6.3 弧长、扇形面积有关的计算-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 ∴ BC=CP-BP= 12, ∵ AC2 +AB2 =BC2 , ∴ AC2 +( 1 2 AC) 2 = 122 , ∴ AC=AD= 24 5 5 , ∴ AD 的长为 24 5 5 . 14. (1)证明:如解图,连接 OF,则 OF=OB, ∵ EF 与☉O 相切于点 F, ∴ EF⊥OF, ∴ ∠OFE= 90°, ∴ ∠EFC+∠OFB= 180°-∠OFE= 90°, ∵ CD⊥AB, ∴ ∠CDB= 90°, ∴ ∠C+∠B= 90°, ∵ ∠OFB= ∠B, ∴ ∠EFC= ∠C, ∴ EF=EC; (2)解:如解图,连接 AF, ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠AFB= ∠CDB= 90°, ∵ ∠B= ∠B, ∴ △AFB∽△CDB, ∴ BF BD = AB CB , ∵ D 是 OA 的中点,AB= 4, ∴ OA=OB= 1 2 AB= 2,OD=AD= 1 2 OA= 1, ∴ BD=OB+OD= 2+1 = 3, ∵ CD=AB= 4, ∴ CB= BD2 +CD2 = 32 +42 = 5, ∴ BF= AB·BD CB = 4 ×3 5 = 12 5 , ∴ BF 的长是 12 5 . 第 14 题解图 15. (1)证明:如解图,连接 AC 交 OD 于 H, ∵ AB 是☉O 的直径,∴ AC⊥BC, ∵ OD 平分∠AOC,∴ ∠AOD= ∠COD, ∴ AD ( =CD ( ,∴ OD⊥AC,∴ OD∥BC; (2)解:∵ OE∥BC,∴ △OEF∽△BCF, ∴ OE BC =OF BF = 5 6 ,∴ 设 OE= 5x,BC= 6x, ∵ AO=OB,OH∥BC, ∴ OH 为△ABC 的中位线,∴ OH= 1 2 BC= 3x, ∵ PB 是☉O 的切线,∴ ∠OBP= 90°, ∴ ∠PBO= ∠AHO, ∵ ∠BOP= ∠AOH,∴ △AOH∽△POB,∴ PO AO =OB OH , ∴ 5x+1 5x = 5x 3x ,∴ x= 3 10 或 x= 0(不合题意舍去), ∴ OE= 3 2 ,∴ ☉O 半径的长为 3 2 . 第 15 题解图 命题点 3　 圆的弧长、面积有关的计算 1. 20π　 2. C　 【解析】如解图,连接 OA、OC,∵ AB⊥CD,∠BAD= 30°, ∴ ∠ADC= 90°-∠BAD = 60°,由圆周角定理得:∠AOC = 2 ∠ADC= 120°,∴ AC ( 的长为: 120π×6 180 = 4π,故选:C. 第 2 题解图 　 　 　 第 3 题解图 3. 25π　 【解析】如解图,连接 OA、OB,∵ ∠C = 30°,∴ ∠AOB = 60°,∵ OA = OB,∴ △OAB 为等边三角形,∵ AB = 15,∴ OA=OB= 15,∴ ACB ( 的长为 300π×15 180 = 25π. 4. 4π 5. 5　 【解析】由题意可知:圆锥的底面周长为 2π×10 2 = 10π (cm),则圆锥底面圆的半径为 10π 2π = 5(cm) . 6. D 7. C　 【解析】如解图,连接 OD、OB、OC,OD 交 BC 于点 H. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠BAC = 60°,∴ ∠BOC = 120°, ∠BDC= 120°,∵ D 是 BC ( 中点,∴ OD⊥BC,BH = CH = 1 2 BC= 2 3 , ∠BOD = 60°, ∴ OB = BH sin60° = 4, ∵ OB = OD, ∠BOD= 60°,∴ △BOD 为等边三角形,∴ BD =OB = 4,∴ S = 120π ×42 360 = 16π 3 ,故选:C. 第 7 题解图 　 　 第 8 题解图 8. D　 【解析】如解图,连接 AC. ∵ 两弧有且仅有一个公共 点,AD = 4, ∴ AC = 2AD = 8, ∴ 在 Rt △ADC 中, CD = AC2 -AD2 = 82 -42 = 4 3 ,∴ S矩形 ABCD =AD·CD = 16 3 , ∵ 两个扇形均为 1 4 圆,而且它们的半径相等,∴ 两个扇形 为 1 2 圆, 面积之和为 S两个扇形 = 1 2 πAD2 = 8π, ∴ S阴影 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 92 参考答案与重难题解析·陕西数学　 分 层 作 业 本 S矩形 ABCD-S两个扇形 = 16 3 -8π. 故选:D. 9. C　 【解析】 由题意可知:OA = OB = 2, ∠AOB = 90°, ∴ ∠ABO= ∠BAO = 45°, ∵ OB 为直径, ∴ ∠ODB = 90°, ∴ ∠DOB = ∠DBO = 45°,∴ OD =BD,∴ S弓形OD = S弓形BD,∴ S阴影 =S扇形AOB-S△AOB = 90π×22 360 - 1 2 ×2×2 = π-2. 10. ( 5 6 π- 5 3 4 ) 　 【解析】如解图,设正六边形 ABCDEF 的 中心为 O,连接 OA,OB,过点 O 作 OM⊥AB 于 M,∵ 六边 形 ABCDEF 是正六边形,∴ ∠AOB= 360° 6 = 60°,AB =BC = CD=DE=EF=FA= 1 m,∵ OA=OB,∴ △AOB 是等边三角 形,∴ OA=OB = AB = 1 m,∠OAB = ∠AOB = ∠OBA = 60°, 在 Rt△AOM 中,OA = 1 m,∠OAB = 60°,∴ OM = 3 2 OA = 3 2 m,∴ S弓形 AB = S扇形OAB - S△AOB = 60π×12 360 - 1 2 × 1 × 3 2 = ( 1 6 π- 3 4 )m2 ,∴ 要打掉墙体的总面积为 5S弓形 AB = ( 5 6 π -5 3 4 )m2 . 第 10 题解图 11. 3　 【解析】如解图,过 A 作 AC⊥OB 于 C,∵ 圆的内接正 十二边形的圆心角为 360° 12 = 30°,∵ OA= 1,∴ AC = 1 2 OA= 1 2 ,∴ S△ OAB = 1 2 ×1× 1 2 = 1 4 ,∴ 这个圆的内接正十二边 形的面积为 12× 1 4 = 3. 第 11 题解图 12. 3 5 π 　 【解析】 ∵ 圆心角 ∠AOD = 60°, ∴ AD ( 的长 = 60π×OA 180 = 1 3 π,∴ OA= 1 米,∴ OB=OA+AB = 1+0. 8 = 1. 8 米,∴ BC ( 的长= 60π×1. 8 180 = 3 5 π(米) . 13. 77 12 π　 【解析】如解图,扇形 AOB 的圆心角是 90°,半径是 5,∴ S扇形AOB = 90π×52 360 = 25 4 π( m2 );扇形 BCD 的圆心角是 180°- 120° = 60°, 半径是 5 - 4 = 1 ( m), 则 S扇形BCD = 60π×12 360 = π 6 (m2 ),则小羊 A 在草地上的最大活动区域面 积为 25 4 π+ π 6 = 77 12 π(m2 ) . 第 13 题解图 第七章　 图形的变化 命题点 1　 尺规作图 1.解:作图如解图①②③④所示: 图① 　 图② 图③ 　 图④ 第 1 题解图 2.解:解法 1、2 如解图①,②,点 D 即为所求. 图① 　 　 图② 第 2 题解图 3.解:解法 1,2 如解图①,②所示,点 P 即为所求. 图① 　 图② 第 3 题解图 4.解:解法 1,2,3 如解图①,②,③,点 P 即为所求. 图① 图② 图③ 第 4 题解图 变式　 解:如解图,直线 l 即为所求作的直线. 变式题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 03 分层作业本·陕西数学 　 　 　 　 班级:　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 日期:　 　 　 　 　 　 第 六 章 圆 命题点 3　 弧长、扇形面积有关的计算(2024. 26(1)) 基础 达标练 考向 1　 弧长的计算(2024. 26(1)) 1. (2024 贵州改编)在扇形纸扇 AOB 中,半径 OA = 24,圆心角∠AOB = 150°,则 AB ( 的长为　 20π　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2. (2024 铁一中三模)如图,在半径为 6 的☉O 中,弦 AB⊥CD 于点 E, 若∠A= 30°,则 AC ( 的长为 (　 　 　 ) A. 8π　 　 　 　 　 B. 5π　 　 　 　 　 C. 4π　 　 　 　 　 D. 6π 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 3. (2024 陕西 26 题节选)如图,在△ABC 中,AB = 15,∠C = 30°,作△ABC 的外接圆☉O,则 ACB ( 的长为　 25π　 . 考向 2　 扇形面积的计算 【关键思维】 求一段弧的长度,关键是 求这条弧所在扇形的半 径和圆心角 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4. (2024 长沙)半径为 4,圆心角为 90°的扇形的面积为　 4π　 (结果 保留 π) . 5. (2024 扬州)若用半径为 10 cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥底面圆的半径为　 5　 cm. 6. 如图,某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心,AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇形 DAB 的 面积为 (　 　 　 ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 【公式简记】 扇形面积公式 →S= nπr2 360 = lr 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7. (2024 河南)如图,☉O 是边长为 4 3的等边三角形 ABC 的外接圆,点 D 是 BC ( 的中点,连接 BD,CD. 以点 D 为圆心,BD 的长为半径在☉O 内画弧,则阴影部分的面积为 (　 　 　 ) A. 8π 3 B. 4π C. 16π 3 D. 16π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 97 分层作业本·陕西数学 　 第 六 章 圆 考向 3　 不规则图形面积计算 8. (2024 重庆)如图,在矩形 ABCD 中,分别以点 A 和 C 为圆心,AD 长为半径画弧,两弧有且仅有一个公共点. 若 AD = 4,则图中阴影部 分的面积为 (　 　 　 ) A. 32-8π B. 16 3 -4π C. 32-4π D. 16 3 -8π 第 8 题图 　 　 第 9 题图 　 　 第 10 题图 【思维模型】 由 AD=BC,∠A=∠C= 90° 得图中两扇形面积和为以 AC 为直径的半圆形面积 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9. (2024 铁一中五模)如图,在半径为 2,圆心角为 90°的扇形内,以 OB 为直径作圆交 AB 于点 D,连接 OD,则阴影部分的面积是 (　 　 　 ) A. 1 2 π-1 B. 1 2 π-2 C. π-2 D. π-1 考向 4　 圆与正多边形 【技巧点拨】 证 ∠OBA = 45° 得 OD = BD,再等积转化 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10. (2024 榆林名校模拟)如图,花园边墙上有一边长为 1 m 的正六边形 门 ABCDEF,现准备打掉部分墙体,使其变成以 AD 为直径的圆弧形 门,那么要打掉墙体的总面积是　 　 　 　 　 　 m2(用 π 表示) . 11. (2024 高新一中二模)早在 1800 多年前,魏晋时期的数学家刘徽首创 “割圆术”,用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积. 若一个圆 的半径为 1,则这个圆的内接正十二边形的面积为　 3　 . 【信息转化】 打掉墙体的总面积→弓 形 CD 的面积减去正六 边形的面积,注意不能计 算成以 AD 为直径圆的 面积 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 强化 提升练 12. (2024 铁一中模拟)传统服饰日益受到关注,如图①为明清时期女子 主要裙式之一的马面裙,如图②马面裙可以近似地看作扇环,其中 AD ( 长度为 1 3 π 米,裙长 AB 为 0. 8 米,圆心角∠AOD = 60°,则 BC ( 长 度为　 　 　 　 米. 图① 　 图② 第 12 题图 　 　 第 13 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13. (北师九下 P68 第 1 题改编)如图,一根 5 m 长的绳子,一端拴在围 墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊 A(羊只能在草地上活动), 那么小羊 A 在草地上的最大活动区域面积是　 　 　 　 m2 . 【易错警示】 小羊的活动面积是以 5 m 为半径的 90°扇形及以 1 m 为半径的 60°扇形面积和 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 08