专题07 整式的乘法-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（人教版）

专题07 整式的乘法 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 同底数幂的乘法 1 题型二 幂的乘方 3 题型三 积的乘方 4 题型四 同底数幂的除法 6 题型五 单项式乘单项式 7 题型六 单项式乘多项式 9 题型七 多项式乘多项式 10 题型八 整式的除法 11 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 同底数幂的乘法 ⭐技巧积累与运用 同底数幂乘法的特点 1.相同：各因式中幂的底数必须相同. 2.不变：相乘时，底数不能发生变化. 3.求和：各因式中幂的指数和作为结果幂的指数. 1．已知，则的值是（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．电子文件的大小常用B，，，等作为单位，其中，，．某视频文件的大小约为，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴的值 ． 题型二 幂的乘方 ⭐技巧积累与运用 1. 幂的乘方法则的运用 (1) 幂的乘方法则既可以正用，也可以逆用.逆用为：(m,n都是正整数). (2) 幂的乘方法则的推广：(m,n,p都是正整数). 2. 同底数幂乘法与幂的乘方的比较 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 故选：B． 2．已知，，，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：， ， 又，， ． 故选：A． 3．计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 4．计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 题型三 积的乘方 ⭐技巧积累与运用 积的乘方与幂的乘方的比较 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：A． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 故选A． 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 4．已知：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)216 (2)3 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）， ∴． 题型四 同底数幂的除法 ⭐技巧积累与运用 同底数幂除法的特点 1.底数：被除式和除式中的底数相同,且不为0. 2.法则：底数不变,指数相减. 3.逆用：当指数是差的形式时，可考虑法则的逆运用， 即：. 1．已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 3．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 4．已知，； (1)当时，求a的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 题型五 单项式乘单项式 ⭐技巧积累与运用 单项式乘单项式的注意事项 1. 单项式乘单项式的结果仍是单项式. 2. 只在一个单项式里出现的字母，计算时不要漏乘. 3. 单项式乘单项式的法则对于三个及三个以上的单项式相乘仍适用. 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确；     D．，故不正确； 故选B． 2．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 3．计算： 【答案】 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)﹣2m8n7 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式＝ ＝ ＝． 题型六 单项式乘多项式 ⭐技巧积累与运用 单项式乘多项式法则的“解读” 1. 符号：多项式的每一项都包含它前面的符号. 2. 漏乘：单项式必须和多项式的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项，特别是常数项. 3. 顺序：对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算，还要注意运算顺序，运算中如有同类项，要先合并同类项. 4. 结果：积的结果是多项式，在合并同类项之前，积的项数与所乘多项式的项数相同 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 故选B． 2．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ． 故选：A． 3．若的展开式中不含项，求a的值． 【答案】 【详解】解： ∵展开式中不含项， ， 解得：． 题型七 多项式乘多项式 ⭐技巧积累与运用 多项式乘多项式法则的“解读” (1) 项数：多项式乘多项式的结果合并前的项数为两个多项式的项数之积,要防止漏项. (2) 符号：多项式乘多项式的积项数较多，一定要注意符号，多项式的每一项都包括它前面的符号. (3) 结果：多项式乘多项式的结果仍是多项式，一定要合并同类项 1．在展开多项式中，常数项为，则a等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解： ， 常数项为， ∴， 解得， 故选：C． 2．若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 【答案】B 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 3．先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 题型八 整式的除法 ⭐技巧积累与运用 1. 单项式除以单项式的要点 (1) 要分清被除式与除式的系数. (2) 要找准两式含有的相同字母. (3) 要观察是否有只在被除式中存在的字母. 2. 多项式除以单项式法则的“解读” (1) 实质：多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. (2) 项数：多项式是几项，所得的商即为几项. (3) 符号：弄清多项式中每一项的符号，相除时不能出现符号错误. (4) 顺序：注意运算顺序. 1．如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 这个单项式是． 故选B． 2．“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境，已知长方形空地的面积为平方米，宽为米，则这块空地的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：， ∴这块空地的长为米， 故选：． 3．计算：． 【答案】2 【详解】解： ． 4．计算． 【答案】 【详解】 ． 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 故选：A． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 4．若，，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴． 故选： A． 5．已知的乘积中不含与的项，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， 且的乘积中不含与的项， ∴， ∴，， 故选：A． 6．观察如图所示的两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（　　） A．， B．，4 C．3， D．3，4 【答案】A 【详解】解：根据题意，知：，， ∴，的值可能分别是，， 故选：A． 二、填空题 7．已知，则的值为 ． 【答案】27 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：27． 8．计算： ． 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 9．若的计算结果中不含的一次项，则的值是 ． 【答案】 【详解】解： ∵计算结果不含x的一次项 ∴ 解得． 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） 12．在计算时，甲错把a看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中x的系数，得到结果：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意可得， ， ， 解得：， ． （2）解：由（1）得， ． 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．计算 (1)如果的乘积中不含的一次项，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)3 (2)108 【详解】（1）解：∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 15．（1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用a，b，c来表示． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【详解】（1）∵， ∴； ． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． 16．如图，数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个多项式． ． (1)求被手掌遮住的多项式； (2)当，时，求被手掌遮住的多项式的值． 【答案】(1)； (2)7． 【详解】（1）解：设被手掌遮住的多项式为A， 则 ， ∴被手掌遮住的多项式为； （2）解：当，时， ， ∴被手掌遮住的多项式的值为7． 一、单选题 1．若，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 二、填空题 3．的展开式中不含项和常数项，则 ； 【答案】 【详解】∵ 中不含项和常数项， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．已知且，则的最小值为 ． 【答案】10 【详解】解：根据题意得， 所以，即． 因为， 所以， 所以． 所以， 所以的最小值为10． 故答案为：10． 三、解答题 5．如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积(结果写成最简形式)． (2)若，，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？ 【答案】(1) (2)17400 【详解】（1）解：题意得： ． 答：绿化面积是平方米； （2）当，时， (平方米)， (元)， 答：完成绿化共需要17400元钱． 6．若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 7．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)27； (2)32； (3)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 整式的乘法 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 同底数幂的乘法 1 题型二 幂的乘方 2 题型三 积的乘方 2 题型四 同底数幂的除法 3 题型五 单项式乘单项式 4 题型六 单项式乘多项式 4 题型七 多项式乘多项式 5 题型八 整式的除法 5 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 同底数幂的乘法 ⭐技巧积累与运用 同底数幂乘法的特点 1.相同：各因式中幂的底数必须相同. 2.不变：相乘时，底数不能发生变化. 3.求和：各因式中幂的指数和作为结果幂的指数. 1．已知，则的值是（   ） A．7 B．12 C．64 D．81 2．电子文件的大小常用B，，，等作为单位，其中，，．某视频文件的大小约为，等于（   ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)． 4．已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型二 幂的乘方 ⭐技巧积累与运用 1. 幂的乘方法则的运用 (1) 幂的乘方法则既可以正用，也可以逆用.逆用为：(m,n都是正整数). (2) 幂的乘方法则的推广：(m,n,p都是正整数). 2. 同底数幂乘法与幂的乘方的比较 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 3．计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 4．计算：． 题型三 积的乘方 ⭐技巧积累与运用 积的乘方与幂的乘方的比较 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．计算 (1)； (2)． 4．已知：，． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型四 同底数幂的除法 ⭐技巧积累与运用 同底数幂除法的特点 1.底数：被除式和除式中的底数相同,且不为0. 2.法则：底数不变,指数相减. 3.逆用：当指数是差的形式时，可考虑法则的逆运用， 即：. 1．已知，求的值是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 2．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．计算 (1) (2) 4．已知，； (1)当时，求a的值； (2)求的值． 题型五 单项式乘单项式 ⭐技巧积累与运用 单项式乘单项式的注意事项 1. 单项式乘单项式的结果仍是单项式. 2. 只在一个单项式里出现的字母，计算时不要漏乘. 3. 单项式乘单项式的法则对于三个及三个以上的单项式相乘仍适用. 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 3．计算： 4．计算： (1)； (2)． 题型六 单项式乘多项式 ⭐技巧积累与运用 单项式乘多项式法则的“解读” 1. 符号：多项式的每一项都包含它前面的符号. 2. 漏乘：单项式必须和多项式的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项，特别是常数项. 3. 顺序：对于含有乘方、乘法、加减法的混合运算，还要注意运算顺序，运算中如有同类项，要先合并同类项. 4. 结果：积的结果是多项式，在合并同类项之前，积的项数与所乘多项式的项数相同 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（    ） A． B． C． D．1 3．若的展开式中不含项，求a的值． 题型七 多项式乘多项式 ⭐技巧积累与运用 多项式乘多项式法则的“解读” (1) 项数：多项式乘多项式的结果合并前的项数为两个多项式的项数之积,要防止漏项. (2) 符号：多项式乘多项式的积项数较多，一定要注意符号，多项式的每一项都包括它前面的符号. (3) 结果：多项式乘多项式的结果仍是多项式，一定要合并同类项 1．在展开多项式中，常数项为，则a等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若可以因式分解为，那么的值为（    ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 3．先化简再求值：，其中，． 题型八 整式的除法 ⭐技巧积累与运用 1. 单项式除以单项式的要点 (1) 要分清被除式与除式的系数. (2) 要找准两式含有的相同字母. (3) 要观察是否有只在被除式中存在的字母. 2. 多项式除以单项式法则的“解读” (1) 实质：多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. (2) 项数：多项式是几项，所得的商即为几项. (3) 符号：弄清多项式中每一项的符号，相除时不能出现符号错误. (4) 顺序：注意运算顺序. 1．如果一个单项式与的积为，则这个单项式为（    ） A． B． C． D． 2．“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境，已知长方形空地的面积为平方米，宽为米，则这块空地的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．计算：． 4．计算． 一、单选题 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．若，，则（   ） A．10 B．3 C．7 D．12 5．已知的乘积中不含与的项，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 6．观察如图所示的两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是（　　） A．， B．，4 C．3， D．3，4 二、填空题 7．已知，则的值为 ． 8．计算： ． 9．若的计算结果中不含的一次项，则的值是 ． 10．计算： ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．在计算时，甲错把a看成了，得到结果是：；乙由于漏抄了第一个多项式中x的系数，得到结果：． (1)求出a，b的值； (2)在（1）的条件下，计算的结果． 13．计算： (1) (2) 14．计算 (1)如果的乘积中不含的一次项，求的值； (2)已知，，求的值． 15．（1）已知，试用含m，n的代数式表示； （2）已知，试用含m，n的代数式表示； （3）已知，试将用a，b，c来表示． 16．如图，数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌遮住了一个多项式． ． (1)求被手掌遮住的多项式； (2)当，时，求被手掌遮住的多项式的值． 一、单选题 1．若，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 二、填空题 3．的展开式中不含项和常数项，则 ； 4．已知且，则的最小值为 ． 三、解答题 5．如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积(结果写成最简形式)． (2)若，，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？ 6．若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 7．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$