第7讲 圆柱和圆锥（3）-2024-2025学年六年级数学寒假自学课（人教版）

第7讲 圆柱和圆锥（3） 课前导入 【思考】同学们，你能帮忙计算一下吗？ 知识点精讲 知识点一 圆柱的体积 内容 公式 圆柱的体积 = 底面积 × 高 【注意】 用公式表示为： 一个圆柱的底面积是10平方厘米，体积是5立方厘米，它的高是( )厘米。例1 如图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的( )，高等于圆柱的( )，体积等于圆柱的( )，所以圆柱的体积( )( )，用公式表示是( )。例2 一个圆柱的底面积是12dm2，高是6dm，它的体积是( )dm3。练1 一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积就扩大到原来的( )倍。练2 知识点精讲 知识点二 圆柱的容积 内容 公式 圆柱的容积 = 圆柱的体积 【注意】 为了方便计算，我们一般默认物体的容积 = 物体的体积。 一个铁制圆柱形茶叶罐（如下图），从里面测量，底面的面积是58平方厘米，高是14厘米。这个茶叶罐的容积是( )立方厘米。例1    小雨家有6个从里面量得底面积是、高10cm的圆柱形水杯，沏一壶茶水能倒满4杯。有一天来了6位客人，如果让6位客人都能喝上这壶茶水，平均每杯倒( )毫升。例2 求做一个圆柱形的铁皮汽油桶需要多少铁皮，是求它的( )；求这个汽油箱可以装多少汽油，是求它的( )。练1 一个圆柱形水桶，从里面量，底面半径是，高是。已知每立方分米水重，这个水桶能盛水( )。练2 一、选择题 1．等底等高的圆柱、正方体和长方体的体积相比较（    ）。 A．正方体体积大 B．长方体体积大 C．圆柱体体积大 D．体积一样的 2．底面积是28.26dm2的圆柱体的高增加3dm，体积增加（    ）dm3。 A．28.26 B．14.13 C．84.78 D．56.52 3．将一个长18分米、宽12分米的长方形铁片加工成一个圆桶，另加一个底，则这个圆桶的最大容积是（    ）立方分米。（接头处忽略不计，π取3） A．324 B．216 C．1296 D．864 二、填空题 4．如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，那是小沙怕爸爸烫手而特意贴上的。这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是( )厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是( )毫升。（玻璃杯厚度不计） 5．一个圆柱形水桶（无盖），高是，底面直径是高的，做这个水桶要用铁皮( )，它最多能装( )水（铁皮厚度忽略不计）。 6．一个圆柱形油桶的底面积是3.14dm2，高是2dm，它的体积是( )dm3。 三、判断题 7．两个圆柱体，底面积大的圆柱体积也一定大。( ) 8．计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。( ) 9．容积200升的圆柱形油桶，它的体积一定是200立方分米。( ) 四、解答题 10．王叔叔在自家苹果园里挖了一个底面直径是4米、深1.5米的圆柱形蓄水池。 （1）现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池能装多少吨水？（每立方米水重1吨） 11．一个圆柱形水杯的底面半径是4厘米，先向杯里注入高度为6厘米的水，然后向里面放进4个小铁球，小铁球沉没水中后水面上升到8厘米。一个小铁球的体积是多少立方厘米？ 12．下面这个杯子能装下这袋牛奶吗？（杯壁厚度忽略不计） 13．有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是300毫升。如图，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料的高度是20厘米，倒放时空余部分的高度是5厘米。瓶内现有饮料多少毫升？ 14．“六一”儿童节，小红和妈妈出去游玩。妈妈带了一个圆柱形水壶，从里面量底面直径是10厘米，高是16厘米。如果两人游玩期间要喝1升水，装满这壶水够喝吗？ 15．王亮家即将喜迁新居，选择购买这款空调（如图）。请你算一算这款空调占据的空间大约是多少立方米？（精确到百分位） 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： /0.5例1 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高可知，圆柱的高＝体积÷底面积，据此解答。 【详解】5÷10＝0.5（厘米） 所以圆柱的高是0.5厘米。 底面积 高 体积 底面积 高 Sh例2 【分析】观察可知：把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，形状变了，体积不变。圆柱与长方体等底等高，圆柱的体积＝长方体的体积。据此解答。 【详解】根据分析，可得： 把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高，体积等于圆柱的体积，所以圆柱的体积底面积×高，用公式表示是Sh。 72练1 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，列式计算即可。 【详解】12×6＝72（dm3） 它的体积是72dm3。 9练2 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及积的变化规律可知，圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，那么它的体积就扩大到原来的32倍。 【详解】32＝9 一个圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积就扩大到原来的9倍。 知识点二： 812例1 【分析】已知圆柱的底面积和高，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，代入数据计算即可。 【详解】58×14＝812（立方厘米） 这个茶叶罐的容积是812立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱体积（容积）公式的运用。 200例2 【分析】根据求出一个水杯可以盛水的体积，再乘4即可求出一壶茶水的体积；根据题意，要将一壶茶水平均倒入6个杯子里，用一壶茶水的体积除以6即可解答。 【详解】30×10×4÷6 ＝1200÷6 ＝200（立方厘米） 200立方厘米＝200毫升 【点睛】先求出一壶茶水的体积是解答本题的关键，再除以6即可解答。 表面积 容积练1 【分析】根据圆柱表面积的定义知道，圆柱表面积是指将一个圆柱体沿高展开后得到的长方形的面积再加两个底面积的和，做一个铁皮油桶需要的铁皮，实际就是求这个圆柱体油桶的表面积，即油桶的侧面积与两个底面积的和；要求这个油桶能装多少汽油，就是求油桶的容积，据此解答即可。 【详解】求做一个圆柱形的铁皮汽油桶需要多少铁皮，是求它的表面积；求这个汽油箱可以装多少汽油，是求它的容积。 【点睛】明确表面积和容积的意义是解答本题的关键。 62.8练2 【分析】根据求出水桶的容积，再乘每立方分米水的质量即可。 【详解】3.14×2²×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方分米）； 62.8×1＝62.8（千克） 【点睛】熟练掌握圆柱的体积公式是解答本题的关键。 1．D 【分析】圆柱体积＝底面积×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长＝底面积×高，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高，据此分析。 【详解】由分析可得：圆柱、正方体、长方体的体积都可以用底面积×高来计算，所以等底等高的圆柱、正方体、长方体的体积一样大。 故答案为：D 2．C 【分析】圆柱体的体积＝底面积×高，当高增加3dm，体积增加＝底面积×增加的高。 【详解】由分析可知，圆柱体体积增加：28.26×3＝84.78（dm3） 故答案为：C 3．A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，要使围成的圆柱体积最大，要以长边为底面周长，宽为圆柱的高。根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】3×（18÷3÷2）2×12 ＝3×（6÷2）2×12 ＝3×32×12 ＝3×9×12 ＝27×12 ＝324（立方分米） 这个圆桶的最大容积是324立方分米。 故答案为：A 4． 18.84 423.9 【分析】（1）求这条装饰带的长，就是求这个圆柱的底面周长，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答； （2）求茶杯的容积，就是这个茶杯的体积，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】底面周长：3.14×6＝18.84（厘米） 半径：6÷2＝3（厘米） 圆柱的容积： 3.14×32×15 ＝3.14×9×15 ＝28.26×15 ＝423.9（立方厘米） ＝423.9（毫升） 这条装饰带的宽是5厘米，那么它的长至少是18.84厘米。（接头处不计）这个茶杯的容积大约是423.9毫升。（玻璃杯厚度不计） 5． 216.66 282.6 【分析】先用10分米乘，求出这个圆柱形水桶的底面直径；然后用这个圆柱形水桶的侧面积加上一个底面的面积，即可求出做这个水桶要用多少平方分米铁皮；最后用这个圆柱形水桶的底面积乘高，即可求出它最多能装多少立方分米水。 【详解】（分米） （平方分米） （立方分米） 做这个水桶要用铁皮216.66平方分米，它最多能装282.6立方分米水。 6．6.28 【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算即可。 【详解】3.14×2＝6.28（dm3） 【点睛】灵活运用圆柱的体积计算公式是解题的关键。 7．× 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，由圆柱体积的计算公式可以得出，圆柱的体积由圆柱的底面积大小和圆柱的高共同决定的，据此判断。 【详解】圆柱的体积＝底面积×高，圆柱体积的大小取决于圆柱的底面积和高，因此比较两个圆柱的体积大小，不能只看底面积的大小，还受到圆柱高的影响，所以底面积大的圆柱体积不一定就大，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 8．√ 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，其中“长×宽”就是长方体的底面积，所以长方体的体积＝底面积×高； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，其中“棱长×棱长”就是正方体的底面积，所以正方体的体积＝底面积×高； 圆柱的体积V＝πr2h，其中“πr2”就是圆柱的底面积，所以圆柱的体积＝底面积×高。 据此判断。 【详解】长方体的体积＝底面积×高 正方体的体积＝底面积×高 圆柱的体积＝底面积×高 计算长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高。 原题说法正确。 故答案为：√ 9．× 【分析】1升＝1立方分米，体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，即物体所含物质的体积，一个物体有体积，但它不一定有容积。 【详解】虽然200升＝200立方分米，考虑油桶材料的厚度，容积200升的圆柱形油桶，它的体积应该大于200立方分米，所以原题说法错误。 故答案为：× 10．（1）31.4 平方米 （2）18.84 吨 【分析】（1）求抹水泥的面积也就是求圆柱的一个底面积和一个侧面积的和，底面积＝，侧面积＝，根据公式代入数据计算即可。 （2）求这个蓄水池能装多少水，也就是求这个圆柱的容积，根据圆柱的体积＝计算即可。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ 答：现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是31.4平方米。 （2） ＝ ＝（吨） 答：这个蓄水池能装18.84吨水。 11．25.12立方厘米 【分析】由题意可知：4个小铁球的体积就等于上升部分的水的体积，于是可以利用圆柱的体积＝底面积×高，求出升高部分的水的体积，从而除以4求出一个小铁球的体积。 【详解】3.14×42×（8－6）÷4 ＝3.14×16×2÷4 ＝100.48÷4 ＝25.12（立方厘米） 答：一个小铁球的体积是25.12立方厘米。 【点睛】此题主要考查某些实物体积的测量方法。 12．能装下 【分析】根据圆柱的容积：V＝Sh＝πr2h，代入数据，求出杯子的容积，再和这袋牛奶的体积比较大小。据此解答。 【详解】 ＝ （cm3） 502.4cm3＝502.4mL 答：这个杯子能装下这袋牛奶。 13．240毫升 【分析】从图中可知：无论饮料瓶是正放还是倒放，瓶内空余部分的体积不变。因此通过将饮料瓶正放和倒放两个空余部分替换，饮料瓶的容积就相当于（20＋5）厘米高的圆柱形饮料瓶的容积。用300÷（20＋5），就求出了圆柱的底面积，再用底面积×正放时饮料的高度，即可求出瓶内现有饮料的体积。据此解答。 【详解】 300毫升＝300立方厘米 300÷（20＋5）×20 ＝300÷25×20 ＝240（立方厘米） ＝240（毫升） 答：瓶内现有饮料240毫升 14．装满这壶水够喝 【分析】根据圆柱体的体积公式：V＝Sh＝π（d÷2）2h，求出这个保温杯的容积，再和1升进行比较，如果保温杯的容积大于1升就够喝，否则就不够喝，注意根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米进行单位换算。 【详解】壶的容积： （立方厘米） ＝1.256（升） 1.256升＞1升 答：装满这壶水够喝。 【点睛】本题考查圆柱的体积、体积和容积的单位换算，解答本题的关键是掌握圆柱的体积计算公式。 15．0.23立方米 【分析】由题可得，底面直径是40厘米、高是180厘米的圆柱的体积就是空调的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，然后把单位化成立方米，得数精确到百分位，即可求出空调的体积，据此解答。 【详解】3.14×（40÷2）2×180 ＝3.14×202×180 ＝3.14×400×180 ＝1256×180 ＝226080（立方厘米） 226080立方厘米＝0.22608立方米≈0.23立方米 答：这款空调占据的空间大约是0.23立方米。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$