第5讲 圆柱与圆锥（1）-2024-2025学年六年级数学寒假自学课（人教版）

第5讲 圆柱与圆锥（1） 课前导入 【思考】同学们，你们还记得圆柱的特点吗？ 知识点精讲 知识点一 圆柱的认识 内容 圆柱的认识 【注意】 1. 圆柱的2个底面是2个大小相同的圆； 2. 圆柱的侧面是曲面，展开图是长方形； 3. 圆柱2个底面之间的距离是圆柱的高，圆柱有无数条高且都相等。 下面各图中，h表示的是圆柱的高的是（    ）。例1 A． B． C． D． 在下面的图形中，以任意一边为轴旋转一周，可以得到圆柱体的是（    ）。例2 A．三角形 B．长方形 C．平行四边形 D．梯形 下图是从上面和侧面看到的一个圆柱形的形状，这个圆柱的底面直径和高各是（    ）厘米。练1 从上面看     从侧面看 A．1、3 B．2、3 C．3、3 D．2、2 如图，长方形EFGH，以FG为轴旋转一周形成的立体图形是下面这些圆柱中的（    ）。练2 A． B． C． D． 知识点精讲 知识点二 圆柱的展开图 内容 圆柱的展开图 圆柱的展开图，为2个圆，1个长方形。 【注意】 1. 圆柱展开后，长方形的长 = 圆柱底面的周长，宽 = 圆柱的高； 2. 若圆柱的底面周长 = 圆柱的高，则侧面展开后为一个正方形。 请你制作一个无盖圆柱形水桶，有如下所示几种型号的铁皮可供搭配选择，你选择的材料是（    ）。例1 A．1号和2号 B．3号和2号 C．1号和4号 D．3号和4号 下面图形中（    ）是圆柱体的展开图。例2 A． B．C．D． 把一个圆柱的侧面展开，不可能是（    ）。练1 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形 如图，图（2）是图（1）的侧面展开图。一只昆虫沿着圆柱的侧面，从A点沿最短的距离爬到B点。B点在图（2）中( )的位置（填序号）。练2 一、选择题 1．如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的（    ）相等。 A．底面周长和高 B．底面积和高 C．底面直径和高 D．底面半径和高 2．下面图形中，（    ）是圆柱的展开图。（图中单位：cm） A． B．C． D． 3．一个圆柱的侧面展开后是一个正方形，它的底面半径是3cm，它的高是（    ）厘米。 A．6 B．18.84 C．28.26 D．37.68 二、填空题 4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的高与底面半径的比是( )（用含π的式子表示）。 5．一个平面图形经过平移或旋转可以形成立体图形。如分别将长方形、圆作为底面，向上平移可以得到长方体、圆柱（如图1）。又如将一个长4厘米、宽3厘米的长方形，绕着长旋转一周，也可以得到一个圆柱（如图2），这个圆柱同时可以看作是将一个底面半径是( )厘米的圆作为底面，向上平移( )厘米形成的圆柱。                 6．将一个圆柱用与底面平行的方式切开，切面的形状是( )形；用与底面垂直的方式切开，切面的形状是( )形。 三、判断题 7．下面图形中有4个圆柱。( ) 8．圆柱的两个圆面叫做底面，两个底面之间的连线叫做高。( ) 9．沿圆柱侧面的一条高剪开。展开图不是长方形就是正方形。( ) 四、解答题 10．标明下面圆柱的底面、侧面和高。 11．如下图所示，一个有盖的长方体礼盒刚好能容纳6个圆柱形茶叶罐（单位：厘米），做一个这样的长方体礼盒至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处不计） 12．生日蛋糕起源于德国，人们认为蛋糕是幸福、幸运的象征，在生日当天，亲人朋友都会齐聚身边给予祝福，并且送蛋糕以带来好运。今天是笑笑的生日，同学们送给她一个大蛋糕，蛋糕盒是圆柱形，做蛋糕的阿姨说要配上十字形丝带才更漂亮（如下图），捆扎这个蛋糕盒需要多长的丝带？（打结处要用25厘米） 13．用一张长18.84厘米，宽12.56厘米的长方形纸，卷成一个圆柱形直筒，给这个直筒配一个底面，这个底面至少需要用纸多少平方厘米？（粘合处所用纸张大小忽略不计） 14．一个圆柱的侧面展开图是一个长25.12厘米、宽12.56厘米的长方形。这个圆柱的底面半径是多少厘米？ 15．一个圆柱形茶叶筒的侧面贴着商标纸，圆柱底面半径是5厘米，高是20厘米。这张商标纸展开后是一个长方形，它的长和宽各是多少厘米？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： B例1 【分析】圆柱的高是圆柱的上底面和下底面之间的距离。圆柱有无数条高。 【详解】A．是一条曲线，圆柱的高应该是一条线段； B．是上下两个底面之间的距离； C．是一条斜线，不可以； D．是圆柱的底面到圆边之间的距离，不可以 故答案为：B B例2 【分析】圆柱是以长方形的一条边所在的直线为旋转轴，其余三边绕旋转轴旋转一周而形成的几何体，据此解答。 【详解】 分析可知，以长方形任意一边为轴旋转一周，可以得到圆柱体。 故答案为：B 【点睛】掌握圆柱的特征是解答题目的关键。 B练1 【分析】根据圆柱的特征：圆柱的上、下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面。 从上面看到的是圆柱的底面，由此可知这个圆柱的底面直径是2厘米； 从侧面看到的是以圆柱的高为长，圆柱的底面直径为宽的长方形，所以这个圆柱的高是3厘米。 【详解】这个圆柱的底面直径是2厘米，高是3厘米。 故答案为：B 【点睛】结合圆柱的特征，根据从上面、侧面观察圆柱的平面图形找到这个圆柱的底面直径和高。 A练2 【分析】以FG为轴旋转一周形成一个圆柱体，FG是圆柱的高，HG为圆柱的底面半径，据此判断。 【详解】A．圆柱的高是FG，圆柱的底面半径是HG，符合题意； B．圆柱的高＜FG，不符合题意； C．圆柱的底面半径＜HG，不符合题意； D．是以HG为轴旋转得到的圆柱，HG是圆柱的高，FG是圆柱的底面半径，不符合题意。 故答案为：A 【点睛】掌握圆柱的特征，关键是弄清长方形的哪条边是圆柱的高，哪条边是圆柱的底面半径。 知识点二： B例1 【分析】根据“圆柱的底面周长与侧面相接的边的长度相等”解答即可，求出两个底面的周长，再选择合适的侧面。 【详解】3.14×4＝12.56（分米）； 2号的底面周长和3号长方形的长长度相等，可以选择3号和2号； 3.14×（2×3） ＝3.14×6 ＝18.84（分米）； 4号底面没有符合的侧面； 故答案为：B。 【点睛】明确底面周长与侧面相接的边的长度关系是解答本题的关键。 A例2 【分析】圆柱体侧面展开图特征：如果沿着圆柱体的高将圆柱体侧面展开，得到的图形是一个矩形。矩形的长等于圆柱体底面圆的周长，即C＝2πr（其中为底面半径）。矩形的宽等于圆柱体的高。 圆柱体两个底面展开图特征：圆柱体的两个底面是完全相同的圆。圆的半径就是圆柱体底面半径r。在圆柱体展开图中，两个底面圆分别位于侧面展开长方形的上下两侧（当沿着高展开时）。逐一分析各项，是否符合圆柱体展开图的特征。 【详解】 A．，图中长方形的高为2，长为9.42，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，符合圆柱体展开图的特征。 B．，图中长方形的长为3，高为2，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 C． 图中长方形的高为2，长为12，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（3÷2）＝6.28×1.5＝9.42，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 D． 图中长方形的高为2，长为24，长方形的长为圆柱底面圆的周长，依据圆的周长公式：C＝2πr＝2×3.14×（6÷2）＝6.28×3＝18.84，与长方形的长不相等，不符合圆柱形展开图的特征。 故答案为：A D练1 【分析】圆柱的展开图可能是正方形、可能是长方形、也可能是平行四边形，根据圆柱的侧面展开图的特点，结合圆柱的侧面的几种展开图方法与展开图的特点即可进行选择。 【详解】圆柱的侧面沿高展开可能是长方形或正方形，如果斜着展开是一个平行四边形，因为圆柱的上下底面是完全相同的两个圆，所以圆柱的侧面展开图不可能是梯形。 故答案为：D ③练2 【分析】如图所示：要求昆虫爬行的距离最短，将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果。 【详解】据分析，从A点沿最短的距离爬到B点，B点在图（2）中③的位置。 1．A 【分析】一般情况下，圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等。 【详解】如图： 如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的底面周长和高相等。 故答案为：A 2．C 【分析】根据圆柱展开图的特点：长方形的长＝底面周长，根据圆的周长公式：C＝πd，求出圆的周长，再和长方形的长比较，据此来判断。 【详解】A．(厘米） 12.56＞3；不符合题意； B．（厘米） 12.56＞12；不符合题意； C．（厘米） 6.28＝6.28；符合题意； D．（厘米） 6.28＞3.14；不符合题意； 图C中的长方形的长和底面周长相等。 故答案为：C 3．B 【分析】侧面展开图是正方形，所以圆柱的底面周长与圆柱的高相等，根据圆柱的底面周长＝，可以求出圆柱的高。 【详解】 ＝ ＝（厘米） 它的高是18.84厘米。 故答案为：B 【点睛】 4．2π∶1 【分析】若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则该圆柱的底面周长等于圆柱的高，假设圆柱的底面半径为r，再结合圆的周长公式：C＝2πr，据此进行计算即可。 【详解】2πr∶r ＝（2πr÷r）∶（r÷r） ＝2π∶1 则这个圆柱的高与底面半径的比是2π∶1。 5． 3 4 【分析】通过观察可知，将一个长4厘米、宽3厘米的长方形，绕着长旋转一周，得到一个圆柱，可知圆柱的底面半径是3厘米，高为4厘米，所以这个圆柱同时可以看作是将一个底面半径是3厘米的圆作为底面，向上平移4厘米形成的圆柱。 【详解】这个圆柱同时可以看作是将一个底面半径是3厘米的圆作为底面，向上平移4厘米形成的圆柱。 6． 圆 长方 【分析】将一个圆柱用与底面平行的方式切开，切面的形状与圆柱底面相同；用与底面垂直的方式切开，切面的形状是一个长＝圆柱的高，宽＝圆柱底面直径的长方形，据此分析。 【详解】 如图，将一个圆柱用与底面平行的方式切开，切面的形状是圆形；如图，用与底面垂直的方式切开，切面的形状是长方形。 7．× 【分析】以长方形的一条边所在的直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体就是圆柱，圆柱的底面都是圆，并且大小一样，圆柱的侧面是曲面，同一个圆柱两底面之间的距离都相等，据此解答。 【详解】分析可知，第1个图形、第3个图形、第4个图形是圆柱，一共有3个圆柱。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查圆柱的认识，掌握圆柱的特征是解答题目的关键。 8．× 【详解】 如图所示，圆柱的上、下两个面叫做底面，圆柱的底面都是圆，并且大小一样，圆柱周围的面（上、下底面除外）叫做侧面，圆柱的侧面是曲面，圆柱的两个底面之间的距离叫做高，所以题目说法不正确。 故答案为：× 9．√ 【分析】把一个圆柱沿高剪开，当圆柱的底面周长等于圆柱的高时，展开的图形是正方形；当圆柱的底面周长不等于圆柱的高时，展开的图形是长方形，据此即可解答。 【详解】沿圆柱侧面的一条高剪开。展开图不是长方形就是正方形。原题干说法正确； 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了用不同的方法把圆柱的侧面展开时会得到不同的形状。 10．见详解 【分析】 如图，圆柱是由3个面围成的。圆柱的上、下两个面叫作底面，是两个大小一样的圆。圆柱周围的面（上、下底面除外）叫作侧面，是个曲面。圆柱的两个底面之间的距离叫作高，据此分析。 【详解】 11．1568平方厘米 【分析】长方体的长是圆柱底面直径的3倍，长方体的宽是圆柱底面直径的2倍，长方体的高等于圆柱的高，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出需要包装材料的面积； 【详解】长：8×3＝24（厘米） 宽：8×2＝16（厘米） （24×16＋24×10＋16×10）×2 ＝（384＋240＋160）×2 ＝784×2 ＝1568（平方厘米） 答：做一个长方体礼盒至少需要1568平方厘米的包装材料。 12．285厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个蛋糕盒至少需要丝带的长度＝4条直径＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】50×4＋15×4＋25 ＝200＋60＋25 ＝285（厘米） 答：捆扎这个蛋糕盒需要285厘米的丝带。 【点睛】 13． 12.56平方厘米 【分析】将一张长方形的纸卷成一个圆柱，则底面的周长是长方形的宽或者长，底面的面积至少用纸的平方厘米数就是用宽作为底面的周长。根据圆的底面周长公式C＝，得出底面圆的半径，再根据圆的面积公式S＝得出圆的面积。 【详解】（厘米） ＝ ＝（平方厘米） 答：这个底面至少需要用纸12.56平方厘米。 14．4厘米或2厘米 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长或宽都有可能是底面周长，根据圆的半径＝周长÷π÷2，列式解答即可。 【详解】25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 12.56÷3.14÷2＝2（厘米） 答：这个圆柱的底面半径可能是4厘米、也可能是2厘米。 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，理解展开图长方形与圆柱之间的关系。 15．31.4厘米；20厘米 【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，根据圆的周长＝2×π×半径，求出底面周长即可。 【详解】2×3.14×5＝31.4（厘米） 答：它的长和宽各是31.4厘米、20厘米。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$