8.1 平方根（第3课时 算术平方根的估算）（教学设计）-【上好课】七年级数学下册同步高效课堂（人教版2024）

8.1 平方根（第3课时 算术平方根的估算）教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第八章 实数 8.1平方根，内容包括：第3课时 算术平方根的估算. 2.内容解析 本节课是在前面学习了乘方运算的基础上安排的，并以算术平方根为前提，是学习实数的准备知识，为学习二次根式做出了铺垫，提供了知识积累. 新课标中提出，义务教育阶段的数学课程，要从数学本身的特点出发，从学生学习数学的心理规律和学生已有的知识经验出发，让学生经历一个实践、思考、探索、交流、解释、应用的学习过程，本节课就在这个思想的指导下设计的.教材通过问题情境的设置唤醒学生探究交流的激情，让学生在计算、探索、交流的过程中感悟算术平方根的意义，同时让学生在学习知识技能的同时，注意数学思想方法和良好学习习惯的养成，使学生体验数学的“实践第一”和数学来源于实践，又服务于实践的思想. 然后实际问题引出疑问究竟有多大？通过上节课所获得的结论：一个非负数越大其算术平方根也大，让学生通过夹逼法不断推算出的近似值 基于以上分析，本节课的教学重点是: 会用夹逼法估算非负数算术平方根的大小，非负数算术平方根的整数部分以及非负数算术平方根的小数部分. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）会用夹逼法估算非负数算术平方根的大小，非负数算术平方根的整数部分以及非负数算术平方根的小数部分； （2）会用估值法比较两个数的大小； （3）了解用计算器计算算术平方根的大小，掌握被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动规律，并能利用规律解题. 2.目标解析 （1）教材实际问题引入，利于激发学生的学习兴趣，具体情景之中知识生成水到渠成.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣. （2）学生能根据估值法或者计算器计算比较两个数的大小，掌握估算方法，形成估算意识. （3）了解用计算器计算算术平方根的大小，掌握被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动规律，并能利用规律解题. 三、教学问题诊断分析 在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数和如何求一个非负数的平方根和算术平方根，但对于夹逼法第一次接触，学生会觉得陌生，应给予足够时间让学生理解.学生会用计算器计算非负数的平方根的近似值，但是学生通过观察被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动得出规律有一定难度，应明确将表格中的被开方数分成两类，利于学生总结规律. 基于以上分析，本节课的教学难点为: 了解用计算器计算算术平方根的大小，掌握被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动规律，并能利用规律解题. 四、教学过程设计 （一）情景引入 问：能否用两个面积为1 的小正方形拼成一个面积为2 的大正方形？你知道这个大正方形的边长是多少吗？ 解：设大正方形的边长为， ∵ ∴ 答：大正方形的边长是. 【设计意图】利用实际问题引入，激发学生学习兴趣，并让学生感受数学来源于生活，服务于生活. （二）新知讲解 猜一猜：到底多大？ ∵ ， ∴ ; ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ …… 事实上，继续重复上述的过程，可以得到 无限不循环小数:小数位数无限,且小数部分不循环的小数 1.估算的值在（ D ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 解析：因为,所以. 故选D. 点拨：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个整数的平方之间 2.估计的值应在（ B ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 3.估计的值应在（ B ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 4.若,且是正整数，则=___3___ 5.已知为整数，且满足,则的值可能是__或_____ 【设计意图】通过实际例子讲解让学生深刻理解夹逼法，1.2.3对比学习利于学生掌握用夹逼法估算非负数的算术平方根.，4，5变式练习巩固学生对夹逼法的理解,图片展示让学生直观感受无理数的无限不循环. （三）典例讲解 例1：已知的整数部分是，小数部分是,求的值 解：∵ ∴的整数部分是， 小数部分是 ∴ 【设计意图】通过此题让学生熟悉掌握利用夹逼法学会计算一个非负数的算术平方根的整数部分和小数部分. （四）变式训练 1.设的整数部分和小数部分分别是x，y，求的平方根． 解：∵， ∴ . ∴ . ∴ ∴ ∴ 的平方根为 2.已知的算术平方根是，的平方根是, 是的整数,求的算术平方根 解：∵的算术平方根是, 的平方根是, ∴ 解得 ∵， ∴ . ∴ 即 ∴ 【设计意图】通过练习让学生熟练地运用夹逼法求一个非负数的整数部分和小数部分，并考查学生的综合解题能力. （五）典例讲解 例2.比较下列两个数的大小：与1.9； 解：法一(平方法) ∵, ∴ ∴ 法二(估值法) ∵， ∴， ∴. 点拨：比较数的大小，可先估计其算术平方根的近似值 【设计意图】通过此题一题多解发展学生的发散思维，并总结比较大小的两种常用方法：①平方法，②估值法. （六）变式训练 3.通过估算比较下列各组数的大小： (1) 与1.5 (2) 解：(1)∵ ， ∴， ∴. (2)∵ ， ∴， ∴， ∴ ． 4.小丽想用一块面积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽算出她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 解:由题意知正方形纸片的边长为. 设长方形的长为,则宽为 则有解得： ∴长方形的长为 ∵∴∴ ∴小丽不能裁出符合要求的纸片. 【设计意图】通过3题练习让学生熟练掌握估值法比较大小，发展估值的思维，养成估值的意识.通过3题让学生养成数学建模的意识，并明白数学来自于生活，服务于生活，体现新课标所倡导的学有用的数学，在实际的问题中比较两数的大小，让学生知道学有所用，学有所成. （七）新知讲解 用计算器求一个非负数算术平方根 在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数的算术平方根(或其近似数). 1.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是（ B ） A. －2 B. 2 C. D. 4 2.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是（ B ） A. 3 B. －3 C. －1 D. 1 3.用计算器求下列各式的值： (1) ； (2) (精确到 0.001). 解：(1)依次按键 3136 显示：56. ∴ (2)依次按键 7 显示：2.6457513111…… ∴ 点拨：计算器上显示的2.6457513111是的近似值 【设计意图】通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速，精准的功能，激发学习知识的兴趣，同时提高学生的动手能力和借助外力解决问题的能力，也能让学生再次感受到无理数的无限不循环. （八）典例讲解 例3(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗? 规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位, 它的算术平方根的小数点就向右移动 1 位; 被开方数的小数点向左每移动 2 位, 它的算术平方根的小数点就向左移动 1 位. (2)用计算器计算(精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律你能说出下列哪些数的近似值? ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 解：∵由计算器计算可得 ， ∴；； (3)若用计算器得出你能求出剩下各数的近似值吗？ 解：∵由计算器计算可得 ， ∴； 【设计意图】通过计算器得出一个数的算术平方根，并观察探究被开方数小数点的移动位数和其算术平方根的小数点移动位数之间的规律，培养学生观察，猜想，归纳的能力.学生能通过利用观察得出的结论解决问题，培养学生理解知识应用知识的能力. （九）变式训练 5.已知≈4.80， ≈15.17，则的值约为（　B　） A．0.480 B．0.0480 C．0.1517 D．1.5176. 6.已知, , ,则的值的个位数字为( D ) A. B. C. D. 【设计意图】通过变式训练熟练运用结论解题，并深刻理解被开方数和其算术平方根小数点的移动规律和夹逼法，逆用知识解题. （十）拓展探究 1.利用计算器计算 (1)______5_____ (2)______55_____ (3)_____555______ (4)______5555_____ 仔细观察上面几道题的计算结果， 试猜想___________ 【设计意图】通过本题训练学生熟练使用计算器和培养学生观察，猜想归纳的能力. （十一）当堂测试 1.估算的值 (　D　) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 2.估算的值 (　D　) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 3.估算的值 (　A　) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 4.设为正整数,且,则的值为 8 . 5.已知为整数，且满足 ，则的值可能是 。 6.比较下列各组数的大小(选填“”“”或“”) (1)_______1 (2) (3) (4) 7.设的整数部分和小数部分分别是，求出的值． 解：∵，∴. ∴. ∴ 8.如图，在一个由个小正方形(每个小正方形的边长均为)组成的正方形网格中，阴影部分也是正方形． (1)求阴影部分的面积． (2)求阴影部分的周长．(精确到0.01) 解(1) (2)由(1)可知，正方形面积为， ∵正方形边长为， ∴阴影部分的周长为． 9.国际比赛的足球场长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7560，请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由． 解：这个足球场能用作国际比赛．理由如下： 设足球场的宽为，则足球场的长为， 由题意，得. ∴. ∵，∴. 又∵，，∴. ∴1.∴. ∴符合要求．∴这个足球场能用作国际比赛． 【设计意图】针对本节课所学，巩固学生用夹逼法求一个非负数的算术平方根的整数部位和小数部位，用估值法比较两个数的大小，会用获得的知识解决生活中的问题，理解数学来源于生活服务于生活，从而学有用的数学培养学生综合解题的能力. （十一）小结梳理 【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握． （十三）布置作业 必做题P46.练习1，2，3，选做题P47练习10，11题. 五、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$