第8讲 圆柱和圆锥（4）-2024-2025学年六年级数学寒假自学课（人教版）

第8讲 圆柱和圆锥（4） 课前导入 【思考】同学们，上面这些物体的形状有什么共同点呢？ 知识点精讲 知识点一 圆锥的认识 内容 特征 1. ； 2. 底面：圆锥的底面是平面，是一个圆； 3. 侧面：圆锥的侧面是曲面； 4. 高：圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。 【注意】 圆锥高的测量： 把下面这些图形分别卷起来，能卷成圆锥的是（    ）。例1 A． B． C． D． 四位同学测量圆锥高的方法如下，你认为正确的是（    ）。例2 下图中，（    ）沿轴旋转一周能够得到一个圆锥。练1 A． B． C． D． 将一个圆锥沿高切成两部分，切面是（    ）。练2 A．扇形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．长方形 知识点精讲 知识点二 圆锥的体积 内容 公式 圆锥的体积 = ×底面积 ×高 【注意】 用字母表示为： 一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，圆柱体的体积是圆锥体的（    ）。例1 A． B．3倍 C． D．2倍 一个圆锥的底面周长是25.12dm，体积是452.16dm3，它的高是（    ）dm。例2 A．36 B．9 C．27 D．18 一个长方体的底面积是30cm2，高是10cm，与它等底等高的圆锥的体积是( )cm3。练1 一个圆锥的底面积是12m2，高是3m，它的体积是( )m3。练2 一、选择题 1．下面图形旋转就会形成圆锥。 A． B． C． D． 2．一个圆锥的体积是36立方厘米，它的底面积是18平方厘米，它的高是（    ）。 A．厘米 B．2厘米 C．6厘米 D．18厘米 3．一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，则它的体积扩大（    ）。 A．6倍 B．9倍 C．18倍 D．27倍 二、填空题 4．一个圆锥的底面半径是6dm，高是4dm。它的体积是( )dm3。 5．下面哪些立体图形是圆锥？是的在括号里画“√”，不是的在括号里画“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( ) 发现：圆锥有( )个底面，且底面是一个( )，圆锥的侧面是一个( )面。 6．圆锥的高是圆柱高的3倍，圆锥的底面直径是圆柱的，圆锥体积和圆柱体积的比是( )。 三、判断题 7．长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都可以用表示。( ) 8．同体积的圆柱和圆锥放在一起，圆锥的高一定是圆柱的3倍。( ) 9．将一张三角形的纸旋转一周一定可以得到一个圆锥。( ) 四、解答题 10．下面的图形如果以竖线为轴进行旋转，得到的是什么图形？连一连。 11．如今自带帐篷旅游越来越受人们欢迎。如图，一种近似圆锥形帐篷的底面直径是5米，高是2.4米。这种圆锥形帐篷占地面积是多少？ 12．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 13．一个圆锥形麦堆，量得底面周长为12.56米，高1.8米。 （1）这个麦堆的占地面积是多少平方米？ （2）如果把这些小麦装入一个底面半径是2米圆柱形粮囤（从里面量），刚好装满这个粮囤。这个粮囤的高是多少米？ 14．明明在假期里计划动手制作一个污水过滤器进行污水过滤实验。过滤器如下图所示，实验时将污水倒入上方近似圆锥形的容器中，经过过滤管的过滤后，清水滴入下方的圆柱形容器。 （1）这个近似圆锥形的容器一次最多大约能装多少毫升的污水？ （2）如果这些污水全部过滤后滴到下方的圆柱形容器中，那么圆柱形容器中水的高度大约是多少厘米（不考虑过滤掉的杂质体积）？ 15．把一个底面半径3厘米，高8分米的圆柱体铁块，熔铸成一个底面半径是2分米的圆锥体。这个圆锥体的高是多少厘米？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： B例1 【分析】根据圆锥的特征可知：圆锥表面由底面和侧面组成，底面是一个圆，侧面是一个曲面，侧面展开是一个扇形。据此解答。 【详解】根据分析，圆锥的表面展开如下图： 圆锥的侧面展开是一个扇形，因此选项B符合题意。 故答案为：B D例2 【分析】圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离，因此，测量它的高时，首先要把直尺垂直放置，0刻度线和底面对齐，上面的直角三角尺（或者直尺）要与竖直的直尺的边垂直，这样才能准确量出圆锥的高，据此即可作出选择。 【详解】 ，直尺没有垂直，测量方法错误； ，0刻度线和底面没有对齐，测量方法错误； ，直尺没有垂直，缺少上面的直尺；测量方法错误； ，直尺垂直放置，0刻度线和底面对齐，上面的直角三角尺要与直尺的边垂直，测量方法正确。 四位同学测量圆锥高的方法正确的是。 故答案为：D D练1 【分析】根据圆柱的特征可知，以长方形的一边所在直线为轴旋转一周得到一个圆柱。 根据圆锥的特征可知，以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周得到一个圆锥。 【详解】 A．沿轴旋转一周能够得到一个圆柱； B．沿轴旋转一周能够得到一个组合图形，上面是圆锥，下面是圆柱； C．沿轴旋转一周能够得到一个球； D．沿轴旋转一周能够得到一个圆锥。 故答案为：D C练2 【分析】根据圆锥的特征，圆锥沿高切成两部分，切面是以底面直径为底、以圆锥的高为高的等腰三角形。 【详解】将一个圆锥沿高切成两部分，切面是等腰三角形。 故答案为：C 【点睛】掌握圆锥的特征以及圆锥切割的特点是解题的关键。 知识点二： B例1 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱的，则等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，圆柱体的体积是圆锥体的3倍。 故答案为：B C例2 【分析】根据圆的周长公式：C＝，代入数据求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式：V＝，把体积和半径的数据代入，即可求出圆锥的高。 【详解】25.12÷2÷3.14＝4（dm） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（dm2） 452.16×3÷50.24 ＝1356.48÷50.24 ＝27（dm） 即它的高是27dm。 故答案为：C 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆锥的体积公式求解。 100练1 【分析】已知圆锥与长方体等底等高，即圆锥的底面积是30cm2，高是10cm，根据圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可求出圆锥的体积。 【详解】×30×10＝100（cm3） 与它等底等高的圆锥的体积是100cm3。 12练2 【分析】已知圆锥的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算求出它的体积。 【详解】×12×3＝12（m3） 它的体积是12m3。 1．B 【分析】A．长方形或正方形的对边相等，长方形或正方形以它的一边为轴旋转一周，它的上、下两个面就是以半径相等的两个圆面，与轴平行的一边形成一个曲面，这个长方形或正方形就成为一个圆柱。 B．一个直角三角形，以它的一条直角边为轴，旋转一周，它的一面就是一个以另一条直角边为半径的一个圆面，直角三角形的斜边形成一个曲斜面，由于直角三角形的另一点在轴上，旋转后还是一点，这个直角三角形就形成一个圆锥。 C．一个梯形绕着它的一条轴旋转一周，会形成一个由两个圆锥底面相对组合，中间为一个圆台的组合体，不能形成圆锥。 D． 等腰三角形以它的底为轴，旋转一周，形成的是两个圆锥的组合体。 【详解】由分析得： 旋转就会形成圆锥。 故答案为：B 2．C 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝，已知圆锥的体积是36立方厘米，它的底面积是18平方厘米，代入到公式中，即可求出圆锥的高。 【详解】36÷÷18 ＝36×3÷18 ＝6（厘米） 即圆锥的高是6厘米。 故答案为：C 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆锥的体积公式求解。 3．B 【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，若“高不变，底面半径扩大到原来的3倍”，则底面积扩大到原来的32倍，体积也扩大到原来的32倍。据此判断。 【详解】当高不变时，底面半径扩大到原来的3倍，根据圆锥的体积＝可知，底面积则会扩大到原来的32倍，相当于底面积扩大到原来的9倍；因为圆锥的体积＝×底面积×高，底面积扩大到原来的几倍，则体积也会扩大到原来的几倍。所以当底面积扩大到原来的9倍时，它的体积也会扩大到原来的9倍。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查圆锥的体积公式的灵活应用。 4．150.72 【分析】已知圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出它的体积。 【详解】×3.14×62×4 ＝×3.14×36×4 ＝150.72（dm3） 它的体积是150.72dm3。 【点睛】本题考查圆锥体积公式的运用。 5． × × √ √ × × 1 圆 曲 【分析】圆锥底面是圆，上面是锥状体，圆锥的侧面是个曲面。据此判断。 【详解】     发现：圆锥有（1）个底面，且底面是一个（圆），圆锥的侧面是一个（曲）面。 【点睛】 6．1∶9 【分析】根据题意，假设圆锥的高是3，圆锥的高是圆柱高的3倍，那么圆柱的高就是1；圆柱的底面半径为1，那么圆锥的底面半径就为，利用圆柱和圆锥的体积公式表示出它们的体积，再相比即可。 【详解】假设圆柱的高是1，圆锥的高是3；圆柱的底面半径为1，圆锥的底面半径为； 圆柱的体积：π×12×1＝π； 圆锥的体积：π×＝π； π∶π＝1∶9 【点睛】此题主要考查圆柱和圆锥的体积计算以及比的意义，掌握基础知识是关键。 7．× 【分析】长方体、正方体、圆柱的体积公式可以用表示，而圆锥的体积公式用表示，据此判断。 【详解】由分析可知，圆锥的体积公式用表示，所以原题说法错误； 故答案为：× 8．× 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，当圆柱和圆锥的体积相等时，题目中并没说明底面积的情况，所以并不能确定圆锥的高是圆柱的3倍。据此解答。 【详解】根据分析得，同体积的圆柱和圆锥放在一起，，圆锥的高不一定是圆柱的3倍，如圆柱底面积3，体积是3，则高是3÷3＝1，圆锥底面积2，体积是3，则高是3÷÷2＝3×3÷2＝4.5，4.5÷1＝4.5，并不是3倍关系。 故答案为：× 【点睛】此题的解题关键是灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。 9．× 【分析】根据圆锥的特征，圆锥的底面是一个圆，侧面是曲面；再根据面动成体的原理，以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，那么这条直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径；据此判断。 【详解】如图： 直角三角形围绕其中一条直角边旋转一周一定可以得到一个圆锥。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】掌握圆锥的特征以及面动成体的原理进行解答。 10．图见详解 【分析】一个平面图形围绕一条轴旋转一周，会形成一个立体图形，根据圆柱、圆锥的特点即可解答。 【详解】连线如下： 11．19.625平方米 【分析】求圆锥的占地面积，就是求直径是5米的圆的面积，根据圆的面积＝πr2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（5÷2）2 ＝3.14×2.52 ＝19.625（平方米） 这种圆锥形帐篷占地面积是19.625平方米。 【点睛】熟练掌握圆的面积公式是解题的关键。 12．15厘米 【分析】首先求出水面上升的体积，这个体积就是圆锥形零件的体积。然后根据圆锥的体积公式＝×圆锥的底面积×高，反推出圆锥的高度。 【详解】玻璃缸底面积为：50×30＝1500（平方厘米） 水面上升的高度为：15－12＝3（厘米） 所以圆锥形零件的体积为：1500×3＝4500（立方厘米） 圆锥的高：h＝3V÷S＝3×4500÷900＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 13．（1）12.56平方米 （2）0.6米 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆锥的底面半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可； （2）根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出小麦的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，即h＝V÷πr2，据此可求出这个粮囤的高。 【详解】（1）12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22＝12.56（平方米） 答：这个麦堆的占地面积是12.56平方米。 （2）×3.14×22×1.8 ＝×3.14×4×1.8 ＝×1.8×3.14×4 ＝0.6×3.14×4 ＝1.884×4 ＝7.536（立方米） 7.536÷（3.14×22） ＝7.536÷（3.14×4） ＝7.536÷12.56 ＝0.6（米） 答：这个粮囤的高是0.6米。 14．（1）565.2毫升；（2）1.8厘米 【分析】（1）求圆锥形容器一次能装入多少毫升的污水，就是求一个底面直径是12厘米，高15厘米的圆锥的体积，利用圆锥的体积＝πr2h求解即可。 （2）圆柱的体积＝底面积×高，污水的体积÷原住地面积即可求出水的高度。据此解答即可。 【详解】（1）3.14×（12÷2）2×15× ＝3.14×62×15× ＝3.14×36×15× ＝113.04×15× ＝1695.6× ＝565.2（立方厘米） 565.2立方厘米＝565.2毫升 答：这个近似圆锥形的容器一次最多大约能装565.2毫升的污水。 （2）565.2÷[3.14×（20÷2）2] ＝565.2÷[3.14×100] ＝565.2÷314 ＝1.8（厘米） 答：圆柱形容器中水的高度大约是1.8厘米。 15．5.4厘米 【分析】根据圆柱体积：，先算出圆柱体铁块的体积；圆锥体积与圆柱体积相等，再根据圆锥体积：，求出圆锥的高即可。 【详解】8分米＝80厘米 2分米＝20厘米 圆锥体积： （立方厘米） 圆锥的高： （厘米） 答：这个圆锥体的高是5.4厘米。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥的体积计算公式。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$