精品解析：黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

德强高中2024-2025学年度上学期12月月考 高一学年数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ） A. 有且只有一个实数，使得成立 B. 有些实数，使得成立 C. 不存在实数，使得成立 D. 有无数个实数，使得成立 2. 已知角，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客得到的黄金实际克数是t，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的不等式的解集为，则函数的图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A B. C. D. 7. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 下列四个条件中，能成为“”的充分条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 某日，分针长为6cm的时钟从20：10走到20：35，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为，则（ ） A B. C. D. 11. 函数的定义域为，其图象上任一点满足．则下列命题中正确的是（ ） A. 函数可以是奇函数； B. 函数一定偶函数； C. 函数可能既不是偶函数，也不是奇函数； D. 若函数值域是，则一定是奇函数． 12. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 三、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 13. 的值为_____. 14. 若x，，且，则的最小值为______. 15. 已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是_________. 16. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________． 四、解答题（本大题共6道小题，共70分） 17. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 18. 完成下列两个小题 （1）已知是第三象限角，且，求的值． （2）已知角为第四象限角，且满足，求的值． 19. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （3）对于函数，，若，求实数的取值范围. 20. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 21. 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点. （1）用表示图1中的面积： （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 22. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①； ② （2）已知，为给定正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德强高中2024-2025学年度上学期12月月考 高一学年数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列命题与“，”的表述意义一致的是（ ） A. 有且只有一个实数，使得成立 B. 有些实数，使得成立 C. 不存在实数，使得成立 D. 有无数个实数，使得成立 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 2. 已知角，则角的终边落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的定义直接求解即可. 【详解】因为， 所以角的终边落在第四象限. 故选：D 3. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客得到的黄金实际克数是t，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则， 所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立， 即，所以. 故选：A. 4. 已知关于的不等式的解集为，则函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理求解，即可求解函数的零点，结合开口即可求解. 【详解】由于解集为，故是的两个实数根， 故且，解得， 故为，令，解得， 且开口向下，故B符合， 故选：B 5. 已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇函数的定义计算即可. 【详解】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质进行大小比较. 【详解】∵且，∴， ∵且，∴， ∵且，∴， ∴，，，即且， 又∵， ，∴， 故，故. 故选：D. 7. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论求出的值，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为， 若，则对任意的，， 则当时，，不合乎题意； 若时，当时，，，此时，，不合乎题意； 若，则当时，，，此时，，不合乎题意. 所以，，此时，，则， 当时，，，此时，； 当时，，，此时，. 所以，对任意的，，合乎题意， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8. 已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性求的解析式，再由转化为，设，由在上单调递增求参数的取值范围. 【详解】因为，， 用代替得， 所以，结合， 所以，因为，， 所以， 设， 所以在单调递增，所以或或， 所以或或， 所以. 故选：C. 【点睛】方法点睛：二次函数在给定区间上的单调性问题，一般要讨论抛物线开口方向与区间与对称轴的位置关系. 二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 下列四个条件中，能成为“”的充分条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】判断所给选项能否推出，能推出，则充分条件. 【详解】对于A，若，满足，但得不到， 所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，若，则，则，即， 所以是的充分条件，故B正确； 对于C，若，满足，但得不到， 所以不是的充分条件，故C错误； 对于D，若，则，则， 所以是的充分条件，故D正确. 故选：BD. 10. 某日，分针长为6cm的时钟从20：10走到20：35，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为，则（ ） A B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据任意角定义可得弧度的大小，再由弧长公式计算可得弧长. 【详解】因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，可得， 由分针长为可得，弧长. 故选：AC. 11. 函数定义域为，其图象上任一点满足．则下列命题中正确的是（ ） A. 函数可以是奇函数； B. 函数一定是偶函数； C. 函数可能既不是偶函数，也不是奇函数； D. 若函数值域是，则一定是奇函数． 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合的奇偶性、值域等知识确定正确答案. 【详解】由的定义域是，得当时，， 当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 作出的图象如图， 函数为该图象的一部分，且只需保证直线与的图象有且仅有一个交点即可，所以A正确； 例如,为非奇非偶函数，所以B错误，C正确; 若函数值域是，则一定是奇函数，D正确. 故选：ACD 12. 已知函数，若函数有四个零点，从小到大依次为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为4 C. D. 方程最多有10个不同的实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意结合图象分析可知，且可判断A；根据对数函数性质结合基本不等式可判断B；根据指数函数性质结合基本不等式可判断C；设，则方程化为，讨论的取值范围，结合图象分析可判断D. 【详解】令，则， 可知函数的零点即为函数与图象的交点的横坐标， 如图，作出函数的图象， 则， 对于A，由函数有四个零点知，函数与的图象有四个交点， 所以，故A正确； 对于B，因为，即， 且，则， 可得， 即，整理得， 即，解得， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 且，则，， 可得， 整理得， 即，所以， 当且仅当时等号成立，因为，所以，故C正确； 对于D，方程，即， 令，则，注意到， ①若，则方程无实根，即方程无实根， 故方程无实根； ②若，则方程有个不相等的实根和， 且有个不相等的实根； 有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ③若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根； 有个不相等的实根； 或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ④若， 则方程有个不相等的实根， 且无实根；或或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； ⑤若，则方程有个不相等的实根， 且无实根；或均有个不相等的实根； 故方程有个不相等的实根； 综上所述：方程最多有个不同的实根，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法： （1）转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解； （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解. 三、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 13. 的值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】由指数和对数的运算计算即可. 【详解】原式. 故答案为：5. 14. 若x，，且，则的最小值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】由且可得， 所以， 当且仅当即时取等号， 故答案为：9. 15. 已知满足对于任意不相等的实数、都有成立，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数、对数函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】不妨取，由可得，所以，函数在上为减函数， 且，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 16. 如图，已知是函数图象上的两点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形（其中为直角顶点），则点的横坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设 因为 ，所以 ，因为是等腰直角三角形，所以可得 ，又因为在函数图象上，所以 ，解得 点A的横坐标为 ，故答案为. 四、解答题（本大题共6道小题，共70分） 17. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）先考虑当时，求出实数的取值范围，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围，再利用补集思想可得出当时实数的取值范围. 【小问1详解】 由可知，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是． 【小问2详解】 考虑当时，实数的取值范围，则， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，解得， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 18. 完成下列两个小题 （1）已知是第三象限角，且，求的值． （2）已知角为第四象限角，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，取点，则，结合三角函数的定义即可求解； （2）由题意可得，进而，结合和即可求解. 【小问1详解】 是第三象限角，且， 取点，则， ，； 【小问2详解】 ，， ， 是第四象限角，，， ，. 19. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （3）对于函数，，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）为奇函数 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）定义法判断函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用函数单调性解不等式. 【小问1详解】 函数，定义域为R， ， 所以在R上为奇函数； 【小问2详解】 任取，且， 则 ， 因为，则， 所以，即， 故在区间上单调递减； 【小问3详解】 由（2）可得在区间上单调递减， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 20. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若的最小值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值； （3）问题化为有解，求右侧最小值，即可得范围. 【小问1详解】 由题设，而， 所以. 【小问2详解】 令，则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时无最值，不满足； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得（正值舍）. 【小问3详解】 由题意有解，即有解， 对于，当且仅当时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷， 故只需，即. 21. 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点. （1）用表示图1中的面积： （2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章的六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用. 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，可推得，再在中，由勾股定理得，解得解得解得，，再结合面积公式，即可求解． （2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【小问1详解】 因为，所以， 又因为较长边，所以，即. 设，则 因为，， 所以，所以， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以， 所以的面积（单位：） 【小问2详解】 设一枚徽章的镀金费用为元，则 , 由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立， , 所以当时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为元. 22. 函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. （1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由. ①； ②. （2）已知，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用含字母的式子表示） 【答案】（1）①具有性质，理由见解析；②不具有性质，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据性质的定义对函数与函数进行判断，从而确定正确答案. （2）性质的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求解的取值范围. 【小问1详解】 ①对任意，， 所以具有性质. ②对任意，得， 取，则，所以不具有性质. 【小问2详解】 由于，函数的定义域为， . 若函数具有性质，则对于任意实数， 有， 即，即. 由于函数在上递增，得， 即. 当时，得，对任意实数恒成立； 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以解得. 当时，易得，由，得， 得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以解得. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）的关键是对于性质的定义的理解和应用； （2）的关键是通过性质的定义列不等式，然后对参数分类讨论求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$