寒假作业05 全册几何动点问题分类训练（4种类型40道）-【寒假巩固提升】2024-2025学年八年级数学寒假作业（人教版）

寒假作业05 全册几何动点问题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 三角动点探究角的数量关系】 1 【题型2 全等三角动点探究线段的数量关系】 18 【题型3 全等三角动点全等存在性】 39 【题型4 轴对称动点最值问题】 57 【题型1 三角动点探究角的数量关系】 1．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明． 2．在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．如图，点在线段上运动． ①若，，则的度数是______；的度数是______； ②探究与之间的数量关系，并说明理由； 3．如图，在中，，D，E分别是边，上的点，P是一动点．令． (1)如图1，若点P在线段上，且，则 ． (2)如图2，若点P运动到线段的延长线上，则与之间有怎样的数量关系？请猜想并说明理由． (3)如图3，若点P运动到的外部，则与之间的数量关系为 ． 4．如图，在四边形中，，为边上一点，且 ．    (1)求证：平分； (2)如图2，为上一动点（不与点 重合），．求证：； (3)在（2）的条件下，若，过点 作直线 ，作 ，交直线 于点 ，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 5．如图，在中，平分，交于点，动点在射线上（不与点重合），过点作交线段于点（不与点，重合），的平分线所在的直线与射线交于点． (1)如图①，当点在线段上时． ①若，，的度数为______．的度数为______； ②求证：； (2)当点在线段的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出与之间的数量关系． 6．已知点在内，为射线上一点，连接． (1)如图1所示，连接，若． ①线段与有何位置关系？请说明理由； ②过点作交直线于点，求证：； (2)如图2所示，，若为平面内一动点，，请直接写出与的数量关系． 7．在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 8．在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点． (1)如图1，当点P在线段上时， ①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 9．如图，点在的边上，．动点从点出发，在的边上，沿方向运动，在动点的运动过程中，始终有过点的射线． (1)在动点的运动过程中，使得平分，猜想和之间有何数量关系？并请说明理由． (2)当时，判断与的位置关系，并求的度数． 10．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【题型2 全等三角动点探究线段的数量关系】 11．已知：在中，，，D是射线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交的延长线于点F． 特例探究： (1)如图1，当点D为中点时，探究线段与的数量关系；并证明． 类比探究： (2)①如图2，当点D在线段上（不与C、B重合），请探究线段、与之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并证明）． ②如图3，当点D在线段延长线上，请探究线段、与之间的数量关系（要求：画出图形，直接写出发现的结论，无需证明）． 12．在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． (1)如图1，当点在上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 13．如图1，E、F分别为线段上的两个动点，且于E点，于F点，若， ，交于G点． (1)猜想 与， 与的数量关系； (2)当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中猜想的结论是否成立？若成立，给予证明． 14．如图①，在中，为锐角，为射线BC上一动点，连接，以为直角边，A为直角顶点，在右侧作等腰，连接． (1)若，． ①若点D在线段上时（不与点B重合），试探究并说明和的数量关系与位置关系； ②当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请在图②中画出相应的图形； (2)如图③，若，，，点在线段上运动（不与点B重合），试探究并说明与的位置关系． 15．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 16．如图中，，，D是线段上的一个动点，点F在线段上，运动中始终保持，过点B作交的延长线于点E．    (1)若点D与点C重合，如图1，试探究线段和的数量关系，直接写出这个结论． (2)若点D不与B、C重合，如图2，（1）中线段和的数量关系是否依然成立，请说明理由． (3)图2中，若，则的面积为________．（直接写答案） 17．已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 18．如图1，在等腰直角三角形中，，点为边上的一个动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接．    (1)当点在线段上时(不与点重合)，求证： ． (2)当点在线段的延长线上时(如图2)，试猜想线段和的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明． 19．已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，． (1)如图，当点在边上时，试说明： ① ②； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 20．在的平分线上取点，作，垂足为，动点分别在直线，射线上，且．    (1)如图1，当点在线段上时，作． ①求证； ②求的度数； (2)如图2，当点在延长线上时． ①的度数为 ； ②求之间的数量关系； (3)在满足（2）中①的度数不变的条件下，当点在射线上，点在射线上时，直接写出之间的数量关系． 【题型3 全等三角动点全等存在性】 21．如图，在中，高线，，相交于点，，，． (1)证明：； (2)求的长； (3)是射线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 22．综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． (2)当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． (3)在（2）条件下，若，则t的值为__________． (4)若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 24．如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 25．如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向终点运动，同时动点以的速度从点向终点运动，当一个点到达终点停止时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)__________； (2)求证：无论取何值，都有； (3)是否存在的值，使得与全等？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 26．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒． (1)在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 27．如图，在正方形中，．动点、分别在边、上，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动（当点到达点时，点也随之停止运动），连接．问：在边上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．    28．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 29．如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0<t<3）．解答下列问题： （1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由． 30．如图，在中，，，点是边的中点．点是边上的动点，以/秒的速度从点向点运动；点是边上的动点，同时从点向点运动．设运动时间为/秒． （1）如果点运动的速度与点运动的速度相等．求证当运动时间秒时，． （2）如果点运动的速度与点运动的速度不相等，是否存在某一时刻，使与全等？若存在，求出的值，并求此时点运动的速度；若不存在，请说明理由． 【题型4 轴对称动点最值问题】 31．如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 32．如图，四边形，，， E、F分别为、上的动点． (1)如图1，已知：，；则DE的长为 （用a表示） (2)如图2，已知：，；求：当取得最小值时的值（用b表示） (3)如图3，已知：G为上一点，，，、分别为和的角平分线，N为线段上的动点，，垂足为M，，，求：当取最小值时，求的值（用c，d表示） 33．已知等腰， 腰的垂直平分线分别交于点． (1)如图1，若， 求的度数； (2)如图2，若点分别为的中点，，的面积是7.5，点为线段上一动点．求周长的最小值． 34．如图，在等腰三角形中，，点E是底边上不与端点重合的任意一点，连接，以A为顶点、为腰，在右侧作等腰，使．过点A作交于点H，交的延长线于点D． (1)如图1，连接，当，时，求的长度； (2)如图2，连接交于点M，当时，求证：； (3)如图3，连接，当时，在线段上取点G，使得，连接交于点K，点P和点Q分别为线段和线段上的动点，且．若，当取得最小值时，请直接用含的式子表示出的度数． 35．在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，是的角平分线，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点N为直线AC上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为　　　． 36．（1）如图1，等腰中，，和分别是、边上的高，与交于点F，若． ①写出图1中所有的全等三角形_______； ②直接写出的度数为________； （2）如图2，、是的高，，，求证：； （3）如图3，等腰直角，，平分，平分，M、N分别是射线、上动点，若，求的最小值． 37．在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 38．如图1，在平面直角坐标系中，点，，点C为线段上一点，P为上一点，连接，．若，． (1)求证：； (2)求点P的纵坐标． (3)如图2，在（2）的条件下，点M是上一动点，以为边在的右侧作等边，连接．若，则的最小值．（结果用含t的式子表示）． 39．在等腰中，，的垂直平分线分别交，于，两点． (1)如图1，连接，若，的周长为19，直接写出的长； (2)若是的中线． ①如图2，交于点，若，求证：； ②如图3，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边，连接，若，直接写出的最小值． 40．（1）【特例感知】如图1，，，于点，于点．、、三点在同一直线上，，，则 ． （2）【问题探究】如图，在中，，点、是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点，，若，，求的面积． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，点在边上，满足，点在线段上，．点是直线上的一个动点，连接，过点作，且．当点是线段上的一个动点时，连接、，是否存在的最小值？如果存在，请求出的最小值；如果不存在，请说明理由． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假作业05 全册几何动点问题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 三角动点探究角的数量关系】 1 【题型2 全等三角动点探究线段的数量关系】 18 【题型3 全等三角动点全等存在性】 39 【题型4 轴对称动点最值问题】 57 【题型1 三角动点探究角的数量关系】 1．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想与，的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解 ，， ， 平分， ， ， ； （2）解： 如图所示： 平分， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ． 2．在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．如图，点在线段上运动． ①若，，则的度数是______；的度数是______； ②探究与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】①；；②．理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质． ①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答； ②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答． 【详解】解：①， ∴在中，， ∵， ， 平分， ， ， 故答案为：；； ②．理由如下， 是是一个外角， ， ∵， ， ， ， ∵BD平分平分， ，， ， ∵， ， ， ． 3．如图，在中，，D，E分别是边，上的点，P是一动点．令． (1)如图1，若点P在线段上，且，则 ． (2)如图2，若点P运动到线段的延长线上，则与之间有怎样的数量关系？请猜想并说明理由． (3)如图3，若点P运动到的外部，则与之间的数量关系为 ． 【答案】(1) (2)．理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）连接，根据三角形外角的性质得出，即可求解． （2）设交于点，根据三角形外角的性质得出，即可求解． （3）设交于点，根据三角形外角的性质得出，对顶角相等，即可求解． 【详解】（1）解：连接． ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：． 理由如下： 设交于点． ∵， ∴， ∴． （3）解：， 理由如下： 设交于点． ∵，， ∴． 故答案为：． 4．如图，在四边形中，，为边上一点，且 ．    (1)求证：平分； (2)如图2，为上一动点（不与点 重合），．求证：； (3)在（2）的条件下，若，过点 作直线 ，作 ，交直线 于点 ，用等式表示与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或，理由见解析： 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定， 三角形内角和定理，角平分线的定义： （1）由平行线的性质得到， 则可证明，即可证明平分； （2）如图所示，过点E作交于H，则，进而证明，进一步证明，推出，即可证明； （3）如图所示，设直线l与直线 交于H，先由平行线的性质得到，设，则，有三角形内角和定理得到，则，由角平分线的定义得到，则可得，进而求出，，据此可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分；    （2）证明：如图所示，过点E作交于H， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴；    （3）解：或，理由如下： 如图所示，设直线l与直线 交于H， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴，； 综上所述，或．      5．如图，在中，平分，交于点，动点在射线上（不与点重合），过点作交线段于点（不与点，重合），的平分线所在的直线与射线交于点． (1)如图①，当点在线段上时． ①若，，的度数为______．的度数为______； ②求证：； (2)当点在线段的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①，； ②证明见解析 (2)图形见解析， 【分析】（1）①根据角平分线的定义求得的度数，再根据平行线的性质定理可求得和的度数．根据角平分线的定义得到的度数，最近利用三角形外角和定理即可得到的度数． ②根据①中推到可知：，，利用三角形外角和定理得到，再根据三角形内角和性质定理推导即可． （2）根据题意画出图形，根据角平分线的定义与平行线的性质定理可得， ，利用三角形外角和定理可得，再代入根据三角形内角和推导即可． 【详解】（1）① 平分，，， ． ， ． ． 平分， ． ． ②证明： 平分， ． ， ． ． 平分， ． ． （2）点在线段的延长线上时，画图如下： 解：， 如图，点在线段的延长线上． 平分， ． ， ，， ． 平分， ． ． 【点睛】本题通过三角形内角和定理、角平分线的性质以及平行线的性质定理，巧妙的构建角之间的关系．关键在于对定理的灵活运用以及逻辑推理的严密性． 6．已知点在内，为射线上一点，连接． (1)如图1所示，连接，若． ①线段与有何位置关系？请说明理由； ②过点作交直线于点，求证：； (2)如图2所示，，若为平面内一动点，，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①，理由见解析；②见解析； (2)或 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理的运用， （1）①过点作，根据，可得，根据平行线的性质即可求解；②根据，可得，由①可得，由此即可求证； （2）根据题意，分类讨论，①当点在直线的右侧时，如下图，； ②当点在直线的左侧时，如下图，；运用平行线的性质三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：①．理由： 过点作，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：①当点在直线的右侧时，如下图，，理由：    设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当点在直线的左侧时，如下图，，理由： 由（2）①可知：， ∵， ∴． 综上，与的数量关系为：或． 7．在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角的性质等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）连接，证明即可得到答案； （2）利用三角形外角的性质求解即可； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：设与交于F， ∵，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴ ， ∴； （4）解：． 如图， ∵，，， ∴． 8．在中，，、分别是边、上的点，点平面内是一动点． (1)如图1，当点P在线段上时， ①若， __________度； ②试写出、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在边的延长线上时，连接交于点，探索、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点在到形外部时，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①140；②，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质． （1）①利用四边形内角和定理及平角的定义即可得求解；②利用①中结论即可求解． （2）利用三角形的外角的性质求解即可． （3）利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ，， ． 故答案为：140． ②，理由如下： 由①可知，， ， ． （2）解：，理由如下： ，， ． （3）解：，理由如下： 设与相交于点，如图， ，， ． 9．如图，点在的边上，．动点从点出发，在的边上，沿方向运动，在动点的运动过程中，始终有过点的射线． (1)在动点的运动过程中，使得平分，猜想和之间有何数量关系？并请说明理由． (2)当时，判断与的位置关系，并求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）根据角平分线可得，由平行线的性质可得，，则有； （2）由，有，则可求，由平行线的性质可得． 【详解】（1）解：， 理由如下： 平分， ， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 10．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）①如图1中，连接． ，， ， ，， ． 故答案为：； ②由①可知，， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图2中， ，， ． （3）结论：． 理由：如图3中，当在 内部时， ，， ， ． 当在四边形内部时，． 【题型2 全等三角动点探究线段的数量关系】 11．已知：在中，，，D是射线上的一个动点，连接，过点C作的垂线，垂足为点E，过点B作的平行线交的延长线于点F． 特例探究： (1)如图1，当点D为中点时，探究线段与的数量关系；并证明． 类比探究： (2)①如图2，当点D在线段上（不与C、B重合），请探究线段、与之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并证明）． ②如图3，当点D在线段延长线上，请探究线段、与之间的数量关系（要求：画出图形，直接写出发现的结论，无需证明）． 【答案】(1)（或） (2)①；证明见解析②；图形见解析 【分析】（1）先证明得到，再利用中点的定义与等量代换即可求解； （2）①先证明得到，再利用线段之间的和差关系即可求解； ②可以同理利用全等三角形的判定与性质得出线段之间的数量关系，并根据图形观察直接写出即可． 【详解】（1）解：（或），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴, ∴（或）． （2）①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ②，如图所示： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了用“”证明两个三角形全等以及全等三角形的性质、余角的定义、垂直的定义、平行线的性质等知识，解题关键是发现图中的全等三角形，本题难度中等，运用了转化的思想方法． 12．在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点． (1)如图1，当点在上时，求证：． (2)如图2，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ， ，      在和中， ， ，    ，， ，， ， ， 是的中点 ，         在和中， ， ，    ， ， （2）根据题意将图形补全，如图2所示： 与的数量关系：，证明如下： 连接， ，点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 是的中点， ，     在和中， ， ，      ， ． 13．如图1，E、F分别为线段上的两个动点，且于E点，于F点，若， ，交于G点． (1)猜想 与， 与的数量关系； (2)当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中猜想的结论是否成立？若成立，给予证明． 【答案】(1)， (2)成立，见解析 【分析】（1）先证明，再证明， 即可得证； （2）根据（1）证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，．理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：，．理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 14．如图①，在中，为锐角，为射线BC上一动点，连接，以为直角边，A为直角顶点，在右侧作等腰，连接． (1)若，． ①若点D在线段上时（不与点B重合），试探究并说明和的数量关系与位置关系； ②当点D在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请在图②中画出相应的图形； (2)如图③，若，，，点在线段上运动（不与点B重合），试探究并说明与的位置关系． 【答案】(1)① ②仍然成立 (2) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定， （1）①根据“边角边”证明，可得，再结合等腰三角形的性质得出结论；②，仿照①解答； （2）作构造等腰直角三角形，再根据“边角边”证明，可得结论． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； ②，①中的结论仍然成立，如图所示，理由： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点F，如图所示， ∵， ∴, ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 15．等腰中，，点、点分别是轴、轴两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点． (1)如图1，若，，求点的坐标； (2)如图2，在等腰不断运动的过程中，若满足始终是的平分线，试探究：线段、、三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． 【分析】（1）过点作轴于点，通过证明，得到，，即可求解， （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，通过证明，，即可求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ， 在和中，， ， ，， ， ， 故答案为：， （2）解：在上截取，连接， 由对称性得，， ， ， 是的平分线， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图中，，，D是线段上的一个动点，点F在线段上，运动中始终保持，过点B作交的延长线于点E．    (1)若点D与点C重合，如图1，试探究线段和的数量关系，直接写出这个结论． (2)若点D不与B、C重合，如图2，（1）中线段和的数量关系是否依然成立，请说明理由． (3)图2中，若，则的面积为________．（直接写答案） 【答案】(1) (2)成立，理由见详解 (3) 【分析】（1）延长与交于点G，先证明，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，再根据，可得，据此判断即可． （2）过点D作，与交于H，与的延长线交于G，根据，，判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；最后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，所以，据此判断即可； （3）根据（2）的结论可得，再根据即可作答． 【详解】（1）如图1，延长与交于点G，   ， ， ， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：． （2）结论：， 理由如下：如图2，过点D作，与交于H，与的延长线交于G，   ，， ，， ， ， 又， ， 同理（1）可得，， ∴． （3）∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 17．已知等腰三角形，，为射线上一动点，连接，以为边在直线的右侧作等腰三角形，，，连接． (1)如图1，当点在边上时，请探究，，之间的数量关系． (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中，，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； （2）证明．再证明，可得，再进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴， 即． 在与中，， ∴， ∴， ∴． （2）不成立．． 理由：∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴． 18．如图1，在等腰直角三角形中，，点为边上的一个动点，连接，以为直角边，为直角顶点，在右侧作等腰直角三角形，连接．    (1)当点在线段上时(不与点重合)，求证： ． (2)当点在线段的延长线上时(如图2)，试猜想线段和的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：，证明见解析 【分析】（1）先证明，再根据三角形全等的判定定理证明，即可； （2）先证明，再根据三角形全等的判定定理证明，由全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1） 即∶ 在和中 （2）猜想∶ 即∶ 在和中 (全等三角形的对应边相等) (全等三角形的对应角相等) 即∶ 综上所述，． 【点睛】本题主要考场三角形全等的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，是解题的关键． 19．已知为等腰三角形，，点为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作，且，连接，． (1)如图，当点在边上时，试说明： ① ②； (2)如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，探究线段、、之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，见解析 【分析】主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）①先判断出，进而用判断出，即可得出结论；②利用全等三角形的性质可得，等量代换即可求解． 同（1）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ； 由知，， ， ； （2）， ， ， 在和中， ， ∴ ， 20．在的平分线上取点，作，垂足为，动点分别在直线，射线上，且．    (1)如图1，当点在线段上时，作． ①求证； ②求的度数； (2)如图2，当点在延长线上时． ①的度数为 ； ②求之间的数量关系； (3)在满足（2）中①的度数不变的条件下，当点在射线上，点在射线上时，直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线性质及线段的加减运算， （1）①根据题干得和，则有， ②由得，进一步有，利用四边形内角和即可求得； （2）①过点P作于点Q，同理可证得，有，则有，在四边形中，利用内角和可求的答案； ②由得，利用证明，有，即可求得答案； （3）当点M在线段上时，由（2）中②同理得和，即代入可求得线段之间的关系；当点M在的延长线上时，由（2）中②同理得和，即代入可求得线段之间的关系； 【详解】（1）解：①∵是角平分线，，， ∴，， 在与中， ∴； ②由得， 则，即， ∴． ∵在四边形中，，， ∴， 即； （2）①过点P作于点Q，如图，    ∵是角平分线，，， 则，， 在与中， ∴， ∴， 则， 在四边形中，， ∵， ∴， 即； ②由，得， 在与中，， ∴， ∴， 则； （3）或． ①当点M在线段上时，如图，    与（2）中②同理，可得，， ∴； ②当点M在的延长线上时，如图，    与（2）中②同理可得，， ∴． 【题型3 全等三角动点全等存在性】 21．如图，在中，高线，，相交于点，，，． (1)证明：； (2)求的长； (3)是射线上的一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，则是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的长为6 (3)存在，当s或s时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，适当的添加辅助线． （1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用即可证明； （2）根据边之间的关系得，即可得求出的长度，根据全等三角形的性质得，即可得； （3）由题意得，，，根据等边对等叫得，分情况讨论：时，OP=CQ，得，进行计算即可得，时，OP=CQ，得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）存在，理由如下： 解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 如图所示， 当时，， ∴， 解得：； 如图所示， 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等． 22．综合与探究 已知：在平面直角坐标系中，，，且a，b满足，点C在x轴正半轴，．动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向点C运动，运动到点C停止，设P的运动时间为t秒，连接，过点C作的垂线交射线于点M，交y轴于点N． (1)点A的坐标为__________，点B的坐标为__________． (2)当点P在线段上时（不含端点），如图②所示，求线段的长度（用含t的式子表示）． (3)在（2）条件下，若，则t的值为__________． (4)若点Q是y轴上的一个动点，是否存在一点Q，使得点O、C、Q为顶点的三角形能与全等？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)4 (4)存在，或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得和的值，确定点和的坐标； （2）判断出，即可得出结论； （3）列出方程可求出答案； （4）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，； 故答案为：，； （2）由（1）知，，， ，， ， ， ， 当点在线段上时，即时， 如图1，由运动知，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）∵点在线段上， ， ； 故答案为：4； （4）存在 理由如下： ，，点， ，； 当Q在正半轴时， ∴ ∴ 当Q在负半轴时， ∴ ∴ 综上所述：或． 23．如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；；②或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，四边形的内角和，高线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据高线的定义及等角的余角相等得出，利用即可得证； （2）①根据题干中的条件可得出依题意，或化简即可；根据四边形的内角和及角直角的等量关系即可得出； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）①解：依题意，或 ∴或 ∵是边上的高，是边上的高， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ∴， ∵，，∴， ； 如图3，当时， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 24．如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题： （1）根据题意可得； （2）当时，，可得或，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴当时，， ∴或， ∴或， ∴或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 25．如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向终点运动，同时动点以的速度从点向终点运动，当一个点到达终点停止时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)__________； (2)求证：无论取何值，都有； (3)是否存在的值，使得与全等？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由于，，则，； （2）由于，所以与之比就等于与之比，而与之比为； （3）只需让即可； （4）由可直接求出； 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， ∵点以/的速度从点向点运动，动点以/的速度从点向点运动， ∴，． ∴， ∴ ∴在运动过程中，不管取何值，都有； （3）解： ，，， ， ， ． 根据题意，得，， ． ，， 只有当时，与全等． ①当点在线段上时，， ，解得（不合题意，舍去）； ②当点在线段上时，． ，解得． 综上可知，当时，与全等． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、角平分线的性质、等积变换、全等三角形的判定与性质等知识点，难度适中．在涉及到面积比例问题时，高相同则面积之比等于底之比，底相同则面积之比等于高之比． 26．如图，在中，为的中点，，，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点运动；同时动点从点出发，沿方向以每秒的速度向点A运动，运动时间是秒． (1)在运动过程中，当点位于线段的垂直平分线上时，求出的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使和全等，若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，1 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，据此列出方程求解即可； （2）分情况讨论：当时，≌，，时，≌． 【详解】（1）由题意得，， 点位于线段的垂直平分线上， ， ， 解得； （2）， ， 又， 当时，≌， ，为的中点， ， ， 解得； 当，时，≌， ，此方程组无解， 不存在≌这种情况， 综上所述，当时，≌． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 27．如图，在正方形中，．动点、分别在边、上，点从点出发沿边以的速度向点运动，同时点从点出发沿边以的速度向点运动（当点到达点时，点也随之停止运动），连接．问：在边上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．    【答案】在边上存在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与全等，此时的长为6cm或16cm 【分析】分两种情况讨论：①当时，，②当时，，，再建立方程求解即可． 【详解】解：存在． 理由如下：设运动时间为． 则，，， ∵四边形是正方形， ∴， ①当时，． ∴． ∴． ∴． ②当时，，． ∴． ∴． ∴． 综上所述，在边上存在一点G，使得以B，F，G为顶点的三角形与全等，此时的长为6cm或16cm． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 28．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D． (1)求证：； (2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒． ①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且，求此时t的值； ②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得APB与BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，或 【分析】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明； （2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝S△BQC，推出，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP与CQ的关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵BD⊥AC， ∴， 在Rt△BDA和Rt△BDC中， ∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL）， ∴∠BAC＝∠BCA． ∵AB平分∠MAN， ∴∠BAM＝∠BAC， ∴∠BAM＝∠BCA． （2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M． ∵BH⊥AM，BD⊥AC， ∴∠AHB＝∠ADB＝90°， 在△AHB和△ADB中， ∴△AHB≌△ADB（AAS）， ∴BH＝BD， ∵S△ABP＝S△BQC， ∴， ∴， ∴， ∴． ②存在，理由如下： 当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示， ∵AB＝BC， 又由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴； 当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示， 由（1）得∠BAM＝∠BCA， ∴∠BAP＝∠BCQ， 又∵AB＝BC， ∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB， ∴， ∴． 综上所述，当或时，△APB和△CQB全等． 【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键． 29．如图，在长方形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0<t<3）．解答下列问题： （1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为2．（2）存在，的值为1，． 【分析】（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，利用垂直平分线的性质，得到，之后列出关于t的方程，求出t的值即可． （2）当时，根据对应边，列出关于t的方程，求出t的值，之后利用全等三角形的性质，得到对应角相等，最后证得． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 点C在线段PQ的垂直平分线上， ， 故有：， 解得： 的值为2． （2） 解： ， ，， 即． 四边形ABCD是长方形， ． 在中，且， ， ． 【点睛】本题主要是考查了垂直平分线和全等三角形的性质，熟练应用相关性质找到对应边相等，求出时间t，是解决本题的关键，另外，关于线段关系，一般以垂直关系为多． 30．如图，在中，，，点是边的中点．点是边上的动点，以/秒的速度从点向点运动；点是边上的动点，同时从点向点运动．设运动时间为/秒． （1）如果点运动的速度与点运动的速度相等．求证当运动时间秒时，． （2）如果点运动的速度与点运动的速度不相等，是否存在某一时刻，使与全等？若存在，求出的值，并求此时点运动的速度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）存在，秒， /秒 【分析】（1）根据的值先运算出的长度，求出和的长度，再利用等腰三角形的性质得到，再利用边角边证明即可； （2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度时间公式，先求得点的运动时间，再求点的运动速度． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵为中点 ∴ 又∵ ∴ ∴在和中 ∴ （2）存在某一时刻，使 理由是： 又∵， ∴， ∴点，点的运动时间秒 ∴ /秒 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质及判定，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【题型4 轴对称动点最值问题】 31．如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)全等，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出，根据等边对等角可求出，根据三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边可得出，即可得出结论； （2）过D作交于F，证明是等边三角形，得出，结合可得出，根据等边对等角得出，结合，，可得出，然后根据证明即可； （3）过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接，由（1）知：，根据含角的直角三角形的性质求出，，则，故当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合，然后根据平行线间的距离求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：全等 理由：∵是等边三角形， ∴，， 过D作交于F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形、全等三角形是解题的关键． 32．如图，四边形，，， E、F分别为、上的动点． (1)如图1，已知：，；则DE的长为 （用a表示） (2)如图2，已知：，；求：当取得最小值时的值（用b表示） (3)如图3，已知：G为上一点，，，、分别为和的角平分线，N为线段上的动点，，垂足为M，，，求：当取最小值时，求的值（用c，d表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形内角和为可求出，进而求出，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可； （2）延长至点H，使，连接，，证明，得出，则，故当、、三点共线时，取最小值为，然后证明，得出，即可求解； （3）根据三角形内角和定理、角平分线的定义可求出，，，作H关于的对称点，连接，，，延长、，相交于P，过作于，证明是等边三角形，得出，，进而求出，证明是等边三角形，可求出，根据，可知当、N、M三点共线，且，即M和重合时，最小，然后求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长至点H，使，连接，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当、、三点共线时，取最小值为， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵、分别为和的角平分线， ∴，， 作H关于的对称点，连接，，，延长、，相交于P，过作于， 则，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、N、M三点共线，且，即M和重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， 即当取最小值时，的值为． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，四边形的内角和为，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称性等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． 33．已知等腰， 腰的垂直平分线分别交于点． (1)如图1，若， 求的度数； (2)如图2，若点分别为的中点，，的面积是7.5，点为线段上一动点．求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，根据垂直平分线的性质得出，进而根据等边对等角得出，结合已知条件得出，设，根据三角形的外角性质得出，进而可得 ，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可求解； （2）连接，根据三角形的中线的性质以及三角形的面积，求得边上的高线的长，根据垂直平分线的性质可得，进而求得周长的最小值． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 设， ∴， ∵ ∴， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 （2）如图所示，连接， ∵，是的中点， ∴， ∵为的垂直平分线上一点， ∴ ∴， ∵点分别为的中点， 的面积是， ∴， ∵， ∴，， ∴周长的最小值为 34．如图，在等腰三角形中，，点E是底边上不与端点重合的任意一点，连接，以A为顶点、为腰，在右侧作等腰，使．过点A作交于点H，交的延长线于点D． (1)如图1，连接，当，时，求的长度； (2)如图2，连接交于点M，当时，求证：； (3)如图3，连接，当时，在线段上取点G，使得，连接交于点K，点P和点Q分别为线段和线段上的动点，且．若，当取得最小值时，请直接用含的式子表示出的度数． 【答案】(1)17 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得，可证明，则，故； （2）在上取点，使得，连接，证明，再命中，则，可得，由，等量代换得； （3）作，使，连接，显然，则，那么，当点三点共线时，最小，角度推导是等边三角形，继而可得，则，再根据三角形的外角以及全等三角形的对应角相等进行角度推导即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：作，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点三点共线时，最小，如图： 由上知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和和外角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的三边关系求最值，难度角度，对角度推导能力要求蛮高的，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 35．在中，，，E是线段的中点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)如图2，是的角平分线，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究，与数量之间的关系，并说明理由； (3)如图3，，点N为直线AC上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为　　　． 【答案】(1)见解析 (2)或，理由见解析 (3)1 【分析】（1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论； （2）分两种情况讨论，当点N在线段上时，延长至点H，使得，连接，根据角平分线的概念和等边三角形的判定，证出是等边三角形，再得出，由此得出，当点N在边上时，同理得出即可； （3）过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M，根据等边三角形的性质得出，再由全等三角形的判定得出，得出是的垂直平分线，的最小值就是的长，再由含度角的直角三角形的性质得出，即可求出的值． 【详解】（1）在中，，， ∴，， ∵E是线段的中点， ∴， ∴，, ∴是等边三角形． （2）分两种情况： ①当点N在线段上，结论：，理由如下： 如图2所示：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵于点E， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当点N在边上时，如图3，结论：，理由如下： 如图3，延长至H，使得， 由①得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与数量之间的关系为：或； （3）∵， ∴， 如图4，过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴P是的中点， ∵， ∴是的垂直平分线，即点G在直线上，的最小值就是的长， ∴， ∴， ∴， 中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为1． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 36．（1）如图1，等腰中，，和分别是、边上的高，与交于点F，若． ①写出图1中所有的全等三角形_______； ②直接写出的度数为________； （2）如图2，、是的高，，，求证：； （3）如图3，等腰直角，，平分，平分，M、N分别是射线、上动点，若，求的最小值． 【答案】（1）①，；②；（2）见解析；（3）8 【分析】（1）①根据等腰三角形三线合一可知，则，可证，再结合直角三角形两锐角互余可证，进而可证，即可得结论； ②根据，，得，易知，即可求解； （2）延长，交于点，根据，求得，进而证得，再证，，可得结论； （3）如图，在上截取，连接，，先证，得，则，当时，取得最小值，此时有最小值，如图，当时，延长，交于点，则，再证，得，再证，可证得，由，即：，求得当时，，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，，则， ∴，则， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∴， 又∵，， ∴， 在与中， ， ∴， 故答案为：，； ②由①可知，，， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∵，且， ∴，则， ∵，则 ∴， ∴，则，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，则， ∴； （3）如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则，当时，取得最小值，此时有最小值， 如图，当时，延长，交于点，则， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵平分， ∴，则， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， ∴， ∵，即：， ∴当时，，即的最小值为8， ∴的最小值为8． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余，垂线段最短，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 37．在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 【答案】(1)绘图及说明见解析，5 (2)见解析 【分析】（1）画法：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N，根据作图直接写出的最小值即可； （2）过P作于点F，于点D，通过导角得到，则．再证明，得到由平行线间间距相等可得，则，即可证明垂直平分则． 【详解】（1）解：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N， ∵，E是中点， ∴， ∵，点是M关于的对称点， ∴，且点在上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴在中， ∴得到最小值为5； （2）解：过P作于点F，于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 由平行线间间距相等可得， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 38．如图1，在平面直角坐标系中，点，，点C为线段上一点，P为上一点，连接，．若，． (1)求证：； (2)求点P的纵坐标． (3)如图2，在（2）的条件下，点M是上一动点，以为边在的右侧作等边，连接．若，则的最小值．（结果用含t的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图1中，分别过，作的垂线，垂足分别为，．利用全等三角形的性质以及直角三角形30度角的性质证明即可解决问题． （2）过作于F，证明，即可得出，即可求解． （3）如图2中，以为边在轴下方作等边，连接．证明，推出，即点在轴与夹角为的直线上运动，作点关于的对称点，设直线交于点，连接，．证明，，共线，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中，分别过，作的垂线，垂足分别为，． ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ； （2）解：过作于F， 由（1）知： ，， ∴，即 ∵ ， 即点的纵坐标的为2． （3）解：如图2中，以为边在轴下方作等边，连接． ， ， ，， ， ，即点在轴与夹角为的直线上运动， 作点关于的对称点，设直线交于点，连接，． ，， ， ， ， 当点与重合时，点与重合，此时是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，共线， 的最小值线段的长， ， 的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称最短问题，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 39．在等腰中，，的垂直平分线分别交，于，两点． (1)如图1，连接，若，的周长为19，直接写出的长； (2)若是的中线． ①如图2，交于点，若，求证：； ②如图3，是的中点，是射线上的动点，连接，作等边，连接，若，直接写出的最小值． 【答案】(1)7 (2)①理由见解析；②的最小值是 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）①过作于H，连接，，根据线段垂直平分线和等腰三角形的性质得到，，再利用含30度角的直角三角形的性质得到，，然后利用线段的和与差求解即可； ②以为边作等边三角形，过L作于H，延长线于，利用等边三角形的性质得到，，证明得到，根据垂线段最短，当时，最小，即最小，最小值为的长，由平行线间的距离处处相等得，进而可求解． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交，于，，， ∴，， ∵的周长为19， ∴， ∵等腰中，， ∴； （2）解：①如图2，过作于H，连接，，则， ∵垂直平分线， ∴， ∵等腰中，，是的中线， ∴，，即垂直平分， ∴，则， ∴， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②如图3，以为边作等边三角形，过L作于H，延长线于，则，，， ∵是的中点，， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由垂线段最短得，当时，最小，即最小，最小值为的长， ∵， ∴与平行， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，构造等边三角形和全等三角形是解答的关键． 40．（1）【特例感知】如图1，，，于点，于点．、、三点在同一直线上，，，则 ． （2）【问题探究】如图，在中，，点、是边上两点，连接，以为腰作等腰直角，，作于点，，若，，求的面积． （3）【拓展应用】如图3，在中，，，点在边上，满足，点在线段上，．点是直线上的一个动点，连接，过点作，且．当点是线段上的一个动点时，连接、，是否存在的最小值？如果存在，请求出的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）7 （2）30 （3）存在，的最小值为 【分析】（1）根据条件易证，从而得解； （2）过点作于，得，得，根据三角形面积公式即可求得； （3）作射线，过点作于点，过点作于点，作点关于的对称点，作射线，易证，易得，从而点在射线上运动，根据和轴对称的性质易知，再根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，并且时，最小，令，与交于点，求出的长度即为最小值． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 故答案为：7． （2）解：如图，过点作于， ， ， ， 是等腰直角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，作射线，过点作于点，过点作于点，作点关于的对称点，作射线． ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点在射线上运动， ，， ，， 由轴对称可知，， ， ， 如图，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，并且时，最小，令，与交于点， ， 四边形是矩形， 是等腰直角三角形， ，， ， 的最小值为． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$