专题08 乘法公式-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（人教版）

专题08 乘法公式 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（五大题型） 目录 题型一 平方差公式 1 题型二 完全平方公式 2 题型三 添括号法则 2 题型四 乘法公式中添括号的应用 3 题型五 乘法公式的应用 4 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 平方差公式 ⭐技巧积累与运用 1.平方差公式的结构特点 (1)等号左边：①两个二项式的积.②两个二项式中有相同项和相反项. (2)等号右边：①二项式. ②相同项的平方减相反项的平方. 2.灵活运用平方差公式的几种情形 (1)用平方差公式简便计算两数的积. (2)适当结合，连续利用平方差公式. (3)在整式的混合运算中，正确识别符合平方差公式的部分. 1．若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 题型二 完全平方公式 ⭐技巧积累与运用 1.记忆完全平方公式的口诀 “首()平方、尾(b)平方，首()尾(b)乘积的2倍在中央”. 2.运用完全平方公式计算的技巧 在计算中容易出现符号错误 可作如下变形：. 1．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（   ） A．或5 B．5 C．8 D．8或 2．若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 题型三 添括号法则 ⭐技巧积累与运用 1.添括号的巧记法则 遇“+”不变，遇“一”都变. 2.添括号的三点注意 (1)看清楚哪些项需要放进括号里面去. (2)这些项在放进括号前是什么符号. (3)所添括号前是什么符号. 1．下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 2．对多项式添括号，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．添括号． （1）( )； （2）( )． 4．按下列要求给多项式添括号． （1）使次数最高项的系数变为正数； （2）把奇次项放在前面是“-”的括号里，其余的项放在前面是“+”的括号里． 题型四 乘法公式中添括号的应用 ⭐技巧积累与运用 在乘法公式中添括号的技巧 1. 当两个三项式相乘，且它们只含相同项与相反项时，通过添括号把相同项、相反项分别结合，一个化为“和”的形式，一个化为“差”的形式，可利用平方差公式. 2. 一个三项式的平方，通过添括号把其中两项看成一个整体可利用完全平方公式。 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1)； (2) (3)； (4) (5)； (6) 题型五 乘法公式的应用 ⭐技巧积累与运用 1、 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用 2、 乘法公式的变形在解题中的应用 3、 整式的化简求值 4、 乘法公式与几何图形相结合的应用 类型一、乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 2．利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 3．利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、乘法公式的变形在解题中的应用 1．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 2．已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 类型三、整式的化简求值 1．先化简，再求值： ，其中． 2．先化简，再求值：．其中． 3．先化简，再求值：，其中． 类型四、乘法公式与几何图形相结合的应用 1.已知：如图，将边长分别为和的两个正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和． (1)记图中的阴影部分的面积为，求（用含，的代数式表示）； (2)若两正方形的边长满足，，求（1）中的值． 2.（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积； (2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 3.从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 4．一个正方形的边长为，若边长增加3，则其面积增加了（   ） A．9 B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C．8 D．6 6．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 8．若，且，则 ． 9．已知，那么 ． 10．已知，则的值为 ． 三、解答题 11．简便方法计算： (1) (2)． 12．（1）先化简，再求值：其中； （2）计算：． 13．计算． (1)； (2)； (3)． 14．先化简，再求值：，其中． 15．拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 16．已知代数式的值与x的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当为何值时有最小值？并求出最小值． 一、单选题 1．已知，则代数式的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．若，则的值为 ． 4．已知，则＝ ． 三、解答题 5．已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 6．计算： (1)； (2)； (3)． 7．阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 乘法公式 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（五大题型） 目录 题型一 平方差公式 1 题型二 完全平方公式 2 题型三 添括号法则 4 题型四 乘法公式中添括号的应用 5 题型五 乘法公式的应用 7 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 平方差公式 ⭐技巧积累与运用 1.平方差公式的结构特点 (1)等号左边：①两个二项式的积.②两个二项式中有相同项和相反项. (2)等号右边：①二项式. ②相同项的平方减相反项的平方. 2.灵活运用平方差公式的几种情形 (1)用平方差公式简便计算两数的积. (2)适当结合，连续利用平方差公式. (3)在整式的混合运算中，正确识别符合平方差公式的部分. 1．若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. ，不符合平方差公式的形式，故该选项不符合题意； B. ，不符合平方差公式的形式，故该选项不符合题意； C. ，能用平方差公式计算，故该选项符合题意；     D. ，不符合平方差公式的形式，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．如图①，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图②），验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，图①中阴影部分的面积是：， 图②中矩形的面积是：， 图①和图②的面积相等， ， 故选：B． 题型二 完全平方公式 ⭐技巧积累与运用 1.记忆完全平方公式的口诀 “首()平方、尾(b)平方，首()尾(b)乘积的2倍在中央”. 2.运用完全平方公式计算的技巧 在计算中容易出现符号错误 可作如下变形：. 1．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（   ） A．或5 B．5 C．8 D．8或 【答案】D 【详解】解：， ， 解得或， 故选D． 2．若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 3．已知整式是一个完全平方式，则符合M的整式有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴或， 即或， ∴或． 则符合M的整式有3个， 故选：C． 4．关于x、y的代数式是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，最小值为16， 【详解】解：有最小值16，过程如下： 原式，此时． 题型三 添括号法则 ⭐技巧积累与运用 1.添括号的巧记法则 遇“+”不变，遇“一”都变. 2.添括号的三点注意 (1)看清楚哪些项需要放进括号里面去. (2)这些项在放进括号前是什么符号. (3)所添括号前是什么符号. 1．下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，正确； B、，故原式不正确； C、，正确； D、，正确； 故选：B． 2．对多项式添括号，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：多项式添括号，可得：； 故选A． 3．添括号． （1）( )； （2）( )． 【答案】 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． 4．按下列要求给多项式添括号． （1）使次数最高项的系数变为正数； （2）把奇次项放在前面是“-”的括号里，其余的项放在前面是“+”的括号里． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）． （2）． 题型四 乘法公式中添括号的应用 ⭐技巧积累与运用 在乘法公式中添括号的技巧 1. 当两个三项式相乘，且它们只含相同项与相反项时，通过添括号把相同项、相反项分别结合，一个化为“和”的形式，一个化为“差”的形式，可利用平方差公式. 2. 一个三项式的平方，通过添括号把其中两项看成一个整体可利用完全平方公式。 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 2．计算： (1)； (2) (3)； (4) (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 题型五 乘法公式的应用 ⭐技巧积累与运用 1、 乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用 2、 乘法公式的变形在解题中的应用 3、 整式的化简求值 4、 乘法公式与几何图形相结合的应用 类型一、乘法公式在解决数的计算问题中的巧妙应用 1．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10201 (2)1 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 2．利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)9975 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)899 (2)99.99 (3)9996 (4)999991 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 类型二、乘法公式的变形在解题中的应用 1．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)23 (2)21 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解： ． 2．已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 3．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)27 (2)17 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 类型三、整式的化简求值 1．先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【详解】解： ， ， ， ∴，， 原式． 2．先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【详解】 当时， 原式 ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 类型四、乘法公式与几何图形相结合的应用 1.已知：如图，将边长分别为和的两个正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和． (1)记图中的阴影部分的面积为，求（用含，的代数式表示）； (2)若两正方形的边长满足，，求（1）中的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）， 而，， ． 2.（新情境）如图，将图①中的正方形（阴影部分）沿图中虚线用剪刀平均分成四块小正方形，然后拼成图②所示的大正方形． (1)用含的代数式表示图①，图②中阴影部分的面积； (2)根据（1）中得到的结果，我们可以验证一个等式：___________； (3)已知，求的值； (4)若，求的值． 【答案】(1)图①：；图②： (2) (3)7 (4)22 【详解】（1）解：图①中正方形的边长为，则面积为；图②中正方形的面积为：； （2）解：∵图中两个阴影部分的面积相等， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴ ， ∵ ， ∴． 3.从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①3；② 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分的面积可以表示为和， 故； 故选B． （2）①由（1）知：， ∵，， ∴； ② ． 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意， 故选：D． 2．为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 故选：B． 3．若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（   ） A．21 B．19 C．21或 D．或19 【答案】C 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 4．一个正方形的边长为，若边长增加3，则其面积增加了（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：， ∴新正方形的面积增加了 故选：C． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C．8 D．6 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 6．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：图1中的阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， ∵图1，图2中边长相等， ∴阴影部分的面积相等， ∴， 故选：B ． 二、填空题 7．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴或， 解得，或， 故答案为：或 ． 8．若，且，则 ． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即． ∵， 将，代入， ∴． 故答案为：． 9．已知，那么 ． 【答案】11 【详解】解：∵，且， ∴，； ∵， 即， ∴， ． 故答案为：11． 10．已知，则的值为 ． 【答案】3 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 三、解答题 11．简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（1）先化简，再求值：其中； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【小题1】解：原式， ， 当时，原式； 【小题2】解：原式， ， ． 13．计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 15．拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 16．已知代数式的值与x的取值无关． (1)求a，b的值； (2)当为何值时有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)，． (2)， 【详解】（1）解： ， 此代数式的值与的取值无关， ∴ ，． （2）解：，， ， 由于，， 故当，时， 即时， 此代数式有最小值为． 一、单选题 1．已知，则代数式的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 2．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 实数满足， ， ， ， ， ， 综上所述，， 则， 的最小值为， 故选：C． 二、填空题 3．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：设， 则， ∴； ∵， ∴ ， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 4．已知，则＝ ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴负值舍去， 故答案为：． 三、解答题 5．已知，代数式． (1)化简代数式A； (2)若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解：是一个完全平方式， ， ， ． 6．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：设， ∴原式 ． 7．阅读：若x满足，求的值． 解：设，， 则， ， 所以 请仿照上例解决下面的问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． (3)如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是1000，四边形与都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积之和（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设，， 则， ， ； （2）解：设，， 则， ， ； （3）解：正方形的边长为x， ， ，， ，， 设，， ， 长方形的面积是， ， 四边形与都是正方形， 阴影部分的面积之和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$