专题09 因式分解-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（人教版）

专题09 因式分解 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 用提公因式法分解因式 1 题型二 用平方差公式分解因式 2 题型三 用完全平方公式分解因式 3 题型四 换元法分解因式 3 题型五 十字相乘法分解因式 4 题型六 分组分解法分解因式 4 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 用提公因式法分解因式 ⭐技巧积累与运用 1. 用提公因式法因式分解的步骤 (1) 确定公因式. (2) 把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的形式. (3) 把公因式提到括号前，把每一项除公因式外的因式放到括号内，并进行合并同类项. (4) 检查提公因式后的因式里面是否还有公因式,是否存在漏项的情况. 2. 提公因式法的主要应用 (1) 结合等式证明等量关系. (2) 利用因式分解，化简求值. 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B．2 C． D． 2．已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 3．如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 4．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型二 用平方差公式分解因式 ⭐技巧积累与运用 1. 能用平方差公式分解因式的多项式具有的特点 (1) 该多项式是一个二项式 (2) 两项是差的形式. (3) 每一项都能写成一个式子(可以是一个数字、单项式、多项式)的平方的形式. 2. 应用平方差公式分解因式解决的问题 (1) 已知两个数(或式)的和与差，求这两个数(或式)的平方差. (2) 已知两个数(或式)的平方差，及这两个数(或式)的和或差，求这两个数(或式)的差或和. (3) 已知两个数(或式)的平方差，确定能被哪两个整数(或式)整除. 1．将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式：①；②；③；④；⑤；⑥．能用平方差公式因式分解的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．对于任意整数n，都（    ） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 4．将下列多项式分解因式： (1) (2) (3) 题型三 用完全平方公式分解因式 ⭐技巧积累与运用 完全平方式的特点 1. 该多项式有三项. 2. 有两项同号且能写成某数(或式)的平方 3. 其余一项是这两数(或式)的积的2倍符号可正可负. 1．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 2．一个大正方形被分割成四部分的面积分别为，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤；⑥．能用完全平方公式分解因式的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．分解因式： 题型四 换元法分解因式 ⭐技巧积累与运用 步骤 1、 选择合适的换元 2、 简化多项式 3、 进行因式分解 4、 还原换元 1．分解因式 (1) (2) (3) 2．因式分解：． 3．分解因式： (1)； (2)． 题型五 十字相乘法分解因式 ⭐技巧积累与运用 1．将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 3．已知，其中k、q均为整数，则 ． 4．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 分组分解法分解因式 1．分解因式： 2．因式分解： 3．对多项式进行因式分解时，有时可把多项式分成若干组，先分别分解，然后整体分解，其中合理分组是实现完全分解的关键．请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式分解因式后，含有因式：的是（   ） A． B． C． D． 3．当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 4．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 5．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．中华美 C．爱我中华 D．美我中华 6．计算后的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若，则的值为 ． 8．因式分解： ． 9．把多项式因式分解的结果是 ． 10．分解因式： ． 三、解答题 11．分解因式与化简 (1)分解因式：． (2)已知，求的值． 12．分解因式： (1)； (2)． 13．分解因式： (1)； (2)． 14．分解因式：． 15．已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 16．参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． (1)； (2)． 一、单选题 1．已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 2．取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（   ） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 二、填空题 3．若，则 0（填，或） 4．已知，则代数式的值是 ． 三、解答题 5．因式分解： (1) (2) (3) 6．【阅读材料】如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如： 请仿照上例解决以下问题： (1)因式分解：_______________． (2)证明：对于任意实数x、y，多项式的值总为正数． 7．阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： (1)上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)分解因式：； (3)若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 因式分解 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（6大题型） 目录 题型一 用提公因式法分解因式 1 题型二 用平方差公式分解因式 3 题型三 用完全平方公式分解因式 5 题型四 换元法分解因式 6 题型五 十字相乘法分解因式 8 题型六 分组分解法分解因式 10 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 用提公因式法分解因式 ⭐技巧积累与运用 1. 用提公因式法因式分解的步骤 (1) 确定公因式. (2) 把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的形式. (3) 把公因式提到括号前，把每一项除公因式外的因式放到括号内，并进行合并同类项. (4) 检查提公因式后的因式里面是否还有公因式,是否存在漏项的情况. 2. 提公因式法的主要应用 (1) 结合等式证明等量关系. (2) 利用因式分解，化简求值. 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：多项式的公因式是． 故选D． 2．已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 故选：C． 3．如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【答案】B 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 故选：B． 4．用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型二 用平方差公式分解因式 ⭐技巧积累与运用 1. 能用平方差公式分解因式的多项式具有的特点 (1) 该多项式是一个二项式 (2) 两项是差的形式. (3) 每一项都能写成一个式子(可以是一个数字、单项式、多项式)的平方的形式. 2. 应用平方差公式分解因式解决的问题 (1) 已知两个数(或式)的和与差，求这两个数(或式)的平方差. (2) 已知两个数(或式)的平方差，及这两个数(或式)的和或差，求这两个数(或式)的差或和. (3) 已知两个数(或式)的平方差，确定能被哪两个整数(或式)整除. 1．将分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 2．下列多项式：①；②；③；④；⑤；⑥．能用平方差公式因式分解的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：①，能用平方差公式分解，符合题意； ②，不能用平方差公式分解，不符合题意； ③，不能用平方差公式分解，不符合题意； ④，不能用平方差公式分解，不符合题意； ⑤，能用平方差公式分解，符合题意； ⑥ ， 能用平方差公式分解，符合题意； ∴能用平方差公式分解因式的有个， 故选：． 3．对于任意整数n，都（    ） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 【答案】C 【详解】解： ， 为任意整数， ，既能被2整除又能被4整除， 又∵、是连续整数， ∴、必有一个是偶数， ∴能被8整除，即能被8整除， 故选：C． 4．将下列多项式分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ； （2）； （3）； 题型三 用完全平方公式分解因式 ⭐技巧积累与运用 完全平方式的特点 1. 该多项式有三项. 2. 有两项同号且能写成某数(或式)的平方 3. 其余一项是这两数(或式)的积的2倍符号可正可负. 1．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求； 故选：A． 2．一个大正方形被分割成四部分的面积分别为，则大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 大正方形的边长为， 故选：D． 3．下列各式中，①；②；③；④；⑤；⑥．能用完全平方公式分解因式的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：①，能利用完全平方公式进行分解因式； ②，所以不能利用完全平方公式进行分解因式； ③，所以不能利用完全平方公式进行分解因式； ④，所以不能利用完全平方公式进行分解因式； ⑤，能利用完全平方公式进行分解因式； ⑥，能利用完全平方公式进行分解因式； 综上所述：能利用完全平方公式进行分解因式的有3个； 故选B． 4．分解因式： 【答案】 【详解】解： ． 题型四 换元法分解因式 ⭐技巧积累与运用 步骤 1、 选择合适的换元 2、 简化多项式 3、 进行因式分解 4、 还原换元 1．分解因式 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： （3）解： 2．因式分解：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ， ． 题型五 十字相乘法分解因式 ⭐技巧积累与运用 1．将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 故选：D． 2．若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 3．已知，其中k、q均为整数，则 ． 【答案】或15 【详解】解：∵， ∴，， ∴当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 故答案为或15 4．阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （2）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （3）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （4）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 题型六 分组分解法分解因式 1．分解因式： 【答案】 【详解】解： 2．因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 3．对多项式进行因式分解时，有时可把多项式分成若干组，先分别分解，然后整体分解，其中合理分组是实现完全分解的关键．请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 2．下列多项式分解因式后，含有因式：的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，故原式不含有因式，故本选项不符合题意； B． ， 故原式不含有因式，故本选项不符合题意； C． ， 故原式含有因式，故本选项符合题意； D．，故原式不含有因式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．当n为自然数时，一定能（   ） A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除 【答案】D 【详解】解： 为自然数 所以一定能被8整除， 故选D 4．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：多项式中各项的公因式是， 故选：． 5．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A．我爱美 B．中华美 C．爱我中华 D．美我中华 【答案】C 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码是由爱，我，中，华这四个字组成的， ∴四个选项中只有C选项符合题意． 故选：C． 6．计算后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A． 二、填空题 7．若，则的值为 ． 【答案】15 【详解】解：∵， ∴； 故答案为： 8．因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 9．把多项式因式分解的结果是 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 10．分解因式： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 11．分解因式与化简 (1)分解因式：． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式． （2） ． ， 原式． 12．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【小题1】解：原式； 【小题2】解：原式． 13．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 14．分解因式：． 【答案】 【详解】解： ． 15．已知：，，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴． 16．参考某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设， 则 ， 请你模仿以上方法对下列多项式进行因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设， 则 ； （2）解：方法一：设， 则 ； 方法二：设， 则 ． 一、单选题 1．已知，，为一个三角形的三边长，则的值（　　） A．一定为负数 B．一定为正数 C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零 【答案】A 【详解】解：， ，，为一个三角形的三边长， 即． 故选：A． 2．取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码可以是（   ） A．101030 B．010103 C．100130 D．301001 【答案】A 【详解】解：∵， ∴当，时，， ∴产生的密码可以为：，，， 故选A． 二、填空题 3．若，则 0（填，或） 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴； 故答案为： 4．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 三、解答题 5．因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．【阅读材料】如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下的变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，利用配方法可以将多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值． 例如： 请仿照上例解决以下问题： (1)因式分解：_______________． (2)证明：对于任意实数x、y，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：． （2）解：原式 ，． 多项式的值总为正数． 7．阅读下列分解因式的过程： ． 根据上述分解因式的过程，回答下列问题： (1)上述过程中用到的分解因式的方法是______，共应用了______次； (2)分解因式：； (3)若要分解因式（为正整数），则需应用上述方法______次，分解因式的结果是______． 【答案】(1)提公因式法；两 (2) (3)， 【详解】（1）解：由例子解答过程知，运用了提公因式的方法分解因式，共应用了两次； 故答案为：提公因式；两； （2）解： ； （3）解： ． 观察解答过程知，中的最高次数为2次，则进行了两次提公因式方法，一般地，的最高次数为n次，则进行了n次提公因式； 故答案为：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$