第2讲 因数和倍数（1）-2024-2025学年五年级数学寒假自学课（人教版）

第2讲 因数和倍数（1） 课前导入 【思考】同学们，你们知道什么是因数吗？ 知识点精讲 知识点一 因数和倍数的认识 内容 因数 在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称作约数）。 倍数 在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说被除数是除数的倍数。 【注意】为了方便，研究因数和倍数时，我们所指的数是自然数（一般不包括0）。 已知a÷b＝c（a、b和c都是非0自然数），那么下面各种说法，正确的是（    ）。例1 A．a是倍数 B．b是因数 C．c是因数 D．b、c都是a的因数 下面各组数中，哪一组的第二个数是第一个数的倍数？（    ）例2 A．48和6 B．240和40 C．0.5和50 D．3和27 我国古典名著《水浒传》中，梁山好汉一共有108位。下面出现的数中不是108的因数的是（    ）。练1 A．女性3位 B．男性105位 C．天罡星36位 一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（    ）。练2 A．6 B．12 C．24 D．144 知识点精讲 知识点二 求一个数的因数和倍数 内容 求一个数的因数 用乘法算式把一个数写成另两个数乘积的形式，那这两个数就是这个数的因数。 求一个数的倍数 用这个数乘1，2，3，4，......所得的积都是这个数的倍数。 【注意】 1. 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身； 2. 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 “活力”舞蹈队在排练时都要排成每行人数相等的队形（至少两行），舞蹈队的人数不可能是（    ）。例1 A．87人 B．78人 C．71人 D．45人 下列各数中，不是60的因数的是（    ）。例2 A．1 B．15 C．24 D．60 体育课上，有40名同学面向老师站成一排，按老师命令，从左到右报数：1、2、3…然后老师让所报数是4的倍数的同学向后转，接着再让所报数是5的倍数的同学向后转，有（    ）名同学转了2次。练1 A．1 B．2 C．4 小丽有相同的5元和1元纸币各a张，总钱数可能是（    ）元。练2 A．38 B．36 C．26 一、选择题 1．自然数a（a＞0）的最小因数是（    ），最小倍数是（    ）。 A．1；a B．a；1 C．2a；8 D．8；2a 2．一个数是36的因数，又是4的倍数，下面各数中符合条件的是（    ）。 A．9 B．12 C．16 D．24 3．下列四组数中，有倍数关系的是（    ）。 A．48和9 B．4和32 C．5和62 D．71和11 二、填空题 4．8的最小倍数是( )。 5．24的因数共有8个。淘气写出了7个：1、2、3、4、6、12、24。按照淘气的排列方法，他漏写了( )后面的( )。 6．如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 三、判断题 7．因为5.7÷1.9＝3，所以5.7是1.9的倍数。( ) 8．32的最大因数和最小倍数不相等。( ) 9．5的倍数的个数是有限的。( ) 四、解答题 10．连一连。 11．有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 12．每个非0自然数都有自己的因数，其中最小的因数是1，最大的是它本身。有一些自然数非常特别，排除它最大的因数后，其它全部因数的和恰好等于这个自然数本身，数学上把这样的自然数叫“完全数”。例如，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6，所以6就是一个“完全数”。“完全数”还有一个性质，就是它能写成几个连续自然数的和的形式，例如：6＝1＋2＋3。 （1）根据以上材料分析，在8，18，28这三个数中哪一个是“完全数”。 （2）请把你刚才发现的那个“完全数”写成几个连续自然数的和的形式：（    ）＝ 13．学校鼓号队进行鼓号操表演，一共有24人出场，每排人数要同样多，如果排数必须在2~12排之间，一共有几种不同的列队方式？ 14．拗九节在农历正月廿九日，是福建省福州十邑地区本土特有的民间传统节日，这天家家户户用糯米、红糖、桂圆等原料煮拗九粥，用来祭祖或馈赠亲友。此外，每年这一天，凡是岁数逢9，如9岁、19岁（称“明九”），或是9的倍数，如18岁、27岁（称“暗九”），都要像过生日一样，吃一碗“太平面”，以求平安、健康，也叫过“九”。小明的爸爸今年已经50岁了，你知道他过了几次“九”吗？ 15．a的最小倍数和最小因数之和是29，b既是a的因数，又是14的倍数。a、b分别是多少？ 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点一： D例1 【分析】如果a÷b＝c（a、b和c都是非0自然数），那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数，据此分析。 【详解】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在，因此排除A、B、C，说法正确的是b、c都是a的因数。 故答案为：D D例2 【分析】根据题意，结合倍数的概念，在一个整数除法算式中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。据此选择即可。 【详解】A．48÷6＝8，商是整数，但不符合第二个数是第一个数的倍数； B．240÷40＝6，商是整数，但不符合第二个数是第一个数的倍数； C．0.5÷50＝0.01，0.5不是整数； D．27÷3＝9，商是整数，符合第二个数是第一个数的倍数。 故答案为：D B练1 【分析】在乘法算式a÷b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，b、c就是a的因数，a就是b、c的倍数，据此分析。 【详解】A．108÷3＝36，3是108的因数； B．105不是108的因数； C．108÷36＝3，36是108的因数。 出现的数中不是108的因数的是男性105位。 故答案为：B B练2 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数，它既是12的倍数又是12的因数，这个数是12。 故答案为：B 知识点二： C例1 【分析】因数是指整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数，并且没有余数，我们就说b是a的因数。要排成至少2行的队形，说明舞蹈队的人数的因数至少有3个。据此解题。 【详解】A．87的因数有1、3、29和87，所以87人可以排成每行3人或每行29人； B．78的因数有1、2、3、6、13、26、39和78，所以78人可以排成每行2人或每行3人或每行6人或每行13人或每行26人或每行39人； C．71的因数只有1和71，所以71只能排成每行1人或每行71人，每行1人换个角度看也就是每行71人，所以只有1行，不符合题意； D．45的因数有1、3、5、9、15和45，所以45人可以排成每行3人或每行5人或每行9人或每行15人。 所以，舞蹈队的人数不可能是71人。 故答案为：C C例2 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。据此求出60的因数，进而解答。 【详解】60＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×10 60的因数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30； 不是60的因数是24。 故答案为：C B练1 【分析】根据题意，所报数是4的倍数、5的倍数的同学向后转，分别列举出40以内4、5的倍数，从中找出既是4的倍数，又是5的倍数的数，报这些数的同学转了2次，据此解答。 【详解】40以内4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40； 40以内5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40； 40以内既是4的倍数又是5的倍数的数是：20，40；共2个； 所以有2名同学转了2次。 故答案为：B B练2 【分析】小丽有张数相同的5元和1元纸币，可知小丽的总钱数是（5＋1）的倍数，在选项中找出6的倍数即可。 【详解】5＋1＝6 A．38÷6所得商不是整数，因此38不是6的倍数，不符合题意； B．36÷6＝6，因此36是6的倍数，符合题意； C．26÷6所得商不是整数，因此26不是6的倍数，不符合题意。 因此小丽的总钱数可能是36元。 故答案为：B 1．A 【分析】根据一个非0自然数，它的最小因数是1，最小倍数是它本身；据此解答。 【详解】由分析可得：自然数a（a＞0）的最小因数是1，最小倍数是a。 故答案为：A 2．B 【分析】根据求一个数因数的方法和倍数的方法，分别求出32的因数和32以内4的倍数，进而解答 【详解】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36； 36以内4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36。 一个数是36的因数，又是4的倍数有：4，12，36。 一个数是36的因数，又是4的倍数，符合条件的是12。 故答案为：B 3．B 【分析】 在整数除法中，商是整数且没有余数，则这两个数成倍数关系。 【详解】A．48÷9＝5……3，所以48和9不是倍数关系； B．32÷4＝8，所以4和32是倍数关系； C．62÷5＝12……2，所以5和62不是倍数关系； D．71÷11＝6……5，所以71和11不是倍数关系。 故答案为：B 【点睛】本题考查倍数，明确倍数的定义是解题的关键。 4．8 【分析】一个数的倍数就是这个数分别乘1、2、3、4……所得的数。根据倍数的定义，一个数的最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】由分析得：8的最小倍数是8。 5． 6 8 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。 题目中淘气的排列方法是按照从小到大排列，找出24的因数之后，按照从小到大的顺序排列，即可找出漏写的数。据此即可解答。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 所以24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 所以淘气漏写了6后面的8。 6． 倍 因 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【详解】如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），即m÷n＝4，那么m是n的倍数，n是m的因数。 7．× 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a÷b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数，据此分析。 【详解】5.7和1.9都是小数，不在因数和倍数的研究范围，所以原题说法错误。 故答案为：× 8．× 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。据此判断。 【详解】32的最大因数是32，最小倍数也是32； 所以，32的最大因数和最小倍数相等。 原题说法错误。 故答案为：× 9．× 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。据此判断。 【详解】5的倍数：5，10，15，20，25，30… 5的倍数的个数是无限的。原题说法错误。 故答案为：× 10．见详解 【分析】找一个数因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找；从自然数1开始依次乘4和9，据此可找出4和9的倍数。 【详解】30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30； 4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60、64、68、72⋯ 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72⋯ 连线如下：    【点睛】本题考查因数和倍数，明确求一个数的因数和倍数的方法是解题的关键。 11． 因为8是64的因数，选8本/箱。 【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【详解】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 12．（1）28； （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28 【分析】（1）根据完全数的定义，需要判断这三个数的因数排除它最大的因数后的和是否等于该数本身。 （2）将完全数写成连续自然数的和：28可以写成1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，这是7个连续的自然数的和。 【详解】8的因数有1、2、4、8。排除8本身后，1＋2＋4＝7，不等于8，所以8不是完全数。18的因数有1、2、3、6、9、18。排除18本身后，1＋2＋3＋6＋9＝21，不等于18，所以18不是完全数。28的因数有1、2、4、7、14、28。排除28本身后，1＋2＋4＋7＋14＝28，等于28，所以28是完全数。 答：根据以上材料分析，在8，18，28这三个数中28是“完全数”。 （2）发现28是“完全数”，28可以写成1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28。 13．6种 【分析】求一个数因数的方法：哪两个自然数（0除外）相乘的积等于这个数，这些数都是这个数的因数；先写出24的因数，然后排除1与24即可。 【详解】24的因数有1、24、2、12、3、8、4、6，因为排数必须在2~12排之间，则排除1、24，则可以排2排每排12人、排3排每排8人、排4排每排6人、排6排每排4人、排8排每排3人、排12排每排2人，共有6种不同的列队方式。 答：一共有6种不同的列队方式。 14．9次 【分析】分别找出50以内“明九”和“暗九”的次数，再相加，即可求出答案。 【详解】50以内“明九”有：9、19、29、39、49，共5次 50以内“暗九”有：18、27、36、45，共4次 5＋4＝9（次） 答：他过了9次“九”。 15．a是28；b是14或28 【分析】一个数最小的倍数是它本身，最小的因数是1，根据题意，所以；根据找一个数的因数的方法，可以列除法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出以这个数为被除数的所有除法算式，除法算式中的除数和商就是这个数的因数，再在其中找出14的倍数即可。 【详解】a的最小倍数是a，a的最小因数是1，a的最小倍数和最小因数之和是29，那么： 28的因数有：1，2，4，7，14，28。其中是14的倍数的有：14、28，即b是14或28。 答：a是28，b是14或28。 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$