第12讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(思维导图+知识梳理+10类核心考点+过关测)-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第12讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过本节内容的学习，逐步改变学生只习惯于在一个平面内考虑问题的状态学生将对立体几何的认识日渐提高，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等核心素养； 知识点 1平面的概念与画法 （1）平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的. 平面是绝对平的；平面是无限延展的，不可度量；平面没有厚度. （2）平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2). （3）平面的表示 平面通常用希腊字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面、平面等. 知识点2点、直线、平面之间的位置关系（是点，、是直线，、是平面） 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 直线在平面内 直线在平面外 平面,相交于 知识点3平面的基本性质 （1）基本事实1 ①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②图形语言： ③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面. ④说明：对于基本事实1中的“有且只有一个”，这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”.否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现. （2）基本事实2 ①如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； ②符号语言和图形语言 符号语言：，，且， ③应用：判断直线或点是否在平面内的依据. ④说明： 基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的 “无限延展”. 如图,由基本事实胜于雄辩,给定不共线的三点,它们可以确定一个平面;连 接,,,由基本事实2.这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内,所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面.组成“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”. （3）基本事实3 ①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②符号语言和图形语言 ，且 ③应用：判断两平面是否相交及确定交线的依据；证明三点共线；证明三线共点；作两平面的交线. ④说明：基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”. 知识点4基本事实1和基本事实2的三个推论 （1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点5 异面直线 （1）异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）异面直线的画法 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托 （3）异面直线的判定 ①定义法 ②两直线既不平行也不相交 知识点6 空间中直线与直线的位置关系 知识点7空间中直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 图形表示 （2）直线与平面的位置关系的分类 ①按公共点个数分类： ②按直线是否在平面内分类： （3）直线与平面的位置关系的画法 ①直线在平面内的画法 把直线画在表示平面的平行四边形内 ②直线与平面相交的画法 把直线的一部分画在表示平面的平行四边形外，作出有且只有一个的交点，直线被平面遮挡的部分不画或画为虚线 ③直线与平面平行的画法 把直线画在表示平面的平行四边形外，并使直线与表示平面的平行四边形的组对边平行. 知识点8空间中平面与平面的位置关系 （1）平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 图形表示 （2）平面与平面的位置关系的分类 （3）平面与平面的位置关系的画法 ①两个平面平行的画法 当两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行 ②两个平面相交的画法： 被遮住的线，可以用虚线表示，也可以不画 考点一：文字语言，符号语言，图形语言相互转化 例1．（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【答案】(1) (2) (3)平面 (4)平面 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】先判断位置关系，再根据符号语言表示即可. 【详解】（1）点在直线上，所以 ； （2）点不在直线上，所以 ； （3）点在平面内，所以平面； （4）点不在平面内，所以平面. 【变式1-1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，观察长方体中的点、线、面，用适当的符号或字母填空：    （1）点B 直线BC； （2）点A 直线BC； （3）点D 平面ABCD； （4）点 平面ABCD； （5）直线直线 ； （6）直线平面 ； （7）直线 平面． 【答案】 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】略 【详解】略 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）用符号语言改写下列语句： (1)点A在平面内，点B不在直线l上； (2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M； (3)直线a和b相交于一点M． 【答案】(1)，； (2)，，； (3). 【知识点】平面的概念及其表示 【分析】（1）（2）（3）根据点、线、面的位置描述，应用数学语言表示出点、线、面的从属或包含关系，注意点属于或不属于线、面，而线包含于或不包含于面. 【详解】（1）由点A在平面内，即； 由点B不在直线l上，即. （2）由直线l在平面内，即； 由直线m与平面有且只有一个公共点M，即且. （3）由直线a和b相交于一点M，即. 【变式1-3】（24-25高一·全国·课后作业）将下列符号语言转化为图形语言： (1)A∉α， a⊂α. (2)α∩β＝a， P∉α且P∉β. (3)aα， a∩α＝A (4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【知识点】平面的基本性质及辨析、由平面的基本性质作截面图形、空间位置关系的画法 【分析】根据点线、点面、线面、面面的位置关系画出图形即可. 【详解】（1）如图(1)所示． （2）如图(2)所示． （3）如图(3)所示． （4）如图(4)所示． 考点二：平面性质基本事实及推论的应用 例2.（多选）（2024高一下·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．空间中两条直线能确定一个平面 C．共点的三条直线确定一个平面 D．三角形和梯形都可以表示一个平面 【答案】ABC 【知识点】平面的基本性质及辨析、点（线）确定的平面数量问题 【分析】ABC可举出反例；D选项，根据三角形和梯形是平面图形得到D正确. 【详解】A选项，不共线的三点可以确定一个平面，若三点共线，则不能确定一个平面，故A错误； B选项，只有平行或相交的两条直线才能确定一个平面，当两直线异面时，不能确定一个平面，故B错误； C选项，当三条直线相交于一点时，可以确定三个平面，例如三棱锥的三条侧棱，故C错误； D选项，三角形和梯形是平面图形，可以用来表示平面，故D正确． 故选：ABC 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据确定平面的依据，即可判断选项. 【详解】①三条直线两两相交且不共点，则三条直线可以确定一个平面，故①正确； ②三条直线两两平行，有可能确定三个平面，故②错误； ③三条直线共点，有可能确定三个平面，故③错误； ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交，则三条直线确定一个平面，故④正确. 故选：D 【变式2-2】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】直接由平面的概念逐一分析四个选项得答案． 【详解】A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的； B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的； C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面； D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分． 故选：D. 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．四边形确定一个平面 B．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 C．经过三点确定一个平面 D．经过一条直线和一个点确定一个平面 【答案】B 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【解析】略 考点三：四点共面问题 例3.（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】可得，，所以可得，即可求证. 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 【变式3-1】（23-24高二·全国·随堂练习）如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．    【答案】答案见详解 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】通过中位线定理证明，且，同理可证，且，从而可证为平行四边形，即E，F，G，H四点共面． 【详解】∵E，F，分别为AB，BC的中点， ∴，且， ∵G，H分别为CD，AD的中点， ∴，且， ∴，且， ∴四边形为平行四边形 ∴E，F，G，H四点共面． 【变式3-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，分别是的中点．求证：四点共面．    【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】利用三棱柱的几何性质及三角形中位线即可证明，即可得出结论. 【详解】由分别是的中点可知， 是中边的中位线，所以； 在三棱柱中，， 由平行性质的传递性可得； 所以四点共面． 【变式3-3】（2024高一·全国·专题练习）在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且.求证：E、F、G、H四点共面； 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】利用平行的传递性证明即可. 【详解】连接， 因为H、G分别是AD、CD的中点， 所以， 又， 所以， 所以， 所以E、F、G、H四点共面. 考点四：三点共线 例4.（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 【变式4-1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，则可得答案. 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      【变式4-2】（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.    (1)求证：； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】平行公理、空间中的点共线问题 【分析】（1）由中位线性质和线段成比例即可得证. （2）利用两个平面内的公共点在两个平面的交线上，即可得证. 【详解】（1）、分别是、的中点， ， ，， . （2）因为， ，平面， 所以平面，同理平面. 所以是平面与平面的公共点， 又平面平面， 所以，所以三点共线 【变式4-3】（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上． 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】根据公理3，平面与平面必相交于一条直线，设为直线l，结合平面的性质，即可求解. 【详解】证明：由已知的延长线交平面于点， 根据公理3，平面与平面必相交于一条直线，设为直线l， 因为直线，所以平面， 又因为，所以平面，所以是平面与平面的公共点． 因为平面，所以． 同理可得：且． 所以三点在同一条直线上． 考点五：三线共点 例5.（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、公理的应用 【分析】如图，连接，可证明四点共面，结合基本事实3即可证明. 【详解】连接，    因为为的中点，为的中点，所以且. 又因为且，所以且， 所以四点共面， 设.又平面平面， 所以点为平面与平面的公共点． 又因为平面平面， 所以根据基本事实3,得， 即三线交于一点． 【变式5-1】（23-24高一下·山西大同·期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】（1）推导出，，从而，由此能证明，，，四点共面． （2）推导出，且，从而与必相交，设交点为，由此能证明与的交点在直线上． 【详解】（1）：：：，， ，分别为，的中点，，， ，，，四点共面． （2）、不是、的中点， ，且， 与必相交，设交点为， 平面，平面， 平面，且平面， 平面平面，， 与的交点在直线上． 【变式5-2】（23-24高一下·安徽合肥）在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：    (1)，，，四点共面； (2)直线，，相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题、平行公理 【分析】（1）根据基本事实的推论证明即可； （2）根据基本事实3证明即可. 【详解】（1）    连接，， 在三角形中，，所以， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴，，，，四点共面. （2）∵，为中点， ∴与不平行， ∵平面， ∴与相交， 设， ∵，平面， ∴平面，同理平面， ∵平面平面， ∴， ∴直线，，相交于一点. 【变式5-3】（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）空间四边形中，分别在上，且满足，．    求证：三线共点． 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】由题意可证且，则四边形为梯形，设，可证，得证三线共点． 【详解】，， ，， ，又，，， 四边形为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD ， 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面，， 三线共点． 考点六：空间中两条直线位置关系的判断 例6.（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【答案】B 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据异面直线的定义直接判断. 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 【变式6-1】（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据异面直线的概念判断即可. 【详解】由图形可知，与直线BD不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 【变式6-3】（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 【答案】C 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断． 【详解】∵直线a和b没有公共点， ∴直线a与b不是相交直线． ∴直线a与b可能是相交直线或异面直线． 故选：C． 考点七：直线与平面的位置关系 例7.（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面的概念及其表示、线面关系有关命题的判断 【分析】根据点线、线面的位置关系，应用数学符号表示它们的关系即可，注意点属于或不属于线、面，线包含于或不包含于面. 【详解】由点在直线上，即； 由直线在平面内，即. 所以. 故选：D. 【变式7-1】（23-24高一·全国·课后作业）用符号表示“点在直线上，直线在平面外”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】直接用集合符号表示即可. 【详解】点在直线上，直线在平面外，，． 故选：B． 【变式7-2】（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，在长方体中，直线与长方体的六个面之间的位置关系如何？ 【答案】见解析． 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】根据长方体的性质即可得出直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系. 【详解】在平面内， 与平面，，，都相交， 与平面平行． 【变式7-3】（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，直线A′B与长方体ABCD­-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？ 【答案】答案见解析 【知识点】判断图形中的线面关系 【分析】直接利用线面位置关系的定义判断即可 【详解】解：∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点， ∴直线A′B在平面ABB′A′内. ∵直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B， ∴直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交. ∵直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′， ∴直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交. ∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点， ∴直线A′B与平面DCC′D′平行. 考点八：平面与平面的位置关系 例8.（24-25高二·上海·课堂例题）平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面的位置关系为 ． 【答案】平行或相交 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】分三点分布于平面的同侧和异侧两种情况讨论求解. 【详解】若三点分布于平面的同侧，则α与平行； 若三点分布于平面的两侧，则α与相交． 故α与的位置关系为平行或相交. 故答案为：平行或相交 【变式8-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（    ） A． B． C．或 D．或与相交 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】利用正方体中的面面关系即可求解. 【详解】由可得或与相交， 比如在正方体中， 平面平面，平面平面，则平面平面， 又平面平面，平面平面，但是平面与平面相交， 故选：D 【变式8-2】（23-24高一下·全国·课后作业）如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 【答案】D 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】通过空间想象作图可得答案. 【详解】如图，这两个平面有可能平行或相交. 故选：D    【变式8-3】（23-24高一·全国·课后作业）若平面平面，平面平面，则与的位置关系是 ． 【答案】相交或平行 【知识点】面面关系有关命题的判断 【分析】根据面面之间的位置关系即可得出答案. 【详解】解：若平面平面，平面平面， 则与相交或平行. 故答案为：相交或平行. 考点九：异面直线 例9.（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，与直线异面的直线是 ．（写出一个即可）. 【答案】（或或或，答案不唯一） 【知识点】异面直线的概念及辨析 【分析】根据图形，利用异面直线的定义，即可求解. 【详解】如图，由异面直线的定义知，直线异面的直线是等， 故答案为：（或或或，答案不唯一）. 【变式9-1】（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 【答案】C 【知识点】异面直线的判定 【分析】由异面直线的判定定理判断即可. 【详解】因为平面，平面，， 所以直线与是异面直线. 故选：C 【变式9-2】（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，E、F分别是棱、的中点．则下面直线的位置关系是：    （1）与： ；    （2）与： ； （3）与： ；    （4）与： ； 【答案】 异面 平行 相交 异面 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可求解. 【详解】由于与相交，而,所以与异面， 取中点，连接,由于,而，故， 由于，且，所以四边形为平行四边形，故与相交， 由于相交，而,所以与异面    故答案为：异面，平行，相交，异面 【变式9-3】（24-25高二·上海·课堂例题）四面体中，所有棱所在的直线构成了 对异面直线． 【答案】3 【知识点】异面直线的判定 【分析】作出正四面体，得到异面直线对数即可. 【详解】如图，我们给出四面体， 共有，，这3对异面直线. 故答案为：3 考点十：平面分空间 例10.（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】求出三个不同平面分空间所成的部分数即可得解. 【详解】按照三个平面中平行的个数来分类： （1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成部分； （2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成部分；    （3）三个平面中没有平行的平面： （i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成部分； （ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成部分； （iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成部分，     所以三个不平面将空间分成、、、部分，的最小值与最大值之和为12. 故选：B 【变式10-1】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】根据空间中平面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C 【变式10-2】（2024高一·全国·专题练习）平面α，β，γ不能将空间分成（　　） A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 【答案】A 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】根据三个平面的不同位置关系得出三个平面把空间分成4,6,7,8部分，判断选项得出结果. 【详解】三个平面平行时，将空间分成4个部分； 三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分； 当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分； 当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分； 当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分． 所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分． 故选：A． 【变式10-3】（24-25高二上·四川达州·期中）两个平面把空间最多分成 个部分. 【答案】4 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果. 【详解】空间中两个平面的位置关系是平行或相交， 若两个平面平行，则可将空间分成3部分， 若两个平面相交，可将空间分成4部分， 所以两个平面可以将空间最多分成 4个部分. 故答案为：4． 一、单选题 1．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 2．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】B 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据平面基本事实可得正确的选项. 【详解】自行车的前轮、后轮、排脚与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定一个平面，因此自行车就稳了， 故选：B. 3．（23-24高一下·安徽六安）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、线面关系有关命题的判断 【分析】当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面可判断A；由平面的性质可判断BD；由空间两条直线的位置关系可判断C. 【详解】对于A，当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面，A错误； 对于B，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，B错误； 对于C，三棱锥的三条侧棱所在的直线交于同一点，但这三条直线不共面，C错误； 对于D，若空间四点不共面，则任意三点不共线，否则若其中三点共线，则这四点共面，不合题意，D正确． 故选：D． 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】空间中的点（线）共面问题、异面直线的概念及辨析 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断①②③，根据异面直线的定义可判断④. 【详解】对于①，分别连接， 在长方体中，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以，，则，所以四点共面. 对于②，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得，， 故平面，平面，所以六点共面. 对于③，连接，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以， ， 故，所以四点共面. 对于④，连接，因为平面，平面，且不过点， 所以为异面直线， 所以四点不共面. 故选：A. 6．（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据平面的基本定理求解． 【详解】四点中任意三个点都不共线时，确定的平面的个数最多， 结合三棱锥的结构特征可知，确定个平面. 故选：B． 7．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如果平面平面，直线则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据面面平行及线面平行得出线面位置关系判断. 【详解】因为,直线, 所以或. 故选：B. 8．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】对于A，与相交、平行或异面；对于B，或；对于C，由于直线未必相交，故无法判定与平行；对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分． 【详解】直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面， 对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，且，，由于直线未必相交，所以与不一定平行，故C错误； 对于D，，，三个平面两两垂直时，最多可将空间分割成8个部分，故D正确 故选：D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广东惠州·期中）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题错误的是（   ） A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 【答案】ACD 【知识点】异面直线的概念及辨析、公理的应用 【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C，D可借用图形提供反例． 【详解】设过点的直线为，若与都平行，则平行，与异面矛盾，故A错误； 由于只有唯一的公垂线，而过点与公垂线平行的直线只有一条，故B正确； 对于选项C，D可参考下图的正方体， 设为直线，为直线，若点在点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故C错误； 若在点，则由图中可知直线及均与异面，故选项D错误. 故选：ACD. 10．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在 AB，CD，EF，GH这四条线段中，则线段所在直线是异面直线是 （    ） A．直线EF和直线CD B．直线AB和直线HG C．直线EF和直线HG D．直线AB和直线CD 【答案】BCD 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、异面直线的判定 【分析】将正方体还原，从而得到线段所在直线是否为异面直线. 【详解】还原为正方形，如下： A选项，直线EF和直线CD平行，不是异面直线，A错误； B选项，直线AB和直线HG是异面直线，B正确； C选项，直线EF和直线HG是异面直线，C正确； D选项，直线AB和直线CD是异面直线，D正确. 故选：BCD 三、填空题 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】分别连接对应面对角线，结合正方体的结构特征和直线所成角的定义，即可求解. 【详解】如图所示，连接， 由正方体性质可得、都为等边三角形， 所以， 所以与所成的角为， 又，则与所成的角为， 同理，可得为等边三角形，则与所成的角为， 又， 则与所成的角为， 综上可得，与直线所成角的大小为的面对角线共有条. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·期中）设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【知识点】平行公理 【分析】画出图形，根据中位线定理可得为平行四边形，再根据即可求解. 【详解】如图所示， 因为分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以，且，，且， 所以四边形为平行四边形. 又，，， 所以, 则四边形的形状是矩形. 故答案为：矩形. 四、解答题 13．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题、异面直线的判定 【分析】（1）利用三角形中位线性质，结合平行公理即可求证． （2）利用反证法来证明． 【详解】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且，所以且， 所以四边形为平行四边形． （2）证明：（反证法）假设和不是异面直线，则和平行或相交， 所以和可以确定一个平面，所以，，，， 这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线． 14．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    【答案】答案见解析 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面即可求解. 【详解】如图，    连接MP并延长交DC的延长线于E，连接NE交BC于G，连接PG，延长PM交的延长线于F，连接NF交于H，连接MH， 则五边形MHNGP为过M、N，P三点的平面截正方体所得的截面． 15．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 【答案】(1)相交； (2)异面； 【知识点】异面直线的概念及辨析、判断图形中的线面关系 【分析】（1）由线面关系的定义可得答案； （2）根据异面直线的判定定理可得结论. 【详解】（1）因为面，所以面，又面， 所以直线与平面的位置关系是相交； （2）由（1）得直线与平面的位置关系是相交，面， 又面，，面， 所以直线与直线的位置关系是异面； 16．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； 【答案】证明见解析 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】连接，，利用条件证明即可. 【详解】连接，，因为、分别是、的中点， 所以， 又、分别是、上的点，且，， ，， 、、、四点共面. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．通过本节内容的学习，逐步改变学生只习惯于在一个平面内考虑问题的状态学生将对立体几何的认识日渐提高，同时更好地提升学生直观想象和逻辑推理等核心素养； 知识点 1平面的概念与画法 （1）平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的. 平面是绝对平的；平面是无限延展的，不可度量；平面没有厚度. （2）平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2). （3）平面的表示 平面通常用希腊字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面、平面等. 知识点2点、直线、平面之间的位置关系（是点，、是直线，、是平面） 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外 直线在平面内 直线在平面外 平面,相交于 知识点3平面的基本性质 （1）基本事实1 ①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； ②图形语言： ③应用：确定平面的依据；判断两个平面是否重合；证明点线共面. ④说明：对于基本事实1中的“有且只有一个”，这里的“有”是说图形存在,“只有一个”是说图形唯一,本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”.否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现. （2）基本事实2 ①如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； ②符号语言和图形语言 符号语言：，，且， ③应用：判断直线或点是否在平面内的依据. ④说明： 基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用直线的“无限延伸”刻画平面的 “无限延展”. 如图,由基本事实胜于雄辩,给定不共线的三点,它们可以确定一个平面;连 接,,,由基本事实2.这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内,所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面.组成“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”. （3）基本事实3 ①如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ②符号语言和图形语言 ，且 ③应用：判断两平面是否相交及确定交线的依据；证明三点共线；证明三线共点；作两平面的交线. ④说明：基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线.两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”. 知识点4基本事实1和基本事实2的三个推论 （1）推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 （2）推论2:经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）推论3:经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点5 异面直线 （1）异面直线的概念 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）异面直线的画法 画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托 （3）异面直线的判定 ①定义法 ②两直线既不平行也不相交 知识点6 空间中直线与直线的位置关系 知识点7空间中直线与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点 符合表示 图形表示 （2）直线与平面的位置关系的分类 ①按公共点个数分类： ②按直线是否在平面内分类： （3）直线与平面的位置关系的画法 ①直线在平面内的画法 把直线画在表示平面的平行四边形内 ②直线与平面相交的画法 把直线的一部分画在表示平面的平行四边形外，作出有且只有一个的交点，直线被平面遮挡的部分不画或画为虚线 ③直线与平面平行的画法 把直线画在表示平面的平行四边形外，并使直线与表示平面的平行四边形的组对边平行. 知识点8空间中平面与平面的位置关系 （1）平面与平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 图形表示 （2）平面与平面的位置关系的分类 （3）平面与平面的位置关系的画法 ①两个平面平行的画法 当两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行 ②两个平面相交的画法： 被遮住的线，可以用虚线表示，也可以不画 考点一：文字语言，符号语言，图形语言相互转化 例1．（2024高一下·全国·专题练习）根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系. (1)点与直线； (2)点与直线； (3)点与平面； (4)点与平面； 【变式1-1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，观察长方体中的点、线、面，用适当的符号或字母填空：    （1）点B 直线BC； （2）点A 直线BC； （3）点D 平面ABCD； （4）点 平面ABCD； （5）直线直线 ； （6）直线平面 ； （7）直线 平面． 【变式1-2】（24-25高二·全国·课后作业）用符号语言改写下列语句： (1)点A在平面内，点B不在直线l上； (2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M； (3)直线a和b相交于一点M． 【变式1-3】（24-25高一·全国·课后作业）将下列符号语言转化为图形语言： (1)A∉α， a⊂α. (2)α∩β＝a， P∉α且P∉β. (3)aα， a∩α＝A (4)α∩β＝a， α∩γ＝c， β∩γ＝b， a∩b∩c＝O. 考点二：平面性质基本事实及推论的应用 例2.（多选）（2024高一下·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．空间中两条直线能确定一个平面 C．共点的三条直线确定一个平面 D．三角形和梯形都可以表示一个平面 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，哪些是使三条直线确定一个平面的充分条件（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式2-2】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是一个平面 B．任何一个平面图形都是一个平面 C．平静的太平洋面就是一个平面 D．一个平面可以将空间分成两部分 【变式2-3】（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．四边形确定一个平面 B．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 C．经过三点确定一个平面 D．经过一条直线和一个点确定一个平面 考点三：四点共面问题 例3.（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【变式3-1】（23-24高二·全国·随堂练习）如图，已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱长AB，BC，CD，AD的中点，求证：E，F，G，H四点共面．    【变式3-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，分别是的中点．求证：四点共面．    【变式3-3】（2024高一·全国·专题练习）在四面体ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E、F分别是AB、BC边上的点，且.求证：E、F、G、H四点共面； 考点四：三点共线 例4.（23-24高一下·全国·课后作业）如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【变式4-1】（23-24高二·上海·课堂例题）如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【变式4-2】（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.    (1)求证：； (2)设与交于点，求证：三点共线. 【变式4-3】（23-24高一·全国·课后作业）如图，已知的三个顶点都不在平面内，它的三边延长后分别交平面于点,求证：三点在同一条直线上． 考点五：三线共点 例5.（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为的中点．求证：三线交于一点．    【变式5-1】（23-24高一下·山西大同·期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：    (1)，，，四点共面； (2)与的交点在直线上． 【变式5-2】（23-24高一下·安徽合肥）在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：    (1)，，，四点共面； (2)直线，，相交于一点． 【变式5-3】（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）空间四边形中，分别在上，且满足，．    求证：三线共点． 考点六：空间中两条直线位置关系的判断 例6.（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【变式6-1】（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【变式6-3】（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　） A．共面 B．平行 C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线 考点七：直线与平面的位置关系 例7.（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）如果点 在直线上，而直线又在平面内，那么可以记作（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一·全国·课后作业）用符号表示“点在直线上，直线在平面外”，正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，在长方体中，直线与长方体的六个面之间的位置关系如何？ 【变式7-3】（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，直线A′B与长方体ABCD­-A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？ 考点八：平面与平面的位置关系 例8.（24-25高二·上海·课堂例题）平面α上有三个不共线的点到平面β的距离相等，则平面的位置关系为 ． 【变式8-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（    ） A． B． C．或 D．或与相交 【变式8-2】（23-24高一下·全国·课后作业）如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 【变式8-3】（23-24高一·全国·课后作业）若平面平面，平面平面，则与的位置关系是 ． 考点九：异面直线 例9.（24-25高二上·上海·期中）在正方体中，与直线异面的直线是 ．（写出一个即可）. 【变式9-1】（23-24高一下·北京·期中）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都不是 【变式9-2】（24-25高二·上海·课堂例题）在正方体中，E、F分别是棱、的中点．则下面直线的位置关系是：    （1）与： ；    （2）与： ； （3）与： ；    （4）与： ； 【变式9-3】（24-25高二·上海·课堂例题）四面体中，所有棱所在的直线构成了 对异面直线． 考点十：平面分空间 例10.（2024·四川内江·三模）三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则的最小值与最大值之和为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式10-1】（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【变式10-2】（2024高一·全国·专题练习）平面α，β，γ不能将空间分成（　　） A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 【变式10-3】（24-25高二上·四川达州·期中）两个平面把空间最多分成 个部分. 一、单选题 1．（24-25高三上·河北承德·期中）如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海崇明·期中）当我们停放自行车时，只要将自行车的排脚放下，自行车就稳了，这用到了（   ） A．三点确定一个平面 B．不在同一直线上的三点确定一个平面 C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 3．（23-24高一下·安徽六安）空间中四点可确定的平面有（    ） A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 4．（24-25高一下·全国·课后作业）下列四个命题为真命题的是（    ） A．过空间中任意三点有且仅有一个平面 B．两两相交的三条直线必在同一平面内 C．相交于同一点的三条直线在同一平面内 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 6．（24-25高二上·山东东营·开学考试）不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 7．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如果平面平面，直线则（    ） A． B．或 C． D．或 8．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知直线是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成8个部分 二、多选题 9．（23-24高一下·广东惠州·期中）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题错误的是（   ） A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 10．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在 AB，CD，EF，GH这四条线段中，则线段所在直线是异面直线是 （    ） A．直线EF和直线CD B．直线AB和直线HG C．直线EF和直线HG D．直线AB和直线CD 三、填空题 11．（24-25高二上·上海·阶段练习）在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条 12．（24-25高二上·上海·期中）设分别是空间四边形的边，，，的中点，若，则四边形的形状是 . 四、解答题 13．（23-24高二上·上海·阶段练习）如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 14．（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，正方体的棱长为a，M、N分别是、AD的中点，P在上且满足，过M、N、P三点作正方体的截面．    15．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，是所在平面外的一点，，分别是，的中点． (1)判断直线与平面的位置关系． (2)判断直线与直线的位置关系． 16．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，在空间四面体中，、分别是、的中点，、分别是、上的点，且，.求证：、、、四点共面； ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$