专题01 直线方程的深度探索与综合应用挑战（12大题型）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（苏教版2019）

专题01 直线方程的深度探索与综合应用挑战 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一：斜率在几何中的意义及应用 题型二：利用斜率与倾斜角的关系解题 题型三：通过直线平行与垂直条件求解参数 题型四：挖掘隐含的垂直关系求最值 题型五：斜率在三角形问题中的应用 题型六：直线方程的理论基础与应用 题型七：光学性质在直线问题中的体现 题型八：求直线使得围成面积最小 题型九：利用切线性质求面积的最值 题型十：数形结合，利用距离公式求最值 题型十一：数形结合，绝对值转化求最值 题型十二：直线问题中的最值与范围综合应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 2、两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 斜率在几何中的意义及应用 1．（2024·高二·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·山东临沂·期中）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·浙江宁波·开学考试）若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是 （　  ） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 4．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·陕西安康·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 利用斜率与倾斜角的关系解题 1．（2024·高一·陕西商洛·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高二·山东·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·海南·竞赛）若函数，则对于满足的任意实数，有（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 通过直线平行与垂直条件求解参数 1．（2024·高二·广东广州·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 2．（2024·高二·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 . 3．（2024·高二·河北·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 4．（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 . 5．（2024·高二·海南·期中）已知，直线与垂直，则的最大值为 . 挖掘隐含的垂直关系求最值 1．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）设直线与直线的交点为分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 2．（2024·高一·湖南张家界·期末），动直线过定点动直线过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为 A． B． C． D． 3．（2024·高二·湖南·阶段练习）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 4．（2024·高三·河南周口·阶段练习）设，动直线：过定点，动直线：过定点，且，交于点，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．10 5．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）设，动直线过定点，动直线过定点，若为与的交点，则的最大值为（    ） A．10 B．20 C． D． 斜率在三角形问题中的应用 1．（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ． 2．（2024·高三·江苏南京·开学考试）若正三角形的一条角平分线所在直线的斜率为2，那么这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为 ， . 3．（2024·高二·天津河东·期中）在中，已知，，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线方程为：，则的面积为 ． 4．（2024·高二·广东广州·期中）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线，则直线的方程为 ；直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 5．（2024·高三·全国·专题练习）在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为 . 直线方程的理论基础与应用 1．（2024·高一·辽宁沈阳·开学考试）在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线l的方程为，．有四个判断： ①若，则过M、N两点的直线与直线l平行； ②若，则直线l经过线段MN的中点； ③存在实数，使点N在直线l上； ④若，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交． 上述判断中，正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（2024·高二·上海青浦·阶段练习）设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为（    ） ①存在实数，使得点在直线上； ②若，则过、的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 3．（2024·上海奉贤·一模）设是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，设向量与向量的夹角为，则为 A． B． C． D． 4．（2024·高二·上海宝山·期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 5．（多选题）（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况说法错误的是（    ） A．存在、、使之无交点 B．存在、、使之有无穷多交点 C．无论、、如何，总是无交点 D．无论、、如何，总是唯一交点 光学性质在直线问题中的体现 1．（2024·高二·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 2．（2024·高二·全国·课后作业）已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 3．（2024·高二·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    4．（2024·高二·浙江绍兴·期中）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为 . 5．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 . 求直线使得围成面积最小 1．（2024·高二·山东临沂·阶段练习）过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为 ． 2．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l：y=4x和定点P（6，4），点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求当OMQ的面积最小时点Q的坐标 . 4．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知常数，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积取最小值时直线l的方程为 ．（答案写成一般式） 5．（2024·高二·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为 ． 利用切线性质求面积的最值 1．（2024·安徽铜陵·三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 2．（2024·高二·湖北·期中）已知抛物线的准线方程为，的顶点在抛物线上，、两点在直线上，若，则面积的最小值为（    ） A．10 B．8 C．1 D．2 3．（2024·高三·辽宁·期中）设函数的图象为曲线C，为C上任意一点，过点R的直线PQ与C相切，且与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当三角形POQ的面积取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·安徽·阶段练习）如图，二次函数的图象为曲线，过上一点P（位于x轴下方）作的切线与的正半轴，的负半轴分别交于点，当轴及轴围成阴影部分的面积取得最小值时，P到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·河南信阳·期末）如图所示，在直线坐标系xoy中，抛物线段ARB对应的函数解析式为，其中A，B分别为抛物线段与x，y轴的交点，为抛物线段上任意一点，过R点的直线PQ与抛物线段ARB相切，与x轴交于点P，与y轴交于点Q，过B作BC平行于x轴，与直线PQ交于C，则以下错误的是（    ） A．直线PQ的方程为 B．抛物线段ARB的长度大于 C．抛物线段ARB与坐标轴围成的面积大于1 D．三角形POQ的面积取得最小值时， 数形结合，利用距离公式求最值 1．（2024·高二·辽宁鞍山·期末）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 2．（2024·高二·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 3．（2024·高二·安徽池州·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 4．（2024·高二·全国·单元测试）已知，为实数，代数式的最小值是 . 5．（2024·高二·全国·竞赛）已知，为实数，代数式的最小值是 . 数形结合，绝对值转化求最值 1．（2024·高三·全国·专题练习）若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ． 2．（2024·高三·上海黄浦·阶段练习）若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系式，则实数t的所有可能的值为 . 3．（2024·高二·上海浦东新·期中）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为 4．（2024·高二·安徽合肥·期中）已知直线交圆于，两点，则的取值范围为 . 5．（2024·江苏南京·一模）已知实数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 直线问题中的最值与范围综合应用 1．（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知点,，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 A．（0，） B． C． D． 2．（2024·高二·福建泉州·阶段练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 3．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（    ） ①对任意三点A、B、C，都有 ②已知点P(3,1)和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； ④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2024·高二·江西·阶段练习）已知，直线l：，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为 . 5．（2024·高二·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 1． “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 4．（广西名校联合体2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题）（多选题）已知直线，下列选项正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为1 5．（广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题）（多选题）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 6．（河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题）（多选题）设a为实数，直线，，则（   ） A．恒过点 B．若，则或 C．若，则或0 D．当时，不经过第二象限 7．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 8．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 1．已知，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（陕西科技大学附属中学2024-2025学年高二上学期月考三数学试题）（多选题）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 5．已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 6．设，点、分别是直线与上的任意动点，若时，皆有，则的最小值为 ． 7．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 8．定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 1．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线方程的深度探索与综合应用挑战 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（12大题型） 题型一：斜率在几何中的意义及应用 题型二：利用斜率与倾斜角的关系解题 题型三：通过直线平行与垂直条件求解参数 题型四：挖掘隐含的垂直关系求最值 题型五：斜率在三角形问题中的应用 题型六：直线方程的理论基础与应用 题型七：光学性质在直线问题中的体现 题型八：求直线使得围成面积最小 题型九：利用切线性质求面积的最值 题型十：数形结合，利用距离公式求最值 题型十一：数形结合，绝对值转化求最值 题型十二：直线问题中的最值与范围综合应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 ☛第四层 高考真题练 1、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 2、两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 斜率在几何中的意义及应用 1．（2024·高二·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为． 因为， 所以． 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数的取值范围为． 故选：B． 2．（2024·高二·山东临沂·期中）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，直线的斜率，直线的斜率. 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 3．（2024·高二·浙江宁波·开学考试）若函数，且a＞b＞c＞0，则、、的大小关系是 （　  ） A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ 【答案】B 【解析】 由题意可得，,,分别看作函数图象上的点与原点连线的斜率， 结合图象可知当时，>>． 故选：B． 4．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 5．（2024·高二·陕西安康·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 则表示圆弧上的点与点连线的斜率， 当过点的直线与圆弧相切时斜率最大，如图， 此时，，可得，所以， 所以，即斜率最大值为， 根据斜率变化关系可得的值域为. 故选：B 利用斜率与倾斜角的关系解题 1．（2024·高一·陕西商洛·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的方程为，所以， 即直线的斜率，又， 所以，又直线的倾斜角的取值范围为， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为， 故选：B. 2．（2024·高二·山东·阶段练习）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，即直线的斜率． 又由直线方程可得，所以， 解得， 即实数的取值范围是． 故选：C． 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于点满足关系式，且， 可知在线段上移动，且 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A. 4．（2024·高一·海南·竞赛）若函数，则对于满足的任意实数，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】（解法1）易知函数在上是函数值为正的减函数， 所以函数在上是函数值为正的增函数，得在上是函数值为正的增函数， 所以，即， （解法2）令，即， 两边平方有，由此可得， 函数在上的图象是圆的四分之一（右上方）， 画出图形后，运用斜率可得，即， （解法3）选项D显然不对，否则是常函数. 让，，得， 由此排除B，C，故只能A正确， 故选：A 5．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补， 得的倾斜角的取值范围为， 故选：B. 通过直线平行与垂直条件求解参数 1．（2024·高二·广东广州·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【解析】当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线垂直，满足题意； 当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线不垂直，不满足题意； 当且时， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上可得：实数的值为或， 故答案为: 或. 2．（2024·高二·上海·阶段练习）直线与直线平行，则 . 【答案】1 【解析】由题意可得，解得或， 当时，直线即，直线即，两直线重合，不符合题意，舍去， 当时，符合题意， 所以. 故答案为：1 3．（2024·高二·河北·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 4．（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线与直线垂直，则 . 【答案】1 【解析】当时，， 由知，斜率为1， 所以直线与不垂直，不符合题意； 当时，， 因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：1． 5．（2024·高二·海南·期中）已知，直线与垂直，则的最大值为 . 【答案】1 【解析】因为直线与垂直， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等， 故答案为：1. 挖掘隐含的垂直关系求最值 1．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）设直线与直线的交点为分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】C 【解析】如图所示，为中点，故， 又 所以中，， 于是， 故，即 所以，解得. 故选：C. 2．（2024·高一·湖南张家界·期末），动直线过定点动直线过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：，，且两直线斜率之积等于，∴直线和直线垂直，则，即，的最大值为，故选． 3．（2024·高二·湖南·阶段练习）已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线经过定点， ， ∵动直线和动直线满足， ∴两条直线始终垂直，又因为是两条直线的交点，所以. 所以. 所以是直角三角形，且， 设，则， ∴ 所以的最大值是. 故选：B. 4．（2024·高三·河南周口·阶段练习）设，动直线：过定点，动直线：过定点，且，交于点，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【解析】根据方程推出，可得，的交点在以为直径的圆上，可得，再根据不等式知识可求得结果.动直线：过定点，动直线：过定点， 因为，所以，所以，的交点在以为直径的圆上， 所以， 设，则， 所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，解得.即， 所以的最大值是. 故选：B 5．（2024·高二·江苏苏州·阶段练习）设，动直线过定点，动直线过定点，若为与的交点，则的最大值为（    ） A．10 B．20 C． D． 【答案】A 【解析】直线的方程可整理为，令，解得，所以， 直线的方程可整理为，令，解得，所以， 因为，所以，所以点为以为直径的圆上的点， ，所以, 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A. 斜率在三角形问题中的应用 1．（2024·高二·辽宁大连·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ． 【答案】/ 【解析】如下图：在平面直角坐标系中，描出，   ，， 所以为等腰三角形，则的角平分线也为中线， 边的中点为，所以角平分线所在直线斜率为：， 故答案为：． 2．（2024·高三·江苏南京·开学考试）若正三角形的一条角平分线所在直线的斜率为2，那么这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为 ， . 【答案】 【解析】设该角平分线的倾斜角为，则， 所以，为锐角，且，， 与该角平分线相邻的两条边所在直线的倾斜角分别为、， ， . 因此，这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为、. 故答案为：；. 3．（2024·高二·天津河东·期中）在中，已知，，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在的直线方程为：，则的面积为 ． 【答案】 【解析】不妨设的中点，则，易知直线存在斜率， 所以， 而边上的高所在的直线方程为：， 所以有， 所以， 由点到直线的距离公式知A到的距离为， 由两点距离公式得，则的面积为. 故答案为： 4．（2024·高二·广东广州·期中）已知两点，，直线为线段AB的垂直平分线，则直线的方程为 ；直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 【答案】 【解析】AB的中点坐标为， ，故直线的斜率为， 故直线的方程为，即； 中，令得，令得， 故与两坐标轴的交点坐标分别为和， 故线与坐标轴所围成的三角形的面积为. 故答案为：； 5．（2024·高三·全国·专题练习）在中，已知，边上的高线所在的直线方程为，边上的高线所在的直线方程为.则边所在的直线方程为 . 【答案】 【解析】边上的高线所在的直线方程为，得， 边上的高线所在的直线方程为，得 已知，则AC边所在的直线方程为，即， 则AB边所在的直线方程为，即. 由，得． 由，得． 则BC边所在的直线方程为，即. 故答案为：. 直线方程的理论基础与应用 1．（2024·高一·辽宁沈阳·开学考试）在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线l的方程为，．有四个判断： ①若，则过M、N两点的直线与直线l平行； ②若，则直线l经过线段MN的中点； ③存在实数，使点N在直线l上； ④若，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交． 上述判断中，正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】对于①，若，则， 又M点到直线l的距离为，N点到直线l的距离为， 所以M、N两点到直线l的距离相等， 又， 所以M、N两点在直线l的同一侧， 所以过M、N两点的直线与直线l平行，故①正确； 对于②，若，则， 类比①的分析，可知M、N两点到直线l的距离相等，且M、N两点在直线l的异侧， 所以直线l经过线段MN的中点，故②正确； 对于③，由于，故不存在实数，使点N在直线l上，故③错误； 对于④，若，则，故，与同号， 所以， 则，即点M到直线l的距离大于点N到直线l的距离， 又，则M、N在直线l的同侧， 所以直线l与线段MN的延长线相交，故④正确； 综上：①②④正确，③错误. 故选：B． 2．（2024·高二·上海青浦·阶段练习）设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为（    ） ①存在实数，使得点在直线上； ②若，则过、的直线与直线平行； ③若，则直线经过的中点； ④若，则点、在直线的同侧且直线与线段的反向延长线相交． A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【解析】①因为中，，所以点不在直线上，故①错误； ②当时，根据得到，化简得：，直线与直线的斜率不存在，都与轴平行，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；当时，根据，得到，化简得：，即直线的斜率为，又因为直线的斜率为，由①知点不在直线上，得到直线与直线平行；综上，当时，直线与直线平行，故②正确； ③当，得到，化简得，而线段的中点坐标为，所以直线经过直线的中点，故③正确； ④当，得到，即，所以得到点、在直线的同侧，且，得到点与点到直线的距离不等，所以直线与线段的反向延长线相交，故④正确， 故选：. 3．（2024·上海奉贤·一模）设是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，设向量与向量的夹角为，则为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用直线方程确定直线的方向向量，以及直线的法向量，利用向量夹角公式求解.由题意，是直线的一个方向向量，则， 是直线的一个法向量，， 则， 故， 故选：C. 4．（2024·高二·上海宝山·期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 【答案】A 【解析】因为与是直线（为常数）上两个不同的点， 所以即， 故既在直线上，也在直线上. 因为与是两个不同的点，故、不重合， 故无论，，如何，总有唯一交点. 故选：A. 5．（多选题）（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况说法错误的是（    ） A．存在、、使之无交点 B．存在、、使之有无穷多交点 C．无论、、如何，总是无交点 D．无论、、如何，总是唯一交点 【答案】ABC 【解析】由题意得 ， ； 关于 交点的情况，联立方程组 ， 得： ，将 代入上式得： ， 因为 ，所以 ，即 代入①得： ， 由条件 ， ，代入 得 ， 即不论 情况如何，解是唯一的： ， 有唯一的交点； 故选：ABC. 光学性质在直线问题中的体现 1．（2024·高二·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 【答案】/0.5 【解析】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 设， 因为，所以， 则，则， 设点关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 由对称性可得在直线上，即， 解得， 故直线的方程为， 联立直线与直线， ，解得， 所以，将代入中， . 故答案为： 2．（2024·高二·全国·课后作业）已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 【答案】 【解析】直线的斜率为1，根据点关于斜率为的直线直接求对称点的结论：知求，知求可得， 当时代入得； 当时代入得，即得关于的对称点； 入射光线所在直线方程为：； 化简得：. 故答案为：. 3．（2024·高二·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    【答案】 【解析】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示， 又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为. 故答案为： 4．（2024·高二·浙江绍兴·期中）已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到点，则光线所经过的路程为 . 【答案】 【解析】由题知，直线的方程为， 设点关于直线的对称点为， 则，得，，即， 点关于轴的对称点， 由题意可知，如图， 点，都在光线上， 并且利用对称性可知，，， 所以光线经过的路程. 故选： 5．（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于 . 【答案】 【解析】作出点关于直线的对称点，作出点关于直线的对称点， 则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线， 得，易得，， 直线的方程是， 设，则得，即， . 故答案为： 求直线使得围成面积最小 1．（2024·高二·山东临沂·阶段练习）过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为 ． 【答案】 【解析】由题可设直线方程为，又直线过点， 得到，又三角形面积为， 又，得到，当且仅当，即时取等号， 又，得到，所以直线方程为，即， 故答案为：. 2．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 【答案】 【解析】 ，即直线所过定点为. 由题设直线方程为：，其中，则,. 由基本不等式，，面积的最小值为4， 当且仅当，即时取等号. 则三角形AOB面积最小时直线方程为 故答案为： 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线l：y=4x和定点P（6，4），点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求当OMQ的面积最小时点Q的坐标 . 【答案】（2，8） 【解析】如图，因为点Q在y=4x上，故可设点Q的坐标为（t，4t）（t>0）， 则直线PQ的方程可表示为：, 直线PQ与x轴相交，所以式中 . ，即时，直线PQ的斜率不存在， 此时，点M的坐标为的面积为： ； ，即时，令，可得 此时，点M的坐标为， 的面积为： 当且仅当，即时取等号. 所以的面积最小时，，此时点Q的坐标为 . 故答案为：（2，8）. 4．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）已知常数，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积取最小值时直线l的方程为 ．（答案写成一般式） 【答案】 【解析】由题意知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点， 分别令等于0，可得，， 于是， 由于，故， 故， 设， 在上单调递减，在上单调递增， 则在时取得最小值，即此时取得最小值， 故直线，即直线方程为， 即， 故答案为： 5．（2024·高二·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】直线过点，则， 当，时，，即， 当且仅当，即，时等号成立， 直线与轴正半轴、轴正半轴围成三角形面积为， 故答案为： 利用切线性质求面积的最值 1．（2024·安徽铜陵·三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【解析】 不妨设，由题可得无解， 否则若直线和抛物线有交点时，当时，面积将趋近， 故，解得. 由图可知，当恰好为斜率为的直线和抛物线的切点时，的面积最小. 令，不妨，则， 又点到直线的距离为， 则，解得（舍去）. 故选：B 2．（2024·高二·湖北·期中）已知抛物线的准线方程为，的顶点在抛物线上，、两点在直线上，若，则面积的最小值为（    ） A．10 B．8 C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为抛物线的准线方程为 所以,解得 即抛物线方程为 因为在抛物线上,设,直线化为 则点到直线的距离 所以当时, 则由可得面积的最小值为 故选:D 3．（2024·高三·辽宁·期中）设函数的图象为曲线C，为C上任意一点，过点R的直线PQ与C相切，且与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当三角形POQ的面积取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，切线PQ的方程为，化简，得，所以，，三角形POQ的面积为，令，，令，则，得：或-1（舍去），当时，单调递减，当时，单调递增，由于，解得：，当且仅当时，三角形POQ的面积取得最小值． 故选：C 4．（2024·高三·安徽·阶段练习）如图，二次函数的图象为曲线，过上一点P（位于x轴下方）作的切线与的正半轴，的负半轴分别交于点，当轴及轴围成阴影部分的面积取得最小值时，P到x轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于二次函数曲线和坐标轴围成的面积一定，阴影面积取到最小值，等效于求的最小值，设，由，，故切线的斜率为，所以切线方程为，令，解得，令，解得，由题意切点在轴下方，且，故， 所以，记，，令得，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增. 所以当时，取得最小值，此时到轴的距离为. 故选：A 5．（2024·高二·河南信阳·期末）如图所示，在直线坐标系xoy中，抛物线段ARB对应的函数解析式为，其中A，B分别为抛物线段与x，y轴的交点，为抛物线段上任意一点，过R点的直线PQ与抛物线段ARB相切，与x轴交于点P，与y轴交于点Q，过B作BC平行于x轴，与直线PQ交于C，则以下错误的是（    ） A．直线PQ的方程为 B．抛物线段ARB的长度大于 C．抛物线段ARB与坐标轴围成的面积大于1 D．三角形POQ的面积取得最小值时， 【答案】D 【解析】对于A，求导得，所以直线PQ的方程为，化简得，，所以A正确； 对于B，显然抛物线段ARB的长度大于线段AB的长度，因为，所以抛物线段ARB的长度大于，所以B正确； 对于C，抛物线段ARB与坐标轴围成的面积大于三角形OAB的面积1，所以C正确； 对于D，三角形POQ的面积为， 令， 令，则，得，， 时，时 故在上单调递减，在上单调递增 当且仅当时，三角形POQ的面积取得最小值，所以D错． 故选：D 数形结合，利用距离公式求最值 1．（2024·高二·辽宁鞍山·期末）我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 2．（2024·高二·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为 故选：C 3．（2024·高二·安徽池州·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【解析】将问题转化为“点到点的距离加上点到点的距离加上点到点的距离之和的最小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值.因为表示点到点的距离，表示点到点的距离， 表示点到点的距离，设， 则表示的长度和， 显然当点与点在轴的非负半轴上，对应原式的结果更小， 当均不在坐标原点，如下图所示： 考虑到求解最小值，所以，设关于原点的对称点为， 所以； 当其中一个在坐标原点，如下图所示： 此时分别有，， 所以； 当都在坐标原点时，， 综上可知：的最小值为， 故选：C. 4．（2024·高二·全国·单元测试）已知，为实数，代数式的最小值是 . 【答案】 【解析】如图所示， 构造点，，，， ， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，，，，， ， 当且仅当，分别为与轴､轴的交点时，等号成立， 故答案为：. 5．（2024·高二·全国·竞赛）已知，为实数，代数式的最小值是 . 【答案】10 【解析】设点， 则 ， 当且仅当分别为连线与两坐标轴的交点时，等号成立. 故答案为：10. 数形结合，绝对值转化求最值 1．（2024·高三·全国·专题练习）若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ． 【答案】或或 【解析】由已知得，整理得， 看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， （1）当，此时易得符合题意的直线 l 为线段AB的垂直平分线以及与直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点， 所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， ①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合； ②作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，符合； 综上，满足题意的实数t为或或 故答案为：或或 2．（2024·高三·上海黄浦·阶段练习）若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系式，则实数t的所有可能的值为 . 【答案】/2.5 【解析】由已知可得，整理可得，看成恰有三条 直线满足到直线（不过原点）的距离相等， ， （1）当，直线l为的垂直平分线，符合题意. 与直线平行的两条直线为和； （2）当，有4条直线l会使A，B到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线经过原点，会作为增根舍去. 设A到直线l的距离为d，若， 若直线l过的中点，A到直线l的距离为，其一方程为，故舍去. 若过原点且以为方向向量，到直线的距离为，其一方程为，故舍去. 所以时，有2条直线符合条件. 而当时，有4条； 综上可得，满足题意的t为 故答案为：. 3．（2024·高二·上海浦东新·期中）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数的所有可能的值为 【答案】，， 【解析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解由已知得，明显地，，整理得，又由，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等； 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时， 会作为增根被舍去；设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，， 4．（2024·高二·安徽合肥·期中）已知直线交圆于，两点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】设中点为，圆， 圆心，化为， 过定点，所以由， 所以点的轨迹为以为直径的圆在圆内的圆弧， 其方程为，联立，解得， ，所以的轨迹为， 圆心到直线的距离为， 过与直线垂直的直线方程为， 与圆的交点为， 在点轨迹上，不在点轨迹上， 所以到直线距离的最大值为， 点到直线的距离为， 设点到直线的距离为，， ，. 故答案为:. 5．（2024·江苏南京·一模）已知实数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设直线：恒过原点，点， 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时，， 所以，即， 因为，所以. 故选：A. 直线问题中的最值与范围综合应用 1．（2024·高二·四川成都·阶段练习）已知点,，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 A．（0，） B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积，由于直线与轴的焦点为，由直线，将三角形分割为面积相等的两部分可得点在射线 上，设直线和的交点为，则由，可得点的坐标为，①若点和点重合，则点为线段的中点，则且，解得；②若点在点和点之间，则点在点和点之间，由题意得可得三角形的面积等于，即，即，解得，故，③若点在点的左侧，则，设直线和的交点为，则，求得点的坐标为，此时，，此时，点到直线的距离等于，由题意得三角形的面积为，即，化简可得，由于此时，所以，整理得，综上所述可得的取值范围是． 2．（2024·高二·福建泉州·阶段练习）已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：， 由得点，由得点，而，， 于是得， 而表示动点到定点与的距离的和， 显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，， 当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0， 从而得取最小值， 所以，当直线l3方程为：时，取最小值. 故选：C 3．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（    ） ①对任意三点A、B、C，都有 ②已知点P(3,1)和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； ④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】①对任意三点、、，若它们共线，设，、，， ，，如右图，结合三角形的相似可得，， 为，，，或，，，则，，，； 若，或，对调，可得，，，； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ，，，； 则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确； 设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，，，．无最值， 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为． 故②正确； ③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则， 若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确； ④定点、，动点 满足，，， 可得不轴上，在线段间成立， 可得，解得， 由对称性可得也成立，即有两点满足条件； 若在第一象限内，满足，，， 即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点． 故④正确； 综上可得，真命题的个数为4个， 故选:. 4．（2024·高二·江西·阶段练习）已知，直线l：，过点A作l的垂线，垂足为B，则点B到x轴的距离的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由可得， 由解得， 即直线过定点，连接，则中点， 因为，所以B在以为圆心，半径为的圆上，如图， 圆的方程为，则圆心到轴的距离， 所以点B到x轴的距离的最小值为. 故答案为： 5．（2024·高二·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：上存在点满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，为奇函数，图象关于原点对称 又关于原点对称，两点必关于原点对称，则为中点 根据向量加法运算法则可知：，又， 即点轨迹是以为圆心，为半径的圆： 直线与有交点， 圆心到直线的距离：，解得： 故答案为： 1． “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，得k最小， 此时设，故，解得或（舍去）， 即． 故选：C. 2．已知，点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，消去得， 因为，所以， 所以点在线段上运动， 设，则， 由得， 所以点在圆上运动，圆心为，半径为. 过点且垂直于的直线为， 设与交于点， 联立，解得，所以， 因为在线段上， 所以圆心到线段上的点的距离的最小值即为圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：D. 3．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【解析】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 4．（广西名校联合体2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题）（多选题）已知直线，下列选项正确的是（   ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时，两直线之间的距离为1 【答案】AD 【解析】对于A，垂直于直线的直线方程为， 将点代入得，故所求直线方程为，故A正确； 对于B，直线化为：，由， 求得直线过定点，故B错误； 对于C，时有：，解得，故C错误； 对于D，当时，，解得， 此时直线， 两平行线间的距离为，故D正确． 故选：AD. 5．（广东省江门市培英高级中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题）（多选题）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解析】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 6．（河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题）（多选题）设a为实数，直线，，则（   ） A．恒过点 B．若，则或 C．若，则或0 D．当时，不经过第二象限 【答案】BD 【解析】将，代入的方程左边得. 当时才等于，并不是对任意实数都成立，所以不恒过点. 故A错误. 对于直线和. 因为，根据两直线平行的判定条件， 则， 整理得，解得或. 当时，，，两直线平行； 当时，，，化简为，两直线平行，所以或. 故B正确. 因为，根据两直线垂直的判定条件，则， 整理得. 利用求根公式，所以C错误. 直线， 当时，，即. ，直线不经过第二象限. 当时，，，直线方程变形为， 则，，所以直线不经过第二象限，故D正确.     故选：BD 7．唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点， 的中点为， 故，解得，即， 依题意即为点到军营最短的距离， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 8．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为，则解得 所以．又点， 所以，直线的方程为， 由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为：. 1．已知，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线过点，画出图象如下图所示，， 由于直线与线段没有公共点，当时，直线与线段有公共点，不符合题意， 当时，直线的斜率为， 根据图象可知的取值范围是，所以的取值范围是. 故选：A. 2．直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线方程可得， 由于倾斜角为，则直线的斜率， 故. 故选：B． 3．已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线，即， 令，解得，即直线过定点； 直线，即， 令，解得，即直线过定点； 又，即直线与直线垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆，（挖去点） 故圆心是，半径为，点的方程是（挖去点）； 设，则以点为圆心，为半径的圆的方程为， 因为，则， 所以恒成立， 所以以点为圆心，为半径的圆恒过点， 所以， 所以， 当且仅当在线段与圆的交点时取等号， 即的最小值为. 故选：A 4．（陕西科技大学附属中学2024-2025学年高二上学期月考三数学试题）（多选题）设直线：，：的交点为，则（   ） A．恒过定点 B． C．的最大值为 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【解析】对于A：因为直线，即， 令，解得，所以恒过定点，故A正确； 对于B：因为直线：，：满足， 所以，故B正确； 对于C：联立两直线方程，解得， 所以， 则 ， 令，则，所以， 且在上单调递增，当时，， 所以，故C错误； 对于D：由A可知，直线恒过定点， 则点到直线的距离的最大值即为点到定点的距离， 即，故D正确； 故选：ABD 5．已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 . 【解析】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 6．设，点、分别是直线与上的任意动点，若时，皆有，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【解析】由题设，，且恒成立， 所以在上恒成立， 则，整理得，故， 所以， 当，时，最小值为. 故答案为： 7．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. 易知，， ，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 8．定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为 . 【答案】8 【解析】由题意两定点与到直线的有向距离分别为 ，， 因为，所以， 即，化简得，则. 又由不全为零，则，且. 当时，可化为； 当时，可化为； 又因为在直线l的同侧， 则. 解得或. 所以直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 直线可表示平面上两平行直线与之间带状区域以外的点， 其中不能表示两平行直线上的点； 结合图形可知，平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形为以为对角线的正方形， 由，则该正方形的面积. 故答案为：. 1．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2021年全国新高考II卷数学试题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】抛物线的焦点坐标为， 其到直线的距离：， 解得：(舍去). 故选：B. 3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 4．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 【答案】D 【解析】设，则， 依题意，有，且， 所以，故， 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$