4.3.2等比数列的前n项和第二课时课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和 （第二课时） 1、等比数列的前n项和公式 (1)“知三求二”实质是方程思想． (2)当已知a1，q(q≠1)及n时，用公式 求和比较方便； 当已知a1，q，an时，则用公式 求和． 2、方法总结 当q=1时，Sn=na1 复习回顾 1、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ. (1)当λ＝3时，求{an}的通项公式； (2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由． 解析：(1)把λ＝3代入数列的前n项和，求出首项， 再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2时的通项公式，验证后得答案． 解：(1)当λ=3时，Sn=2n＋3， ①当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n＋3－2n－1－3=2n－1. ②当n=1时a1=S1=5，不符合上式. 新知探究 2、记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ. (1)当λ＝3时，求{an}的通项公式； (2)是否存在常数λ，使得{an}为等比数列？请说明理由． 解：(2)由Sn＝2n＋λ，得 ①当n＝1时a1＝S1＝2＋λ； ②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n－1－λ＝2n－1. 若存在常数λ，使得{an}为等比数列， 则2＋λ＝20＝1，得λ＝－1. 故存在实数λ＝－1，使得{an}为等比数列． 解析：(2)由数列的前n项和求得首项，再由an＝Sn－Sn－1 求出n≥2时的通项公式，由首项适合该通项公式即可求得λ的值． 新知探究 注意：(3)(4)不能作为证明方法，证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法． 等比数列的判定 (2)等比中项法：若an＋12＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． (1)定义法：若数列{an}满足 (q为常数且不为零)或 (n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和为Sn＝Aqn－A(Aq≠0且q≠1)，则数列{an}是等比数列． 新知探究 思考1：若{an}是公比为q的等比数列，S偶、S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶，S奇之间有什么关系？ (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ 新知探究 跟踪训练：已知等比数列{an}共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是( ) A、30 B、60 C、90 D、120 D 解：设等比数列{an}的奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶， 则S偶=qS奇=3S奇 又S奇 +60=S偶，则S奇 +60=3S偶 ∴S奇= 30，S偶= 90 故数列{an}的所有项之和是 30+90=120. 新知应用 例10、 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 解：设各个正方形的面积组成数列{an}，正方形ABCD的面积为首项a1 , 则a1=25 你能说明理由吗？ 新知探究 (2) 当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和：a1+a2+a3+…+an+…, 新知探究 思考2：通过观察可以看出题目中的函数与我们所学的那种函数相似？，等比数列的前n项和有怎样的函数特征？ (1)当q=1时， 是关于n的一次函数. (2)当q≠1时， 即Sn是关于n的一个指数型函数. 结构特点：qn的系数与常数项互为相反数. 新知探究 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨). 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 新知探究 解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则 =20(1.05+1.052+…+1.05n )(7.5+9+…+6+1.5n) 新知探究 (1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列； (2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn ) (3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn. 数列求和方法：分组求和法 新知探究 例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成 的形式，其中, 为常数； （3）求=的值（精确到1）. 分析: (1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式, 通过比较系数,得到方程组； (3)利用(2)的结论可得出解答. 新知探究 新知探究 新知探究 课本练习P40 课后练习 2. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm? 课本练习P40 课后练习 课本练习P40 课后练习 课本练习P40 课后练习 课本练习P41 课后练习 课后练习 课本练习P41 课后练习 课本练习P41 则数列{an}是以25为首项 ,公比q= 的等比数列. 设{an}的前项和为Sn . 由题意可得： , ∴ 随着n的无限增大，( )n 将趋近与0，Sn趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. = 当n =5时，S5 ≈ 63.5. 所以,从今年起5年内, 通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨. {bn}为等差数列，b1= 7.5，d =1.5, 则bn= 6 +1.5n， 比较①②的系数可得: (3) 由(2)可知 {cn-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列， ≈ 1250×10-724.3 = 11775.7 ≈ 11776. 则 (c1-1250)+(c2-1250)+(c3-1250)+ … +(c10-1250) ∴ S10 = c1+c2+c3+…+c10 解得: 所以(1)中的递推公式可以化为: cn+1-1250=1.08( cn-1250) = (c1+c2+c3+…+c10)-10×1250 解: (1)由题意, 得c1=1200, 并且 cn＋1＝1.08cn-100. ① (2) 将cn+1-k= r(cn-k)化为 ：cn+1=rcn-rk + k ② 第4步　写出数列 {an} 通项公式. 递推公式an＋1＋t＝p(an＋t)可化为: 第2步 由待定系数法,解得: t = ； 第3步 写出等比数列 通项公式； 形如an＋1＝pan＋q的通项公式 注意：1°其中p，q为常数； 2°且pq (p－1) ≠0 . 可用待定系数法求 形如an＋1＝pan＋q的通项公式，步骤如下： 第1步　假设递推公式可改写为: an＋1＋t＝p(an＋t)； 1．某教育网站本月的用户为500人．网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人（精确到1)? 解：依题意平均每月的用户都比上一个月增加10%， 所以从本月起，每月的用户构成一个等比数列，且，， 由，得，两边取对数得， 所以，． 故大约经过11个月可使用户达到1万人． ∵Sn = 2an+1,∴Sn+1 = 2 an+1 +1 ∴Sn+1 = 2(Sn+1 - Sn) +1 ∴2Sn =Sn+1 +1 则2Sn -2= Sn+1 -1 ∴2(Sn -1) = Sn+1 -1 ∴ =2 又∵S1 = 2 a1 +1 ∴ S1 = -1 ∴ S1-1 = -2 ， 则数列{ Sn -1}是以首项为-2,公比为2的等比数列 ∴ Sn -1=-2×2 n-1 则 Sn = -2 n+1 3.已知等比数列{an}的前n项和Sn,若Sn = 2an+1,求Sn. 解析:等比数列{an}的前n项和Sn, 当n≥2时, an = Sn- Sn-1 $$