微专题03 二次函数解析式确定通关专练-2024-2025学年九年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题03 二次函数解析式确定通关专练 一、单选题 1．若当x＝1和x＝3时，代数式ax2+bx+5的值相等，则当x＝4时，代数式ax2+bx+5的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．0 D．2 2．已知二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．该函数的最大值为4 B．对称轴为直线 C．方程有两个相等的实数根 D．当时，的值随x的值的增大而减小 3．在平面直角坐标系中，将抛物线，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 4．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： 0 1 3 6 下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为；③当时；函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 8．下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象与轴无交点 C．函数的最大值为5 D．当时，的值随值的增大而减小 9．已知二次函数的图象如图所示，那么这个函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 10．已知二次函数，其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：点在函数的图象上，当时，与的大小关系正确的是（    ） 0 1 2 3 4 0 A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点…，都是和谐点，若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，则这个二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 12．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 5 … 则下列结论：①；②当函数值时，对应x的取值范围是；③顶点坐标为；④若点，在抛物线上，则．其中所有正确结论的序号为（    ）． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 13．已知二次函数（a＞0）的图象经过点A（−1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（    ） A．c＜3 B．m≤ C．n≤2 D．b＜1 14．二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（　　） A．y=2x2-4x B．y=-x（x-2） C．y=-（x-1）2+2 D．y=-2x2+4x 15．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是1和，若抛物线与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．若二次函数的图象经过，，则这个二次函数的解析式为 ． 17．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表． 下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=4时，y=5；④3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的有 ．（填正确结论的序号） x -1 0 1 3 y -1 3 5 3 18．已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值：则该二次函数有 （填“最小值”或“最大值”）． 0 1 2 0 1 19．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 1 5 y 0 5 9 5 则满足的x的取值范围是 ． 20．已知二次函数的图象开口向下,且顶点坐标（0，-3）.请写出一个符合条件的二次函数的解析式 . 21．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 22．某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y的值，则这个错误的数值是 ． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 23．已知二次函数的图象经过． （1）该二次函数的对称轴为直线 ． （2）当时，若y的最大值与最小值之差为8，则m的值为 ． 24．请写出一个有最小值，并且对称轴为直线的二次函数的解析式 ． 25．已知：直线与抛物线交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与直线交于点． （1）抛物线的解析式为 ； （2）动点为直线上方对称轴左侧抛物线上一点，当的面积最大时，点的坐标为 ． 三、解答题 26．如图，二次函数的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点，且顶点为D，连接、、、．    （1）填空：________； （2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q．若，求点P的坐标； （3）点E在直线上，点E关于直线对称的点为F，点F关于直线对称的点为G，连接．当点F在x轴上时，直接写出的长． 27．在一次足球训练中，小华从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．    (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，请通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C，已知A(﹣1，0)，B(5，0)，C(0，5) (1)求抛物线与直线BC的表达式； (2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M(m，0)是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围． 29．在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)平移抛物线，使得平移后抛物线的顶点为，已知点在原抛物线上，点在平移后的抛物线上，且，两点都位于直线的右侧．当时，若对于，都有，求的取值范围． 30．抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 31．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点在轴上时，求点的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 32．如图，已知抛物线C1交直线y=3于点A（﹣4，3），B（﹣1，3），交y轴于点C（0，6）． （1）求C1的解析式． （2）求抛物线C1关于直线y=3的对称抛物线的解析式；设C2交x轴于点D和点E（点D在点E的左边），求点D和点E的坐标． （3）将抛物线C1水平向右平移得到抛物线C3，记平移后点B的对应点B′，若DB平分∠BDE，求抛物线C3的解析式． （4）直接写出抛物线C1关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式． 33．已知一个二次函数的图象经过点． (1)求b的值； (2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式． 34．已知抛物线：（）经过点． (1)求抛物的函数表达式． (2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． (3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 35．如图是一张轴对称纸片，曲线部分为抛物线，尺寸如图所示． (1)试建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的解析式． (2)如图在纸片中裁剪出一个正方形，试求出该正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 二次函数解析式确定通关专练 一、单选题 1．若当x＝1和x＝3时，代数式ax2+bx+5的值相等，则当x＝4时，代数式ax2+bx+5的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．0 D．2 2．已知二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（    ） A．该函数的最大值为4 B．对称轴为直线 C．方程有两个相等的实数根 D．当时，的值随x的值的增大而减小 3．在平面直角坐标系中，将抛物线，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 4．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值： 0 1 3 6 下列结论：①抛物线的开口向上；②其图象的对称轴为；③当时；函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于4．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 7．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 8．下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象与轴无交点 C．函数的最大值为5 D．当时，的值随值的增大而减小 9．已知二次函数的图象如图所示，那么这个函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 10．已知二次函数，其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：点在函数的图象上，当时，与的大小关系正确的是（    ） 0 1 2 3 4 0 A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点…，都是和谐点，若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，则这个二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 12．二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 5 … 则下列结论：①；②当函数值时，对应x的取值范围是；③顶点坐标为；④若点，在抛物线上，则．其中所有正确结论的序号为（    ）． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 13．已知二次函数（a＞0）的图象经过点A（−1，2），B（2，5），顶点坐标为（m，n），则下列说法错误的是（    ） A．c＜3 B．m≤ C．n≤2 D．b＜1 14．二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（　　） A．y=2x2-4x B．y=-x（x-2） C．y=-（x-1）2+2 D．y=-2x2+4x 15．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是1和，若抛物线与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．若二次函数的图象经过，，则这个二次函数的解析式为 ． 17．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表． 下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=4时，y=5；④3是方程ax2+（b-1）x+c=0的一个根；其中正确的有 ．（填正确结论的序号） x -1 0 1 3 y -1 3 5 3 18．已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值：则该二次函数有 （填“最小值”或“最大值”）． 0 1 2 0 1 19．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 1 5 y 0 5 9 5 则满足的x的取值范围是 ． 20．已知二次函数的图象开口向下,且顶点坐标（0，-3）.请写出一个符合条件的二次函数的解析式 . 21．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 22．某同学用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y的值，则这个错误的数值是 ． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 … 23．已知二次函数的图象经过． （1）该二次函数的对称轴为直线 ． （2）当时，若y的最大值与最小值之差为8，则m的值为 ． 24．请写出一个有最小值，并且对称轴为直线的二次函数的解析式 ． 25．已知：直线与抛物线交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与直线交于点． （1）抛物线的解析式为 ； （2）动点为直线上方对称轴左侧抛物线上一点，当的面积最大时，点的坐标为 ． 三、解答题 26．如图，二次函数的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点，且顶点为D，连接、、、．    （1）填空：________； （2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q．若，求点P的坐标； （3）点E在直线上，点E关于直线对称的点为F，点F关于直线对称的点为G，连接．当点F在x轴上时，直接写出的长． 27．在一次足球训练中，小华从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．    (1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为，请通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A，B，C，已知A(﹣1，0)，B(5，0)，C(0，5) (1)求抛物线与直线BC的表达式； (2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M(m，0)是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围． 29．在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)平移抛物线，使得平移后抛物线的顶点为，已知点在原抛物线上，点在平移后的抛物线上，且，两点都位于直线的右侧．当时，若对于，都有，求的取值范围． 30．抛物线，，是常数，． (1)若，且该抛物线的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； (2)若抛物线与轴两个交点的横坐标为、，求证：； (3)若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点，当时，求的最小值． 31．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点的坐标为，点在该抛物线上，横坐标为．其中．    (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)当点在轴上时，求点的坐标； (3)该抛物线与轴的左交点为，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． (4)当点在轴上方时，过点作轴于点，连结、．若四边形的边和抛物线有两个交点（不包括四边形的顶点），设这两个交点分别为点、点，线段的中点为．当以点、、、（或以点、、、）为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时，直接写出所有满足条件的的值． 32．如图，已知抛物线C1交直线y=3于点A（﹣4，3），B（﹣1，3），交y轴于点C（0，6）． （1）求C1的解析式． （2）求抛物线C1关于直线y=3的对称抛物线的解析式；设C2交x轴于点D和点E（点D在点E的左边），求点D和点E的坐标． （3）将抛物线C1水平向右平移得到抛物线C3，记平移后点B的对应点B′，若DB平分∠BDE，求抛物线C3的解析式． （4）直接写出抛物线C1关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式． 33．已知一个二次函数的图象经过点． (1)求b的值； (2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式． 34．已知抛物线：（）经过点． (1)求抛物的函数表达式． (2)将抛物线向上平移m（）个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线上，求m的值． (3)把抛物线向右平移n（）个单位得到抛物线．已知点，都在抛物线上，若当时，都有，求n的取值范围． 【答案】A 【分析】把代数式ax2+bx+5的值看成函数y=ax2+bx+5的值，根据二次函数的对称性可得x=4与x=0的函数值相等，由此可得结果． 【详解】设y＝ax2+bx+5， 当x＝1和x＝3时，代数式ax2+bx+5的值相等，即当x＝1和x＝3时，函数值相等， ∴当x＝0与x＝4时，函数值相等， ∵当x＝0时，y＝5， ∴当x＝4时，y＝5， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，理解二次函数的对称性是解答此题的关键． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的性质．先利用待定系数法求得函数的解析式，再利用二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； ∵， ∴当时，该函数的最大值为，故选项A错误，不符合题意； ∴当时，的值随x的值的增大而减小，故选项D正确，符合题意； 对于方程即， ， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项C错误，不符合题意； 故选：D． 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、求关于原点对称的点的坐标 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线，绕原点旋转后顶点坐标变为，， ∴旋转后的函数关系式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a的值． 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、运用完全平方公式进行运算 【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过P（1，3）， ∴， ∴a=1， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过Q（m，n）， ∴即， ∴ ， ∵， ∴的最小值为1， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键． 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把点代入求出a即可得到抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式，再确定其与y轴的交点坐标即可． 【详解】解：由已知条件可得抛物线的顶点坐标为，可设解析式为， 代入点，得． 所以该二次函数的解析式为， 化成一般式为． 当时，， 所以，抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：C． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式，然后化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 由题意知：， 解得， 二次函数的解析式为， ①函数图象开口向上，故①选项正确； ②对称轴为直线，故②选项错误； ③当时，函数值随的增大而增大，故③选项正确； ④方程的解为，，故④选项错误． 故选：B． 【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点， 则， 解得：， ∴， ∴当时，可食用率最高， ∴最佳加工时间为3.75分钟， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键． 【答案】D 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故A错误，不符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有交点，故B错误，不符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故C错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故D正确，符合题意； 故选：D． 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据图象可知函数经过点（-1，0），（3，0），（0，-1），根据待定系数法即可求得函数的解析式． 【详解】根据图象可知函数经过点(−1,0),(3,0),(0,−1),设二次函数的解析式是：y=ax2+bx+c. 根据题意得：. 解得：a=,b=−,c=−1.则函数的解析式是：y=x2−x−1. 故答案选C. 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，解题的关键是根据待定系数法求二次函数的解析式. 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象增减性是解题的关键．先由表格中的点坐标，运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数开口方向和对称轴，即可得出结论． 【详解】解：从表中可知，二次函数过点，，， 则有，， 解得，， 即二次函数为：， 该二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴距离对称轴近，距离对称轴远， ∴， 故选：A． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】由题意可得和谐点所在直线为，由抛物线经过可得a与c的数量关系，联立直线与抛物线方程，根据求解． 【详解】解：由题意可得和谐点所在直线为， 把代入得， ∴， ∴． 令，整理得， ∵抛物线与直线只有1个公共点， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握函数与方程的关系． 【答案】A 【知识点】根据交点确定不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】由待定系数法求出函数解析式为，即判断①，求出抛物线与x轴的交点，根据函数图象即可判断②，把函数解析式化为顶点式，即可判断③，分别求出和的函数值，即可判断④． 【详解】解：把点，，代入得， ， 解得， ∴， ∵， ∴，故①正确； 当时，，解得 ∴抛物线与轴的交点为， 的图象如下： 由图象可知，当函数值时，对应x的取值范围是，故②错误； ∵， ∴顶点坐标为；故③正确； ∵当时，， 当时，， ∴点，在抛物线上，则．故④错误； 综上可知，所有正确结论的序号为①③， 故选：A 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【答案】B 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据已知条件得到，解方程组得到c=3-2a＜3，b=1-a＜1，求得二次函数的对称轴为，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论． 【详解】解：由已知可知： 消去b得：c=3-2a＜3，选项A说法正确，不符合题意； 消去c得：b=1-a＜1，选项D说法正确，不符合题意； 对称轴：m=，选项B说法错误，符合题意； ∵A（-1，2），a＞0，那么顶点的纵坐标为函数的最小值， ∴n≤2，选项C说法正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的性质是解题的关键． 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据图形得出抛物线的顶点坐标为（1，2），设出抛物线的顶点形式，把（2，0）代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式. 【详解】解: 根据图象得：抛物线的顶点坐标为（1，2）， 设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2， 将（2，0）代入解析式得：0=a+2， 解得：a=-2， 则抛物线解析式为y=-2（x-1）2+2=-2x2+4x． 故选D 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】由根与系数的关系，先求出，，然后结合点A的坐标，求出，得到，当时，即可求出点B的坐标． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是1和， ∴1和是方程的两个根， ∴， ∴，， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， 解得：，； ∴点B的坐标为（，0）； 故选：B． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数与x轴的交点问题，解一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】用待定系数法求、的值，将，代入即可求得． 【详解】解：将，代入中，得： ，解得， ∴这个二次函数的解析式为：． 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，注意二次函数三种形式的灵活运用． 【答案】①④/④① 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求自变量的值或函数值、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+3，然后判断出①正确，②错误；再根据代自变量求函数值和一元二次方程的解法判定③④． 【详解】解：将（﹣1，﹣1）、（0，3）、（1，5）代入y＝ax2+bx+c， 得， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+3． 经检验，当x=3时，y=3满足函数关系式. ①ac＝﹣1×3＝﹣3＜0， ∴结论①正确； ②∵y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x−）2， ∴当x时，y的值随x值的增大而减小， ∴结论②不正确； ③当x＝4时，y＝﹣42+3×4+3＝﹣1， ∴结论③不正确； ④ax2+（b﹣1）x+c＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+1）（x－3）＝0， ∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根， ∴结论④正确； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数的性质以及因式分解法解一元二次方程，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【答案】最大值 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的最值判断，先运用待定系数法求函数解析式，根据解析式判断即可． 【详解】解：设解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴解析式为， ∵， ∴抛物线有最大值， 故答案为：最大值． 【答案】或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，根据题意画出图形，由得，由表格可知抛物线的顶点为，求出二次函数的解析式为，求出直线与抛物线的交点坐标为，，然后画出图形，根据图形求出结果即可． 【详解】解：由得， 由表格可知抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴， 联立， 解得：或， ∴，， 作出函数和图象，如图所示： 由图象可得，当或时，，即． 故答案为：或． 【答案】y=-x2-3 【详解】试题解析：∵若二次函数的图象开口向下，且经过（0，-3）点， ∴y=-x2-3符合要求． 答案不唯一． 【答案】/ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 【答案】-5 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． 【详解】解：由函数图象关于对称轴对称，得：（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得 ∴，解得：， ∴函数解析式为：y＝﹣3x2+1 当x＝2时，y＝﹣11， 故这个错误的数值是﹣5， 故答案为﹣5． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确求出二次函数的解析式. 【答案】 3 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将坐标代入二次函数，求得解析式，再通过二次函数的性质，求得对称轴； （2）根据二次函数的解析式可知，，故当时，y取最小值，当时，y取最大值，代入求解方程即可． 【详解】（1）解：把代入可得，解得， 二次函数的解析式为， 二次函数的对称轴为， 故答案为：． （2）解：当时，y取到最小值为， y的最大值与最小值之差为8， ， 故当时，y取最小值，当时，y取最大值， 可得方程， 解得或（舍）． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，正确得出关于m的方程是解题的关键． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据题意写出开口向上，即，对称轴为直线，即的二次函数解析式即可求解． 【详解】解：有最小值，并且对称轴为直线的二次函数的解析式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【答案】 【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点代入求出k，进一步得到点，再将点，代入列出方程组求解即可； （2）作轴，交直线于，设的横坐标为，则，，求得，根据，得到，根据当时，的面积最大，求解即可． 【详解】解：（1）直线与抛物线交于点，， ，解得， 直线为， ， ， 把、的坐标代入得， 解得， 抛物线的解析式为． 故答案为：． （2）， 抛物线的对称轴为直线， 对称轴与直线交于点， ， 如图，作轴，交直线于， 设的横坐标为，则，， ， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数求二次函数的解析式，抛物线与直线的交点，在坐标系中利用三角形的面积求点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【答案】（1）-4；（2）（3，0）或（，）；（3） 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、已知余弦求边长、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）分点Q在CD上方和点Q在CD下方时，两种情况，结合三角函数，勾股定理等知识求解； （3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′，设C′（p，q），利用点R到点C和点C′的距离相等以及点N′到点C和点C′的距离相等，求出点C′的坐标，从而得到C′N′直线的解析式，从而求出点F坐标，再利用点F和点G关于直线BC对称，结合BC的表达式可求出点G坐标，最后得到AG的长. 【详解】解：（1）∵抛物线过点C（1，0）， ∴将C（1，0）代入得0=1+b+3， 解得b=-4， 故答案为：-4； （2）由（1）可得抛物线解析式为：， 当x=0时，y=3， ∴A的坐标为（0，3）， 当y=3时得， 解得x1=0，x2=4， ∴点B的坐标为（4，3）， ∵， ∴顶点D的坐标为（2，-1）， 设BD与x轴的交点为M，作CH⊥AB于H，DG⊥CM于G， ∴tan∠ACH= tan∠OAC=， 根据勾股定理可得BC=，CD=，BD=， ∴BD=， ∴∠BCD=90°， ∴tan∠CBD=， ∴∠ACH=∠CBM， ∵∠HCB=∠BCM=45°， ∴∠ACH+∠HCB=∠CBM+∠MCB， 即∠ACB=∠CMD， Q在CD上方时：若，则Q与M点重合， ∵中，令y=0，解得：x=1或3， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， 即此时P的坐标为（3，0）； Q在CD下方时：过点Q作QK⊥x轴，过点C作CL⊥QM于点L，过点A作AN⊥BC于点N， 可得：AB=4，BC=，AC=，设CN=x，则BN=-x， 在△ABC中，， 即，解得：x=， ∴cos∠ACN==， 设直线BD的表达式为：y=mx+n，将B，D代入得： ，解得：， ∴直线BD的表达式为y=2m-5， 令y=0，则x=，即点M（，0）， 设点Q坐标为（a，2a-5）， 则QK=5-2a，CM=，QM=， ∵∠ACB=∠CMD，∠ACB=∠CQD， ∴∠CMD=∠CQD，即CQ=CM=, ∴cos∠CQD=cos∠ACB=, ∴QL=，QM=，CL=， 在△CQM中，， 即，解得：KQ=， ∴CK=, ∴Q（，）， 设直线CQ表达式为：y=sx+t，将点C和点Q代入， ，解得：， 则CQ表达式为：，联立： ，解得， 即点P坐标为（，）， 综上：点P的坐标为（3，0）或（，）； （3）设点C关于BD的对称点为C′，BD中点为点R，直线AC与直线BD交于N′， ∴R（3，1），设C′（p，q）， 由题意可求得：直线AC表达式为：y=-3x+3， 直线BD表达式为：y=2x-5， 直线BC的表达式为：y=x-1， 令-3x+3=2x-5，解得：x=，则y=， ∴点N′（，）， ∵点C和C′关于直线BD对称， ∴CR=C′R=BD=，CN′=C′N′=， 则有，， 即， ①-②得：③，代入①， 解得：或0（舍），代入③中，得：， 解得：，即点C′（，）， ∵N′（，）， 求得直线C′N′的表达式为：， ∵点F在x轴上，令y=0，则x=7， ∴点F（7，0）， 又∵点F和点G关于直线BC对称，BC：y=x-1，连接CG， 可得∠BCF=45°=∠BCG， ∴∠FCG=90°， ∴CG=CF=6, ∴点G的坐标为（1,6），又A（0，3）， ∴AG的长为. 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式，一次函数，三角函数，面积法，对称的性质，知识点较多，难度较大，解题时要注意分类讨论，画图相应图形，利用数形结合思想解答. 【答案】(1)以为原点，为轴建立平面直角坐标系， (2)球不能射进球门 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，准确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，，抛物线经过，顶点为，设抛物线的解析式为，将代入计算出的值即可； （2）当时，求出的值与进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则，，抛物线经过，顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过， ， 解得， ，即； （2）解：当时，， 所以球不能射进球门． 【答案】(1)y＝﹣x2+4x+5；(2)(，)；(3)﹣≤m≤20． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式； （2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，5﹣t），即可得D（t，﹣t2+4t+5），即可求得PD的长，由S△BDC＝S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC＝﹣（t﹣）2+，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标； （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣）2﹣，然后根据n的取值得到最小值． 【详解】(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(﹣1，0)，B(5，0)． ∴设该抛物线解析式为：y＝a(x+1)(x﹣5)(a≠0)． 把C(0，5)代入，得5＝a(0+1)(0﹣5)． 解得a＝﹣1． 故该抛物线解析式为：y＝﹣(x+1)(x﹣5)或y＝﹣x2+4x+5． (2)设直线BC的解析式为y＝kx+m(k≠0)． 把B(5，0)，C(0，5)代入，得． 解得． ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5． ∴设P(t，5﹣t)， ∴D(t，﹣t2+4t+5)， ∴PD＝(﹣t2+4t+5)﹣(5﹣t)＝﹣t2+5t， ∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB ＝PD•t+PD•(5﹣t) ＝PD•5 ＝ (﹣t2+5t) ＝﹣ (t﹣)2+， ∴当t＝时，△BDC的面积最大，此时P(，)； (3)由(1)y＝﹣x2+4x+5＝﹣(x﹣2)2+9， ∴E(2，9)， 设N(2，n)，则0≤n≤9， 取CM的中点Q(，)， ∵∠MNC＝90°， ∴NQ＝CM， ∴4NQ2＝CM2， ∵NQ2＝， ∴， 整理得，， ∵0≤n≤9， 当n＝时，m最小值＝﹣，n＝9时，m＝20， 综上，m的取值范围为：﹣≤m≤20． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点，代入待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，得出，根据图象，当点在时，求得的值，结合函数图象，可知在对称轴右侧都有，即可求得的范围． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵，则，又∵， ∴， ∴， 则， 当点在时，， 此时， 根据图象可知，当时，对于，都有， 如图，当时， ∴当时，对于，都有． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的平移，二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1.5 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）由可知图象过，则图象不过点，将点，代入抛物线，即可解答； （2）根据根与系数的关系即可得证； （3）将代入得①，根据抛物线的对称轴为直线，可得，整理得②，由①②得到，整理得到，，根据题意，将，代入得，即可解答． 【详解】（1）解：， 图象过， 图象不过点， 将点，代入抛物线， 得， 解得， ； （2）证明：抛物线与轴两个交点的横坐标为、， ，， ， ， ， ； （3）解：将代入得①， 抛物线的对称轴为直线， ， ②， 由①②得到， ， ， ， ， ． 且， ，， ，，， ， ， 将，代入得， 当时，符合， 有最小值1.5． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2) (3)或 (4)或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法即可求解； （2）当时，，求得抛物线与轴的交点坐标，根据抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中，得出，即可求解； （3）①如图所示，当，即时，②当，即时，分别画出图形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为，建立方程，解方程即可求解； （4）根据在轴的上方，得出，根据题意分三种情况讨论①当是的中点，②同理当为的中点时，③，根据题意分别得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得： ∴抛物线解析式为； ∵ ， ∴顶点坐标为， （2）解：由， 当时，， 解得：， ∵抛物线上的点在轴上时，横坐标为．其中． ∴ ∴ 解得：， ∵点的坐标为， ∴； （3）①如图所示，当，即时，    抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点为顶点，最低点为点， ∵顶点坐标为， 则纵坐标之差为 依题意， 解得：； ②当，即时，    ∵，即， 依题意，， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； （4）解：如图所示，    ∵在轴的上方， ∴ ∴ ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ ∵, ①当是的中点，如图所示    则， ∴代入， 即， 解得：（舍去）或； ②同理当为的中点时，如图所示，，，则点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，    ∴， 解得：， ③如图所示，    设，则， ∵以点、、、为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半，线段的中点为 ∴ 即 ∴， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， 解得：， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【答案】（1）C1的解析式为y=x2+x+6；（2）抛物线C2的解析式为y=﹣x2﹣x，D（﹣5，0），E（0，0）；（3）抛物线C3的解析式为y=；（4）y=x2x+2n﹣6． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、根据二次函数的对称性求函数值、角平分线性质定理及证明 【分析】（1）设抛物线C1经的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入求解即可得到解析式； （2）先求出点C关于直线y=3的对称点的坐标为(0,0)，设抛物线C2的解析式为y=a1x2+b1x+c1，即可求出答案； （3）如图，根据平行线的性质及角平分线的性质得到BB′=DB，利用勾股定理求出DB的长度即可得到抛物线平移的距离，由此得到平移后的解析式； （4）设抛物线C1关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式为y=mx+nx+k，根据对称性得到m、n的值，再利用对称性得到新函数与y轴交点坐标得到k的值，由此得到函数解析式. 【详解】（1）设抛物线C1经的解析式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线C1经过点A（﹣4，3），B（﹣1，3），C（0，6）． ∴, 解得， ∴C1的解析式为y=x2+x+6； （2）∵C点关于直线y=3的对称点为（0，0）， 设抛物线C2的解析式为y=a1x2+b1x+c1， ∴， 解得， ∴抛物线C2的解析式为y=﹣x2﹣x； 令y=0，则﹣x2﹣x=0， 解得x1=0，x2=﹣5， ∴D（﹣5，0），E（0，0）； （3）如图， ∵DB′平分∠BDE， ∴∠BDB′=∠ODB′， ∵AB∥x轴， ∴∠BB′D=∠ODB′， ∴∠BDB′=∠BB′D， ∴BB′=DB， ∵BD==5， ∴将抛物线C1水平向右平移5个单位得到抛物线C3， ∵C1的解析式为y=x2+x+6=（x+）2+， ∴抛物线C3的解析式为y=（x+﹣5）2+=； （4）设抛物线C1关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式为y=mx+nx+k， 根据对称性得：新抛物线的开口方向与原抛物线的开口方向相反，开口大小相同，故m=-，对称轴没有变化，故n=-， 当n>6时，n+（n-6）=2n-6，故新抛物线与y轴的交点为（0，2n-6）， 当n<6时，n-（6-n）=2n-6，新抛物线与y轴的交点为（0，2n-6）， ∴k=2n-6， ∴抛物线C1关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+2n﹣6. 【点睛】此题考查待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，抛物线平移的性质，解题中确定变化后的抛物线的特殊点的坐标是解题的关键. 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）把代入二次函数解析式即可求出b的值； （2）根据轴对称的性质可得抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴把点代入得， 解得：； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为， ∵抛物线关于x轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴所得抛物线解析式为，即． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法即可求解． （2）根据平移的性质即可求解． （3）根据平移的性质对称轴为直线，，开口向上，进而得到点P在点Q的左侧，分两种情况讨论：①当P，Q同在对称轴左侧时，②当P，Q在对称轴异侧时，③当P，Q同在对称轴右侧时即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式：． （2）∵将抛物线向上平移m个单位得到抛物线， ∴抛物线的函数表达式：． ∴顶点， ∴它关于O的对称点为， 将代入抛物线得：， ∴． （3）把向右平移n个单位，得 ：，对称轴为直线，，开口向上， ∵点，， 由得：， ∴点P在点Q的左侧， ①当P，Q同在对称轴左侧时， ，即， ∵，∴， ②当P，Q在对称轴异侧时， ∵， ∴， 解得：， ③当P，Q同在对称轴右侧时，都有（舍去）， 综上所述：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象平移变换，熟练掌握待定系数法及平移的性质结，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键． 【答案】(1)直角坐标系见解析； (2)该正方形的边长为 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）以的中点为坐标原点，以射线的方向为x轴正方向，射线的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，表示出三点的坐标，由待定系数法就可以求出其解析式； （2）正方形的边长为x，则，根据G在抛物线上，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图1，以的中点为坐标原点，以射线的方向为x轴正方向，射线的方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则， 设抛物线的解析式为， 将C点坐标代入，得， 解得， 故抛物线的解析式为：，化简得； （2）如图2，设正方形的边长为x，则， ∵G在抛物线上， ∴， ∵， ∴， 即该正方形的边长为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，正方形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，建立坐标系求出二次函数的解析式是解题的关键． 35．如图是一张轴对称纸片，曲线部分为抛物线，尺寸如图所示． (1)试建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的解析式． (2)如图在纸片中裁剪出一个正方形，试求出该正方形的边长． 学科网（北京）股份有限公司 $$