专题05 轴对称-【寒假分层作业】2025年八年级数学寒假培优练（人教版）

专题05 轴对称 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 轴对称图形的识别 1 题型二 与折叠有关的计算 2 题型三 线段垂直平分线的性质和判定 3 题型四 作对称轴 4 题型五 求对称点坐标的方法 5 题型六 图形变换综合应用 6 题型七 等腰三角形的性质和判定 7 题型八 等边三角形的性质和判定 8 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 轴对称图形的识别 ⭐技巧积累与运用 轴对称图形是对一个图形来说的，是一种具有特殊性质的图形，一个图形是轴对称图形必须满足两个条件 (1)存在直线(对称轴). (2)沿这条直线对折，直线两旁的部分能互相重合. 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．近年来，中国新能源汽车产业蓬勃发展，呈现出强劲的增长势头，有着广阔的发展前景．众多数据表明，中国新能源汽车在国际市场上的竞争力不断增强．下面的国产新能源汽车的品牌标志中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 4．下列从图形Ⅰ到图形Ⅱ的变换，属于轴对称的是（　　） A． B． C． D． 题型二 与折叠有关的计算 ⭐技巧积累与运用 折叠的性质 (1) 翻折前后的两个图形是全等形，即重合的边相等，重合的角相等. (2) 对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分. (3) 折叠后，直线两旁的部分关于折痕所在的直线成轴对称. 1．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，沿直线折叠，使点C落在边上的点E处，则周长为（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 3．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　）   A． B． C． D． 4．长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为（  ） A． B． C． D． 题型三 线段垂直平分线的性质和判定 ⭐技巧积累与运用 1) 线段垂直平分线的概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2) 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 3) 线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这个线段的垂直平分线上。 4) 线段垂直平分线的性质应用： a. 利用线段的垂直平分线的性质可以证明两线段相等，在证明相等时，只需直线满足垂直和平分线段，即可得到点到两端点的距离相等，不用再证三角形全等然后证明线段相等. b. 判断一条直线是一条线段的垂直平分线，必须在直线上找到两个点，证明这两个点到线段两端点的距离分别相等，此处易出错。 1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 4．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E， 垂足为D，且，连接． (1)求证：． (2)若，求的周长． 题型四 作对称轴 ⭐技巧积累与运用 1. 找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键点都是找出图形中的任意一对对应点. 2. 连：连接这对对应点. 3. 作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是这两个成轴对称的图形或这个轴对称图形的一条对称轴。 1．画出下列轴对称图形的所有的对称轴． 2．如图，和关于某条直线成轴对称，请画出这条直线． 3．已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 4．已知在同一平面内的两条相等线段，通过一次或两次轴对称变化就可以重合．如图方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C，D都在格点上，请请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，写出所作图形）． (1)如图1，作出对称轴，使得线段通过轴对称变化与线段重合； (2)如图2，作出对称轴，使得线段通过轴对称变化与线段重合（若需两次轴对称的，则要作出第一次轴对称后的对称线段）． 题型五 求对称点坐标的方法 ⭐技巧积累与运用 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律的“简记法”横轴横相等，纵轴纵相等. 2. 已知点(a,b) (1) 关于直线x=m对称的坐标规律：横坐标为2m-a，纵坐标不变. (2) 关于直线y=n对称的坐标规律：横坐标不变，纵坐标为2n-b. 3. 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 (1) 已知一个点的坐标，求其关于坐标轴对称的点的坐标. (2) 已知两个点关于坐标轴的对称关系，求坐标中有关待定字母的值. 1．点关于轴对称的点的坐标是(    ) A． B． C． D． 2．若点与点关于轴对称，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 3．点关于直线的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．点与关于某一直线对称，则对称轴是（    ） A．x轴 B．y轴 C．直线 D．直线 题型六 图形变换综合应用 ⭐技巧积累与运用 在直角坐标系中画关于坐标轴对称的图形的“四字诀” 1.找：在坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标. 2.求：求出其对应点的坐标. 3.描：根据所求坐标，描出对应点. 4.连：连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形. 1．如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．在图中画出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 2．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限且到轴的距离为3，到轴的距离为2． (1)请在图中标出点A、点B、点的位置； (2)将点A、点B、点的横坐标不变，纵坐标分别乘以，得到点，请在图中画出； (3)请在图中画使它与（2）中得到的关于轴对称； (4)若点是线段上的任意一点，则在线段上的对称点的坐标为 ． 题型七 等腰三角形的性质和判定 ⭐技巧积累与运用 1、 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形是等腰三角形。顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。 2、 等腰三角形的性质： (1) 等腰三角形的两个底角相等。 (2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 (3) 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。 3、 等腰三角形的判定： (1) 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 (2) 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 1．已知一等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．3或 6 B．3 C．6 D．9 2．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 4．如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型八 等边三角形的性质和判定 ⭐技巧积累与运用 1、 等边三角形的概念：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，也叫正三角形。 2、 等边三角形的性质： (1) 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 (2) 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”。 (3) 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。 3、 等边三角形的判定： (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形。 (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3) 有一个角是60°的等腰三角性是等边三角形。 1．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在一个池塘两旁分别有一条笔直的小路（，为小路的两个端点）和一棵小树（为小树的位置）．测得，，米，则的长为（   ） A．45米 B．48米 C．50米 D．52米 3．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知等边中，，与相交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列四个企业的标志，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（     ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在中，，是高，，．则 长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．如图，在中，，的垂直平分线l交BC于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若点和点关于轴对称，则点 ． 8．已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 ． 9．如图，若，且，则的度数为 ． 10．如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 三、解答题 11．如图，请作出四边形关于直线a的轴对称图形．（不写作法，但必须保留作图痕迹） 12．已知：如图，是等边一边上的高，延长至E．使．则与有怎样的数量关系，并说明理由． 13．如图，在 中，，平分，于点E， 连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 14．如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 15．如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 16．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； (3)将内一点按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ． 一、单选题 1．在中，将，按如图方式折叠，点B，C均落在边上的点G处，线段，为折痕．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，等边的边长为，动点、分别从、两点出发，沿、方向匀速运动，它们的速度都是厘米/秒，当点到达点时，、两点停止运动，设、两点运动的时间为秒，若为直角三角形时，则的值是（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒 二、填空题 3．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 4．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 三、解答题 5．如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 6．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 7．如图所示，在中，点，在边上，且使，，则点，叫做的一对“等腰点”． (1)如图①所示，当时，求证：为等腰三角形； (2)如图②所示，，是的一对“等腰点”，若，，求的度数； (3)如图③所示，，是的一对“等腰点”，若，求的度数（用含的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 目录 题型一 轴对称图形的识别 1 题型二 与折叠有关的计算 2 题型三 线段垂直平分线的性质和判定 5 题型四 作对称轴 7 题型五 求对称点坐标的方法 9 题型六 图形变换综合应用 10 题型七 等腰三角形的性质和判定 13 题型八 等边三角形的性质和判定 15 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 拓展突破练 题型一 轴对称图形的识别 ⭐技巧积累与运用 轴对称图形是对一个图形来说的，是一种具有特殊性质的图形，一个图形是轴对称图形必须满足两个条件 (1)存在直线(对称轴). (2)沿这条直线对折，直线两旁的部分能互相重合. 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2．近年来，中国新能源汽车产业蓬勃发展，呈现出强劲的增长势头，有着广阔的发展前景．众多数据表明，中国新能源汽车在国际市场上的竞争力不断增强．下面的国产新能源汽车的品牌标志中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：C． 3．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 4．下列从图形Ⅰ到图形Ⅱ的变换，属于轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可得，选项A是平移变换，选项B，D是旋转变换，选项C是轴对称变换． 故选：C． 题型二 与折叠有关的计算 ⭐技巧积累与运用 折叠的性质 (1) 翻折前后的两个图形是全等形，即重合的边相等，重合的角相等. (2) 对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分. (3) 折叠后，直线两旁的部分关于折痕所在的直线成轴对称. 1．如图，将一条两边互相平行的纸带折叠．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 由平行线的性质，得， 由折叠的性质，得，即， ． ， ， ， ， ， ． 故选C． 2．如图，中，沿直线折叠，使点C落在边上的点E处，则周长为（　　） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【详解】解：由折叠可得：， ∴，， ∴周长． 故选：B． 3．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， 故选：B． 4．长方形纸片按如图所示方式折叠，使得，其中，为折痕，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠可得，， ， ， ， 故选：B． 题型三 线段垂直平分线的性质和判定 ⭐技巧积累与运用 1) 线段垂直平分线的概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 2) 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 3) 线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这个线段的垂直平分线上。 4) 线段垂直平分线的性质应用： a. 利用线段的垂直平分线的性质可以证明两线段相等，在证明相等时，只需直线满足垂直和平分线段，即可得到点到两端点的距离相等，不用再证三角形全等然后证明线段相等. b. 判断一条直线是一条线段的垂直平分线，必须在直线上找到两个点，证明这两个点到线段两端点的距离分别相等，此处易出错。 1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 2．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图，在中，是的垂直平分线，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【详解】解：如图：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 4．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E， 垂足为D，且，连接． (1)求证：． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【详解】（1）证明：∵，且， ∴垂直平分， ∴， 垂直平分， ， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 题型四 作对称轴 ⭐技巧积累与运用 1. 找：无论是作成轴对称的两个图形的对称轴，还是作轴对称图形的对称轴，其关键点都是找出图形中的任意一对对应点. 2. 连：连接这对对应点. 3. 作：作所连线段的垂直平分线，该垂直平分线就是这两个成轴对称的图形或这个轴对称图形的一条对称轴。 1．画出下列轴对称图形的所有的对称轴． 【答案】见解析 【详解】解：如图： 2．如图，和关于某条直线成轴对称，请画出这条直线． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，直线即为对称轴． 3．已知四边形，如果点D、C关于直线对称 (1)画出直线 (2)画出与四边形关于直线成轴对称的四边形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：画出线段的垂直平分线如下： （2）解：所画的轴对称图形如下： 4．已知在同一平面内的两条相等线段，通过一次或两次轴对称变化就可以重合．如图方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C，D都在格点上，请请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法，写出所作图形）． (1)如图1，作出对称轴，使得线段通过轴对称变化与线段重合； (2)如图2，作出对称轴，使得线段通过轴对称变化与线段重合（若需两次轴对称的，则要作出第一次轴对称后的对称线段）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）解：如图1，对称轴为直线； （2）解：如图2，线段关于直线的对称图形为线段，线段关于直线的对称图形为． 题型五 求对称点坐标的方法 ⭐技巧积累与运用 1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律的“简记法”横轴横相等，纵轴纵相等. 2. 已知点(a,b) (1) 关于直线x=m对称的坐标规律：横坐标为2m-a，纵坐标不变. (2) 关于直线y=n对称的坐标规律：横坐标不变，纵坐标为2n-b. 3. 关于坐标轴对称的点的坐标规律的应用 (1) 已知一个点的坐标，求其关于坐标轴对称的点的坐标. (2) 已知两个点关于坐标轴的对称关系，求坐标中有关待定字母的值. 1．点关于轴对称的点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若点关于x轴对称的点是， 故选：C． 2．若点与点关于轴对称，则（   ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故选：A． 3．点关于直线的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点关于直线的对称点的坐标是， ， 解得：， 对称点的坐标是， 故选：B． 4．点与关于某一直线对称，则对称轴是（    ） A．x轴 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵点与，两点纵坐标相等， ∴两点关于过线段中点的直线对称，即关于直线对称． 故选：C． 题型六 图形变换综合应用 ⭐技巧积累与运用 在直角坐标系中画关于坐标轴对称的图形的“四字诀” 1.找：在坐标系中，找出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的坐标. 2.求：求出其对应点的坐标. 3.描：根据所求坐标，描出对应点. 4.连：连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形. 1．如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．在图中画出关于轴对称的（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 【答案】图见解析； 【详解】解：根据题意可知，点，，关于轴的对应点分别为，顺次连接三点，如下图所示即为所求． ． 2．如图，网格中每个小方格的边长为1，的顶点均在格点上． (1)与关于直线l对称，请画出； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)18 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限且到轴的距离为3，到轴的距离为2． (1)请在图中标出点A、点B、点的位置； (2)将点A、点B、点的横坐标不变，纵坐标分别乘以，得到点，请在图中画出； (3)请在图中画使它与（2）中得到的关于轴对称； (4)若点是线段上的任意一点，则在线段上的对称点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【详解】（1）如图点A、点B、点即为所求． （2）如图即为所求． （3）如图即为所求． （4）∵与关于轴对称 ∴点是线段上的任意一点，则在线段上的对称点的坐标为 故答案为：． 题型七 等腰三角形的性质和判定 ⭐技巧积累与运用 1、 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形是等腰三角形。顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。 2、 等腰三角形的性质： (1) 等腰三角形的两个底角相等。 (2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。 (3) 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴。 3、 等腰三角形的判定： (1) 定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 (2) 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 1．已知一等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的底边长为（    ） A．3或 6 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】解：（1）若3为腰长，6为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若6为腰长，3为底边长 ，能构成三角形， ∴这个等腰三角形的底边长为 故选：B． 2．等腰三角形的一个内角是，则它的底角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当的角是底角时，底角即为； 当的角是顶角时，底角为； ∴它的一个底角的度数是或， 故选：C． 3．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【详解】解：根据题意，得，， ∴，即， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 4．如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【详解】解：分三种情况： ①构造中垂线，、即为所求，如图所示： ②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示： ③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示： 综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个， 故选：B． 题型八 等边三角形的性质和判定 ⭐技巧积累与运用 1、 等边三角形的概念：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形，也叫正三角形。 2、 等边三角形的性质： (1) 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 (2) 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴交于一点，该点称为“中心”。 (3) 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。 3、 等边三角形的判定： (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形。 (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形。 (3) 有一个角是60°的等腰三角性是等边三角形。 1．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 2．如图，在一个池塘两旁分别有一条笔直的小路（，为小路的两个端点）和一棵小树（为小树的位置）．测得，，米，则的长为（   ） A．45米 B．48米 C．50米 D．52米 【答案】D 【详解】解：，， ， 是等边三角形， 米， 故选：． 3．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选： 4．如图，已知等边中，，与相交于点P，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 一、单选题 1．下列四个企业的标志，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为图A不是轴对称图形，所以A不符合题意； 因为图B不是轴对称图形，所以B不符合题意； 因为图C不是轴对称图形，所以C不符合题意； 因为图D是轴对称图形，所以D符合题意． 故选：D． 2．等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】根据题意，①当腰长为时，三边长为：，可以构成三角形，此时周长为：； ②当腰长为时，，可以构成三角形，此时周长为：． ∴周长为:或． 故选：D． 3．如图，在中，，是高，，．则 长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 的长为1． 故选：A 4．如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：当顶角为时，底角的度数为； 当底角为时，两底角的度数和为：，因此这种情况不成立． 故选B． 5．如图，在中，，的垂直平分线l交BC于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由折叠可知，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长是，， ∴，则， 则， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 二、填空题 7．若点和点关于轴对称，则点 ． 【答案】 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 8．已知在中，是边上的高，垂足为点，点在射线上，连接，若，，，则 ． 【答案】或 【详解】解：如图所示，当点在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，当点在线段上时， ∵， ∴． 故答案为：或． 9．如图，若，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：． 10．如图，在等边三角形中，是边上的高，延长至点，使，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的高， ∴， 又∵， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．如图，请作出四边形关于直线a的轴对称图形．（不写作法，但必须保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】解：如图，四边形即为所求． 12．已知：如图，是等边一边上的高，延长至E．使．则与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 又∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 13．如图，在 中，，平分，于点E， 连接，交于点F． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)2.5 【详解】（1）证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ,， 是线段的垂直平分线； （2）解：平分， ， 在中，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 的长为2.5． 14．如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线， ∴． ∵为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形． （2）解：∵垂直平分于点F ∴，点F是的中点 为的平分线． ∴． ． ． ∵为等腰三角形， ∴． ∴． 15．如图，在中，，，是边的中点，以点为直角顶点向上方作等腰直角三角形，边经过点C，与交于点G． (1)求证：是等边三角形； (2)若，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 16．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)作出关于轴对称的，再作出关于轴对称的； (3)将内一点按照（2）中图形的变换规律进行变换后所得点的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【详解】（1）解：由，的坐标分别为，， 可得直角坐标系如图： （2）解：如图，和即为所求作； （3）解：由关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变， 得点关于轴对称的点的坐标为； 由关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 得点关于轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 一、单选题 1．在中，将，按如图方式折叠，点B，C均落在边上的点G处，线段，为折痕．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将，折叠，点B，C均落在边上的点G处，线段，为折痕． ∴根据折叠的性质得：，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 2．如图，等边的边长为，动点、分别从、两点出发，沿、方向匀速运动，它们的速度都是厘米/秒，当点到达点时，、两点停止运动，设、两点运动的时间为秒，若为直角三角形时，则的值是（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】C 【详解】解：分两种情况： ①当时，如图所示： 由题意可得：，， 为等边三角形， ， ， ，即， 解得：； ②当时，如图所示： 由题意可得：，， 为等边三角形， ， ， ，即 解得：， 综上，的值是秒或秒． 故选：C． 二、填空题 3．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【答案】 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 4．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 【答案】/60度 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【详解】（1）解：由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）解：由折叠，得， ． 6．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)； (2)见解析． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， ； （2）证明：的垂直平分线交于，交于， ，， ， ， 在中，，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形． 7．如图所示，在中，点，在边上，且使，，则点，叫做的一对“等腰点”． (1)如图①所示，当时，求证：为等腰三角形； (2)如图②所示，，是的一对“等腰点”，若，，求的度数； (3)如图③所示，，是的一对“等腰点”，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴ ∵、是等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：∵、是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴． 由题意，得， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$