精品解析：河北省邯郸市大名县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024～2025学年第一学期九年级学情质量检测（二）数学（人教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 全班共有名学生，其中有名女生，位男生，班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（　　） A. B. C. 3 D. 4 6. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 7. 如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 9. 一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 已知锐角中，O是的中点，小明、小英二人想在线段上找一点P，使得为直角，其作法如图．对于小明、小英二人的作法，正确的是（ ） 小明的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 小英的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A. 只有小明正确 B. 只有小英正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 11. 如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为，且．当时，该函数的最大值与最小值的关系式是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中第15小题第一空1分，第二空2分；第16小题每空1分） 13. 某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示，则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为_________．（结果精确到） 试验的麦粒数 发芽的麦粒数 发芽的频率 14. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 15. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1）______； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为______． 16. 已知直线与相切于点，连接交于点． （1）如图①，点是优弧上一点，连接，若，则______； （2）如图②，延长交于点，连接，若，则______； （3）如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在网格图中的位置如图所示，顶点坐标分别为． （1）画出关于原点O的中心对称图形． （2）画出 绕原点O顺时针旋转得到的图形 ． 18. 如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长． 19. 西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 20. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 21. 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 22. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①， 解这个方程得：，． 当时，．∴；当时，，∴ 以原方程有四个根：，，，． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）用换元法解方程： （2）三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 24. 如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求圆的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期九年级学情质量检测（二）数学（人教版） （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中、只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式．根据x的方程有实数根得到，解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：． 故选：B． 3. 如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键． 4. 全班共有名学生，其中有名女生，位男生，班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．直接根据概率公式解答即可，注意“选出一名女生参加升旗仪式”这个事件中事件总数是女生总数． 【详解】解：由有名女生，王芳是其中一人， 则班级需选出一名女生参加升旗仪式，在女生中选到王芳的概率为：， 故选：D． 5. 如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质与勾股定理，熟练掌握旋转前后对应线段相等以及勾股定理是解题的关键．先根据旋转性质和勾股定理求出相关线段长度，再利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得． 故选：． 6. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件在随机试验中，可能出现也可能不出现；不可能事件在随机试验中一定不会出现；必然事件在随机试验中一定会出现． 【详解】解：A：清明节不一定会下雨，A为随机事件，故A错误； B：古原上的野草乱生乱长，每年春来茂盛秋来枯黄，B为必然事件，故B错误； C：守株不一定能等来兔子，C为随机事件，故C正确； D：水中不能捞到月亮，故D为不可能事件，故D错误． 故选：C 【点睛】本题考查对于事件类型的判断．掌握各事件的定义即可． 7. 如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴是y随x的增大而增大， 是y随x的增大而减小， 又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键． 9. 一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题关键．求出摸到的两个球的所有情况，再找出两个摸到的球恰好有一个红球的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C分别表示红球，白球，绿球，列表如下： 第一次 第二次 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两次摸到的球恰好有一个红球的概率为4种， ∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率是 故选：B． 10. 已知锐角中，O是的中点，小明、小英二人想在线段上找一点P，使得为直角，其作法如图．对于小明、小英二人的作法，正确的是（ ） 小明的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 小英的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求 A. 只有小明正确 B. 只有小英正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作垂线以及圆周角定理，因为过点B作与垂直的直线，交于点P，则，结合以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则（直径所对的圆周角是直角），即可作答． 【详解】解：∵过点B作与垂直的直线，交于点P， ∴， 则小明的作法是正确的； ∵以O为圆心，长为半径画弧，交于点P， ∴是的直径 则（直径所对的圆周角是直角） ∴两人都正确 故选：C 11. 如图， 一张扇形纸片，，， 将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、折叠的性质，连接、，由折叠可得，，，证明为等边三角形，得出，，求出，再根据得出，最后根据阴影部分的面积计算即可得解． 【详解】解：如图：连接、， ， 由折叠可得：，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 12. 函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为，且．当时，该函数的最大值与最小值的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，由函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为，，从而，又，可得，，又，求得，进而得对称轴为直线，再由二次函数的图象与性质，可得当时，函数的最大值与最小值，消去即可得解． 【详解】解：函数的图象与轴两个交点的横坐标分别为，， ． 又， 解得：，， ， ． 对称轴为直线． 又抛物线， 当时，随的增大而减小． 当时，函数在时，取得最小值，即， 在时，取得最大值，即． ． ． 故选：B． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中第15小题第一空1分，第二空2分；第16小题每空1分） 13. 某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示，则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为_________．（结果精确到） 试验的麦粒数 发芽的麦粒数 发芽的频率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求解． 【详解】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右， ∴任取一粒麦粒，它能发芽的概率约为0.95， 故答案为：0.95． 14. 若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0， ∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根， ∴a+b=4，ab=3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 15. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1）______； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 8 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线的顶点坐标为：，结合顶点在线段上运动可得；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和， ∴，， 当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处， 即对称轴为， 此时D点横坐标为5， 当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值， 此时顶点向右平移了与线段等长的距离， ∵，平移前D点横坐标为5， ∴平移后D点横坐标为：， 此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8． 故答案为：4，8． 16. 已知直线与相切于点，连接交于点． （1）如图①，点是优弧上一点，连接，若，则______； （2）如图②，延长交于点，连接，若，则______； （3）如图③，点是上一点，且，连接并延长交于点，连接，若，则______． 【答案】（1）40 （2）30 （3）40 【解析】 【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线． （1）连接，根据切线的定义得出根据圆周角定理得出，即可解答； （2）连接 根据切线的定义得出，几何圆周角定理得出，即可解答； （3）连接 易得，根据等边对等角得出，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【小问1详解】 解：如图①，连接， 是的切线， ， ． 故答案为：40． 【小问2详解】 解：如图②，连接 是的切线， ， ， ， ， 又， ， ． 故答案为：30． 【小问3详解】 解：如图③，连接 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：40． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在网格图中的位置如图所示，顶点坐标分别为． （1）画出关于原点O的中心对称图形． （2）画出 绕原点O顺时针旋转得到的图形 ． 【答案】（1）如图所示； （2） 如图所示． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出A，B，C的对应点即可； （2）分别作出的对应点即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，求剪去的正方形的边长． 【答案】剪去的正方形的边长为2cm． 【解析】 【分析】设正方形的边长为xcm，根据底面积是24cm2列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为xcm， 根据题意得：(10﹣2x)(6﹣x)＝24， 整理得：x2﹣11x+18＝0， 解得x＝2或x＝9（舍去）， 答：剪去的正方形的边长为2cm． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用-几何问题，解题关键是要读懂题目的意思，掌握几何图形的性质，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 19. 西安大唐不夜城以盛唐文化为背景，以唐风元素为主线，建有四大文化场馆，分别是A．西安音乐厅，B．陕西大剧院，C．西安美术馆，D．曲江太平洋电影城．春节期间，因时间有限，甲、乙两名同学准备分别从这4个场馆中随机选择一个进行参观，每个场馆被选择的可能性相同． （1）甲同学选择参观西安音乐厅的概率是__________； （2）请你用列表法或画树状图法，求甲、乙两名同学选择不同场馆参观的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可； （2）利用列表法解答即可． 本题考查了简单地概率计算，列表法计算概率，熟练掌握列表法计算概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：一共有4种等可能性，西安音乐厅只有一种等可能性， 甲同学选择参观西安音乐厅的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 列表如下： 由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两名同学选择不同场馆参观的结果有12种， ∴甲，乙两名同学选择不同场馆参观的概率为． 20. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证； （2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是的直径，， ∴，， 由（1）可知， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) ； (2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元； (3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元． 【解析】 【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式． （2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值． （3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴w与x的函数关系式为：． （2）， ∵﹣2＜0， ∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200． 答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）当w=150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150， 解得x1=25，x2=35． ∵35＞28， ∴x2=35不符合题意，应舍去． 答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元． 【点睛】本题考查二次函数的应用.根据题意列出函数是解题的关键. 22. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为 ①， 解这个方程得：，． 当时，．∴；当时，，∴ 以原方程有四个根：，，，． 这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）用换元法解方程： （2）三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）设，直接代入得关于y的方程，然后进行计算，即可得到结果； （2）设，解方程，得出，进而根据完全平方公式以及勾股定理求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：设，原方程可变形为：， ∴因式分解为：， ∴或， ∴或， 对于方程， 解得：，， 对于方程， 移项得：， ∵， ∴上述方程无解， ∴原方程的解为：，． 【小问2详解】 设， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：； ∵斜边， ∴，则 ∴ ∴ 又， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了一元二次方程、勾股定理．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． （1）求二次函数的解析式； （2）若在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）求出点坐标，可得是等腰直角三角形，即得，得到， 过点作交抛物线于点，过点作轴于点，可得，得到是等腰直角三角形，即得，设，则，可得，，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得(不合，舍去) 或， ∴． 24. 如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求圆的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点的运动轨迹． （1）利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，则，再证，可得结论． （3）连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，，根据，可得结论． 【小问1详解】 解：是直径， ， ，， ， ， 的半径为； 【小问2详解】 解：如图，连接，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【小问3详解】 解：如图，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $