专题 第1章二次函数章末重点题型复习（专项训练）数学浙教版九年级上册

（（浙教版）九年级上册 第1章：二次函数章末重点题型复习 题型一 二次函数的概念 1．（2023秋•启东市校级月考）下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝x（﹣x+1） B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．y＝（x﹣1）2﹣x2 2．（2023秋•颍州区校级期末）下列函数不属于二次函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）（x+2） B．y（x﹣1）2 C．y＝1x2 D．y＝2（x+3）2﹣2x2 3．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 4．（2023秋•金华期末）下列函数中，是二次函数的有（　　） ①； ②； ③y＝3x（1﹣3x）； ④y＝（1﹣2x）（1+2x）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（　　） A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2 题型二 利用二次函数的定义求字母的值或取值范围 1．若关于x的函数y＝（m﹣2）x2﹣x+1是二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m≠2 D．m≠0 2．（2024秋•庆云县期中）已知是二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或1 3．（2023秋•西城区校级期中）已知y＝（m﹣3）x2﹣2x+5是二次函数，则常数m的取值范围是 　 　． 4．（2024秋•宜都市期中）若函数y＝（m+1）x|m|+1﹣5是二次函数，则m的值为 　 　． 5．（2024秋•上思县期中）已知关于x的函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）． （1）当m为何值时，此函数是二次函数？ （2）当m为何值时，此函数是一次函数？ 题型三 二次函数的性质 1．（2024秋•陕州区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的顶点坐标和对称轴是（　　） A．（﹣1，0），直线x＝﹣1 B．（1，0），直线x＝1 C．（0，1），直线x＝﹣1 D．（0，1），直线x＝1 2．（2024秋•四平期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 3．（2024•凉山州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … A．对称轴是直线x＝﹣2 B．当x＝﹣4时，y＝﹣11 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．抛物线开口向下 4．（2024秋•昭平县期中）关于二次函数y＝﹣2x2+1的图象，下列说法中，正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝1 B．顶点坐标为（﹣2，1） C．可以由二次函数y＝﹣2x2的图象向左平移1个单位长度得到 D．在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小 5．（2024•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣4mx+4m+4（m≠0）的图象只经过三个象限，则m的取值范围为（　　） A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．m≤﹣1 D．m＜0 题型四 二次函数图象共存问题 1．（2024秋•昭平县期中）函数y＝ax2+c与y＝ax+c在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•云南期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•香坊区校级期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•奇台县期末）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2024秋•德城区期中）函数y＝ax+b（a≠0）与y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型五 利用二次函数的性质比较函数值的大小 1．（2024秋•新洲区月考）若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝ax2+2ax+a（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 2．（2024秋•庐阳区校级期中）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+1上，且﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 3．（2024秋•肥西县期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝4（x+2）2﹣3经过A（﹣3，a）、B（0，b）、C（1，c）三点，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜c D．a＜c＜b 4．（2024秋•江夏区校级月考）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 5．（2024•余姚市一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函数y＝﹣x2+c（c＞0）的图象上，点A，C是该函数图象与正比例函数y＝kx（k为常数且k＞0）的图象的交点．若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 题型六 待定系数法求二次函数的解析式 1．（2024秋•海珠区校级月考）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•江岸区期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 … A．y＝x2+3x+5 B．y＝x2+3x﹣5 C．y＝﹣x2+3x﹣5 D．y＝﹣x2﹣3x﹣5 3．（2024秋•利辛县期中）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求这个图象的顶点坐标． 4．（2024秋•黔南州期中）已知一个二次函数的图象的顶点坐标是（﹣2，1），且图象经过点（1，﹣8） （1）求这个二次函数的解析式； （2）当﹣5≤x≤1时，求y的最大值． 5．（2023秋•华安县期中）已知二次函数图象的顶点为（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3）， （1）求该函数的解析式． （2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上不同的两点． ①若y1＝y2，求x1，x2之间的数量关系． ②若x1+x2＝2（x1﹣x2），求y1﹣y2的最小值． 题型七 二次函数与一元二次方程 1．（2024秋•龙口市期中）下表是小明通过计算得到的函数y＝x2﹣x﹣5的几组对应值，则方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根可能是（　　） x ﹣1.5 ﹣1.7 ﹣1.9 ﹣2.1 y ﹣1.25 ﹣0.41 0.51 1.51 A．x≈﹣1.6 B．x≈﹣1.8 C．x≈﹣1.95 D．x≈﹣2.2 2．（2024秋•沈北新区期末）抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点，则c的值为（　　） A．9 B． C． D．﹣9 3．（2023•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 4．（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 5．（2023秋•单县期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）． （1）若其图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）求其图象与直线y＝m+5交点的横坐标． 题型八 二次函数与不等式（组） 1．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 2．（2024•郸城县三模）如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 3．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 4．（2023•城阳区校级一模）已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 　 　． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： （1）直接写出该二次函数的解析式为 　 ； （2）不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 ； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 　 　； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 　 　． 题型九 利用二次函数的性质判断多结论问题 1．（2024•南山区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论： ①abc＜0； ②（a+c）2＜b2； ③a+b＜m（am+b），其中m≠1； ④4a+2b+c＞0． 其中正确结论的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2024秋•临夏州期中）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，给出以下判断：①abc＜0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＞0；④m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2023秋•东莞市校级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024•阳信县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是 　 　．（填序号） 题型十 利用二次函数的性质求最值 1．二次函数y＝2x2+8x﹣1的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 2．（2023•龙港市一模）小明在研究某二次函数y＝ax2+bx+c时列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y＝ax2+bx+c … 11 6 3 3 6 … 当自变量x满足﹣1≤x≤4时，下列说法正确的是（　　） A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2 C．有最大值6，有最小值3 D．有最大值6，有最小值2 3．已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　 　． 4．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝　 　． 5．（2023•砀山县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a （1）若a＝1，则函数y的最小值为　 ． （2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为　 　． 题型十一 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围 1．（2024•河北模拟）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 2．（2024春•鄞州区校级期末）若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 3．（2024•榆阳区三模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为1，则m的值为（　　） A．4 B． C．2 D．1 4．（2023秋•龙马潭区期末）已知抛物线y＝﹣x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣7，求此时t的值为（　　） A．1或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣1或﹣2 题型十二 二次函数的平移、对称、旋转 1．（2024秋•利辛县期中）将抛物线y＝x2+2x﹣2向右平移4个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣3）2﹣1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x+3）2+1 2．（2024秋•秦皇岛期中）抛物线y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4关于原点对称，则m+n的值为（　　） A．﹣6 B．8 C．6 D．9 3．（2024秋•新洲区月考）将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到图象的二次函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5 4．（2024秋•太和县期中）将抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D． 5．（2023秋•宿豫区校级月考）如图，将抛物线P：y＝x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y＝x2﹣5x+n两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B． （1）求点A的横坐标． （2）求线段CD的长度． 题型十三 根据实际问题列二次函数关系式 1．（2024秋•平定县期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且BE＝DF，四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（　　） A．y＝36﹣x2 B．y＝6﹣x2 C．y＝6﹣x D．y＝36﹣x 2．（2024秋•松山区期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为949.5万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（　　） A．y＝（1+x）2 B．y＝949.5x（1+x） C．y＝949.5（1+x）2 D．y＝949.5+（1+x）2 3．（2024秋•临汾月考）如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣30）2+k的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．y＝﹣2（x﹣15）2+30 4．（2024秋•闽侯县期中）某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（0＜x＜5），设每天销售量为y个，每天销售商品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（　　） A．y＝10x﹣120 B．y＝﹣10x+120 C．w＝（10x+120）（25﹣20﹣x） D．w＝（﹣10x+120）（50﹣x） 5．（2024秋•鹿城区校级月考）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x12﹣2x 题型十四 二次函数的实际应用 1．（2023秋•抚松县期末）如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 2．（2024•镇平县一模）某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+0.9． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？请结合图象，直接写出m的取值范围． 3．（2023秋•驻马店期末）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 4．（2024•枣阳市模拟）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； （2）该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； （3）若该农产品的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 5．（2024秋•松滋市期中）“大众创业、万众创新”，互联网和大数据的时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 12 14 16 y（件） 1200 1000 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件． ①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围． 6．（2024•通州区二模）某超市购进某种商品的成本为25元/kg，经过调查发现，这种商品在前30天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为y日销量m（kg）与时间x（天）之间满足函数关系：m＝﹣2x+72（0＜x≤30，x为整数）． （1）求前15天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ （2）求前30天中日销售利润不低于1080元的天数． 题型十五 二次函数与一次函数的综合 1．如图，抛物线yx2+3与x轴交于A，B两点，与直线yx+b相交于B，C两点，连接A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）求S△AOB； （3）求对称轴方程； （4）在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？ 4．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标． 题型十六 二次函数的综合题 1．（2024秋•四平期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 2．（2024秋•松山区期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）直接写出二次函数的解析式　 　； （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC面积最大？请求出四边形ABPC面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023秋•梅里斯区期末）综合与探究 如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点H，当BH+CH的值最小时，点H坐标为 　 　； （3）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，当四边形AOCP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值； （4）探究在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 4．（2024秋•大冶市期中）如图，已知抛物线L1：y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（﹣3，0），B（1，0）． （1）求抛物线L1的解析式； （2）若M是抛物线上的一动点，且∠MAB＝∠BCO，求点M的坐标； （3）点Q在抛物线上，且Q的横坐标为，将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，抛物线L2的顶点为P，且△ACP的面积等于△AQC的面积，求点P的坐标． 5．（2024•阳新县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当BC垂直平分PD时，求m的值； （3）过点P作x轴的垂线交BC于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段PM，PN的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （（浙教版）九年级上册 第1章：二次函数章末重点题型复习 题型一 二次函数的概念 1．（2023秋•启东市校级月考）下列函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝x（﹣x+1） B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、y＝x（﹣x+1）＝﹣x2+x是二次函数，故此选项符合题意； 当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； B、当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C、y＝2x+3，不是二次函数，是一次函数，故此选项不符合题意； D、y＝（x﹣1）2﹣x2，整理后不是二次函数，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 2．（2023秋•颍州区校级期末）下列函数不属于二次函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）（x+2） B．y（x﹣1）2 C．y＝1x2 D．y＝2（x+3）2﹣2x2 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数，根据此定义即可判断． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2．， ∴A选项不合题意， ∵， ∴B选项不合题意， ∵是二次函数， ∴C选项不合题意， ∵y＝2（x+3）2﹣2x2＝2x2+12x+18﹣2x2＝12x+18， ∴D选项不是二次函数， 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的定义，关键是要牢记二次函数的定义． 3．下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【解答】解：A、关系式为：y＝kx+b，故A错误； B、关系式为t，故错误； C、关系式为：C＝3a，故C错误； D、S＝πR2，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 4．（2023秋•金华期末）下列函数中，是二次函数的有（　　） ①； ②； ③y＝3x（1﹣3x）； ④y＝（1﹣2x）（1+2x）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】把各关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答． 【解答】解：①y＝1x2x2+1，是二次函数； ②y，分母中含有自变量，不是二次函数； ③y＝3x（1﹣3x）＝﹣3x2+3x，是二次函数； ④y＝（1﹣2x）（1+2x）＝﹣4x2+1，是二次函数． 二次函数共三个． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 5．把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（　　） A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2 【分析】利用完全平方公式将等式的右侧展开并合并同类项即可． 【解答】解：y＝﹣（x+3）2+11＝﹣x2﹣6x﹣9+11＝﹣x2﹣6x+2． 故选：D． 【点评】考查了二次函数的解析式有三种形式： 题型二 利用二次函数的定义求字母的值或取值范围 1．若关于x的函数y＝（m﹣2）x2﹣x+1是二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m≠2 D．m≠0 【分析】直接利用二次函数的定义得出答案． 【解答】解：∵关于x的函数y＝（m﹣2）x2﹣x+1是二次函数， ∴m﹣2≠0， 解得：m≠2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2024秋•庆云县期中）已知是二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或1 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解答】解：∵是二次函数， ∴， 解得m＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟知形如y＝ax2+bx+c （a≠0）的函数是二次函数是解题的关键． 3．（2023秋•西城区校级期中）已知y＝（m﹣3）x2﹣2x+5是二次函数，则常数m的取值范围是 　 　． 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解． 【解答】解：根据题意得：m﹣3≠0， 解得：m≠3． 故答案是：m≠3． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y＝ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）． 4．（2024秋•宜都市期中）若函数y＝（m+1）x|m|+1﹣5是二次函数，则m的值为 　 　． 【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可． 【解答】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数， ∴， ∴m＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式是解题的关键． 5．（2024秋•上思县期中）已知关于x的函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1）． （1）当m为何值时，此函数是二次函数？ （2）当m为何值时，此函数是一次函数？ 【分析】（1）形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此解答即可； （2）形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数，由此解答即可． 【解答】解：（1）由二次函数的概念可得m2﹣m≠0， m（m﹣1）≠0， 解得m≠0且m≠1； （2）由一次函数的概念可得 ， 解得m＝1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 题型三 二次函数的性质 1．（2024秋•陕州区期中）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的顶点坐标和对称轴是（　　） A．（﹣1，0），直线x＝﹣1 B．（1，0），直线x＝1 C．（0，1），直线x＝﹣1 D．（0，1），直线x＝1 【分析】根据顶点式，可直接求出顶点坐标，对称轴． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2， ∴顶点坐标为（1，0），对称轴为x＝1． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，记住顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 2．（2024秋•四平期末）已知抛物线，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣3 C．顶点坐标为 D．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【解答】解：A，a＝﹣1＜0，开口向下，原说法错误，不符合题意； B，对称轴是直线x＝3，原说法错误，不符合题意； C，顶点坐标为，原说法正确，符合题意； D，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键． 3．（2024•凉山州模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（　　） x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … A．对称轴是直线x＝﹣2 B．当x＝﹣4时，y＝﹣11 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．抛物线开口向下 【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【解答】解：A、由表格中点（﹣3，﹣3），（﹣1，﹣3），可知对称轴是直线x＝﹣2，故不符合题意； B、根据对称轴是直线x＝﹣2，图象过点（1，﹣11），所以当x＝﹣5时，y＝﹣11，故符合题意； C、由表格数据可知，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，故不符合题意； D、根据对称轴是直线x＝﹣2，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，可知抛物线开口向下，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．（2024秋•昭平县期中）关于二次函数y＝﹣2x2+1的图象，下列说法中，正确的是（　　） A．对称轴为直线x＝1 B．顶点坐标为（﹣2，1） C．可以由二次函数y＝﹣2x2的图象向左平移1个单位长度得到 D．在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小 【分析】由二次函数y＝﹣2x2+1，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向下；对每个选项分析、判断即可． 【解答】解：A、由二次函数解析式得，对称轴为直线x＝0；故本项错误； B、由二次函数解析式得，顶点坐标为 （0，1）；故本项错误； C、由二次函数解析式的图象可由二次函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位得到；故本项错误； D、由二次函数y＝﹣2x2+1得，其开口向下，顶点为（0，1），则在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小；故本项正确． 综上，正确的是D． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及几何变换，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点． 5．（2024•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2﹣4mx+4m+4（m≠0）的图象只经过三个象限，则m的取值范围为（　　） A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．m≤﹣1 D．m＜0 【分析】根据题目中的解析式和二次函数的性质可以求得m的取值范围，本题得以解决． 【解答】解：∵y＝mx2﹣4mx+4m+4＝m（x﹣2）2+4， ∴顶点坐标是（2，4）， ∵二次函数y＝mx2﹣4mx+4m+4的图象只经过三个象限， ∴， 解得，m≤﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 题型四 二次函数图象共存问题 1．（2024秋•昭平县期中）函数y＝ax2+c与y＝ax+c在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数图象经过的象限，与y轴的交点，可得a、c的正负；然后根据二次函数图象的开口方向，与y轴的交点，可得a、c的正负，逐一比较两者的a、c值即可． 【解答】解：A、由y＝ax+c的图象可知a＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，c＞0，直线与抛线与y轴没交于同一点，不合题意； B、由y＝ax+c的图象可知a＜0，c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，c＜0，两者相矛盾，不合题意； C、由y＝ax+c的图象可知a＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，c＞0，直线与抛物线与y轴交于同一点，符合题意； D、由y＝ax+c的图象可知a＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，c＝0，两者相矛盾，不合题意 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数综合．解决本题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数图象与系数的关系． 2．（2024秋•云南期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题形数结合，一次函数y＝ax+b，可判断a、c的符号；根据二次函数y＝a（x+c）2的图象位置，可得a，c．经历：图象位置﹣系数符号﹣图象位置． 【解答】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误； B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确； C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误； D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误． 故选：B． 【点评】此题考查二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 3．（2024秋•香坊区校级期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象． 【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A； 当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D； 当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：C． 【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下． 4．（2023秋•奇台县期末）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； C、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确； D、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数与二次函数的图象，掌握抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 5．（2024秋•德城区期中）函数y＝ax+b（a≠0）与y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝ax+b（a≠0）图象得到字母系数的正负相比较看是否一致即可判断． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确； C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误； D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是关键． 题型五 利用二次函数的性质比较函数值的大小 1．（2024秋•新洲区月考）若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝ax2+2ax+a（a＜0）的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 【分析】由二次函数的解析式为y＝ax2+2ax+a（a＜0），可得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1且开口向下，利用二次函数的性质，可得出“距离对称轴越远的点，其函数值越小”，再结合各点的横坐标，即可得出y3＜y1＜y2． 【解答】解：∵y＝ax2+2ax+a＝a（x+1）2，且a＜0， ∴二次函数y＝ax2+2ax+a（a＜0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下， ∴距离对称轴越远的点，其函数值越小． 又∵|﹣3﹣（﹣1）|＝2，|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|2﹣（﹣1）|＝3，且1＜2＜3， ∴y3＜y1＜y2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，距离对称轴越远的点，其函数值越大；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，距离对称轴越远的点，其函数值越小”是解题的关键． 2．（2024秋•庐阳区校级期中）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+1上，且﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【分析】由抛物线的解析式，可找出抛物线的对称轴为直线x＝1，由a＝﹣1＜0，利用二次函数的性质，可得出“抛物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小”，由点A，B的横坐标的取值范围，可得出|x1﹣1|＞|x2﹣1|，进而可得出y1＜y2． 【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2x+1的对称轴为直线x1． ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小． 又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+1上，且﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2， ∴|x1﹣1|＞|x2﹣1|， ∴y1＜y2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大；当a＜0时，抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小”是解题的关键． 3．（2024秋•肥西县期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝4（x+2）2﹣3经过A（﹣3，a）、B（0，b）、C（1，c）三点，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜c D．a＜c＜b 【分析】由抛物线的解析式可得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，由4＞0，利用二次函数的性质，可得出“抛物线开口向上，离对称轴越远的点，其函数值越大”，再结合三点到对称轴的距离，即可得出a＜b＜c． 【解答】解：抛物线y＝4（x+2）2﹣3的对称轴为直线x＝﹣2． ∵4＞0， ∴抛物线开口向上，离对称轴越远的点，其函数值越大， 又∵抛物线y＝4（x+2）2﹣3经过A（﹣3，a）、B（0，b）、C（1，c）三点，且|﹣3﹣（﹣2）|＝1，|0﹣（﹣2）|＝2，|1﹣（﹣2）|＝3，1＜2＜3， ∴a＜b＜c． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当抛物线开口向上时，离对称轴越远的点，其函数值越大；当抛物线开口向下时，离对称轴越远的点，其函数值越小”是解题的关键． 4．（2024秋•江夏区校级月考）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3（m为常数，且m＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【分析】由y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m且m＞0，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1且开口向上，利用二次函数的性质，可得出“距离对称轴越远的点，其函数值的绝对值越大”，再结合各点的横坐标，即可得出y2＜y3＜y1． 【解答】解：∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，m＞0， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向上， ∴距离对称轴越远的点，其函数值越大． ∵|﹣2﹣1|＝3，|1﹣1|＝0，|3﹣1|＝2，0＜2＜3， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记“当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，距离对称轴越远的点，其函数值越大；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，距离对称轴越远的点，其函数值越小”是解题的关键． 5．（2024•余姚市一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在二次函数y＝﹣x2+c（c＞0）的图象上，点A，C是该函数图象与正比例函数y＝kx（k为常数且k＞0）的图象的交点．若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2 【分析】首先确定A在第三象限，B、C在第一象限，利用正比例函数的性质以及二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵k＞0， ∴正比例函数y＝kx的图象经过一、三象限， ∵点A，C是该函数图象与正比例函数y＝kx（k为常数且k＞0）的图象的交点，且x1＜0＜x2＜x3， ∴A在第三象限，C在第一象限， 由二次函数y＝﹣x2+c（c＞0）可知抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴B在第一象限， ∴y1＜0，0＜y3＜y2， ∴y1＜y3＜y2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正比例函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决此题的关键是确定A、B、C的位置． 题型六 待定系数法求二次函数的解析式 1．（2024秋•海珠区校级月考）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出，再结合顶点为（﹣3，2）即可得出抛物线的解析式． 【解答】解：∵一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2）， ∴该抛物线的解析式为：， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键． 2．（2024秋•江岸区期中）根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为（　　） x … ﹣1 0 1 2 … y … ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 … A．y＝x2+3x+5 B．y＝x2+3x﹣5 C．y＝﹣x2+3x﹣5 D．y＝﹣x2﹣3x﹣5 【分析】选取表中的三组对应值代入y＝ax2+bx+c中得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c，从而得到抛物线解析式． 【解答】解：把（﹣1，﹣7），（0，﹣5），（1，﹣1）分别代入y＝ax2+bx+c得， 解得， 所以二次函数解析式为y＝x2+3x﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 3．（2024秋•利辛县期中）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求这个图象的顶点坐标． 【分析】（1）直接把A点和B点坐标代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可； （2）利用配方法把y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣3）2﹣4，则根据二次函数的性质得到该抛物线的顶点坐标． 【解答】解：（1）根据题意得，解得， 所以该二次函数的解析式为y＝x2﹣6x+5； （2）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， 抛物线的顶点坐标为（3，﹣4）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 4．（2024秋•黔南州期中）已知一个二次函数的图象的顶点坐标是（﹣2，1），且图象经过点（1，﹣8） （1）求这个二次函数的解析式； （2）当﹣5≤x≤1时，求y的最大值． 【分析】（1）将二次函数设为顶点式，利用待定系数法进行计算即可； （2）根据二次函数的性质求出对称轴，找出函数的最值即可． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象的顶点坐标是（﹣2，1）， ∴设这个二次函数的解析式为y＝a（x+2）2+1， 将点（1，﹣8）代入，得﹣8＝a（1+2）2+1， 解得a＝﹣1， ∴这个二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）2+1； （2）∵该二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）2+1， ∴抛物线的对称轴为x＝﹣2． 又∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵﹣5≤x≤1， ∴当x＝﹣2时，y取得最大值，最大值为1． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 5．（2023秋•华安县期中）已知二次函数图象的顶点为（2，﹣1），且与y轴交于点（0，3）， （1）求该函数的解析式． （2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上不同的两点． ①若y1＝y2，求x1，x2之间的数量关系． ②若x1+x2＝2（x1﹣x2），求y1﹣y2的最小值． 【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），设解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，将（0，3）代入即得答案； （2）①根据二次函数的性质，y1＝y2，y1﹣y2＝0，则推出y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＝0，即可求解；②x1﹣x2看作一个整体，利用配方法求解． 【解答】（1）解：∵二次函数图象的顶点为（2，﹣1）， 设y＝a（x﹣2）2﹣1， 将（0，3）代入得4a﹣1＝3， 解得a＝1， ∴y＝（x﹣2）2﹣1 则y＝x2﹣4x+3． （2）解：①M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上不同的两点． ∴y14x1+3①，y24x2+3②， 若y1＝y2， 则①﹣②＝0， ∵x1≠x2， ∴x1+x2＝4． ②y1﹣y24x1+34x2﹣3 4（x1﹣x2） ＝（x1+x2）（x1﹣x2）﹣4（x1﹣x2） ＝2（x1﹣x2）2﹣4（x1﹣x2） ＝2（x1﹣x2﹣1）2﹣2， 当x1﹣x2＝1时，有最小值﹣2． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 题型七 二次函数与一元二次方程 1．（2024秋•龙口市期中）下表是小明通过计算得到的函数y＝x2﹣x﹣5的几组对应值，则方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根可能是（　　） x ﹣1.5 ﹣1.7 ﹣1.9 ﹣2.1 y ﹣1.25 ﹣0.41 0.51 1.51 A．x≈﹣1.6 B．x≈﹣1.8 C．x≈﹣1.95 D．x≈﹣2.2 【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标即是ax2+bx+c＝0（a≠0）的解．由表格确定y＝0时，对应的自变量值即与x轴交点的横坐标． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣x﹣5的对称轴为直线x＝0.5， ∴x＜0.5，y随x的增大而减小． y＝0时，﹣0.41＜y＜0.51，相应的﹣1.9＜x＜﹣1.7． ∴方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根﹣1.9＜x＜﹣1.7； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的增减性，函数与方程的关系；理解抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标即是ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键． 2．（2024秋•沈北新区期末）抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点，则c的值为（　　） A．9 B． C． D．﹣9 【分析】根据抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点，即Δ＝0即可求出c． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+6x+c与x轴只有一个交点， ∴关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝62﹣4c＝0， 解得c＝9． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系． 3．（2023•崂山区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x＝﹣1，图象与x轴相交于点（1，0），则方程cx2+bx+a＝0的根为（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2 D．x1＝﹣1，x2 【分析】根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，得抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），从得出答案． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3，可得a+b（）+c（）2＝0， 设t，可得ct2+bt+a＝0， ∴t1＝1，t2， 由上可得，方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝1，x2， 故选：C． 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是解题的关键． 4．（2024•犍为县模拟）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0 ∴k＞﹣1 ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数 ∴k≠0 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故选：C． 【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断． 5．（2023秋•单县期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）． （1）若其图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）求其图象与直线y＝m+5交点的横坐标． 【分析】（1）根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4m＞0，即可求解； （2）根据题意得，x2﹣4x+m＝m+5，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4m＞0， ∴m＜4； （2）根据题意得，x2﹣4x+m＝m+5， 解得，x1＝5，x2＝﹣1， ∴图象与直线y＝m+5交点的横坐标为5或﹣1． 【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 题型八 二次函数与不等式（组） 1．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当﹣2＜x＜6时，y＞0， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 2．（2024•郸城县三模）如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 【分析】先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【解答】解：由题意可得0＝﹣3+a和0＝（﹣3）2﹣3b， 解得a＝3和b＝3， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为y＝x+3和y＝x2+3x， 联立得x2+3x＝x+3，解得x＝﹣3或x＝1， 当x＝1时，y＝4， ∴B（1，4）， 观察图象可得，当﹣3＜x＜1时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式x+a＞x2+bx的解集为﹣3＜x＜1， 故选：D． 【点评】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 【分析】根据抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，可得直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点A1（3，y1），B1（﹣1，y2）两点，根据图象即可得到答案． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点， 图象如图所示， 当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m， ∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3， 故选：D． 【点评】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点． 4．（2023•城阳区校级一模）已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 　 　． 【分析】根据解析式，得抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），结合图形即可求解． 【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣3， ∴抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0）， 则（﹣1，0）关于x＝2对称的点为（5，0）， 即抛物线与x轴另一个交点为（5，0）， 所以y≤0时，x的取值范围是﹣1≤x≤5． 故答案为：﹣1≤x≤5． 【点评】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键． 5．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： （1）直接写出该二次函数的解析式为 　 ； （2）不等式ax2+bx+c≤0的解集是 　 ； （3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 　 　； （4）若关于x的方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 　 　． 【分析】（1）设抛物线交点式y＝a（x+2）（x﹣4），将（0，4）代入解析式求解． （2）根据抛物线与x轴交点坐标及开口方向判断． （3）由抛物线与x轴交点坐标可得抛物线对称轴为直线x＝1，然后根据开口方向进行判断． （4）将抛物线解析式化为顶点式求解． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 将（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣4）得4＝﹣8a， 解得a， ∴y（x+2）（x﹣4）x2+x+4， 故答案为：yx2+x+4． （2）由图象可得x≤﹣2或x≥4时，y≤0， 故答案为：x≤﹣2或x≥4． （3）∵图象经过（﹣2，0），（4，0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向下， ∴x＞1时，y随x的增大而减小， 故答案为：x＞1． （4）∵yx2+x+4（x﹣1）2， ∴y， ∴y时，ax2+bx+c＝k有两个不相等的实根， 故答案为：k． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 题型九 利用二次函数的性质判断多结论问题 1．（2024•南山区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论： ①abc＜0； ②（a+c）2＜b2； ③a+b＜m（am+b），其中m≠1； ④4a+2b+c＞0． 其中正确结论的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，分别观察x＝2，x＝﹣1，x＝1时的函数值，进而对所得结论进行判断即可． 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②当x＝﹣1时，y＜0，当x＝1时，y＞0， ∴a﹣b+c＜0，a+b+c＞0， ∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0， ∴（a+c）2＜b2，故②正确； ③当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c，其中m≠1， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故③错误． ④由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故④正确； 故选：B． 【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 2．（2024秋•临夏州期中）如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线x＝1，给出以下判断：①abc＜0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＞0；④m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④． 【解答】解：①由图象可知a＜0，c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故①正确； ②， 整理得2a+b＝0， 故②正确； ③由图知，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0），（3，0）两点， ∴当x＝3时，9a+3b+c＝0， 故③错误； ④∵二次函数在x＝1时取得最大值为a+b+c， 3a+b＜0（常数m≠1）， ∴am2+bm＜a+b， 即m（ma+b）＜a+b， 故④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：B． 【点评】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 3．（2023秋•东莞市校级期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图象的对称轴、与x轴交点个数、与y轴交点位置进行判断即可． 【解答】解：如图： ∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵图象交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错； ∵b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故②对； ∵图象与x轴两个交点， ∴Δb2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对； 根据图象可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0）， 故图象与x轴交点在﹣1和3之间，且开口向下， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对； 由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤对；共四个对， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，理解图象的特征是解决问题的关键． 4．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0． 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0． 抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0， 所以abc＜0． 故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最小值为：a+b+c， ∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c， 故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故④正确； ⑤∵bx1bx2， ∴bx1bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤． 故选：D． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 5．（2024•阳信县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．则有以下5个结论：①abc＜0；②b2＜4ac；③b＝﹣2a；④a﹣b+c＞0；⑤对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b．其中正确的结论是 　 　．（填序号） 【分析】，根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过（﹣1，0）判断④；根据当x＝1时函数取最大值判断⑤． 【解答】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴为x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴b2＞4ac， ∴②错误． ∵b＝﹣2a， ∴③正确． ∵当x＝﹣1时，y＝0， ∴a﹣b+c＝0， ∴④错误． 当x＝1时，y有最大值为a+b+c， ∴对于任意实数m，总有am2+bm+c≤a+b+c， ∴对于任意实数m，总有am2+bm≤a+b． ∴⑤正确． 故答案为：①③⑤． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． 题型十 利用二次函数的性质求最值 1．二次函数y＝2x2+8x﹣1的最小值是（　　） A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣9 【分析】先利用配方法得到y＝2（x+2）2﹣9，然后根据二次函数的性质解决问题． 【解答】解：∵y＝2x2+8x﹣1＝2（x+2）2﹣9， ∴当x＝﹣2时，y有最小值，最小值为﹣9． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的最值：对于二次函数y＝a（x﹣k）2+h，当a＞0时，x＝k，y有最小值h；当a＜0时，x＝k，y有最大值h． 2．（2023•龙港市一模）小明在研究某二次函数y＝ax2+bx+c时列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y＝ax2+bx+c … 11 6 3 3 6 … 当自变量x满足﹣1≤x≤4时，下列说法正确的是（　　） A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2 C．有最大值6，有最小值3 D．有最大值6，有最小值2 【分析】由二次函数图象经过点（0，3），（2，3），（3，6），利用待定系数法求函数解析式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【解答】解：将点（0，3），（2，3），（3，6）代入到二次函数y＝ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2． ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2）， ∴自变量x满足﹣1≤x≤4时，有最小值2， ∴x＝4时，y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2＝11， ∴自变量x满足﹣1≤x≤4时，有最大值11，有最小值2， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是求出函数解析式． 3．已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值为7，则该二次函数的最小值是 　 　． 【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x＝﹣1时，y＝7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4， ∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上， ∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7， 当x＝﹣1时，y＝7， ∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m， 解得：m＝2， ∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝　 　． 【分析】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M﹣m的值． 【解答】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y＝0时，x2﹣6x+5＝0， 即（x﹣1）（x﹣5）＝0， 解得x1＝1，x2＝5． 如图：m＝﹣4， 当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5． 则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9． 【点评】本题考查了二次函数的最值，找到x的取值范围，画出函数图象，根据图象找到m的值和M的值． 5．（2023•砀山县模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a （1）若a＝1，则函数y的最小值为　 ． （2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为　 　． 【分析】（1）将a＝1代入二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，然后配方即可． （2）先求出抛物线的对称轴是直线x＝2，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，根据函数增减性即可求出a的值． 【解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 ∵a＝1＞0 ∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1． （2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a ∴抛物线的对称轴是直线x＝2， ∵1≤x≤4， ∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大， 当x＝4时y有最大值， a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a， 当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值， a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4． 故答案为（1）﹣1；（2）． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握最值的计算公式． 题型十一 根据二次函数的最值求字母的值或取值范围 1．（2024•河北模拟）已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【分析】当h＜1≤x≤3时，二次函数在1≤x≤3上单调递增，进而得出x＝1时，y取得最小值5，进而求出h的值；当1≤x≤3＜h，二次函数在1≤x≤3上单调递减，进而得出x＝3时，y取得最小值5，进而求出h的值． 【解答】解：h的值不可能在1到3之间， 当h＜1≤x≤3时， 当x＝1时，y取得最小值5， （1﹣h）2+1＝5， h＝﹣1或h＝3（不合题意，舍去）， 当1≤x≤3＜h， 当x＝3时，y取得最小值5， （3﹣h）2+1＝5， h＝5或h＝1（不合题意，舍去）， 故选：B． 【点评】本题主要是函数的单调性以及最值问题，正确理解二次函数的单调性是解题关键． 2．（2024春•鄞州区校级期末）若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 【分析】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m；当m＞2时，则x＝2时，y有最小解得m2，即可求得m． 【解答】解：∵yx2﹣mx+1（x﹣m）2+（m2+1）， ∴图象f的对称轴为直线x＝m， 当m≤2时，抛物线开口向上， ∴当x＝m时，y有最小值，y最小m2+1＝0， 解得m， 当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴x＝2时，y有最小值，y最小（2﹣m）2+（m2+1）＝0， 解得m（不合题意，舍去）， 综上，m． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（2024•榆阳区三模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为1，则m的值为（　　） A．4 B． C．2 D．1 【分析】依据题意，由二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3，从而可得对称轴是直线xm，且抛物线开口向下，再由二次函数的性质分﹣1＜0＜m＜3和m≥3两种情形进行讨论即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3， ∴对称轴是直线xm，且抛物线开口向下，当x＜m时，y随x的增大而增大，当x＞m时，y随x的增大而减小． ①当﹣1＜0＜m＜3时，此时x＝m时，y取最大值为﹣m2+2m2﹣3＝m2﹣3＝1， ∴m＝2或m＝﹣2（舍去）． ②当m≥3时，当x＝3时，y取最大值为﹣9+6m﹣3＝1， ∴m3，不合题意． 综上，m＝2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 4．（2023秋•龙马潭区期末）已知抛物线y＝﹣x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣7，求此时t的值为（　　） A．1或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣1或﹣2 【分析】①当t≤﹣1时，抛物线在x＝t时，取得最小值，即可求解；②当﹣1＜t＜1时，再分﹣1＜t＜0、0≤t＜1两种情况分别求解；③当t≥1时，同理可解． 【解答】解：对于y＝﹣x2+2x+1， 当x＝t时，y＝﹣t2+2t+1， 当x＝t+2时，y＝﹣（t+2）2+2（t+2）+1＝﹣t2﹣2t+1； ①当t≤﹣1时， 抛物线在x＝t时，取得最小值， 即y＝﹣t2+2t+＝﹣7， 解得：t＝4（舍去）或﹣2， 故t＝﹣2； ②当﹣1＜t＜1时， 当﹣1＜t＜0时， 抛物线在x＝t时，取得最小值， 即y＝﹣t2+2t+1＝﹣7， 解得：t＝4（舍去）或﹣2（舍去）， 当0≤t＜1时， 抛物线在x＝t+2时，取得最小值， 即y＝﹣t2﹣2t+1＝﹣7， 解得：t＝﹣4或2（舍去）； ③当t≥1时， 抛物线在x＝t+2时，取得最小值， 即y＝﹣t2﹣2t+1＝﹣7， 解得：t＝﹣4（舍去）或2， 即t＝2， 综上，t＝2或﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的最值，二次函数的性质，分类求解是本题解题的关键． 题型十二 二次函数的平移、对称、旋转 1．（2024秋•利辛县期中）将抛物线y＝x2+2x﹣2向右平移4个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣3）2﹣1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x+3）2+1 【分析】根据二次函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：∵原二次函数可化为y＝x2+2x﹣2＝（x+1）2﹣3， ∴抛物线向右平移4个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式是y＝（x﹣3）2+1， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键． 2．（2024秋•秦皇岛期中）抛物线y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4关于原点对称，则m+n的值为（　　） A．﹣6 B．8 C．6 D．9 【分析】根据关于原点对称的抛物线开口方向改变，大小不变，可得到答案． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4关于原点对称，则横纵坐标互为相反数， ∴y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5， ∵y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）＝﹣x2+（m+n）x﹣mn， ∴m+n＝﹣6， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握关于原点对称的抛物线开口方向改变，开口大小不变是解题的关键． 3．（2024秋•新洲区月考）将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到图象的二次函数解析式是（　　） A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5 【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案． 【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的函数解析式是y＝（x+1+2）2﹣2+3，即y＝（x+3）2+1． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 4．（2024秋•太和县期中）将抛物线绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D． 【分析】先确定抛物线yx2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，﹣1）变换后所得对应点的坐标为（0，1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线． 【解答】解：抛物线yx2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为yx2+1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线绕某点旋转180°得到旋转后的抛物线开口相反，抛物线的开口大小不变是解题的关键． 5．（2023秋•宿豫区校级月考）如图，将抛物线P：y＝x2+2x+m平移后得到抛物线P2：y＝x2﹣5x+n两抛物线与y轴分别交于点C，D．抛物线P1，P2的交点E的横坐标是1，过点E作x轴的平行线，分别交抛物线P1，P2于点A，B． （1）求点A的横坐标． （2）求线段CD的长度． 【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线P1的对称轴，以及A，E关于对称轴x＝﹣1对称和点E的横坐标直接求出点A的横坐标； （2）求出C，D的坐标即可求出CD的长． 【解答】解：（1）抛物线P1：y＝x2+2x+m的对称轴为直线x1， ∵AB∥x轴， ∵点A与点E关于对称轴x＝﹣1对称， ∴点A的横坐标为﹣3； （2）∵点E是抛物线C1与抛物线C2的交点， ∴1+2+m＝1﹣5+n， ∴m＝n﹣7， ∴n﹣m＝7， 令x＝0，则C（0，m），D（0，n）， ∴CD＝n﹣m＝7． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，关键是判断点A与点E关于对称轴x＝﹣1对称． 题型十三 根据实际问题列二次函数关系式 1．（2024秋•平定县期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且BE＝DF，四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为（　　） A．y＝36﹣x2 B．y＝6﹣x2 C．y＝6﹣x D．y＝36﹣x 【分析】由已知图形可以分析得到矩形AEGF的长AF为（6+x），宽AE为（6﹣x），由面积公式即可计算得到正确答案． 【解答】解：由题意可得：矩形AEGF的长AF的长为（6+x），宽AE的长为（6﹣x）， ∴矩形AEGF的面积为：y＝AF•AE＝（6+x）（6﹣x）＝36﹣x2． 故选：A． 【点评】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键． 2．（2024秋•松山区期中）最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为949.5万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（　　） A．y＝（1+x）2 B．y＝949.5x（1+x） C．y＝949.5（1+x）2 D．y＝949.5+（1+x）2 【分析】利用2025年的累计销量＝2023年的累计销量×（1+平均每年增长率）2，即可得到函数解析式． 【解答】解：由题意得：函数的表达式为：y＝949.5（1+x）2． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 3．（2024秋•临汾月考）如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣30）2+k的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．y＝﹣2（x﹣15）2+30 【分析】根据石块在空中飞行的最大高度为15米，得到抛物线解析式为y＝a（x﹣30）2+15，将点（0，0）代入，求得，即得抛物线解析式为． 【解答】解：由题意可得：抛物线解析式为：y＝a（x﹣30）2+15， 将点（0，0）代入y＝a（x﹣30）2+15， 得0＝900a+15， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质是解题的关键． 4．（2024秋•闽侯县期中）某商品每件进价20元，销售期间发现，当售价为25元时，每天可售出120个，销售单价每降价1元，每天销量增加10个，现商家决定降价销售，每个降价x元（0＜x＜5），设每天销售量为y个，每天销售商品获得的利润w元，则下列函数关系式正确的是（　　） A．y＝10x﹣120 B．y＝﹣10x+120 C．w＝（10x+120）（25﹣20﹣x） D．w＝（﹣10x+120）（50﹣x） 【分析】当每个降价x元（0＜x＜5）时，每个的销售利润为（25﹣20﹣x）元，利用每天的销售量＝120+10×每个降低的钱数，可找出y关于x的函数关系式，再利用每天销售该商品获得的利润＝每个的销售利润×每天的销售量，可找出w关于x的函数关系式． 【解答】解：当每个降价x元（0＜x＜5）时，每个的销售利润为（25﹣20﹣x）元，每天的销售量y＝10x+120（个）． 又∵每天销售该商品获得的利润w元， ∴w＝（10x+120）（25﹣20﹣x）． 故选：C． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式是解题的关键． 5．（2024秋•鹿城区校级月考）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（18﹣4x） B．y＝x（18﹣2x） C．y＝x（12﹣4x） D．y＝x12﹣2x 【分析】由铁栅栏的全长及AB的长，可得出平行于墙的一边长为（18﹣4x）米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【解答】解：平行于墙的一边长为15+3﹣4x＝（18﹣4x）米． 根据题意得：y＝x（18﹣4x）． 故选：A． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确找到题中的等量关系是解题关键． 题型十四 二次函数的实际应用 1．（2023秋•抚松县期末）如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【分析】（1）设AB为x米，则BC为（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，即可求出x即AB的长． （2）根据题意得y＝x（24﹣3x），再配方变为顶点式，根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积． 【解答】解（1）设AB＝x米， 根据题意得：x（24﹣3x）＝36， 解得：x1＝2，x2＝6， 又∵24﹣3x≤9， ∴x≥5， ∴x1＝2舍去， ∴x＝6， 答：AB的长为6米； （2）根据题意得：y＝x（24﹣3x）， ∴y＝﹣3x2+24＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵a＝﹣3＜0，且x≥5在对称轴直线x＝4右侧， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝5时，y有最大值，y最大值＝﹣3×（5﹣4）+48＝45， 答：当AB的长为5米时，长方形花圃ABCD的面积最大，最大面积为45平方米． 【点评】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆． 2．（2024•镇平县一模）某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动．跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛物线．正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+0.9． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从王老师头顶越过？请说明理由； （3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在O，D之间，且离点O的距离为m米，当绳子摇到最高处时，m在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？请结合图象，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法，把B（6，0.9），E（1，1.4）代入y＝ax2+bx+0.9，求出a、b的值，即可得到该抛物线的解析式； （2）将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为1.8米，据此即可得到答案； （3）令y＝1.7，求出x的值，即为m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意可知，B（6，0.9）、OF＝1、EF＝1.4、E（1，1.4）， 把B（6，0.9），E（1，1.4）代入y＝ax2+bx+0.9得， ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9； （2）能，理由如下： ∵y＝﹣0.1x2+0.6x+0.9＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8， ∴抛物线的顶点坐标为（3，1.8），即绳子甩到最高处时的高度为1.8米， ∵1.75＜1.8， ∴绳子能顺利从他头顶越过； （3）令y＝1.7，则﹣0.1x2+0.6x+0.9＝1.7， 解得：x1＝2，x2＝4， ∴2＜m＜4． 【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 3．（2023秋•驻马店期末）如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m． （1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可； （2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可． 【解答】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m， 结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0）， 设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4， 将点O （0，0）代入函数表达式， 解得：a， ∴二次函数的表达式为y（x﹣4）2+4， 即yx2+2x （0≤x≤8）； （2）工人不会碰到头，理由如下： ∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距O点距离为0.41.2＝1， ∴将＝1代入yx2+2x， 解得：y1.75 ∵1.75m＞1.68m， ∴此时工人不会碰到头． 【点评】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． 4．（2024•枣阳市模拟）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； （2）该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； （3）若该农产品的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【分析】（1）利用待定系数法求y与x的函数关系式，根据W＝（x﹣20）•y求W与x之间的函数解析式； （2）每天利润为（800+200）元，代入W与x之间的函数解析式，解一元二次方程即可； （3）先求出售价单价的取值范围，将W与x之间的函数解析式变形为顶点式，根据函数的增减性求最值即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， 把（30，100），（40，80）代入得， 解得， ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+160； W＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣2x+160） 即W＝﹣2x2+200x﹣3200（20＜x≤50）； （2）由题意得，﹣2x2+200x﹣3200＝800+200， 整理得，x2﹣100x+2100＝0， 解得x1＝70，x2＝30， ∵20＜x≤50， ∴x＝30， 答：该食品的售价为30元/千克； （3）∵﹣2x+160≥90， 解得x≤35， ∴20＜x≤35， W＝﹣2x2+200x﹣3200 ＝﹣2（x﹣50）2+1800， ∵a＝﹣2＜0， ∴开口向下， ∵对称轴为x＝50， ∴在x≤50时，W随x的增大而增大， ∴x＝35时，W最大值＝15×90＝1350（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点评】本题考查一次函数、二次函数、一元二次方程的实际应用，找到等量关系是关键． 5．（2024秋•松滋市期中）“大众创业、万众创新”，互联网和大数据的时代，创新已成为提升企业竞争力的关键．已知商家购进一批文创产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 12 14 16 y（件） 1200 1000 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件． ①当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； ②若线下月利润与线上月利润的差不低于800元，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）根据线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系和表格中的数据，利用待定系数法可以求得y与x的函数关系式； （2）①根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可得到当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大，并求出此时的最大利润； ②根据题意，可以得到线下月利润与线上月利润的差和x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到x的取值范围． 【解答】解：（1）设y＝kx+b， 由表格信息可得， 解得， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣100x+2400； （2）设线下利润为w1元，线上利润为w2元， 根据题意，得w1＝y（x﹣10）＝（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100x2+3400x﹣24000， w2＝400（x﹣2﹣10）＝400x﹣4800， ①设线上和线下月利润总和为w元， 根据题意，得w＝w1+w2＝（﹣100x2+3400x﹣24000）+（400x﹣4800）＝﹣100x2+3800x﹣28800＝﹣100（x﹣19）2+7300， ∵﹣100＜0，12≤x＜24， ∴当x＝19时，w最大，最大值为7300元， 答：当x为19时，线上和线下月利润总和达到最大，最大利润为7300元； ②线下月利润与线上月利润的差为W元， W＝（﹣100x2+3400x﹣24000）﹣（400x﹣4800）＝﹣100（x﹣15）2+3300， 令W＝800，则800＝﹣100（x﹣15）2+3300， 解得x1＝10，x2＝20， ∴当10≤x≤20时，W的值不小于800， 又∵12≤x＜24， ∴线下月利润与线上月利润的差不低于800元时，x的取值范围是12≤x≤20． 【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质解答． 6．（2024•通州区二模）某超市购进某种商品的成本为25元/kg，经过调查发现，这种商品在前30天的销售单价y（元/kg）与时间x（天）之间的函数关系式为y日销量m（kg）与时间x（天）之间满足函数关系：m＝﹣2x+72（0＜x≤30，x为整数）． （1）求前15天中哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少元？ （2）求前30天中日销售利润不低于1080元的天数． 【分析】（1）依据题意，前15天的每一天利润＝（x+37﹣25）（﹣2x+72）＝﹣2（x﹣12）2+1152，结合﹣2＜0，可以分析得解； （2）依据题意，当0＜x≤15时，由（1），令利润＝﹣2（x﹣12）2+1152＝1080，求出x的值后，结合又﹣2＜0，且0＜x≤15，即可判断这个时间日销售利润不低于1080元的天数；又当15＜x≤30时，利润＝（﹣2x+72）（55﹣25）＝﹣60x+2160，故﹣60x+2160≥1080，从而15＜x≤18，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，前15天的每一天利润＝（x+37﹣25）（﹣2x+72） ＝（x+12）（﹣2x+72） ＝﹣2x2+48x+864 ＝﹣2（x﹣12）2+1152． ∵﹣2＜0， ∴当x＝12时，利润最大，最大日销售利润是1152元． 答：前15天中第12天的销售利润最大，最大日销售利润，1152元． （2）由题意，当0＜x≤15时， 由（1），令利润＝﹣2（x﹣12）2+1152＝1080， ∴x＝6或x＝18（舍去）． 又﹣2＜0，且0＜x≤15， ∴6≤x≤15时，日销售利润不低于1080元，共10天． 当15＜x≤30时， 利润＝（﹣2x+72）（55﹣25）＝﹣60x+2160． ∴﹣60x+2160≥1080． ∴15＜x≤18，共3天． 综上，共有10+3＝13（天）． 答：前30天中日销售利润不低于1080元的天数为13天． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 题型十五 二次函数与一次函数的综合 1．如图，抛物线yx2+3与x轴交于A，B两点，与直线yx+b相交于B，C两点，连接A，C两点． （1）写出直线BC的解析式； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）利用抛物线解析式求出点B的坐标，然后代入直线解析式求出b的值，即可得解； （2）联立抛物线与直线解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）令y＝0，则x2+3＝0， 解得x＝±2， 所以，点B的坐标为（2，0）， 代入yx+b得，2+b＝0， 解得b， 所以，直线BC的解析式为yx； （2）联立， 解得，， 所以，点C的坐标为（﹣1，）， ∵AB＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4， ∴△ABC的面积4． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟记性质并联立两函数解析式求出交点C的坐标是解题的关键． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1＝4a，解得：a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2x2﹣x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得： ，解得：，， ∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）． 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）． ∵点B（4，1），直线l为y＝﹣1， ∴点B′的坐标为（4，﹣3）． 设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y＝kx+b，得： ，解得：， ∴直线AB′的解析式为yx， 当y＝﹣1时，有x1， 解得：x， ∴点P的坐标为（，﹣1）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置； 3．如图，已知二次函数y＝（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A、B的坐标； （2）求S△AOB； （3）求对称轴方程； （4）在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？ 【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值； （2）根据三角形的面积公式，可得答案； （3）根据y＝（x+2）2，可得函数图象的对称轴； （4）分类讨论：P点在顶点的上方，P点在顶点的下方，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边，可得答案． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝22＝4，即B点坐标是 （0，4）， 当y＝0时，（x+2）2＝0，解得x＝﹣2，即A点坐标是（﹣2，0）； （2）如图，连接AB ， S△AOB|AO|•|BO||﹣2|×|4|＝4； （3）y＝（x+2）2的对称轴是直线x＝﹣2； （4）对称轴上存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 当P点坐标是（﹣2，4）时，AP∥OB，AP＝OB，四边形PAOB是平行四边形； 当P点坐标是（﹣2，﹣4）时，AP∥OB，AP＝0B，四边形PABO是平行四边形． 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用了自变量与函数值的关系，平行四边形的判定，分类讨论是解题关键． 4．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标． 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，代入点C的坐标可求出a值，进而可得出抛物线的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作PF∥x轴，交抛物线对称轴于点F，易证△MBE≌△PMF，根据全等三角形的性质可得出ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，进而可得出EF＝x+1，结合EF为点P纵坐标的绝对值，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，取其大于1的值代入点P的坐标中即可得出结论． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． （2）当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）． 设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作PF∥x轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示． 设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）（x＞1），则PF＝x﹣1，BE＝3﹣1＝2． ∵∠BME+∠PMF＝90°，∠BME+∠MBE＝90°， ∴∠MBE＝∠PMF． 在△MBE和△PMF中，， ∴△MBE≌△PMF（AAS）， ∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2， ∴EF＝ME+MF＝x+1． ∵EF＝|x2﹣2x﹣3|， ∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4， ∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标特征，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用全等三角形的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x的一元二次方程． 题型十六 二次函数的综合题 1．（2024秋•四平期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2，点F在对称轴上运动． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在一点F，使得∠BFC为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将线段BC绕着点F逆时针方向旋转90°后得到线段B1C1，当点B1与C1恰有一点落在抛物线上时，求点F的坐标． 【分析】（1）由题意得出A（﹣6，0），C（0，6）．结合轴对称的性质得出B（2，0），再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．设点F（﹣2，t），则．当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上，由圆周角定理得出此时∠BFC为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点F（﹣2，t）．则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2），再分两种情况：当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，分别求解即可． 【解答】解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝6，对称轴是直线x＝﹣2， ∴A（﹣6，0），C（0，6），B（2，0）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+6（a≠0），将A，B点的坐标代入得： 题意得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）存在一点F，使得∠BFC为直角；理由如下： ∵B（2，0），C（0，6）， ∴． 设BC中点为D，则D（1，3），连接DF．如图1， 设点F（﹣2，t），则． 当DF＝DC＝BD时，点B，C，F三点在以D为圆心，BC为直径的圆上， 此时，∠BFC为直角，，则， ∴t2﹣6t+18＝10， 化简得t2﹣6t+8＝0， 解得t1＝2，t2＝4． ∴F的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）时，∠BFC为直角． （3）设点F（﹣2，t）． 则点B逆时针方向旋转90°后的坐标为B1（t﹣2，t+4），点C逆时针方向旋转90°后的坐标为C1（t﹣8，t+2）， 当B1（t﹣2，t+4）在抛物线上时，， 化简得t2+2t﹣8＝0， 解得t1＝2，t2＝﹣4． ∴t1＝2时，F（﹣2，2），t2＝﹣4时，F（﹣2，﹣4）． 经检验，此时点C1不在抛物线上． 当C1（t﹣8，t+2）在抛物线上时，， 化简得t2﹣10t+24＝0， 解得t1＝4，t2＝6． ∴当t1＝4时，F（﹣2，4），当t2＝6时，F（﹣2，6）． 经检验，此时点B1不在抛物线上． 综上，满足题意的点F的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣4），（﹣2，4），（﹣2，6）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（2024秋•松山区期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）直接写出二次函数的解析式　 　； （2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC面积最大？请求出四边形ABPC面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，设P（x′，﹣x2+2x+3），先求出直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再利用S四边形ABPC＝S△CPQ+S△BPQ+S△ABC求解即可； （3）设点P（x′，﹣x2+2x+3），PP″交CO于点E，若四边形POP′C是菱形，则OP＝PC，连接PP′，则PE⊥OC，，可得，进而求解． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），将B，C两点的坐标代入得： ， 解得． 所以二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3， 故答案为：y＝﹣x2+2x+3； （2）当点P运动到时，四边形ABPC的面积最大值；理由如下： 如图1，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q， 设P（x′，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n， 则， 解得 ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 则Q（x′，﹣x+3）， ∴S四边形ABPC＝S△CPQ+S△BPQ+S△ABC， ， ， 当时，四边形ABPC的面积最大， 此时，点P的坐标为时，四边形ABPC的面积最大值为； （3）存在点P，使四边形POP1C为菱形；理由如下： 如图，设点P（x′，﹣x2+2x+3），PP1交CO于点E， 若四边形POP1C是菱形，则OP＝PC， 连接PP1，则PE⊥OC，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 3．（2023秋•梅里斯区期末）综合与探究 如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点H，当BH+CH的值最小时，点H坐标为 　 　； （3）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，当四边形AOCP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值； （4）探究在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）把A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）根据抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，B（1，0），则AC与对称轴的交点即为点H，用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，即可求解； （3）连接AP，CP，易得，设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4），求出PQ＝﹣t2﹣4t，则，根据四边形AOCP的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （4）设，根据两点之间距离公式得出AC2＝32，，CM2＝m2﹣8m，分三种情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4），代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式y＝﹣x2﹣3x+4． （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵A（﹣4，0）， ∴B（1，0）， ∵点A和点B关于直线对称， ∴AC与对称轴的交点即为点H， 设直线AC的解析式为y＝kx+h， 把A（﹣4，0），C（0，4）代入得： ， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+4， 把代入得， ∴， 故答案为：； （3）如图：连接AP，CP， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴OA＝4，OC＝4， ∴， 设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4）， ∴PQ＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t， ∴， ∴四边形AOCP的面积， ∵﹣2＜0， ∴当t＝﹣2时，四边形AOCP的面积最大为16， 此时P（﹣2，6）； （4）设， ∵A（﹣4，0），C（0，4）， ∴AC2＝42+42＝32，AM2，CM2＝（）2+（m﹣4）2＝m2﹣8m， 当斜边为AC时，AM2+CM2＝AC2， 即m2﹣8m32， 解得：m1＝2，m2＝2； ∴M（，2）M（，2）； 当斜边为AM时，AC2+CM2＝AM2， 即32+m2﹣8m， 解得：m， ∴M（，）； 当斜边为CM时，AC2+AM2＝CM2， 即32m2﹣8m， 解得：m， ∴M（，）； 综上，M的坐标为M（，2）或M（，2）或M（，）或M（，）． 【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质是解题的关键． 4．（2024秋•大冶市期中）如图，已知抛物线L1：y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A（﹣3，0），B（1，0）． （1）求抛物线L1的解析式； （2）若M是抛物线上的一动点，且∠MAB＝∠BCO，求点M的坐标； （3）点Q在抛物线上，且Q的横坐标为，将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，抛物线L2的顶点为P，且△ACP的面积等于△AQC的面积，求点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出C（0，3），得出OA＝OC，分两种情况：在y轴正半轴上取D（0，1），在y轴负半轴上取E（0，﹣1），分别验证，求出点M的坐标即可； （3）先求出点Q的坐标为，过点Q作QH⊥x轴于点H，求出，得出，过点E作x轴的平行线y＝4，连接并延长AC交直线y＝4于点D，设点P的坐标为（m，4），直线AC的解析式为y＝kx+3，把（﹣3，0）代入求出直线AC的解析式为y＝x+3，求出点D的坐标为（1，4），根据，求出m的值，即可得出答案． 【解答】（1）解：把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）解：把x＝0代入y＝﹣x2﹣2x+3得：y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， ∵A（﹣3，0），B（1，0）， ∴OA＝3，OB＝1， ∴OA＝OC， 在y轴正半轴上取D（0，1），连接AD，交抛物线于一点M1，如图所示： ∴OB＝OD＝1， 在△AOE与△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（SAS）， ∴∠BAM1＝∠BCO， ∴此时点M1符合题意， 设直线AD的解析式为y＝kx+1，把（﹣3，0）代入得，﹣3k+1＝0， 解得， ∴直线AD的解析式为， 令， 解得，x2＝﹣3（舍）， 把代入得， ∴点； 在y轴负半轴上取E（0，﹣1），连接AE，交抛物线于一点M2，如图所示： ∴OB＝OE＝1， 在△AOE与△COB中， ， ∴△AOE≌△COB（SAS）， ∴∠BAM2＝∠BCO， ∴此时点M2符合题意， 设直线AE的解析式为y＝k′x﹣1，把（﹣3，0）代入得：﹣3k′﹣1＝0， 解得， ∴直线AE的解析式为：， 令， 解得，x2＝﹣3（舍）， 把代入得， ∴点； 综上分析可知：点，； （3）把代入y＝﹣x2﹣2x+3得， ∴点Q的坐标为， 过点Q作QH⊥x轴于点H，如图所示： ∴点H的坐标为：， ∴，， ∴S四边形AOCQ＝S△AQH+S梯形COQH＝S△ACQ+S△ACO， ∴， ∴， ∴， ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点E的坐标为（﹣1，4）， 过点E作x轴的平行线y＝4，连接并延长AC交直线y＝4于点D，如图所示： ∵将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，抛物线L2的顶点为P， ∴点P在过点E平行于x轴的直线上， 设点P的坐标为（m，4）， 设直线AC的解析式为y＝kx+3，把（﹣3，0）代入得： ﹣3k+3＝0， 解得：k＝1， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 把y＝4代入y＝x+3得：4＝x+3， 解得：x＝1， ∴点D的坐标为（1，4）， ∴DP＝|m﹣1|， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为：或． 【点评】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、抛物线平移，求一次函数解析式等知识，解题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想解决问题． 5．（2024•阳新县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点D为直线l上一动点，当BC垂直平分PD时，求m的值； （3）过点P作x轴的垂线交BC于点M，过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N，线段PM，PN的长度之和记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况． 【分析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），两点坐标代入y＝ax2+bx+4，求出a，b的值即可； （2）过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，连接DQ，证明DQ∥x轴，得出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设，根据DQ＝PQ，建立方程，解方程，即可求解； （3）①设，0＜m＜4且m≠1，则M（m，﹣m+4），根据对称性可得，则，PN＝|m﹣（2﹣m）|＝|2m﹣2|进而分类讨论得出； ②分别求得两段二次函数的最值，进而画出图象，结合函数图象即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）两点坐标代入y＝ax2+bx+4，得： ， 解得，； （2）如图1所示，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，连接DQ， 由（1）可得抛物线解析式为， 对称轴为直线， 当x＝0时，y＝4，则C（0，4）， ∵B（4，0），则OB＝OC＝4， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠BCO＝45°， ∵PQ⊥x轴， ∴PQ∥CO， ∴∠DPQ＝45°， ∵BC垂直平分PD， ∴QP＝DQ，DP⊥BC， ∴△DPQ是等腰直角三角形， ∴DQ∥x轴， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将C（0，4），B（4，0）代入得： ， 解得：， 所以直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 设， ∵点P是直线BC上方抛物线上不与抛物线顶点重合的一动点，则0＜m＜4且m≠1，则Q（m，﹣m+4）， ∴DQ＝m﹣1，， ∵DQ＝PQ， ∴， 解得：或（舍去）； （3）如图2所示， 设，0＜m＜4且m≠1，则M（m，﹣m+4）， 过点P作y轴的垂线与抛物线的另一个交点为N， 则N点与P点关于x＝1对称， ∴， ∴，PN＝|m﹣（2﹣m）|＝|2m﹣2|， ∴d＝PM+PN； 当0＜m＜1时，， 当1＜m＜4时，， ∴； ②∵， 当m＝1时，， ∵当1＜m＜4时，， 对称轴为直线m＝4，开口向下，当1＜m＜4时，d随m的增大而增大，最大值为6（取不到）， 当m＝1时，， 当0＜m＜1时，， 对称轴为直线m＝0，开口向下，当0＜m＜1时，d随m的增大而减小， 当m＝0时，d＝2（取不到）， 函数图象如图所示， ∴当时，P点有2个，当2≤d＜6时，P点只有1个． 【点评】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题，待定系数法求解析式，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$