精品解析：山东省聊城市聊城教育联盟共同体2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期第二次学情调研 九年级数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中假命题的个数是（ ） ①三点确定一个圆；②到三角形三边所在直线的距离相等的点是三角形的内心； ③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） A. 3：2 B. 4：3 C. 6：5 D. 8：5 5. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为( ) A. B. C. D. 7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 8. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：用圆的内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（　） A. B. C. D. 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还有米．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 12. 点、、都在上，若，则的度数________ 13. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为________ 14. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________． 15. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________ 16. 如图分别是正方形、正五边形、正六边形．观察图中各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角．按此规律，记正n边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含n的式子表示________ ． 二、解答题（本题8个小题，共72分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）用公式法解方程： 18. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕点O逆时针旋转后的； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的面积(结果保留)． 19. 在锐角三角形中，点D、E分别在边、上，于点F，于点G，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一 处、已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 21. 某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． （1）求第一季度销售量的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 22. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 23. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求值． 解：因为一元二次方程的两个实数根分别为m，n， 所以， 所以． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则________，________． （2）类比应用：若一元二次方程的两根分别为m，n，求的值． （3）思维拓展：若一元二次方程的两个根为，利用以上关系及所学知识，求代数式的最值． 24. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第二次学情调研 九年级数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是．据此进行判断即可． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、，当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，整理得，不含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、，即，是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列命题中假命题的个数是（ ） ①三点确定一个圆；②到三角形三边所在直线的距离相等的点是三角形的内心； ③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 分析是否为假命题，可以举出反例；也可以分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①错误，不在同一条直线上的三点确定一个圆； ②正确，到三角形三边所在直线的距离相等的点是三角形的内心； ③错误，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等； ④错误，如果平分的弦是直径，那么平分弦的直径不垂直于弦； 故选：C． 3. 如图，，分别与相切于，两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理．首先根据圆周角定理，可以求出，再根据切线的性质可以得到，根据四边形的内角和是求出的度数． 【详解】解：， ， 、是的切线， ， 在四边形中，， ， ． 故选：A ． 4. 如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ） A. 3：2 B. 4：3 C. 6：5 D. 8：5 【答案】D 【解析】 【分析】过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE 得到==，则 CE=DF，由 DF∥AE 得到==，则 AE=4DF， 然后计算的值． 【详解】如图，过点 D作 DF∥CA 交 BE于 F， ∵DF∥CE， ∴=， 而 BD：DC=2：3，BC=BD +CD， ∴=，则 CE=DF， ∵DF∥AE， ∴=， ∵AG：GD=4：1， ∴=，则 AE=4DF， ∴=， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，熟练掌握相关知识是解题的关键. 5. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接， ∵点I是的内心，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键． 6. 要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可求得共有6×6=36场比赛，设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有场比赛，即可列出一个一元二次方程. 【详解】∵赛程计划安排天，每天安排场比赛， ∴共6×6=36场比赛， 设比赛组织者应邀请x队参赛， ∵2队之间只有1场比赛， ∴可列方程为：x(x-1)=36. 故选B. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的弧与弧的长都为，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的应用，过点A作，过点B作，在中，可求得，同理可求得，再由弧长公式可求得，即可求解． 【详解】解：过点A作，过点B作，如图， 则中，， ∴， 中，， ∴， ∵双翼的弧与弧的长都为，， ∴，， ∴， ∴， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 8. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：用圆的内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆、含角直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先求出中心角，过作于，可求出的长，再根据三角形的面积和圆的面积公式即可求解． 【详解】解：过作于， ， 在中，， ， 故选：A． 9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 10. 甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列结论：甲步行的速度为米/分；乙走完全程用了分钟；乙用分钟追上甲；乙到达终点时，甲离终点还有米．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图像，解答的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．根据题意和函数图象中的数据可以逐个判断结论是否正确即可解答． 【详解】解：根据图象，甲步行分钟走了米， 甲步行的速度为(米/分)，故正确； 由图象可知，甲出发分钟后乙追上甲，则乙用了（分钟）追上甲，故错误； 乙的速度为（米/分）， 则乙走完全程的时间为（分），故正确； 当乙到达终点时，甲步行了（米）， 甲离终点还有（米），故错误； 综上，正确的结论有， 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求写出最后结果） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件． 【详解】要使在实数范围内有意义， 必须且． 故答案为x≥-1且x≠2 【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件． 12. 点、、都在上，若，则的度数________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补；分点在优弧和劣弧上，根据圆周角定理求出的度数，进而结合图形可得出结论． 【详解】解：如图所示， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， 故答案为：或． 13. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．对一元二次方程移项得，再对方程两边同时加上1，利用完全平方公式配方得，从而得出a、b的值，代入数据即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 将转化为的形式， ，， ． 故答案为：1． 14. 如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 15. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式． 根据新定义得到，由于有两个不相等的实数根，则，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 化简得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 16. 如图分别是正方形、正五边形、正六边形．观察图中各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角．按此规律，记正n边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含n的式子表示________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理以及正多边形的性质；根据正多边形的性质逐个求解，发现等于正边形一个内角的度数，即可求解． 【详解】解：由正方形， 可得：， ； 由正五边形，可得：，， ， ； 由正六边形，可得：，， ， ； …… 发现等于正边形一个内角的度数， ∴， 故答案为： 二、解答题（本题8个小题，共72分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）用公式法解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，公式法解一元二次方程； （1）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质、绝对值进行化简，再计算加减即可得出答案； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：，即， ∵， ∴， 解得： 18. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出绕点O逆时针旋转后的； （2）在（1）的条件下，求线段扫过的面积(结果保留)． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，求扇形的面积： （1）依据旋转变换的性质画出图形即可； （2）依据图形面积的和差关系，可得扫过的面积扇形的面积扇形的面积，由此计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由勾股定理，得：， ∴线段扫过的面积为：． 19. 在锐角三角形中，点D、E分别在边、上，于点F，于点G，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定： （1）根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据，即可得到，又因为，即可证明． （2）先利用勾股定理求出，再根据相似三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 证明：于点，于点， ， ， ， ， 又为公共角， ； 【小问2详解】 解：，，， ， ， 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一 处、已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则（），（）， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）， 答：线段的长度为． 21. 某网店于2024年年初以每件35元的进价购进一批商品．当商品售价为50元时，一月份销售384件．第一季度该商品十分畅销，销售是持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到600件．设这个季度销售量的月平均增长率不变． （1）求第一季度销售量的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利6250元？ 【答案】（1） （2）当商品降价5元时，商场获利6250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键； （1）设第一季度销售量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可； （2）设当商品降价m元时，商品获利6250元，根据总利润单个利润总数量列出方程即可． 【小问1详解】 解：设第一季度销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得：（舍）， 答：第一季度销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价m元时，商品获利6250元， 根据题意可得， 解得：（舍）， 答：当商品降价5元时，商场获利6250元． 22. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 23. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求值． 解：因为一元二次方程的两个实数根分别为m，n， 所以， 所以． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则________，________． （2）类比应用：若一元二次方程的两根分别为m，n，求的值． （3）思维拓展：若一元二次方程的两个根为，利用以上关系及所学知识，求代数式的最值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，配方法的应用， （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，然后代入得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程：的两个根为， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 一元二次方程：的两根分别为m，n， ， 【小问3详解】 由题意可得 ∴代数式的最小值为． 24. （1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可得证； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $