第3讲 因数和倍数（2）-2024-2025学年五年级数学寒假自学课（人教版）

第3讲 因数和倍数（2） 课前导入 【思考】同学们，你们能帮妈妈计算一下吗？ 知识点精讲 知识点一 2、3、5的倍数 内容 特点 1. 个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数； 2. 个位上是0或5的数，都是5的倍数； 3. 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【注意】 3的倍数一定要把这个数各个数位的数相加，再进行判断。 2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，这是一个值得我们铭记的日子，“25”是（    ）的倍数。例1 A．2 B．3 C．4 D．5 下面四组数中，（    ）都是3和5的倍数。例2 A．15、30、60 B．15、30、35 C．30、40、50 D．15、45、95 下列诗句中划线的数字不是3的倍数的是（    ）。练1 A．三更灯火五更鸡，正是男儿读书时 B．毕竟西湖六月中，风光不与四时同 C．可怜九月初三夜，露似真珠月似弓 D．八百里分麾下炙，五十弦翻塞外声 用0、3、7、8四个数字组成的所有四位数都是（    ）的倍数。练2 A．2 B．5 C．3 D．无法确定 知识点精讲 知识点二 奇数和偶数 内容 偶数 整数中，是2的倍数的数叫作偶数（包括0）。 奇数 整数中，不是2的倍数的数叫作奇数。 【注意】 一定是整数哟！ 下面有（    ）个式子的结果一定不是奇数。例1 ①a＋6    ②6a     ③5a    ④a2   ⑤a＋a A．2 B．3 C．4 D．5 与偶数a相邻的两个偶数是（    ）。例2 A．a＋1和a－1 B．a＋2和a－2 C．a－1和a＋2 D．a－1和a＋3 最小的偶数是( )。练1 在1、2、15、8、17、0.43、中，( )是奇数，( )是偶数。练2 一、选择题 1．五一班也组织了端午小游戏，投沙包射中代表五毒的图片就算成功。最终共有奇数名同学挑战成功，其中，男生组成功15人，女生组可能成功（    ）人。 A．11 B．14 C．15 D．17 2．与一个奇数相邻的两个数（    ）。 A．一个奇数和一个偶数 B．都是偶数 C．都是奇数 D．以上都不对 3．既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大两位数是（    ）。 A．75 B．90 C．95 D．96 二、填空题 4．三位数233至少加上( )后能被3整除。 5．用9、0、4这三个数字，组成一个奇数是( )，能组成的偶数有( )。 6．要使四位数652□能同时被2和5整除，□里应填( )；如果能同时被3和5整除，□里应填( )。 三、判断题 7．个位上是0或6的数，都是2的倍数。( ) 8．M和N都是非零自然数，且M÷N＝5，那么M的个位上是0或5。( ) 9．小船停靠在河北岸，当它摆渡8次后，小船应停靠在河南岸。( ) 四、解答题 10．两个相邻的奇数的和是96，这两个数分别是多少？ 11．一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 12．妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香，店员说妈妈应付87元。按照下面的价格计算，店员说得对吗？ 13．按照得出2、3、5倍数特征的学习经验，探索6的倍数特征。 类别 2的倍数 5的倍数 3的倍数 特征 个位上是0，2，4，6，8的数 个位上是0或5的数 一个数各位上的数的和是3的倍数 举例 4、10、22、34、68 10、35、80、95、115 9、18、54、87、141 （1）我的猜想：6的倍数特征是（    ）。 （2）我的验证：用自己喜欢的方式验证你的猜想。 （3）我的结论（     ）。 14．彩虹社区举办广场舞大赛，参加这次比赛的老奶奶有100多名不到200名，如果站成5列且每列的人数相等，那么还少2名老奶奶，参加这次广场舞比赛的老奶奶最多有多少名？ 15．有78颗草莓，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： D例1 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。 【详解】A．25的个位5，不是2的倍数； B．2＋5＝7，7不能被3整除，25不是3的倍数； C．25不能被4整除，25不是4的倍数； D．25的个位是5，是25的倍数。 2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，这是一个值得我们铭记的日子，“25”是5的倍数。 故答案为：D A例2 【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】A．都是3和5的倍数； B．都是5的倍数，其中35不是3的倍数； C．都是5的倍数，其中40和50不是3的倍数； D．都是5的倍数，其中95不是3的倍数。 15、30、60都是3和5的倍数。 故答案为：A D练1 【分析】3的倍数就是能被3整除的数，即3的倍数的特征是各个数位上的数加起来的和是3的倍数。 【详解】A．3÷3＝1，即3是3的倍数； B．6÷3＝2，即6是3的倍数； C．9÷3＝3，即9是3的倍数； D．800÷3＝266……2，即800不是3的倍数； 故答案为：D C练2 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．组成的四位数的个位上是3或7，就不是2的倍数；比如：8073不是2的倍数； B．组成的四位数的个位上是3、7或8，就不是5的倍数；如：7308不是5的倍数； C．0＋3＋7＋8＝18，18是3的倍数，所以用0、3、7、8四个数字组成的所有四位数都是3的倍数； D．选项C可以确定。 故答案为：C 知识点二： A例1 【分析】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数；个位上是0、2、4、6、8的数是偶数。偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数。据此逐项分析解答。 【详解】①a＋6的结果可能是奇数也可能是偶数。 ②6是偶数，则6a的结果一定是偶数。 ③5是奇数，则5a的结果可能是奇数也可能是偶数。 ④a2 可能是奇数也可能是偶数。 ⑤a＋a一定是偶数。 则②⑤的结果一定不是奇数，共2个式子。 故答案为：A B例2 【分析】相邻的两个偶数之间相差2， 因此中间偶数分别－2和＋2是与这个偶数相邻的两个偶数，据此分析。 【详解】与偶数a相邻的两个偶数是（a＋2）和（a－2）。 故答案为：B 【点睛】关键是理解奇数、偶数的分类标准，整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 0练1 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；最小的偶数是0，据此解答。 【详解】根据分析可知，最小的偶数是0。 1、15、17 2、8练2 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【详解】在1、2、15、8、17、0.43、中，1、15、17是奇数，2、8是偶数。 1．B 【分析】因为总共有奇数名同学挑战成功，而男生组成功15人，奇数＋偶数＝奇数，所以女生组成功的人数必须是偶数。逐一分析各选项： 【详解】A．11是奇数，不符合题意； B．14是偶数，符合题意； C．15是奇数，不符合题意； D．17是奇数，不符合题意。 五一班也组织了端午小游戏，投沙包射中代表五毒的图片就算成功。最终共有奇数名同学挑战成功，其中，男生组成功15人，女生组可能成功14人。 故答案为：B 2．B 【分析】在自然数中是按照奇数、偶数、奇数、偶数⋯进行排列的。据此选择即可。 【详解】由分析可知： 与一个奇数相邻的两个数都是偶数。 故答案为：B 【点睛】本题考查奇数和偶数，明确自然数的排列方式是解题的关键。 3．B 【分析】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上必定是0，最大的两位数是99，从大到小依次写出两位数，再根据3的倍数的特征依次判断即可。 【详解】最大的两位数是99，从大到小依次是99、98、97、96、95、94、93、92、91、90、89、88、87、86、85⋯ 要满足既是2的倍数又是5的倍数，个位上必定是0，所以这些数中，90满足条件。 而90又是3的倍数，所以既是2和5的倍数，又是3的倍数的最大两位数是90。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握2、3、5倍数的特征是解答本题的关键。 4．1 【分析】各个数位上的数字的和能被3整除的数就能被3整除。先计算这个三位数各个位上的数加起来等于几，再尝试着加1、2、3⋯⋯据此解答即可。 【详解】2＋3＋3 ＝5＋3 ＝8 8不能被3整除， 8＋1＝9，9能被3整除。 所以233至少加上1后能被3整除。 5． 409 904、940、490 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此组合即可。 【详解】用9、0、4这三个数字，组成一个奇数是（409），能组成的偶数有（904、940、490）。 6． 0 5 【分析】个位上是0的数既是2的倍数又是5的倍数； 个位上是0或5，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是3和5的倍数。 【详解】要使四位数652□能同时被2和5整除，□里应填0； 如果能同时被3和5整除，6＋5＋2＋5＝18，□里应填的数是5。 7．√ 【分析】2的倍数的数字特征：这个数的末尾数字是0、2、4、6、8的数；据此解答。 【详解】个位上是0或6的数，都是2的倍数。 故答案为：√ 8．√ 【分析】因为M÷N＝5，则M÷5＝N，M和N都是非零自然数，所以M是5的倍数；再根据5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数，所以M的个位上是0或5，据此解答。 【详解】根据分析可知，M和N都是非零自然数，且M÷N＝5，那么M的个位上是0或5。 故答案为：√ 9．× 【分析】小船最初在北岸，则第一次摆渡后到达南岸，第二次摆渡到达北岸，第三次到达南岸，第四次北岸，…，在南北岸之间不断往返。由此可以发现，在摆渡奇数次后，船在南岸，摆渡偶数次后，船在北岸。 【详解】8是偶数，则小船停在北岸。 故答案为：× 10．47和49 【分析】奇数是不能被2整除的数，即1、3、5、7、……，相邻的两个奇数之间的相差2。即可以设较小的奇数为x，那么较大的奇数（x＋2），则这两个数的和是x＋x＋2，即可列出方程求得这两个奇数。 【详解】解：设较小的奇数为x，则另一个奇数为（x＋2）。 x＋x＋2＝96 2x＝94 x＝94÷2 x＝47 47＋2＝49 答：这两个数分别是47和49。 11．（1）北岸；见详解；（2）不对；见详解 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，第1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第1次摆渡后船在北岸；第2次摆渡是从北岸驶向南岸，即第2次摆渡后船在南岸；第3次摆渡是从南岸驶向北岸，即第3次摆渡后船在北岸；第4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第4次摆渡后船在南岸⋯不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸；据此解答。 （2）先判断2016的奇偶性，再根据摆渡的规律即可知道淘气的说法是否正确。 【详解】根据分析得出规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。 （1）因为15是奇数，所以摆渡15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为2016是偶数，摆渡2016次后，小船应该在南岸。 【点睛】本题主要考查奇数与偶数的认识及应用。 12．不对 【分析】马蹄莲10元/枝，郁金香5元/枝，妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香，则马蹄莲总钱数为10的倍数，郁金香总钱数是5的倍数。又由10＝5×2，则马蹄莲总钱数为5的倍数，马蹄莲和郁金香总钱数是5的倍数；据此解答。 【详解】由分析可知：马蹄莲和郁金香的总钱数是5的倍数，而87的个位上是7，所以87不是5的倍数，所以店员说的不对。 13．见详解 【分析】（1）6＝2×3，6的倍数特征应该与2和3的倍数的特征有关，2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。将2和3的倍数的特征整合后是6的倍数的特征； （2）举例进行验证即可； （3）根据验证情况，猜想如果成立，猜想即可以作为结论。 【详解】（1）猜想：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （2）验证：6、12、18、24、30、36…都是6的倍数。 1＋2＝3、1＋8＝9、2＋4＝6、3＋6＝9 个位数分别是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字的和是3的倍数，猜想成立。 （3）结论：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。。 14．198名 【分析】根据题意，如果站成5列且每列的人数相等，还少2名老奶奶，说明老奶奶的人数加上2人正好是5的倍数； 因为参加这次比赛的老奶奶有100多名不到200名，这个范围内5的倍数最大是200，再减去2，即是老奶奶最多的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】200是5的倍数； 200－2＝198（名） 答：参加这次广场舞比赛的老奶奶最多有198名。 15．见详解 【分析】个位上是0或5的数，是5的倍数；各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数，据此解题。 【详解】7＋8＝15 答：如果每5颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为78的个位上是8，不符合5的倍数的特征。 如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完，因为15是3的倍数，那么78也是3的倍数。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$