25.1 投影(第2课时 正投影及其性质)（同步课件)（题型专练）数学沪科版九年级下册

九年级沪科版数学下册 第二十五章 投影与视图 25.1 投影 第2课时 正投影及其性质 目录/CONTENTS 新知探究 复习导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1. 了解正投影的概念.（重点） 2. 了解不同几何图形在正投影下的特点.（难点） 复习导入 1. 说一说什么是投影、投影线、投影面？ 投影线 投影 投影面 2. 什么是平行投影和中心投影？它们有什么区别和联系？ 区别 联系 平行投影 中心投影 投影线互相平行， 形成平行投影 投影线集中于一点，形成中心投影 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子. (即都是投影) 3. 做一做： (1) 物体的影子在正北方，则太阳在物体的 ( ) A. 正北 B. 正南 C. 正西 D. 正东 (2) 太阳发出的光照在物体上是 ，车灯发出 的光照在物体上是 ． B 平行投影 中心投影 新知探究 如图（1），用一束平行光线垂直于水平桌面，照射一支铅笔（看作线段AB），改变铅笔的位置，观察它在桌面（看作投影面H）上投影的形状与大小，你能发现线段正投影的规律吗？ （1） 设线段AB的端点A，B在投影面H上的投影为点，线段就是线段AB在投影面H上的投影。 当线段AB平行于投影面H时，=AB; 当线段AB倾斜于投影面H时，＜AB; 当线段AB垂直于投影面H时，=0（此时点与点重合，点或点就是AB在投影面H上的投影）。 一般地，线段正投影有如下的规律： 平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点 新知探究 观察如图（2），把一块矩形纸板（矩形ABCD）放在正午的阳光下，变换纸板的位置，观察它在水平地面（看作投影面H）上投影的形状与大小。你能根据线段正投影的规律，发现矩形ABCD正投影的规律吗？ （2） 设矩形ABCD的顶点A，B，C，D在投影面H上的投影点，，，，四边形就是矩形ABCD在投影H上的投影。 当矩形ABCD平行于投影面H时，四边形≌矩形ABCD； 当矩形ABCD倾斜于投影面H时，四边形的大小、形状相对于矩形ABCD已有改变； 当矩形ABCD垂直于投影面H时，四边形变为线段（或）。 一般地，平面图形真投影有如下的规律： 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段。 新知探究 如图（3），你能根据平面图形正投影的规律，说出长方形ABCD-在投影面H上的正投影是什么图形吗？ 由于长方体的两个地面都平行于投影面H，因而他们在投影面H上的正投影都是矩形。 由于长方体的四个侧面都垂直于投影面H，因而它们在投影面H上的正投影分别是线段，，，。 由此可知，长方体在投影面H上的正投影就是矩形。 一般地，一个几何体在一个平面上的正投影就是一个平面图形 概念归纳 在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影。 线段正投影的规律：平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点。 平面图形的正投影的规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段。 几何体的正投影：一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形。 一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图。 补充例题 例 圆柱的轴截面平行于投影面 S，它的正投影是边长为 4的正方形，则这个圆柱的表面积是______. 4 4 圆柱的底面直径为4 圆柱的高为4 课堂练习 1、把两支铅笔捆在一起成交叉状，在拿一块矩形纸板，在正午的阳光下，查看它们在地面上投影的各种可能情况（分别改变交叉铅笔’矩形地板与地面的不同倾斜程度） 解:两支交叉的铅笔在正午阳光下,与地面的倾斜度不同,在地面的投影是错号形状或一条线段.矩形在正午阳光下,与地面的倾斜度不同,在地面的投影是线段或矩形或平行四边形. 2、如果圆柱、圆锥的底面与投影面平行，那么它们的正投影分别是什么图形？球的正投影呢？ 解:如果圆柱、圆锥的底面与投影面平行,那么它们的正投影分别是圆和带圆心的圆,球的正投影是圆. 分层练习-基础 1．把一个正六棱柱如图摆放，当光线由正前方射到后方时，它的正投影是(　　) B 2．[2024·滁州模拟]由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是(　　) A 18 3．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小________(填 “相同”“不一定相同”或“不相同”)． 相同 19 4．[2024·宿州宿城第一初级中学期末]物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是(　　) A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 D 20 A 21 【点拨】 如图，过点B作BC⊥AA1于点C， ∴∠ACB＝90°.∵A1B1是线段AB 在投影面上的正投影， ∴AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1. ∴四边形A1B1BC为矩形. ∴BC＝A1B1，∠B1BC＝90°. ∴∠ABC＝∠ABB1－∠CBB1＝20°.∴BC＝AB·cos20°. ∴A1B1＝AB·cos20°＝a·cos20° cm. 【答案】 A 23 7．如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置，三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ (1)铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面； (3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点)． 26 通过观察，我们可以发现： (1)当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB________A1B1； (2)当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2； (3)当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________． ＝ ＞ 点 27 8．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是(　　) C 28 分层练习-巩固 9. 如图①所示的是某款户外遮阳伞支架张开的状态，图①可抽象成图②，在图②中，点A可在BD上滑动，当伞完全折叠成图③时，伞的下端点F落在点F′处，点C落在点C′处，AE＝EF，AC＝BC＝CE＝90 cm，DF′＝70 cm. (2)如图②，当AB＝54 cm时． ①求∠ACB的度数；(参考数据：sin 17.5°≈0.30，tan 16.7°≈0.30，sin 36.9°≈0.60，tan 31.0°≈0.60) (1)BD的长为________． 250 cm 30 ②求伞能遮阳的面积．(伞的正投影可以看作一个圆，结果保留π) 【解】如图，连接AF，过点E作EH⊥AF于点H， ∵AE＝EF，∴AH＝HF.根据题意可知CG∥AF， ∴∠EAH＝∠ACG.∴sin∠EAH＝sin∠ACG＝0.3. ∵AE＝AC＋CE＝180 cm， ∴EH＝AE·sin∠EAH＝180×0.3＝54(cm). ∴AH2＝AE2－EH2＝1802－542＝29484. ∴伞能遮阳的面积为29484π cm2. 32 分层练习-拓展 10.操作与探究：如图①，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么，CD与BC的投影呢？ 【解】根据题意得，AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD. (2)探究：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明AC2＝AD·AB, 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理； 34 (3)结论运用：如图②，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF. 35 ①试利用射影定理证明△BOF∽△BED； 36 ②若DE＝2CE，求OF的长． 37 习题 1．一块圆形铁片，它的正投影一定是圆吗？什么时候一定是圆？ 解：一块圆形铁片，它的正投影不一定是圆，当光线垂直投射到平面上的时候一定是圆． 2．如果一个几何体在一个投影面上的正投影是矩形，那么这个几何体一定是长方体吗？举例说明. 解：这个几何体不一定是长方体．如：当圆柱的底面与投影面垂直时，圆柱在投影面上的正投影是矩形． 课堂小结 正投影及其性质 线段的正投影 平面图形的正投影 几何体的正投影 平行长不变，倾斜长变短，垂直成一点 影长≤线段长 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 平面图形 视图 5．[2024·大同一模]如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝a cm，∠ABB1＝110°，则投影A1B1的长为(　　) A．a·cos 20° cm B．a·sin 20° cm C．a·cos 110° cm D． cm 6．[2024·周口期末]如图，将一块含30°角的三角板AMC的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若AM＝10，MN＝3，则AM在直线n上的正投影DN的长是______． 3＋4 【点拨】由题意得AC＝AM＝5， CM＝AM·cos30°＝10×＝5，AD⊥DN，MN⊥DN， ∴CN＝＝＝4. ∴cos∠CMN＝＝＝. ∵∠ACD＋∠MCN＝90°，∠MCN＋∠CMN＝90°， ∴∠ACD＝∠CMN.∴cos∠ACD＝＝. ∴＝，解得CD＝3.∴DN＝CD＋CN＝3＋4. ∴AM在直线n上的正投影DN的长是3＋4. 【解】如图，过点C作CG⊥AB于点G. ∵BC＝AC＝90 cm，AB＝54 cm， ∴AG＝GB＝AB＝27 cm，∠ACG＝∠ACB. ∵sin∠ACG＝＝＝＝0.3， ∴∠ACG≈17.5°.∴∠ACB＝2∠ACG≈35°. 【证明】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°. ∴∠ACD＝∠B.又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC. ∴＝.∴AC2＝AD·AB. 【证明】∵四边形ABCD是正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD＝90°.∴BC2＝BO·BD. ∵在Rt△BCE中，CF⊥BE，∠BCE＝90°， ∴BC2＝BF·BE.∴BO·BD＝BF·BE，即＝. 又∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED. 【解】由题意知BC＝CD＝15，∵DE＝2CE， ∴DE＝15×＝10，CE＝5. 在Rt△BCE中，BE＝＝＝5， 在Rt△OBC中，易得OB＝BC＝×15＝. ∵△BOF∽△BED，∴＝.∴OF＝·ED＝×10＝3. $$