【寒假衔接】专题2-3 直接与圆锥曲线的综合- 2024-2025学年高二年级寒假精品讲义（人教A版）

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题2-3 直线与圆锥曲线的综合 模块一 题型·解读 【题型1】直线与圆锥曲线的位置关系 3 【题型2】弦长与面积问题 5 【题型3】中点弦问题 10 【题型4】圆锥曲线中的参数范围问题 14 【题型5】圆锥曲线中的最值问题 18 【题型6】切线问题 23 【题型7】平移齐次化（手电筒模型） 30 【题型8】调和点列模型（定比点差法） 35 【题型9】自极三角形 42 【题型10】调和线束斜率模型 47 【题型11】调和线束平行线截中点 53 模块二 基础知识·梳理 知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系 设直线方程为,与圆锥曲线联立消去一个变量,得到关于另一个变量的一元方程,则有下列结论： ①当时,直线与圆锥曲线只有一个公共点； ②当时 直线与圆锥曲线有两个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离． 知识点02 弦长问题 设直线交圆锥曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 知识点03 中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 知识点04 过曲线上一点作切点 若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为； 若在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为； 若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为 知识点05 椭圆内接三角形：平移+齐次化（手电筒模型） 要点诠释：遇到斜率和积为定值与直线定点问题结合时可以考虑平移+齐次化的方法，和常规方法相比大大优化了计算难度，不过注意正规考试中如果答案算了一般不会给步骤分 直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆上异于AB的任意一点，若定值或定值(不为0)，则直线AB会过定点． (因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)， 1、具体操作步骤： (1)把定点移到新坐标系的原点处（左加右减，上减下加为曲线平移），得到新的曲线方程 (定点在原点就跳过这一步) ； (2)设平移后的直线，为齐次化奠定基础； (3)曲直联立，对曲线方程中的各个一次项(即以及)用乘“1”实现齐次，整理成的形式，即为直线，的直线系方程，注意点不在椭圆上时，常数也需要齐次化乘“” (4)同除，利用和的韦达定理，得到和的关系式； (5)利和的关系式，代入直线方程，将化为单参，从而得到定点； (6)再平移回到原来的坐标系中，得到相应的定点(若求斜率就跳过这一步) 知识点06 定比分点与定比点差法 一、定比分点公式定比点差法 1、已知，若点)满足，求点P的坐标． 2、定比分点公式：如下图，由向量的定比分点恒等式可知 定比分点公式： [思考]当为负数时，该公式是否仍然适用？若不适用该如何调整？ 3、定比点差法：当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时， 设点满足 若在椭圆则; 点满足 ， ①－②得： 联立消元后即可用与定分比表示. 知识点07 极点极线与调和点列模型 1、二次曲线的极点极线 （1）.二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为 ，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； （3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线. 2、调和点列 简而言之：线段端点和内外分点，依次构成调和点列，一般的，调和点列有 （1）调和点列的充要条件 如图，若四点构成调和点列，则有 证明： （2）调和点列与极点极线的联系 如图，过极点作任意直线，与椭圆交于，与极线交点则点成调和点列，若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点． 知识点08 自极三角形 若ABCD是椭圆的一个内接四边形， 点是四边形对角线的交点，则： ，即为点的极线 同理, 为点对应的极线, 为点所对应的极线. 因而将称为自极三点形. 设直线交圆锥曲线于点两点, 则, 恰为圆锥曲线的两条切线. 知识点09 调和线束斜率模型 要点诠释：如图，若构成调和点列，为直线外任意一点，则直线称为调和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点仍构成调和点列。 调和线束斜率关系：对于一组调和线束l1，l2，l3，l4，记斜率分别为， 则有． 1、调和线束斜率模型之等差关系 等差关系： 若不存在，则； 若不存在，则;若不存在，则；若不存在，则 2、调和线束斜率模型之调和关系（斜率倒数构成等差） 若，则； 若，则；若，则；若，则 3、调和线束斜率模型之角平分线模型 若和一个不存在，另一个为0，则；若和一个不存在，另一个为0，则. 知识点10 调和线束平行线截中点模型 要点诠释：调和线束平行截中点中点性质：与调和线束的一条直线平行的直线截另外三条直线，其中一个交点为另外两个交点的中点． 如图，过点的线束以下3个条件若其中2个成立则能得出第三个： （1）与平行;（2），(3)为调和线束. 模块三 核心题型·训练 【题型1】直线与圆锥曲线的位置关系 【例题1】过点与抛物线只有一个交点的直线有（　　）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先验证点在抛物线外，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案． 【详解】解：由题意可知点在抛物线外 故过点且与抛物线只有一个公共点时只能是： ①过点且与抛物线相切，此时有两条直线； ②过点且平行对称轴轴，此时有一条直线； 则过点与抛物线只有一个交点的直线有3条. 【例题2】如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程组，结合一元二次方程的韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 因为直线和双曲线没有公共点， 所以，可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 【巩固练习1】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 【巩固练习2】已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件的定义先判断充分性，再利用必要性的定义判断必要性. 【详解】当“与只有一个公共点”时，如图，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点，但是此时与不相切.所以“与只有一个公共点”是“与相切”的不充分条件； 当“与相切”时，与只有一个公共点，所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要条件. 综上，“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件. 【巩固练习3】已知双曲线：，直线过．“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】设出直线方程，联立双曲线方程，得到关于的一元二次方程，根据方程解的情况，即可判断充分性和必要性. 【详解】根据题意，直线的斜率显然存在，故设直线方程为：， 联立可得：，即； 直线平行于双曲线的渐近线，即或，此时， 方程为关于的一次方程，只有一个解， 此时直线与双曲线只有一个交点，满足充分性； 若直线与双曲线恰有一个公共点： 则，即； 或当时，，即，即； 故必要性不满足. 综上，“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点” 的充分不必要条件. 【题型2】弦长与面积问题 【例题1】已知是椭圆的左顶点，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，求弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列式计算得解； （2）联立方程组，由韦达定理将条件式化简得，再根据弦长公式求解. 【详解】（1）依题意可得， 解得， 所以的方程为. （2）联立，消去得， 则，. 因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立. 由， 解得. 所以， 所以.    【例题2】已知椭圆的左焦点为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）解法1：根据题意，得到的方程为，联立方程组得到，利用弦长公式求得弦长，及点到直线的距离，利用三角形的面积公式，即可求解； 法二：根据题意，得到的方程为，联立方程组，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆的左焦点为，且经过点， 可得，解得，所以椭圆的方程为. （2）解法1：由过点作倾斜角为的直线，可得直线的方程为， 联立方程组，整理得 设，可得且， 所以 =， 又由点到直线的距离为， 所以. 法二：由题意，可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得且， 所以. 【巩固练习1】已知抛物线上的点到焦点F的距离为4． (1)求C的方程； (2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的焦半径公式列出等式，即可求出的值； （2）设出直线的方程，讨论斜率存在和不存在的情况，联立直线方程和抛物线方程，利用焦点弦长公式即可得到结果. 【详解】（1）由题意得：，解得， 所以抛物线的方程为 （2）因为， 当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 当时，，此时，不合题意，舍去； 则直线l的斜率存在，设直线方程为，， 与抛物线方程联立，消去得， 因为焦点在抛物线内部，且直线斜率存在，并且不为0，则该直线与抛物线必有两交点， 由韦达定理得， 所以弦长， 解得，即， 所以直线l的方程为：. 【巩固练习2】在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义确定出的值，由此可求，则的方程可求； （2）设出直线的方程，通过联立思想结合韦达定理求得，再结合三角形面积公式可求结果. 【详解】（1）因为， 所以的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在且不为， 因为渐近线的斜率为， 所以，， 联立可得， 所以， 所以， 又因为到直线的距离， 所以， 化简可得，即，解得，经检验符合条件， 综上可知，直线的斜率为. 【题型3】中点弦问题 【例题1】已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设，利用点差法即可求解. 【详解】设，则①，②， 联立①②整理得， 又，， 所以，即直线的斜率为. 【例题2】（多选）设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断. 【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称， 所以当直线AB的方程为时，线段AB的中点为，故A正确； 当直线AB的斜率存在且不为0时， 设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项B：可得，则，即， 双曲线的渐近线方程为，由于与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B错误； 对于选项C：可得，则，即， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则，即， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确 【巩固练习1】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 【巩固练习2】（华中师范大学第一附属中学高二期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率. 【详解】椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，有， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有，所以. 【巩固练习3】过点作直线交抛物线于，两点，且点恰为线段中点，则 . 【答案】 【分析】利用点差法求出直线的斜率，从而求出直线的方程，与抛物线联立方程，根据弦长公式，即可求得. 【详解】设的坐标分别为， 则两式相减可得， ∵点恰为线段中点，∴， ∴，∴， ∴直线的斜率为，∴直线的方程为，即， 联立抛物线与直线的方程：消去，得， ∴，，， ∴. 故答案为：. 【题型4】圆锥曲线中的参数范围问题 【例题1】已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】 法一二级结论【焦点弦的中垂线模型】（可用焦半径公式推导）： 三大圆锥曲线中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R，则 故 法二：常规法：设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则，注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 【例题2】已知双曲线：的离心率为； (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出右焦点到渐近线的距离，得出圆的方程； （2）设直线的方程为，联立方程组消元，根据方程在上有两解求出的范围，得出线段的中垂线方程，从而得出截距关于的函数，得出的范围． 【详解】（1）双曲线的离心率为．，可得，所以． 可得双曲线． 可得双曲线的渐近线方程为：． （2）设经过点的直线方程为，，，，， 联立方程组，消去得：， ，解得． 的中点为， 线段的中垂线方程为：， 令得截距． 即线段的中垂线在轴上截距的取值范围是． 【巩固练习1】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．，或 【答案】A 【解析】先设，，再由点差法求出，再由点，在椭圆内，求出的范围即可得解. 【详解】解：设，， 又点，在椭圆上， 则， 两式相减可得：， 又， 则， 又点，在椭圆内， 则， 则，所以 【巩固练习2】过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 . 【答案】. 【简证】半代入得切点弦QR方程为，故QR过定点，所以点的轨迹为以为直径的圆 点与圆相切时斜率取到最值 【常规法详解】设，不妨设， 由，可得，可得，则， 可得切线的方程为 因为点在直线上，可得， 同理可得：， 所以直线的方程为，可得直线过定点， 又因为在直线上的射影为，可得且， 所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为， 当与相切时， 由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为， 可得切线方程为，则，解得或， 所以实数的范围为. 故答案为：.    【巩固练习3】已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线方程，将其与直线方程联立写出韦达定理，由题意求出点的坐标，推理计算出，从而将求的范围问题转化成求的取值范围即得. 【详解】 如图，因为直线过的焦点，令，解得：，即，故由可得，即． 把代入的方程整理得：，设，则，， 于是，，故得：， 则， ，所以，由，得． 【题型5】圆锥曲线中的最值问题 【例题1】双曲线焦点是椭圆C：顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. (1)求椭圆C的方程； (2)设动点在椭圆C上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由双曲线方程可得椭圆方程中的，再由离心率公式可得，从而得到椭圆方程； （2）根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，再由弦长公式代入计算，结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，离心率为. 因为双曲线的焦点是椭圆：的顶点， 且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得. 故椭圆的方程为. （2） 因为，所以直线的斜率存在. 因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为. 代入椭圆方程得. 因为， 所以.设，， 根据根与系数的关系得，. . 因为，即. 整理得.令，则. 所以. 等号成立的条件是，此时，满足，符合题意. 故的最大值为 【巩固练习1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值． 【答案】(1)； (2)24． 【分析】（1）利用双曲线的标准方程与性质即可求解. （2）通过直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理，代入，求解双曲线中的最值问题． 【详解】（1）由双曲线E的离心率为2，得 ①． 因为双曲线E过点，所以 ②． 又③， 联立①②③式，解得，． 故双曲线E的标准方程为． （2）由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以． 由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为． 联立消去x，得． ，设，，则，． 因为A，D均在双曲线右支，所以 所以解得． 所以， ． 令，则． 所以． 令函数，易得在区间上单调递减， 所以当时，． 所以四边形ABCD面积的最小值为24． 【巩固练习2】设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意，联立方程组，消去可得，进而利用韦达定理即可求解. （2）记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【详解】（1）由题设，联立方程组，可得，消去可得. 因为直线与双曲线的右支交于两点， 所以满足，解得或. 故实数的取值范围. （2）由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点， 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 由（1）问可知，，则，所以. 【题型6】切线问题 【例题1】已知定圆，动圆过点且与圆A相切，记动圆圆心的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)若点为曲线上任意一点，证明直线与曲线恒有且只有一个公共点． (3)由(2)你能否得到一个更一般的结论？并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明)． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】(1)根据题意中的几何关系得到，根据椭圆的定义即可判断M的轨迹为椭圆，从而得到曲线C的方程； (2)由题意，分直线斜率存在和不存在进行分类讨论，直线与椭圆联立，得到交点坐标. (3)类比推理，得到结论. 【详解】（1）由题知圆A圆心为，半径为，设动圆的圆心为， 半径为，， 由，可知点在圆A内，故圆A与圆M内切，故， ∵， ∴根据椭圆定义可知M的轨迹是以为焦点的椭圆，故c＝1，a＝2，b＝， 故曲线的方程为； （2）当时，由可得， 当，时，直线的方程为， 直线与曲线有且只有一个交点； 当，时，直线的方程为， 直线与曲线有且只有一个交点； 当时得， 代入，消去整理得： ① 由点为曲线上一点，故． 即， 于是方程①可以化简为：， 解得． 将代入，得， 说明直线与曲线有且只有一个交点． 综上，不论点在何位置，直线：与曲线恒有且只有一个交点，交点即； （3）更一般的结论：对椭圆，过其上任意一点的切线方程为； 在双曲线中的类似的结论是：过双曲线上任意一点的切线方程为：． 【例题2】已知椭圆：，椭圆：，动点在上运动，过作的两条切线，切点分别为A，B.（提示：过椭圆C：上一点与C相切的直线方程为） (1)求直线AB的方程（用，表示）； (2)O为坐标原点，求四边形OAPB的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求切线方程，进而可得直线AB的方程； （2）分和两种情况，根据弦长公式求面积，结合韦达定理分析求解. 【详解】（1）不妨设，，：，：， 由题知A，B处的切线方程分别为，， 因为这两条直线均过，则， 所以：. （2）当时，联立方程 ，消去y得， 因为，则代入上式，化简得， 则，且， 所以， 到直线的距离， O到直线的距离， 所以； 当时，则，直线：， 由，解得，可得； 所以综上：四边形OAPB的面积为定值. 【巩固练习1】已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【详解】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 【巩固练习2】已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)在 【分析】（1）直曲联立，求出交点，证明即可； （2）令，得坐标，求出直线方程，求出交点，得到动点的轨迹的方程. （3）设直线的方程为，直曲联立，借助韦达定理，得到,联立，方程，得到满足的条件即可. 【详解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    【巩固练习3】已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数． (1)求点的轨迹的方程； (2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，根据已知有，化简整理得轨迹； （2）设，，，写出切线、并将点代入得直线为，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与，应用韦达定理、弦长公式求的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形面积的最小值. 【详解】（1）设，则，化简得：， 所以点M 的轨迹E的方程为. （2）设，，，则切线为，切线为， 将点分别代入得，所以直线为， 点到的距离，当时，． 另一方面，联立直线与得， 所以，则， 当时，．所以． 故时，最小值为.    【题型7】平移齐次化（手电筒模型） 【例题1】已知椭圆：，，是椭圆上的两个动点，在椭圆上. （1）如果直线的斜率与的斜率之和为，证明直线恒过定点； （2）如果直线的斜率与的斜率之积为，证明直线恒过定点． （3）如果直线恒过定点，求直线的斜率与的斜率之和． 【思路分析】平移坐标系：平移坐标系，使得坐标原点和点重合，得出新坐标系中的椭圆方程，设直线方程为，联立，构建齐次式，两边同除以，由韦达定理得和，根据题意列出方程，即可求解 【详解】平移坐标系，使得坐标原点和点重合，则，得新坐标系， 在新坐标系中，椭圆方程为，化简得①， 直线平移后变为，其方程不妨设为， 代入①构建齐次式得， 整理得， 两边同除以得 ②， 易知和是方程②的两个根. 由韦达定理得， (1)化简得，代入直线得， 整理得， 直线恒过和直线的交点，则直线恒定过点． （2），即，所以直线的方程为， 直线恒过和直线的交点，则直线恒定过点． （3）平移后为将代入得， 【巩固练习1】（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知圆的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)直线经过定点，该定点的坐标为 【分析】（1）根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由直线的斜率之积列方程，化简求得定点坐标. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为， 当过点的圆C的切线斜率不存在时，切线方程为； 当斜率存在时，设切线方程为，即． 由，解得，则切线方程为，即． 过点的圆C的切线方程为或． （2）点在圆：上． 若直线的斜率不存在，则设直线的方程为，， 则，整理得． 又，解得，所以直线的方程为， 此时经过点，不符合题意． 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，， 联立方程组，整理得， 则，． ， 则， 整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线经过点，不符合题意，故舍去． 所以，故直线的方程为，即，经过定点． 综上所述，直线经过定点，且该定点的坐标为．    【巩固练习2】已知以动点为圆心的圆过点，且圆与直线相切，若动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线与轨迹相交于、两点，已知且，证明：直线恒过定点，并求出点坐标； 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据抛物线的定义得轨迹方程即可； （2）设直线方程为，联立直线与抛物线得交点坐标关系，根据数量积的坐标运算求得关系，从而得结论. 【详解】（1）动圆过定点，且与直线相切， 点到的距离等于点到直线的距离． 因此，点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线 设该抛物线方程为，可得，解得 抛物线方程为，即为所求轨迹的方程； （2）设直线方程为，， 由消去得：， ，化简得， 所以， 则 整理得，即， 则或，即或， 所以直线方程为或， 当直线方程为时，过定点，当直线方程为时，过定点与点重合，舍去； 故直线恒过定点. 【巩固练习3】已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)若为的右顶点，点，在上，直线与的斜率之和为，，为垂足. 证明：存在定点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题目条件列关于的方程组求解即可； （2）直线的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及，计算可得关系，继而可得直线过定点，根据定点可以找到使为定值的点. 【详解】（1）由题意知，， 解得， 所以的方程为； （2）由题意知，直线存在斜率， 设直线的方程为，，， 则， 由，可得， 所以， 则， ， 所以， 又， 所以， 所以，可得，   所以，即， 所以直线恒过点， 令为的中点，则， 由题意知，是的斜边，所以， 所以存在点，使得为定值.    【题型8】调和点列模型（定比点差法） 【例题1】（23-24高二上·重庆·期末）已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【分析】（1）由中垂线的性质及椭圆定义可得结果； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及两点间距离公式化简可得结果. 【详解】（1）如图，易知圆E的半径为4，线段的垂直平分线交线段于点， 由中垂线的性质可知：，所以， 即动点Q到定点的距离和为定值4，且, 根据椭圆定义可知：，所以， 即曲线C的方程为：. （2）由题意可得直线l的斜率存在．设直线l的方程为， 代入椭圆方程，整理得， 设，则，， 由， 得, 化简得， 当时，因，化简得，与直线l的斜率存在矛盾，不合题意； 当时，化简得 即，化简得， 又，所以，化简得， 所以点在直线上. 【例题2】已知椭圆的离心率为，过椭圆的一个焦点作垂直于轴的直线与椭圆交于两点，. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆外一点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在线段上取一点，满足，证明：点必在某条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得、，即可求出、、，从而求出椭圆方程； （2）法一：设直线方程为，，，，由，可得，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，代入即可得到，，消去参数，即可得解； 法二：依题意可得，设，则，设，，，根据向量共线的坐标表示用、表示、、、，再消去参数即可得解. 【详解】（1）解：由题知 ①，②，又③，      联立①②③解得，所以椭圆的方程为； （2）解法一：由题知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则直线方程为，设，，， ， ， ，上式可化简为， 联立消去化简可得， 则，， ，代入直线方程， 即，解得， 由消去可得， 则点必在定直线； 法二：， ，即， ， 设，则，设，，， 由可得，由，可得， 、在椭圆上， ， 化简可得，两式相减得到， 点必在定直线上. 【巩固练习1】已知、分别为椭圆:的上、下焦点，点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上. 答案： 【高观点-简析】由题可知，即，故点Q在P点的极线上 【详解-定比点差】设，，因为，所以，即有， 又，所以，即有， 所以得：， 又点A、B在圆上，所以，又，所以， 故点Q总在直线上． 【巩固练习2】已知P是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点Q，点Q的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点的直线l交曲线C于A，B两点，N为线段上一点，且，证明：点N在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】(1)由椭圆的定义即可； (2)将转化为横坐标之间的关系，再利用韦达定理计算即可. 【详解】（1）如图所示，易知的半径为，线段的垂直平分线交线段于点Q，由中垂线的性质可知：，所以 即动点到定点的距离为定值，根据椭圆定义可知：长轴的一半半焦距，故 即曲线C的方程： （2）由题意可得直线l的斜率存在． 设直线l的方程为，即， 代入椭圆方程，整理得 ， 设，， 则． 由及勾股定理， 得：（考虑线段在x轴上的射影即可）， ∴， 于是， 整理得，① 又，代入①式得， ∴点Q总在直线上． 【巩固练习3】已知动圆过定点，且在定圆的内部与其内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程． (2)当过点的动直线与圆心的轨迹相交于两不同点时，在线段上取点，满足，则点是否在某条定直线上？若在，求该直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在定直线上． 【分析】（1）根据椭圆的定义求得轨迹方程； （2）设点，由均不为零，记，则且，由椭圆方程说明点在椭圆外，得出，用坐标表示出该等式，然后求得，并利用点在椭圆上消去各参数得出关于的方程，从而得出结论． 【详解】（1）设动圆和定圆切于点． 由题意可得动点到定点和定圆圆心的距离之和恰好等于定圆的半径，即． 由椭圆定义可得动圆圆心的轨迹方程为． （2）点在定直线上．理由如下． 设点． 由题设知均不为零，记，则且， 因为四点共线，将点代入轨迹方程得，所以点在椭圆外，又点在线段上，所以， 于是①，②． 又点在椭圆上，所以 ③-④得，代入①②有， 即点在定直线上． 【题型9】自极三角形 【例题1】已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1． （1）求点的坐标．答案： （2）过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点． （ⅰ）证明：点在定直线上 答案： 【高观点-简析】如图，椭圆内接四边形ABCD，连接2组对边与对角线交点，得△EGM为自极三角形，故EG在M点的极线上，则G点轨迹为 【详解】解（1）设是椭圆上一点，则． 因为． ①若，解得（舍去）． ②若，解得（舍去）或． 所以点的坐标位． （2）（ⅰ）设直线． 由，得． 所以． 所以 ① 由，得或． 易知直线的方程为 ② 直线的方程为 ③ 联立②③，消去，得④ 联立①④，消去，则． 解得，即点在直线上． 【巩固练习1】（2020·全国·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1）；（2）证明详见解析. 【分析】（1）由已知可得：， ，，即可求得，结合已知即可求得：，问题得解. （2）方法一：设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的坐标为，同理可得点的坐标为，当时，可表示出直线的方程，整理直线的方程可得：即可知直线过定点，当时，直线：，直线过点，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：      由椭圆方程可得：， ， ， ， 椭圆方程为： （2）[方法一]：设而求点法 证明：设， 则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为. 同理可得：点的坐标为 当时， 直线的方程为：， 整理可得： 整理得： 所以直线过定点． 当时，直线：，直线过点． 故直线CD过定点． [方法二]【最优解】：数形结合 设，则直线的方程为，即． 同理，可求直线的方程为． 则经过直线和直线的曲线的方程可写为． 可化为．④ 易知A，B，C，D四个点满足上述方程，同时A，B，C，D又在椭圆上，则有，代入④式可得． 故，可得或． 其中表示直线，则表示直线． 令，得，即直线恒过点． 【巩固练习2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点，动点满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)若轨迹的左右顶点分别为，直线与直线交于点，直线与轨迹交于相异的两点，当点不在轴上时，分别记直线与的斜率为 ，，求证： 是定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据椭圆的定义求解； （2）设点，求出直线的方程，与椭圆联立，求出坐标，则可以表示出的斜率，计算即可得定值. 【详解】（1）因为动点满足， 所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 则， 所以， 所以点的轨迹的方程为； （2）设点，则，， 联立，消去得，， 得， 所以，，即， 联立，消去得，， 得， 所以，，即， 所以， ， 所以，是定值. 【题型10】调和线束斜率模型 【例题1】已知椭圆方程为.设P是直线x＝4上任意一点，AB是经过椭圆右焦点F的一条弦.记直线PA，PF，PB的斜率依次为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k3＝λk2.若存在，求λ的值；若不存在，说明理由. 答案2 【高观点分析】借助调和线束分析：易知点P所在直线刚好为椭圆的右准线.如图，设直线PA，PB与x轴交于C，D，准线与x轴交于点E.则本题结论用图中线段可表示为＋＝2·， 即＝＋.这表明C，D，F，E为调和点列，由调和线束知k1，k2，k3成等差数列， 即k1＋k3＝2k2. 结论：，等差关系：若，不存在，则 具体解答如下： 设直线AB方程为x＝ty＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x， 整理得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0. 则y1，y2为上述方程的根. 设s＝y1＋y2＝－，p＝y1y2＝－， 于是＝，即有t＝. 设点P的坐标为(4，m)，则k2＝， k1＋k3＝＋＝＋ ＝＝ ＝＝＝2k2，这表明存在常数λ＝2，使得k1＋k3＝λk2. 【例2】已知椭圆：，斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，若直线，的倾斜角互补，求证：直线过定点． 【答案】 【高观点-分析】的极线为，故直线过定点 【作答思路】设直线的方程为，用“设而不求法”把直线，的倾斜角互补，表示为，求出k、m的关系，利用点斜式方程求出定点坐标. 【详解】证明：设直线的方程为，点，的坐标分别为，， 联立方程，消去后整理为． 有， 有， 同理：， 所以 又， 由直线、的倾斜角互补，有， 有，通分整理后可得， 可得直线的方程为，即，可知直线过定点． 【巩固练习1】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆过点，左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，动点在直线上，直线的斜率分别为. (1)求椭圆的标准方程； (2)问是否存在实数，使得恒成立，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）直接根据题目条件列方程组求解即可； （2）设出直线的方程，与椭圆联立，利用韦达定理计算，发现他们之间的关系进而可得实数的值. 【详解】（1）由已知得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为：，， 联立，消去得， 所以， 则 ， 又， 要恒成立，即恒成立， 所以， 当直线的斜率不存在时，， ，此时， 综上所述：存在实数，使得恒成立. 【巩固练习2】（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，动点在双曲线的一条渐近线上，已知的焦距为4，且为的一个焦点，当最小时，的面积为. (1)求的方程； (2)已知点，直线与交于两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线的斜率，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，同时，解方程求出即可； （2）分别设，表示出，再由直线与双曲线联立，得出根与系数的关系代入求出即可得证. 【详解】（1）由已知，得，当最小时，即， 由到渐近线的距离，可知， 的面积为， 又，且， 为方程的两个根，即方程的两个根， 又， 的标准方程为. （2）如图，    不妨设， 则， 均在上， ， ， 欲使，只需， 只需 即， 联立整理得， ，且， 只需，即，解得， ， ，即上存在点满足题设， 显然在定直线上，证毕. 【巩固练习3】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程；(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率和焦距得到，，得到椭圆方程； （2）考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，代入计算得到答案. 【详解】（1）由题可得，解得，可得 ，椭圆的方程为； （2）①当直线斜率为0时，； ②当直线斜率不为0时，设直线方程为，设，， ，则，, 故，， ； 综上所述：. 【题型11】调和线束平行线截中点 【例题1】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 答案： 【高观点简析】AB为P所对应的极线，故P，M，C，N四点成调和点列，故AP，AM，AC，AN 四条线成调和线束，因为直线HM平行AP，且T为HM中点，由调和线束平行性质(平行于一组调和线束中的其中一条直线交另外三条直线的三个交点，其中一个点为另外两个点的中点)，故H点必然在直线AN上，故直线HN过定 【详解】（I）解：设椭圆的方程为，过，则，解得，，所以椭圆的方程为：． （II）证法一：定点为，证明如下： 点对应的极线为，即，即为直线，则为调和线束，过作//，交于，由调和性质可知为中点，故直线过定点． 证法二：，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线．代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到．求得方程：，过点． ②若过点的直线斜率存在，设． 联立得， 可得，，且 联立可得， 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得，显然成立． 综上，可得直线过定点． 【巩固练习1】（24-25高二上·浙江·期中）已知曲线M是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹． (1)求曲线M的方程； (2)过点作斜率不为0的直线l交曲线M于两点，交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义判断点的轨迹是椭圆，求出，即得椭圆方程； （2）分别设直线的点斜式方程（方法一）和横截距式方程（方法二），将其与椭圆方程联立，设，写出韦达定理，依次求出点的坐标，写出直线和的方程，求得点的坐标，化简计算线段CD中点坐标即得. 【详解】（1）设,由题意，可得, 由椭圆的定义可知点的轨迹是椭圆， 故可设曲线M的方程为：， 则，，故， ， 曲线M的方程为：； （2） 方法一：直线l的斜率存在且不为0， 设直线l方程为， 联立，整理得， 则， 设，则，， 直线l交直线于点，则， 则直线的方程为：，， 令，解得，则， 直线的方程为：，， 令，解得，则， ， 所以线段CD中点的坐标为； 方法二：直线l的斜率存在且不为0， 设直线l方程为， 联立，整理得， ，设， 则，， 直线l交直线于，则， 则直线AQ的方程为：，， 令，解得，则，同理可得， ， 所以线段CD中点的坐标为. 【巩固练习2】（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 则 ， 所以线段的中点是定点.    26 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题2-3 直线与圆锥曲线的综合 模块一 题型·解读 【题型1】直线与圆锥曲线的位置关系 3 【题型2】弦长与面积问题 5 【题型3】中点弦问题 10 【题型4】圆锥曲线中的参数范围问题 14 【题型5】圆锥曲线中的最值问题 18 【题型6】切线问题 23 【题型7】平移齐次化（手电筒模型） 30 【题型8】调和点列模型（定比点差法） 35 【题型9】自极三角形 42 【题型10】调和线束斜率模型 47 【题型11】调和线束平行线截中点 53 模块二 基础知识·梳理 知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系 设直线方程为,与圆锥曲线联立消去一个变量,得到关于另一个变量的一元方程,则有下列结论： ①当时,直线与圆锥曲线只有一个公共点； ②当时 直线与圆锥曲线有两个公共点⇔直线与圆锥曲线相交； 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔直线与圆锥曲线相切； 直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线相离． 知识点02 弦长问题 设直线交圆锥曲线于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 知识点03 中点弦问题 点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率； 椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 知识点04 过曲线上一点作切点 若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为； 若在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为； 若在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为 知识点05 椭圆内接三角形：平移+齐次化（手电筒模型） 要点诠释：遇到斜率和积为定值与直线定点问题结合时可以考虑平移+齐次化的方法，和常规方法相比大大优化了计算难度，不过注意正规考试中如果答案算了一般不会给步骤分 直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆上异于AB的任意一点，若定值或定值(不为0)，则直线AB会过定点． (因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)， 1、具体操作步骤： (1)把定点移到新坐标系的原点处（左加右减，上减下加为曲线平移），得到新的曲线方程 (定点在原点就跳过这一步) ； (2)设平移后的直线，为齐次化奠定基础； (3)曲直联立，对曲线方程中的各个一次项(即以及)用乘“1”实现齐次，整理成的形式，即为直线，的直线系方程，注意点不在椭圆上时，常数也需要齐次化乘“” (4)同除，利用和的韦达定理，得到和的关系式； (5)利和的关系式，代入直线方程，将化为单参，从而得到定点； (6)再平移回到原来的坐标系中，得到相应的定点(若求斜率就跳过这一步) 知识点06 定比分点与定比点差法 一、定比分点公式定比点差法 1、已知，若点)满足，求点P的坐标． 2、定比分点公式：如下图，由向量的定比分点恒等式可知 定比分点公式： [思考]当为负数时，该公式是否仍然适用？若不适用该如何调整？ 3、定比点差法：当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时， 设点满足 若在椭圆则; 点满足 ， ①－②得： 联立消元后即可用与定分比表示. 知识点07 极点极线与调和点列模型 1、二次曲线的极点极线 （1）.二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为 ，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； （3）圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线. 2、调和点列 简而言之：线段端点和内外分点，依次构成调和点列，一般的，调和点列有 （1）调和点列的充要条件 如图，若四点构成调和点列，则有 证明： （2）调和点列与极点极线的联系 如图，过极点作任意直线，与椭圆交于，与极线交点则点成调和点列，若点的极线通过另一点，则的极线也通过．一般称、互为共轭点． 知识点08 自极三角形 若ABCD是椭圆的一个内接四边形， 点是四边形对角线的交点，则： ，即为点的极线 同理, 为点对应的极线, 为点所对应的极线. 因而将称为自极三点形. 设直线交圆锥曲线于点两点, 则, 恰为圆锥曲线的两条切线. 知识点09 调和线束斜率模型 要点诠释：如图，若构成调和点列，为直线外任意一点，则直线称为调和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点仍构成调和点列。 调和线束斜率关系：对于一组调和线束l1，l2，l3，l4，记斜率分别为， 则有． 1、调和线束斜率模型之等差关系 等差关系： 若不存在，则； 若不存在，则;若不存在，则；若不存在，则 2、调和线束斜率模型之调和关系（斜率倒数构成等差） 若，则； 若，则；若，则；若，则 3、调和线束斜率模型之角平分线模型 若和一个不存在，另一个为0，则；若和一个不存在，另一个为0，则. 知识点10 调和线束平行线截中点模型 要点诠释：调和线束平行截中点中点性质：与调和线束的一条直线平行的直线截另外三条直线，其中一个交点为另外两个交点的中点． 如图，过点的线束以下3个条件若其中2个成立则能得出第三个： （1）与平行;（2），(3)为调和线束. 模块三 核心题型·训练 【题型1】直线与圆锥曲线的位置关系 【例题1】过点与抛物线只有一个交点的直线有（　　）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【巩固练习2】已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习3】已知双曲线：，直线过．“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【题型2】弦长与面积问题 【例题1】已知是椭圆的左顶点，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，求弦的长. 【例题2】已知椭圆的左焦点为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)过点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，求的面积. 【巩固练习1】已知抛物线上的点到焦点F的距离为4． (1)求C的方程； (2)若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且，求直线AB的方程． 【巩固练习2】在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点A是曲线C左支上一点，线段与C的另一交点为B．若的面积为8，求直线AB的斜率． 【题型3】中点弦问题 【例题1】已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【例题2】（多选）设A，B是双曲线上的两点，下列四个点中可以为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（华中师范大学第一附属中学高二期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】过点作直线交抛物线于，两点，且点恰为线段中点，则 . 【题型4】圆锥曲线中的参数范围问题 【例题1】已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知双曲线：的离心率为； (1)求此双曲线的渐近线方程； (2)若经过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，，求线段的中垂线在轴上的截距的取值范围； 【巩固练习1】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．，或 【巩固练习2】过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 . 【巩固练习3】已知直线过抛物线的焦点，且与交于点，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，记直线的斜率分别为，则的取值范围是 ． 【题型5】圆锥曲线中的最值问题 【例题1】双曲线焦点是椭圆C：顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. (1)求椭圆C的方程； (2)设动点在椭圆C上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值. 【巩固练习1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，且过点． (1)求双曲线E的标准方程； (2)设过原点O的直线在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值． 【巩固练习2】设，在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左焦点为，直线 与双曲线的右支交于两点，与双曲线的渐近线交于两点. (1)求的取值范围； (2)记的面积为的面积为，求取值范围. 【题型6】切线问题 【例题1】已知定圆，动圆过点且与圆A相切，记动圆圆心的轨迹为． (1)求曲线的方程； (2)若点为曲线上任意一点，证明直线与曲线恒有且只有一个公共点． (3)由(2)你能否得到一个更一般的结论？并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明)． 【例题2】已知椭圆：，椭圆：，动点在上运动，过作的两条切线，切点分别为A，B.（提示：过椭圆C：上一点与C相切的直线方程为） (1)求直线AB的方程（用，表示）； (2)O为坐标原点，求四边形OAPB的面积. 【巩固练习1】已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【巩固练习2】已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 【巩固练习3】已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数． (1)求点的轨迹的方程； (2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为） 【题型7】平移齐次化（手电筒模型） 【例题1】已知椭圆：，，是椭圆上的两个动点，在椭圆上. （1）如果直线的斜率与的斜率之和为，证明直线恒过定点； （2）如果直线的斜率与的斜率之积为，证明直线恒过定点． （3）如果直线恒过定点，求直线的斜率与的斜率之和． 【巩固练习1】（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）已知圆的方程为． (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知，直线与圆交于M，N（异于A点）两点，若直线的斜率之积为2，试问直线是否经过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由． 【巩固练习2】已知以动点为圆心的圆过点，且圆与直线相切，若动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)直线与轨迹相交于、两点，已知且，证明：直线恒过定点，并求出点坐标； 【巩固练习3】已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)若为的右顶点，点，在上，直线与的斜率之和为，，为垂足. 证明：存在定点，使得为定值. 【题型8】调和点列模型（定比点差法） 【例题1】（23-24高二上·重庆·期末）已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【例题2】已知椭圆的离心率为，过椭圆的一个焦点作垂直于轴的直线与椭圆交于两点，. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆外一点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在线段上取一点，满足，证明：点必在某条定直线上. 【巩固练习1】已知、分别为椭圆:的上、下焦点，点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上. 答案： 【巩固练习2】已知P是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点Q，点Q的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点的直线l交曲线C于A，B两点，N为线段上一点，且，证明：点N在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【巩固练习3】已知动圆过定点，且在定圆的内部与其内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程． (2)当过点的动直线与圆心的轨迹相交于两不同点时，在线段上取点，满足，则点是否在某条定直线上？若在，求该直线的方程；若不在，请说明理由． 【题型9】自极三角形 【例题1】已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1． （1）求点的坐标．答案： （2）过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接，交于点． （ⅰ）证明：点在定直线上 答案： 【巩固练习1】（2020·全国·高考真题）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点. 【巩固练习2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点，动点满足. (1)求点的轨迹的方程； (2)若轨迹的左右顶点分别为，直线与直线交于点，直线与轨迹交于相异的两点，当点不在轴上时，分别记直线与的斜率为 ，，求证： 是定值. 【题型10】调和线束斜率模型 【例题1】已知椭圆方程为.设P是直线x＝4上任意一点，AB是经过椭圆右焦点F的一条弦.记直线PA，PF，PB的斜率依次为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k3＝λk2.若存在，求λ的值；若不存在，说明理由. 答案2 【例2】已知椭圆：，斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于，两点，点的坐标为，若直线，的倾斜角互补，求证：直线过定点． 【巩固练习1】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆过点，左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，动点在直线上，直线的斜率分别为. (1)求椭圆的标准方程； (2)问是否存在实数，使得恒成立，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由. 【巩固练习2】（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，动点在双曲线的一条渐近线上，已知的焦距为4，且为的一个焦点，当最小时，的面积为. (1)求的方程； (2)已知点，直线与交于两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线的斜率，证明：在定直线上. 【巩固练习3】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且． (1)求椭圆的方程；(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值． 【题型11】调和线束平行线截中点 【例题1】（2022·全国乙卷高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 答案： 【巩固练习1】（24-25高二上·浙江·期中）已知曲线M是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹． (1)求曲线M的方程； (2)过点作斜率不为0的直线l交曲线M于两点，交直线于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C点，直线BQ交x轴于D点，求线段CD中点的坐标． 【巩固练习2】（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$