2024-2025学年寒假高二数学同步练习4.2.2等差数列的前n项和公式（第3课时）综合练习（人教A版选必二）

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后，关闭 Word 文档返回原板块。 课时作业(八) (第一次作业) 1．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 2．已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10等于(　　) A. B. C．10 D．12 3．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十日织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布(　　) A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺 4．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．”其大意为：“官府陆续派遣1 864人修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天比前一天多派出7人．”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(　　) A．9 B．16 C．18 D．20 6．等差数列{an}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽出的是(　　) A．a6　　　 B．a8　　　 C．a9　　　 D．a10 7．我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何．”则分钱问题中的人数为________． 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝an＋n2－1，则{an}的通项公式为________． 9．已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－1，求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65. 10．某抗洪指挥部接到预报，24 h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20辆同型号翻斗车，平均每辆车工作24 h．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20 min能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24 h内能否构筑成第二道防线？ 11．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n＝(　　) A．12 B．16 C．9 D．16或9 12．【多选题】中国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢．”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里．良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇．下列结论正确的是(　　) A．3天后，两马之间的距离为328.5里 B．长安与齐国两地相距1 530里 C．良马从第6天开始返回迎接驽马 D．8天后，两马之间的距离为377.5里 13．若数列{an}的前n项和Sn＝log(n＋1)，则a10＋a11＋a12＋…＋a99＝________． 14．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“伴生数列”，已知某数列{an}的“伴生数列”为Hn＝(n＋1)2，则an＝________；记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若对任意n∈N*，Sn≤S6恒成立，则实数k的取值范围为________． 15．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝18，a6＝a3＋3，则数列的最大项为________． 16．若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2 022＝20 220，则b2b2 021的最大值是________． (第二次作业) 1．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a2＝3，a11＝39，则S10＝(　　) A．160　　　　　　　　　 B．170 C．180 D．190 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是(　　) A．第6项 B．第7项 C．第12项 D．第13项 3．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1 200元．他们第一天收到捐款10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行了(　　) A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 4．设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝2S5，则＝(　　) A.　　　 B. C.　　　 D. 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋2＋an－2an＋1＝0(n∈N*)．若a16＋a18＋a20＝24，则S35＝(　　) A．140 B．280 C．70 D．420 6．记等差数列{an}的前n项和为Sn，S100>0，S101<0，则满足anan＋1<0的n＝(　　) A．50 B．51 C．100 D．101 7．某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数(假设每人的得票数各不相同)排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2 000元，前20名共发放3 500元，则这30人共发放(　　) A．4 000元 B．4 500元 C．4 800元 D．5 000元 8．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项公式为________． 9．已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，……，第2n项，并按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 10．在①a4＋a5＝－4，②a2＋a6＝－6，③S7＝14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 等差数列{an}的前n项和为Sn，a7＝3.若________，是否存在正整数k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1？若k存在，求出k的值；若k不存在，请说明理由． 11．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝(　　) A．350 B．351 C．674 D．675 12．【多选题】已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1<0，－1<a2 023＋a2 024<0，则(　　) A．d<0 B．a2 023＋a2 025>0 C．对任意的正整数n，有Sn≥S4 047 D．使得Sn>0的最小正整数n为4 047 13．已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，记数列{an－tn}的前n项和为Sn，若Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A. B. C. D. 14．【多选题】已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n，则下列说法正确的是(　　) A．a1＝－8 B．数列{an}是递增数列 C．数列{Sn}的最小项为S9和S10 D．满足Sn<0的最大正整数n＝8 15. 某地区为防洪抗旱大面积植树造林，如图，在区域{(x，y)|x≥0，y≥0}内植树，第1棵树在点A1(0，1)，第2棵树在点B1(1，1)，第3棵树在点C1(1，0)，第4棵树在点C2(2，0)，接着按图中箭头方向，每隔一个单位长度种一棵树，那么第2 020棵树所在的点的坐标是________． 16．已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan. (1)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设数列{cn}满足an(cn－3n)＝λn(－1)n－1(λ为非零整数，n∈N*)，问是否存在λ，使得数列{cn}是递增数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时作业(八) (第一次作业) 1．答案　C 解析　设等差数列{an}的公差为d，则由得 即解得d＝4. 2．答案　B 解析　因为公差d＝1，所以S8＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.因为S8＝4S4，所以8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，所以a10＝a1＋9d＝＋9＝. 3．答案　B 解析　由题意，设该女子每天织布的数量构成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即该女子三十天共织布90尺． 4．答案　B 解析　等差数列前n项和的形式为Sn＝an2＋bn(a，b∈R)， 又Sn＝(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ， ∴1＋λ＝0， ∴λ＝－1. 故选B. 5．答案　B 解析　设每天派出的人数组成数列{an}，且该数列是首项a1＝64，公差d＝7的等差数列．设该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为n，则64n＋×7＝1 864，依次将选项中的n值代入检验得n＝16满足方程．故选B. 6．答案　B 解析　方法一：据题意S11＝55＝11a6，∴a6＝5. 又a1＝－5，∴公差d＝＝2. 设抽出的一项为an，则an＝55－46＝9. 由9＝－5＋(n－1)·2，得n＝8. 方法二：∵S11＝5×11＝55，又∵S11＝11a1＋d＝55d－55，∴55d－55＝55，∴d＝2， 设抽出的一项为an， 由S11－an＝4.6×10，得an＝9， 又a1＝－5，∴9＝－5＋2(n－1)，得n＝8. 7．答案　195 解析　设人数为n，则由题意可知，每人分得的钱数由少到多构成公差为1，首项为3的等差数列，且前n项和Sn＝100n，又Sn＝＋3n，所以＋3n＝100n，解得n＝195. 8．答案　an＝2n＋1 解析　当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，两式相减得an＝an－an－1＋2n－1，即an－1＝2n－1(n≥2)，即an＝2n＋1(n≥1)．所以{an}的通项公式为an＝2n＋1. 9．解析　∵am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65， ∴＝65， 即(k＋1)(2m＋k－1)＝65， 因为m，k∈N*，当k＋1＝1，2m＋k－1＝65时，解得k＝0，m＝33，不符合题意； 当k＋1＝5，2m＋k－1＝13时，解得k＝4，m＝5； 当k＋1＝13，2m＋k－1＝5时，解得k＝12，m＝－3，不符合题意； 当k＋1＝65，2m＋k－1＝1时，解得k＝64，m＝－31，不符合题意，所以k＝4，m＝5. 10．解析　从第一辆车投入工作算起，各车工作量(单位：h)依次设为a1，a2，…，a25.由题意可知此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.因为500>480，所以在24 h内能构筑成第二道防线． 11．答案　C 解析　设多边形的内角构成的数列为{an}，则an＝120°＋5°×(n－1)＝5°×n＋115°，由an<180°，得n<13且n∈N*. 由n边形内角和定理，得(n－2)×180°＝n×120°＋×5°. 解得n＝16或n＝9，因为n<13，所以n＝9. 12．答案　AB 解析　由题意得良马每天走的路程an＝193＋(n－1)×13＝13n＋180，所以{an}是首项为193，公差为13的等差数列，驽马每天走的路程bn＝97＋(n－1)×(－0.5)＝－0.5n＋97.5，所以{bn}是首项为97，公差为－0.5的等差数列．对于A，3天后，两马之间的距离为－＝328.5(里)，故正确；对于B，长安与齐国两地距离为×[193×9＋×13＋97×9＋×(－0.5)]＝1 530(里)，故正确；对于C，良马6天走193×6＋×13＝1 353(里)，良马7天走193×7＋×13＝1 624(里)，所以良马从第7天开始返回迎接驽马，故错误；对于D，8天后，两马之间的距离为1 530－[97×8＋×(－0.5)＋(193×8＋×13－1 530)]＝390(里)，故错误． 13．答案　－1 解析　a10＋a11＋a12＋…＋a99＝S99－S9＝log100－log10＝－2－(－1)＝－1. 14．答案　3n＋1，n∈N*　 解析　因为Hn＝(n＋1)2＝，所以n·(n＋1)2＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，① 所以当n＝1时，a1＝4，当n≥2时，(n－1)·n2＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1，② ①－②得3n2＋n＝nan，所以an＝3n＋1.又a1＝4也满足此式，所以an＝3n＋1，n∈N*. 令bn＝an－kn＝(3－k)n＋1，则bn＋1－bn＝3－k，可知{bn}为等差数列， 又因为对任意n∈N*，Sn≤S6恒成立，所以 则有解得≤k≤. 15．答案　 解析　∵a3＋S5＝a3＋＝6a3＝18，∴a3＝3， 又a6＝a3＋3＝3＋3＝6，设数列{an}的公差为d， 则d＝＝1，∴a1＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋n－1＝n， ∴＝＝≤＝， 当且仅当n＝，即n＝2时取等号，又n∈N*，所以当n＝7或n＝8时，取得最大值，为. 16．答案　100 解析　正项数列为“调和数列”，则可令bn＋1－bn＝d(d为常数，n∈N*)， 则正项数列{bn}为等差数列，公差为d， 则b1＋b2＋…＋b2 022＝＝20 220，则b1＋b2 022＝20，则b2＋b2 021＝20， 则b2b2 021≤2＝2＝100(当且仅当b2＝b2 021＝10时等号成立)， 则b2b2 021的最大值是100. (第二次作业) 1．答案　B 解析　a11－a2＝9d＝36，∴d＝4.∴a1＝－1，a10＝35.∴S10＝＝170.故选B. 2．答案　B 解析　由题意S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝(a1＋a13)＝13a7，得a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小．故选B. 3．答案　A 解析　设他们每天收到的捐款构成数列{an}，则由题可得{an}是首项为10，公差为10的等差数列，所以Sn＝10n＋×10＝1 200，解得n＝－16(舍去)或n＝15，所以这次募捐活动一共进行的天数为15. 4．答案　A 解析　因为S11＝2S5，所以11a6＝10a3，设公差为d(d≠0)，则11(a3＋3d)＝10a3，解得d＝－a3，∴a9＝a3＋6d＝a3，∴＝.故选A. 5．答案　B 解析　∵an＋2＋an－2an＋1＝0(n∈N*)，∴2an＋1＝an＋an＋2，∴数列{an}为等差数列．由等差数列的性质得a16＋a20＝a1＋a35＝2a18，而a16＋a18＋a20＝24，∴a18＝8，∴S35＝×35＝35a18＝35×8＝280.故选B. 6．答案　A 解析　根据题意，在等差数列{an}中，S100>0，S101<0，则有S100＝＝50(a1＋a100)＝50(a50＋a51)>0，即a50＋a51>0.又由S101＝＝101a51<0，得a51<0，则有a50>0.若anan＋1<0，必有n＝50.故选A. 7．答案　B 解析　设该等差数列的前n项和为Sn，由已知可知S10＝2 000，S20＝3 500， 因为S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， 所以2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 所以2×(3 500－2 000)＝2 000＋(S30－3 500)， 解得S30＝4 500. 8．答案　an＝ 解析　因为＝＋(n∈N*)，所以数列是等差数列，又－＝1且＝1，所以＝1＋(n－1)＝n，故an＝. 9．解析　(1)因为a1＋a2＋a3＝12，所以a2＝4. 因为a8＝a2＋(8－2)d，所以16＝4＋6d，所以d＝2， 所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4， 所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列， 所以bn＝4＋4(n－1)＝4n. 10．解析　若存在k，使得Sk－1>Sk且Sk<Sk＋1，则ak<0，ak＋1>0.设等差数列{an}的公差为d. 若选择条件①： 由得 解得 所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N*)． 令an<0，得n<，所以当k＝5时，满足a5<0，a6>0，所以存在k＝5满足题意． 若选择条件②： 由得 解得 所以an＝－9＋2(n－1)＝2n－11(n∈N*)． 后同选择条件①. 若选择条件③： 由得解得 所以an＝1＋(n－1)＝n＋(n∈N*)． 易知an>0恒成立， 所以不存在满足条件的正整数k. 11．答案　A 解析　当n＝1时，a1＝S1＝12＋2×1－1＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－1－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1. 当n＝1时，a1＝2不满足上式， ∴an＝因此，a1＋a3＋a5＋…＋a25＝2＋＝2＋＝350.故选A. 12．答案　BD 解析　由－1<a2 023＋a2 024，得a2 023a2 024<0. 因为a1<0，所以a2 023<0<a2 024，d>0，a2 023＋a2 025＝2a2 024>0，故A错误，B正确； 当n＝2 023时，Sn取得最小值，故C错误； 因为a2 023＋a2 024<0，所以S4 046＝＝2 023<0，S4 047＝＝4 047a2 024>0，故D正确． 故选BD. 13．答案　A 解析　当n＝1时，由a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，得a1＝2， 当n≥2时，由a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n得a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1， 两式相减并化简得an＝n＋1(n≥2)， 又a1＝2也符合上式，所以an＝n＋1， 令bn＝an－tn＝n＋1－tn＝(1－t)n＋1， 则bn＋1－bn＝(1－t)(n＋1)＋1－[(1－t)n＋1]＝1－t为常数， 所以数列{bn}是等差数列，首项b1＝2－t， 所以Sn＝×n＝n2＋n， 根据题意得t≠1， 对于二次函数y＝n2＋n，其图象的对称轴为n＝－＝－， 根据二次函数的性质及Sn≤S10对任意的n∈N*恒成立， 得 解得≤t≤， 所以t的取值范围是. 故选A. 14．答案　ABD 解析　∵Sn＝n2－9n， ∴当n＝1时，a1＝S1＝12－9＝－8. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10. ∵2×1－10＝－8＝a1， ∴an＝2n－10. ∵an＋1－an＝2>0， ∴数列{an}是递增数列，故A、B正确． ∵Sn＝n2－9n＝－，n∈N*， ∴当n＝4或n＝5时Sn最小，即数列{Sn}的最小项为S4和S5，故C错误． 令Sn<0，得0<n<9，n∈N*，即满足Sn<0的最大正整数n＝8，故D正确． 故选ABD. 15. 答案　(4，44) 解析　将OA1B1C1设为第一个正方形，种植3棵树，第二个正方形新种植5棵树，第三个正方形新种植7棵树……每个正方形新种植树的棵数构成一个首项为3，公差为2的等差数列，所以前n项和Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.因为S43＝1 935，S44＝2 024，所以2 024－2 020＝4，根据题图知第2 020棵树所在的点的坐标是(4，44)． 16．解析　(1)证明：当n＝1时，S1＝－a1－1＋2，解得a1＝； 当n≥2时，Sn＝－an－n－1＋2，Sn－1＝－an－1－n－2＋2， 两式相减得2an＝an－1＋n－1， 又bn＝2nan，当n≥2时，bn－bn－1＝2nan－2n－1an－1＝2n－1－2n－1an－1＝1， 所以数列{bn}是等差数列，b1＝2a1＝1，故bn＝n，an＝，验证当n＝1时，a1＝满足此式， 故an＝. (2)由(1)可知cn＝3n＋λ(－1)n－1·2n. 假设存在λ满足条件， cn＋1－cn＝3n＋1＋λ(－1)n·2n＋1－3n－λ(－1)n－1·2n＝2·3n＋3λ(－1)n·2n， 当n＝2k，k∈N*时，cn＋1－cn＝2·3n＋3λ·2n>0，即λ>－n－1，即λ>－； 当n＝2k＋1，k∈N时，cn＋1－cn＝2·3n－3λ·2n>0，即λ<n－1，即λ<1. 所以－<λ<1，又λ为非零整数，故λ＝－1. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$