精品解析：2024年1月辽宁省高中学业水平合格性考试数学试题

2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学 （本试卷分I、II两卷，满分100分，考试时间90分钟） 第I卷（选择题共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的值是（ ） A B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数（且）图象一定过点（ ） A. B. C. D. 5. “山海有情，天辽地宁”.为推动辽宁文旅产业快速发展，辽宁电视台推出了2024年春节“回辽过年、来辽过年”大型系列活动.某景点为迎接八方来客在门口搭建了一个雪人雕像（如图），其下半部可看成直径约为2m的球体，则雪人下半部的体积（单位：）约为（ ） A. B. C. D. 6. 平流层是指地球表面以上到的区域.下列不等式中，能表示平流层高度的是（ ） A B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 9. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 10. 如图为一个摩天轮示意图，该摩天轮圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60s转动一周.图中与地面垂直，从开始逆时针转动，经过到达.设点与地面的距离为.若与的函数解析式为，其中，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 甲、乙两队进行排球决赛，采用三局两胜制.目前的情形是甲队赢了第一局，甲队只需再赢一局将获得冠军，乙队需赢两局才能获得冠军.若每局比赛甲队获胜的概率均为，则甲队获得冠军的概率为（ ） A B. C. D. 12. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共64分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程. 13. 已知向量与不共线，而且与共线，则的值为_____. 14. 我国古代的统计工作有着悠久的历史.据《周礼》记载，周朝设有专门负责调查和记录数据的官员，称为“司书”，主要工作是负责“邦之六典以周知入出百物”.《数书九章》中有“米谷粒分”问题：今有粮仓开仓收粮，有人送来米2024石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷29粒.则估计这批米内所夹的谷有_____石. 15. 已知，则_____________ 16. 已知实数，分别满足，，且，则的值为______. 三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. （1）求物体受到与的合力的大小； （2）求. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，. （1）求的值； （2）求的值. 19. 某中学为了解某选修课的学习情况，通过抽样获得50名学生的期末考试成绩，将数据制成如下的频率分布表和频率分布直方图. 分组 人数 5 5 10 20 10 频率 01 0.1 0.2 0.2 （1）求频率分布表中的值及频率分布直方图中的值； （2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计该中学选修该课程的所有学生成绩的平均数. 20. 阳马是我国古代数学对有一侧棱垂直于底面且底面是矩形的四棱锥的统称.如图所示，阳马中，平面，，相交于点，且，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 21. 已知函数. （1）若，求实数的值； （2）当时，的最小值为，求函数的解析式； （3）若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试 数学 （本试卷分I、II两卷，满分100分，考试时间90分钟） 第I卷（选择题共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数的乘法运算法则计算即可． 【详解】． 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据交集的定义计算可得. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角形的性质，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】在三角形中，若，根据大角对大边可得边， 若，则根据大边对大角可知． 所以是的充要条件． 故选：C 4. 函数（且）的图象一定过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数定点计算即可. 【详解】因为，所以的图象一定过点. 故选：D. 5. “山海有情，天辽地宁”.为推动辽宁文旅产业快速发展，辽宁电视台推出了2024年春节“回辽过年、来辽过年”大型系列活动.某景点为迎接八方来客在门口搭建了一个雪人雕像（如图），其下半部可看成直径约为2m的球体，则雪人下半部的体积（单位：）约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据球的体积公式计算即可. 【详解】因为直径约2m，所以球的体积为. 故选：A. 6. 平流层是指地球表面以上到的区域.下列不等式中，能表示平流层高度的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的求解方法分别求出各选项，判断即可. 【详解】对于A：由得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由得，解得，满足题意，故D正确； 故选：D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式计算即可求得结论. 【详解】因，所以． 故选：C. 8. 已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行及线面垂直得出线面，线线位置关系判断各个选项即可. 【详解】若，，则或相交或异面，A选项错误； 根据线面垂直的性质若，则，B选项正确； 若，，则或在平面内，C选项错误； 若，，则或相交，D选项错误. 故选：B. 9. 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求得，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，令，即，即，解得， 因为，所以函数在区间内存在零点. 故选：C. 10. 如图为一个摩天轮示意图，该摩天轮圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60s转动一周.图中与地面垂直，从开始逆时针转动，经过到达.设点与地面的距离为.若与的函数解析式为，其中，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角速度的概念直接求解即可. 【详解】由题意从开始逆时针转动，60s转动一周，故点A在圆上转动的角速度是， 所以. 故选：B 11. 甲、乙两队进行排球决赛，采用三局两胜制.目前的情形是甲队赢了第一局，甲队只需再赢一局将获得冠军，乙队需赢两局才能获得冠军.若每局比赛甲队获胜的概率均为，则甲队获得冠军的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况（甲第二局获胜或甲第二局负，第三局获胜）讨论得解. 【详解】根据题意知只需考虑剩下两局的情况， （1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得冠军的概率为； （2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得冠军的概率为. 故甲获得冠军的概率为. 故选：C 12. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按和两种情况分别列出不等式，当时，将不等式化为，记，利用导数研究函数单调性，结合及即可得解；当时，平方后将不等式化为，然后解二次不等式即可，最后求并集即得. 【详解】当时，由得，，即， 记，则，令得， 又上单调递增，所以当时，， 当时，，在上单调递减， 在上单调递增，又，， 所以的解为； 当时，由，得，即， 解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：D 第II卷（非选择题共64分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程. 13. 已知向量与不共线，而且与共线，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解. 【详解】因为与共线，又向量与不共线， 所以，解得， 故答案为： 14. 我国古代的统计工作有着悠久的历史.据《周礼》记载，周朝设有专门负责调查和记录数据的官员，称为“司书”，主要工作是负责“邦之六典以周知入出百物”.《数书九章》中有“米谷粒分”问题：今有粮仓开仓收粮，有人送来米2024石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷29粒.则估计这批米内所夹的谷有_____石. 【答案】232 【解析】 【分析】利用样本估计总体进行计算. 【详解】这批米内所夹的谷有， 故答案为：232 15. 已知，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】 利用对数的运算律及进行计算即可. 【详解】因为. 故答案为：. 【点睛】本题考查对数的运算法则，属于简单题. 16. 已知实数，分别满足，，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干所给方程式子特征得，为方程的两根，由韦达定理求解即可. 【详解】实数，分别满足，， 故，为方程的两根，由韦达定理可知，即. 故答案为： 三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. （1）求物体受到与的合力的大小； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算求解合力，利用模的坐标运算求解即可； （2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算公式计算即可. 【小问1详解】 由题图可知，， 则物体受到与的合力为， 所以其大小为； 【小问2详解】 因为，， 所以. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦边角关系及已知条件求； （2）直接应用余弦定理求值； 【小问1详解】 由及正弦定理得， 又，所以． 【小问2详解】 由，及余弦定理可得 ． 19. 某中学为了解某选修课的学习情况，通过抽样获得50名学生的期末考试成绩，将数据制成如下的频率分布表和频率分布直方图. 分组 人数 5 5 10 20 10 频率 0.1 0.1 0.2 0.2 （1）求频率分布表中的值及频率分布直方图中的值； （2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计该中学选修该课程的所有学生成绩的平均数. 【答案】（1） （2）80 【解析】 【分析】（1）由频率分布表和频率分布直方图性质即可求解； （2）由平均数的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由，可得：， 由，可得：. 【小问2详解】 所有学生成绩的平均数为： ， 所以平均数为80. 20. 阳马是我国古代数学对有一侧棱垂直于底面且底面是矩形的四棱锥的统称.如图所示，阳马中，平面，，相交于点，且，，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线性质及线面垂直的性质定理得，再根据长方形性质得，从而由线面垂直的判定可得平面，最后利用即可证明； （2）结合锥体体积公式，借助等体积法求解. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点，所以， 因为平面，所以平面，平面，所以， 因为，分别为，的中点，所以，由得， 又且平面，所以平面， 又，所以平面； 【小问2详解】 因为平面，所以为三棱锥的高， 由，，知，， 则， 所以三棱锥的体积. 21. 已知函数. （1）若，求实数的值； （2）当时，的最小值为，求函数的解析式； （3）若对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，结合指数幂的运算直接求解即得. （2）令，则，将问题转化为求解最小值问题，根据和两种情况分类讨论求解即可. （3）利用换元法将恒成立问题转化为恒成立，令，则，然后利用函数的单调性求解最值即可求解. 【小问1详解】 因为函数且，所以，即，解得； 【小问2详解】 令，因为，所以，则转化为， 此抛物线开口向上，且对称轴， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调的递减，在上单调递增， 则. 综上，； 【小问3详解】 由，得， 令，则， ，令， 则由得，当且仅当时等号成立， 所以， 由题意知恒成立，令，则， 显然在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$