证明 证明 基本事实 定理 小结梳理 本质特征 真命题 假命题 成立 不成立 反例 题设 结论 ＋ 定义 命题 数学语句 布置作业 必做题：习题7.3 第1题，第2题. 1 探究性作业：习题7.3 第4题. 2 谢谢观看！ 人教版七年级下册 $$