期末复习（易错题60题29个考点）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

期末复习（易错题60题29个考点） 范围：八年级上册 一．平方根（共1小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 二．算术平方根（共2小题） 2．观察下列各式：＝2，＝3，＝4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 　 　． 3．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 三．非负数的性质：算术平方根（共1小题） 4．若|a﹣|+＝0，则ab＝（　　） A． B． C．4 D．9 四．实数与数轴（共2小题） 5．如图，数轴上点A表示的实数是﹣1，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上的点A达到A′，则点A′表示的数是　 　． 6．阅读下面的材料： 如图①，若线段AB在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为AB＝b﹣a 请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm （1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段AC的长度； （2）若数轴上有一点D，且AD＝4cm，则点D表示的数是什么？ （3）若将点A向右移动x cm，请用代数式表示移动后的点表示的数？ （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动至点P1，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点P2，点P3，设移动时间为t秒，试探索：P3P2﹣P1P2的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 五．实数大小比较（共1小题） 7．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（　　） A．a2＜a＜ B．a＜＜a2 C．＜a＜a2 D．a＜a2＜ 六．估算无理数的大小（共1小题） 8．若5+的小数部分是a，5﹣的小数部分是b，则ab+5b＝　 　． 七．点的坐标（共5小题） 9．已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（3，3）或（1，﹣1） D．（1，﹣1）或（3，﹣3） 10．如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…，则点A2010的坐标是　 　． 11．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 　 　． 12．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为 　 　． 八．坐标确定位置（共1小题） 14．在一次“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A（2，3），B（4，1），A，B两点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是（　　） A．（1，0） B．（5，4） C．（1，0）或（5，4） D．（0，1）或（4，5） 九．函数自变量的取值范围（共1小题） 15．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 一十．函数的图象（共4小题） 16．小明从家出发到公园晨练，在公园锻炼一段时间后按原路返回，同时小明爸爸从公园按小明的路线返回家中，如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象，则下列结论中不正确的是（　　） A．公园离小明家1600米 B．小明出发分钟后与爸爸第一次相遇 C．小明在公园停留的时间为5分钟 D．小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是960米 17．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 18．向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　） A．B． C．D． 19．快车与慢车分别从甲乙两地同时同向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示． （1）甲乙两地之间的路程为 　 　km；快车的速度为 　 　km/h；慢车的速度为 　 　km/h； （2）出发 　 　h，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）快慢两车出发 　 　h相距150km． 一十一．一次函数与一元一次不等式（共4小题） 20．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 21．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 22．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　 　． 23．如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　． 一十二．一次函数的应用（共8小题） 24．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），若光线AB满足的函数关系式为：，则b的值是（　　） A．2 B． C． D．1 25．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 26．甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示． （1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画s关于t的函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？ 27．甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，如图表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回．请根据图象中的数据回答： （1）甲车出发多长时间后被乙车追上？ （2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？ （3）甲车从B地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？ 28．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2． 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金； 方案二：降价10%，没有其他赠送． （1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式； （2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算． 29．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费． （3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 30．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值： C D 总计/t A 　 　 　 　 200 B x 　 　 300 总计/t 240 260 500 （2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 31．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． （1）（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． （2）该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件． ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 一十三．一次函数综合题（共2小题） 32．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 33．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 一十四．全等三角形的判定（共3小题） 34．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　 　时，能够使△BPE与△CQP全等． 35．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 　 　． 36．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为　 　时，△PEC与△QFC全等． 一十五．全等三角形的判定与性质（共4小题） 37．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC＝30°；②△PAE为等边三角形；③PD＝；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 38．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 39．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数； （3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形． 40．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）求OA、OB的长； （2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围； （3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 一十六．角平分线的性质（共1小题） 41．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 一十七．等腰三角形的性质（共2小题） 42．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 43．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 一十八．等腰三角形的判定（共2小题） 44．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 45．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（　　） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 一十九．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 46．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 二十．等边三角形的判定与性质（共2小题） 47．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 48．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　 　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 二十一．含30度角的直角三角形（共1小题） 49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 二十二．勾股定理（共2小题） 50．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 51．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　 　． 二十三．勾股定理的证明（共1小题） 52．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 二十四．勾股数（共1小题） 53．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 二十五．利用轴对称设计图案（共1小题） 54．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 　 　（结果用含a，b代数式表示）． 二十六．剪纸问题（共1小题） 55．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　） A． B． C． D． 二十七．翻折变换（折叠问题）（共3小题） 56．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（　　） A． B． C． D． 57．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝　 　． 58．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处． （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 二十八．坐标与图形变化-平移（共1小题） 59．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出点B的坐标（ 　 　）． （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 二十九．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 60．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题60题29个考点） 范围：八年级上册 一．平方根（共1小题） 1．的平方根是（　　） A．±3 B．3 C．±9 D．9 【答案】A 【解答】解：∵， 9的平方根是±3， 故选：A． 二．算术平方根（共2小题） 2．观察下列各式：＝2，＝3，＝4，…请你找出其中规律，并将第n（n≥1）个等式写出来 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：＝（1+1）＝2， ＝（2+1）＝3， ＝（3+1）＝4， … ， 故答案为：． 3．已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求这个正数是多少？ （2）的平方根又是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵m+3和2m﹣15是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数． 即：（m+3）+（2m﹣15）＝0 解得m＝4． 则这个正数是（m+3）2＝49． （2）＝3，则它的平方根是±． 三．非负数的性质：算术平方根（共1小题） 4．若|a﹣|+＝0，则ab＝（　　） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【解答】解：由题意得，a﹣＝0，9a2﹣12ab+4b2＝0， 解得a＝，b＝， 所以，ab＝×＝． 故选：B． 四．实数与数轴（共2小题） 5．如图，数轴上点A表示的实数是﹣1，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上的点A达到A′，则点A′表示的数是　2π﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵圆的周长为2π， ∴滚动一圈的路程为2π， ∵点A表示的实数是﹣1， ∴点A′所表示的是2π﹣1 故答案为：2π﹣1． 6．阅读下面的材料： 如图①，若线段AB在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为AB＝b﹣a 请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm （1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置，并直接写出线段AC的长度； （2）若数轴上有一点D，且AD＝4cm，则点D表示的数是什么？ （3）若将点A向右移动x cm，请用代数式表示移动后的点表示的数？ （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动至点P1，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点P2，点P3，设移动时间为t秒，试探索：P3P2﹣P1P2的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）； （2）设D表示的数为a， ∵AD＝4， ∴|﹣1﹣a|＝4， 解得：a＝﹣5或3， ∴点D表示的数为﹣5或3； （3）将点A向右移动x cm，则移动后的点表示的数为﹣1+x； （4）P3P2﹣P1P2的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：P3P2＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t， P1P2＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝2+3t， ∴P3P2﹣P1P2＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3， ∴P3P2﹣P1P2的值不会随着t的变化而变化． 五．实数大小比较（共1小题） 7．若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（　　） A．a2＜a＜ B．a＜＜a2 C．＜a＜a2 D．a＜a2＜ 【答案】A 【解答】解：∵0＜a＜1， ∴设a＝，＝2，a2＝， ∵＜＜2， ∴a2＜a＜． 故选：A． 六．估算无理数的大小（共1小题） 8．若5+的小数部分是a，5﹣的小数部分是b，则ab+5b＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2＜＜3， ∴2+5＜5+＜3+5，﹣2＞﹣＞﹣3， ∴7＜5+＜8，5﹣2＞5﹣＞5﹣3， ∴2＜5﹣＜3 ∴a＝﹣2，b＝3﹣； 将a、b的值，代入可得ab+5b＝2． 故答案为：2． 七．点的坐标（共5小题） 9．已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，﹣3） C．（3，3）或（1，﹣1） D．（1，﹣1）或（3，﹣3） 【答案】C 【解答】解：∵点Q（﹣2+a，2a﹣7）到两坐标轴的距离相等， ∴|﹣2+a|＝|2a﹣7|， ∴﹣2+a＝2a﹣7或﹣2+a＝﹣（2a﹣7）， 解得a＝5或a＝3， 所以点Q的坐标为（3，3）或（1，﹣1）． 故选：C． 10．如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…，则点A2010的坐标是　（503，﹣503）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：易得4的整数倍的各点如A4，A8，A12等点在第二象限， ∵2010÷4＝502…2； ∴A2010的坐标在第四象限， 横坐标为（2010﹣2）÷4+1＝503；纵坐标为﹣503， ∴点A2010的坐标是（503，﹣503）． 故答案为：（503，﹣503）． 11．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是 　（5，0）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒． 故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）． 12．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至点P100的坐标是　（26，50）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50； 其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）． 故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26，50）． 故答案为：（26，50）． 13．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为 　（14，8）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为1+2+3+…+13＝91，所以第91个点的坐标为（13，0）． 因为在第14列点的走向为向上，故第100个点在此行上，横坐标就为14，纵坐标为从第92个点向上数8个点，即为8； 故第100个点的坐标为（14，8）． 故填（14，8）． 八．坐标确定位置（共1小题） 14．在一次“寻宝”人找到了如图所示的两个标志点A（2，3），B（4，1），A，B两点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是（　　） A．（1，0） B．（5，4） C．（1，0）或（5，4） D．（0，1）或（4，5） 【答案】C 【解答】解：设宝藏的坐标点为C（x，y）， 根据坐标系中两点间距离公式可知，AC＝BC， 则（x﹣2）2+（y﹣3）2＝（x﹣4）2+（y﹣1）2， 化简得x﹣y＝1； 又因为标志点到“宝藏”点的距离是， 所以（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10； 把x＝1+y代入方程得，y＝0或y＝4，即x＝1或5， 所以“宝藏”C点的坐标是（1，0）或（5，4）． 故选：C． 九．函数自变量的取值范围（共1小题） 15．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 【答案】C 【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选：C． 一十．函数的图象（共4小题） 16．小明从家出发到公园晨练，在公园锻炼一段时间后按原路返回，同时小明爸爸从公园按小明的路线返回家中，如图是两人离家的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的函数图象，则下列结论中不正确的是（　　） A．公园离小明家1600米 B．小明出发分钟后与爸爸第一次相遇 C．小明在公园停留的时间为5分钟 D．小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是960米 【答案】D 【解答】解：由图可得，公园离小明家1600米， 故A选项正确； ∵小明从家出发到公园晨练时，速度为1600÷10＝160米/分， 小明爸爸从公园按小明的路线返回家中的速度为1600÷50＝32米/分， ∴小明出后与爸爸第一次相遇的时间为1600÷（160+32）＝分钟， 故B选项正确； 由图可得，30分钟后小明与爸爸第二次相遇时，离家的距离是1600﹣30×32＝640米， 故D选项错误； ∵小明在与爸爸第二次相遇后回到家的时间为：40﹣30＝10分， ∴小明在公园锻炼一段时间后按原路返回的速度为640÷10＝64米/分， ∴40﹣1600÷64＝15分， ∴小明在公园停留的时间为15﹣10＝5分钟， 故C选项正确； 故选：D． 17．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由图象可得，当t＝1时，s＝0， 即出发1小时时，甲乙在途中相遇，故①正确， 甲的速度是：120÷3＝40千米/时，则乙的速度是：120÷1﹣40＝80千米/h，故②正确； 出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×（80﹣40）＝60千米，故③正确； 在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故④错误， 故选：C． 18．向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽． 则注入的水量V随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢． 那么从函数的图象上看， C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合． A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件． 故选：D． 19．快车与慢车分别从甲乙两地同时同向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时x（h）的关系如图所示． （1）甲乙两地之间的路程为 　420　km；快车的速度为 　140　km/h；慢车的速度为 　70　km/h； （2）出发 　　h，快慢两车距各自出发地的路程相等； （3）快慢两车出发 　h或h或　h相距150km． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可知：甲乙两地之间的路程为420km； 快车的速度为：＝140km/h； 由题意得：快车7小时到达甲地，则慢车6小时到达甲地， 则慢车的速度为：＝70km/h； 故答案为：420，140，70； （2）∵快车速度为：140km/h， ∴A点坐标为：（3，420）， ∴B点坐标为（4，420）， 由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等， 设出发x小时，两车距各自出发地的路程相等， 70x＝2×420﹣140（x﹣1）， 70x＝980﹣140x， 解得：x＝， 答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等； 故答案为：； （3）第一种情形第一次没有相遇前，相距150km， 则140x+70x+150＝420， 解得：x＝， 第二种情形应是相遇后而快车没到乙地前140x+70x﹣420＝150， 解得：x＝， 第三种情形是快车从乙往甲返回：70x﹣140（x﹣4）＝150， 解得：x＝， 综上所述：快慢两车出发h或h或h相距150km． 故答案为：h或h或． 一十一．一次函数与一元一次不等式（共4小题） 20．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 【答案】B 【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5）， 则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2， 故选：B． 21．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 【答案】A 【解答】解：当x≤﹣2时，直线l1：y1＝k1x+b1都在直线l2：y2＝k2x的上方，即y1≥y2． 故选：A． 22．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　x＜﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图象得：不等式组kx+b＞x+a的解集是x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2． 23．如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是 　x＜﹣1或x＞2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点， ∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1， 故答案为：x＜﹣1或x＞2． 一十二．一次函数的应用（共8小题） 24．如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），若光线AB满足的函数关系式为：，则b的值是（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解答】解：延长AB，交x轴于点D，过点B作EF⊥y轴． ∵EF∥x轴， ∴∠EBC＝∠BCO，∠FBD＝∠BDO， ∵∠ABE＝∠EBC， ∴∠BCO＝∠ABE， ∵∠FBD＝∠ABE， ∴∠BDO＝∠ABE， ∴∠BCO＝∠BDO． 在Rt△BCO与Rt△BDO中， ， ∴Rt△BCO≌Rt△BDO（AAS）， ∴OD＝OC， ∴点D的坐标为（1，0）． 将坐标D（1，0）代入， 得0＝﹣+b， ∴b＝． 故选：C． 25．为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A、B两村的运费如下表： 目的地 车型 A村（元/辆） B村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这15辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得： 解得：． ∴大货车用8辆，小货车用7辆． （2）y＝800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]＝100x+9400．（3≤x≤8，且x为整数）． （3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100， 解得：x≥5， 又∵3≤x≤8， ∴5≤x≤8且为整数， ∵y＝100x+9400， k＝100＞0，y随x的增大而增大， ∴当x＝5时，y最小， 最小值为y＝100×5+9400＝9900（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元． 26．甲、乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲、乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s关于t的函数图象的一部分如图所示． （1）求甲行走的速度； （2）在坐标系中，补画s关于t的函数图象的其余部分； （3）问甲、乙两人何时相距360米？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）甲行走的速度：150÷5＝30（米/分）； （2）当t＝35时，甲行走的路程为：30×35＝1050（米），乙行走的路程为：（35﹣5）×50＝1500（米）， ∴当t＝35时，乙已经到达图书馆，甲距图书馆的路程还有（1500﹣1050）＝450米， ∴甲到达图书馆还需时间；450÷30＝15（分）， ∴35+15＝50（分）， ∴当s＝0时，横轴上对应的时间为50． 补画的图象如图所示（横轴上对应的时间为50）， （3）如图2， 设乙出发经过x分和甲第一次相遇，根据题意得：150+30x＝50x， 解得：x＝7.5， 7.5+5＝12.5（分）， 由函数图象可知，当t＝12.5时，s＝0， ∴点B的坐标为（12.5，0）， 当12.5≤t≤35时，设BC的解析式为：s＝kt+b，（k≠0）， 把C（35，450），B（12.5，0）代入可得： 解得：， ∴s＝20t﹣250， 当35＜t≤50时，设CD的解析式为s＝k1x+b1，（k1≠0）， 把D（50，0），C（35，450）代入得： 解得： ∴s＝﹣30t+1500， ∵甲、乙两人相距360米，即s＝360， ∴20t﹣25＝360或﹣30t+1500＝360， 解得：t1＝30.5，t2＝38， ∴当甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米． 27．甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，如图表示两车离A地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回．请根据图象中的数据回答： （1）甲车出发多长时间后被乙车追上？ （2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？ （3）甲车从B地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图知，可设甲车由A地前往B地的函数解析式为s＝kt， 将（2.4，48）代入，解得k＝20，所以s＝20t， 由图可知，在距A地30千米处，乙车追上甲车，所以当s＝30千米时，（小时）． 即甲车出发1.5小时后被乙车追上， （2）由图知，可设乙车由A地前往B地函数的解析式为s＝pt+m， 将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得， 所以s＝60t﹣60，当乙车到达B地时，s＝48千米．代入s＝60t﹣60，得t＝1.8小时， 又设乙车由B地返回A地的函数的解析式为s＝﹣30t+n， 将（1.8，48）代入，得48＝﹣30×1.8+n，解得n＝102， 所以s＝﹣30t+102，当甲车与乙车迎面相遇时，有﹣30t+102＝20t 解得t＝2.04小时代入s＝20t，得s＝40.8千米，即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇； （3）当乙车返回到A地时，有﹣30t+102＝0，解得t＝3.4小时， 甲车要比乙车先回到A地，速度应大于（千米/小时）． 28．新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120米2． 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价8%，另外每套楼房赠送a元装修基金； 方案二：降价10%，没有其他赠送． （1）请写出售价y（元/米2）与楼层x（1≤x≤23，x取整数）之间的函数关系式； （2）老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当1≤x≤8且x为整数时，每平方米的售价应为： y＝4000﹣（8﹣x）×30＝30x+3760 （元/平方米）， 当9≤x≤23且x为整数时，每平方米的售价应为： y＝4000+（x﹣8）×50＝50x+3600（元/平方米）． ∴y＝， （2）第十六层楼房的每平方米的价格为：50×16+3600＝4400（元/平方米）， 按照方案一所交房款为：W1＝4400×120×（1﹣8%）﹣a＝485760﹣a（元）， 按照方案二所交房款为：W2＝4400×120×（1﹣10%）＝475200（元）， 当W1＞W2时，即485760﹣a＞475200， 解得：0＜a＜10560， 当W1＝W2时，即485760﹣a＝475200， 解得：a＝10560 当W1＜W2时，即485760﹣a＜475200， 解得：a＞10560， ∴当0＜a＜10560时，方案二合算；当a＞10560时，方案一合算．当a＝10560时，方案一与方案二一样． 29．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费． （3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨 根据题意，得 解得 答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料； （2）设从A城运往C乡肥料x吨，则从A城运往D乡（200﹣x）吨， 从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则从B城运往D乡（60+x）吨． 若总运费为y元，根据题意， 得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x） ＝4x+10040 由于y＝4x+10040是一次函数，k＝4＞0， y随x的增大而增大． 因为x≥0， 所以当x＝0时，运费最少，最少运费是10040元． （3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元， 所以y＝（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x） ＝（4﹣a）x+10040 当0＜a＜4时，∵4﹣a＞0 ∴当x＝0时，运费最少是10040元； 当a＝4时，运费是10040元； 当4＜a＜6时，∵4﹣a＜0 ∴当x最大时，运费最少．即当x＝200时，运费最少． 所以：当0＜a＜4时，A城化肥全部运往D乡，B城运往C城240吨，运往D乡60吨，运费最少； 当a＝4时，不管A城化肥运往D乡多少吨，运费都是10040元． 当4＜a＜6时，A城化肥全部运往C乡，B城运往C城40吨，运往D乡260吨，运费最少． 30．某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． （1）请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值： C D 总计/t A 　（240﹣x）　 　（x﹣40）　 200 B x 　（300﹣x）　 300 总计/t 240 260 500 （2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； （3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）填表如下： C D 总计/t A （240﹣x） （x﹣40） 200 B x （300﹣x） 300 总计/t 240 260 500 依题意得：20（240﹣x）+25（x﹣40）＝15x+18（300﹣x） 解得：x＝200 两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200． （2）w与x之间的函数关系为：w＝20（240﹣x）+25（x﹣40）+15x+18（300﹣x）＝2x+9200 由题意得： ∴40≤x≤240 ∵在w＝2x+9200中，2＞0 ∴w随x的增大而增大 ∴当x＝40时，总运费最小 此时调运方案为： （3）由题意得w＝（2﹣m）x+9200 ∴0＜m＜2，（2）中调运方案总费用最小； m＝2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变； 2＜m＜15时，x＝240总费用最小，其调运方案如下： 31．某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品．已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元． （1）（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价． （2）该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件． ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件．已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元．设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元， 依题意，， 解． （2）①依题意，15m+25n＝5000， ∴n＝200﹣m． ②w＝（20﹣15）m+（35﹣25）（200﹣m）＝2000﹣m． ∴w随m的增大而减小，且m≥100． ∴当m＝100，w取得最大值1900元． 即A礼品进货100件时，该店获利最大为1900元． 一十三．一次函数综合题（共2小题） 32．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4， ∴点C（2，4）， ∵直线y＝﹣x+b过点C， 4＝﹣+b，b＝5； （2）①由题意得：PD＝t， y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0， x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， y＝﹣x+5中，当y＝0时，﹣x+5＝0， x＝10， ∴D（10，0）， ∴AD＝10+2＝12，即0≤t≤12， ∵△ACP的面积为10， ∴•4＝10， t＝7， 则t的值7秒； ②存在，分三种情况： i）当AC＝CP时，如图1，过C作CE⊥AD于E， ∴PE＝AE＝4， ∴PD＝12﹣8＝4， 即t＝4； ii）当AC＝AP时，如图2， AC＝AP1＝AP2＝＝4， ∴DP1＝t＝12﹣4， DP2＝t＝12+4； iii）当AP＝PC时，如图3， ∵OA＝OB＝2 ∴∠BAO＝45° ∴∠CAP＝∠ACP＝45° ∴∠APC＝90° ∴AP＝PC＝4 ∴PD＝12﹣4＝8，即t＝8； 综上，当t＝4秒或（12﹣4）秒或（12+4）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形． 33．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝4， ∴A（0，4），B（4，0）， ∵D是AB的中点， ∴D（2，2）， 设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，则 ，解得， ∴直线CD的函数表达式为y＝x+1； （2）y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴BC＝2＝4＝6， ∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积＝×6×（4﹣2）＝6； （3）如图所示，当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）； 当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）； 当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）； 当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）． 一十四．全等三角形的判定（共3小题） 34．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为　3厘米/秒或厘米/秒　时，能够使△BPE与△CQP全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t， ∵∠B＝∠C， ∴①当BE＝CP＝5，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等， 此时，5＝8﹣3t， 解得t＝1， ∴BP＝CQ＝3， 此时，点Q的运动速度为3÷1＝3厘米/秒； ②当BE＝CQ＝5，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等， 此时，3t＝8﹣3t， 解得t＝， ∴点Q的运动速度为5÷＝厘米/秒； 故答案为：3厘米/秒或厘米/秒． 35．如图，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． 故答案为：． 36．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为　1或　时，△PEC与△QFC全等． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图1所示； ∵△PEC与△QFC全等， ∴PC＝QC． ∴6﹣t＝8﹣3t． 解得：t＝1． 如图2所示： ∵点P与点Q重合， ∴△PEC与△QFC全等， ∴6﹣t＝3t﹣8． 解得：t＝． 故答案为：1或． 一十五．全等三角形的判定与性质（共4小题） 37．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝30°，D为AB的中点，P为CD上一点，E为BC延长线上一点，且PA＝PE．有下列结论：①∠PAD+∠PEC＝30°；②△PAE为等边三角形；③PD＝；④S四边形AECP＝S△ABC．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④ 【答案】A 【解答】解：如图，连接BP， ∵AC＝BC，∠ABC＝30°，点D是AB的中点， ∴∠CAB＝∠ABC＝30°，AD＝BD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝60°， ∴CD是AB的中垂线， ∴AP＝BP，且AP＝PE， ∴AP＝PB＝PE ∴∠PAB＝∠PBA，∠PEB＝∠PBE， ∴∠PBA+∠PBE＝∠PAB+∠PEB， ∴∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°， 故①正确； ∵PA＝PE， ∴∠PAE＝∠PEA， ∵∠ABC＝∠PAD+∠PEC＝30°， ∴∠PAE＝∠PEA＝60°， ∴△PAE是等边三角形， 故②正确； 如图，作点P关于AB的对称点P′，连接P′A，P′D， ∴AP＝AP′，∠PAD＝∠P′AD， ∵△PAE是等边三角形， ∴AE＝AP， ∴AE＝AP′， ∵∠CAD＝∠CAP+∠PAD＝30°， ∴2∠CAP+2∠PAD＝60°， ∴∠CAP+∠PAD+∠P′AD＝60°﹣∠PAC， ∴∠P′AC＝∠EAC， ∵AC＝AC， ∴△P′AC≌△∠EAC（SAS）， ∴CP′＝CE， ∵点P、P′关于AB对称，即PP′⊥AB，且PD＝P′D， ∵CD⊥AB， ∴C、P、D、P′共线， ∴CE＝CP′＝CP+PD+DP′＝CP+2PD， ∴PD＝． 故③正确； 过点A作AF⊥BC，在BC上截取CG＝CP， ∵CG＝CP，∠BCD＝60°， ∴△CPG是等边三角形， ∴∠CGP＝∠PCG＝60°， ∴∠ECP＝∠GPB＝120°，且EP＝PB，∠PEB＝∠PBE， ∴△MCE≌△BGE（AAS）， ∴CE＝GB， ∴AC＝BC＝BG+CG＝EC+CP， ∵∠ABC＝30°，AF⊥BM， ∴AF＝AB＝AD， ∵S△ACB＝CB×AF＝（EC+CP）×AF＝EC×AF+CP×AD＝S四边形AECP， ∴S四边形AECP＝S△ABC．故④正确． 所以其中正确的结论是①②③④． 故选：A． 38．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC． （1）求∠APO+∠DCO的度数； （2）求证：AC＝AO+AP． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）连接BO，如图1所示： ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ODB＝∠ODC， 在△OBD和△OCD中， ， ∴△OBD≌△OCD（SAS）， ∴OB＝OC， 又∵OP＝OC， ∴OB＝OC＝OP， ∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO， 又∵∠BAC＝120°， ∠ABC＝∠ACB＝30°， 又∵∠ABD＝∠ABO+∠DBO＝30°， ∴∠APO+∠DCO＝30°； （2）过点O作OH⊥BP于点H，如图2所示： ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠HAO＝∠CAD＝60°， 又∵OH⊥BP， ∴∠OHA＝90°， ∴∠HOA＝30°， ∴AO＝2AH， 又∵BO＝PO，OH⊥BP， ∴BH＝PH， 又∵HP＝AP+AH， ∴BH＝AP+AH， 又∵AB＝BH+AH， ∴AB＝AP+2AH， 又∵AB＝AC，AO＝2AH， ∴AC＝AP+AO． 39．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝50°时，求∠DEF的度数； （3）若∠A＝∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE和△CEF中， ∵， ∴△BDE≌△CEF（SAS）， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵∠DEC＝∠B+∠BDE， 即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE， ∵△BDE≌△CEF， ∴∠CEF＝∠BDE， ∴∠DEF＝∠B， 又∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠B＝65°， ∴∠DEF＝65°； （3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE＝EF， 由（2）知，∠DEF＝∠B， 而∠B不可能为直角， ∴△DEF不可能是等腰直角三角形． 40．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．A、B两点的坐标分别为A（m，0）、B（0，n），且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒． （1）求OA、OB的长； （2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围； （3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6，3； （2）①4≤t＜6； ②4≤t≤8且t≠6； （3）t的值是3或9． 【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+＝0， ∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0， 解得：n＝3，m＝6， ∴OA＝6，OB＝3； （2）分为两种情况：①当P在线段OA上时， AP＝t，PO＝6﹣t， ∴△BOP的面积S＝×（6﹣t）×3＝9﹣t， ∵若△POB的面积不大于3且不等于0， ∴0＜9﹣t≤3， 解得：4≤t＜6； ②当P在线段OA的延长线上时，如图， AP＝t，PO＝t﹣6，∴△BOP的面积S＝×（t﹣6）×3＝t﹣9， ∵若△POB的面积不大于3且不等于0， ∴0＜t﹣9≤3， 解得：6＜t≤8； 即t的范围是4≤t≤8且t≠6； （3）当OP＝OB＝3时，分为两种情况（如图）：第一个图中t＝3， 第二个图中AP＝6+3＝9，即t＝9； 即存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9． 一十六．角平分线的性质（共1小题） 41．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 【答案】A 【解答】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三角形外角平分线的交点，共三处． 故选：A． 一十七．等腰三角形的性质（共2小题） 42．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．80°或20° D．不能确定 【答案】C 【解答】解：①若100°是顶角的外角，则顶角＝180°﹣100°＝80°； ②若100°是底角的外角，则底角＝180°﹣100°＝80°，那么顶角＝180°﹣2×80°＝20°． 故选：C． 43．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 【答案】C 【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意， 得①或② 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选：C． 一十八．等腰三角形的判定（共2小题） 44．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【答案】A 【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过网格中的格点． 故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个． 故选：A． 45．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（　　） A．3个 B．4个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解答】解：使△ABC是等腰三角形， 当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形． 当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个． 当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个． 所以共8个． 故选：D． 一十九．等腰三角形的判定与性质（共1小题） 46．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）①说明过程见解答； ②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 二十．等边三角形的判定与性质（共2小题） 47．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AD、DF、DB． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD， ∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°， ∵∠AFE＝∠ABC＝120°， ∴∠AFD＝∠ABD＝90°， 在Rt△ABD和RtAFD中 ∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL）， ∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°， ∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°， ∴AD∥EF， ∵G、I分别为AF、DE中点， ∴GI∥EF∥AD， ∴∠FGI＝∠FAD＝60°， ∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形， ∴∠EDM＝60°＝∠M， ∴ED＝EM， 同理AF＝QF， 即AF＝QF＝EF＝EM， ∵等边三角形QKM的边长是a， ∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的， 过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N， 则FZ∥EN， ∵EF∥GI， ∴四边形FZNE是平行四边形， ∴EF＝ZN＝a， ∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证）， ∴∠GFZ＝30°， ∴GZ＝GF＝a， 同理IN＝a， ∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a； 同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a； 同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a； 第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a； 第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a， 即第六个正六边形的边长是×a， 故选：A． 48．数学课上，李老师出示了如下的题目： “在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论 当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）． （2）特例启发，解答题目 解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　＝　DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）故答案为：＝． （2）过E作EF∥BC交AC于F， ∵等边三角形ABC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°， ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF， 在△DEB和△ECF中 ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴BD＝EF＝AE， 即AE＝BD， 故答案为：＝． （3）解：CD＝1或3， 理由是：分为两种情况：①如图1 过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AB＝1，AE＝2， ∴AB＝BE＝1， ∵EN⊥DC，AM⊥BC， ∴∠AMB＝∠ENB＝90°， 在△ABM和△EBN中， ， ∴△AMB≌△ENB（AAS）， ∴BN＝BM＝， ∴CN＝1+＝， ∴CD＝2CN＝3； ②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N， 则AM∥EN， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝1， ∵AM⊥BC， ∴BM＝CM＝BC＝， ∵DE＝CE，EN⊥BC， ∴CD＝2CN， ∵AM∥EN， ∴＝， ∴＝， ∴MN＝1， ∴CN＝1﹣＝， ∴CD＝2CN＝1， 即CD＝3或1． 二十一．含30度角的直角三角形（共1小题） 49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 【答案】（1）； （2）或t＝1． 【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°． ∵4÷2＝2， ∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝t cm. （1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4﹣2t＝t． ∴． 当时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ， 即4﹣2t＝2t， ∴t＝1． ②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP， 即t＝2（4﹣2t）， ∴． 即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形． 二十二．勾股定理（共2小题） 50．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 【答案】C 【解答】解：（1） △ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5 ∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84； （2） △ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5 ∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24． 故选：C． 51．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝　34　． 【答案】34． 【解答】解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形， ∴BD⊥AC， ∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°， 在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9， 在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25， ∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34， 在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2， 在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2， ∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34， 故答案为：34． 二十三．勾股定理的证明（共1小题） 52．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连接AC，分别交EF、GH于点M，N，连接FN．已知AH＝3DH，且S正方形ABCD＝21，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵S正方形ABCD＝21， ∴AB2＝21， 设DH＝x， 则AH＝3DH＝3x， ∴x2+9x2＝21， ∴x2＝， 根据题意可知： AE＝CG＝DH＝x，CF＝AH＝3x， ∴FE＝FG＝CF﹣CG＝3x﹣x＝2x， ∴S△FGN＝2S△CGN ∵S△AEM＝S△CGN， ∴S△FGN＝S△AEM+S△CGN， ∴阴影部分的面积之和为： S梯形NGFM＝（NG+FM）•FG ＝（EM+MF）•FG ＝FE•FG ＝×（2x）2 ＝2x2 ＝． 故选：B． 二十四．勾股数（共1小题） 53．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，…… ∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1， ∴当c＝n2+1＝65时，n＝8， ∴x＝63，y＝16， ∴x+y＝79， 故选：C． 二十五．利用轴对称设计图案（共1小题） 54．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 　a+8b　（结果用含a，b代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度＝5a+4[a﹣2（a﹣b）]＝a+8b 故答案为：a+8b． 方法2、∵小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形 ∴口朝上的有5个，口朝下的有四个， 而口朝上的有5个，长度之和是5a，口朝下的有四个，长度为4[b﹣（a﹣b）]＝8b﹣4a， 即：总长度为5a+8b﹣4a＝a+8b， 故答案为a+8b． 二十六．剪纸问题（共1小题） 55．如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B． 故选：B． 二十七．翻折变换（折叠问题）（共3小题） 56．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵A1D∥BC， ∴∠B＝∠A1DB， 由折叠可得，∠A1＝∠A， 又∵∠A+∠B＝90°， ∴∠A1+∠A1DB＝90°， ∴AB⊥CE， ∵∠ACB＝90°，AC＝4，， ∴AB＝＝3， ∵AB×CE＝BC×AC， ∴CE＝＝， 又∵A1C＝AC＝4， ∴A1E＝4﹣＝， 故选：B． 57．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝　45°或30°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE， ∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°， 分类如下： ①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x， 解得：x＝22.5°． 此时∠B＝2x＝45°； 见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB． ②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x， 解得x＝37.5°， 此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°． 图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°． ③DE＝BE时，则∠B＝（180﹣2x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°， 此方程无解． ∴DE＝BE不成立． 综上所述，∠B＝45°或30°． 故答案为：45°或30°． 58．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处． （1）求∠ECF的度数； （2）若CE＝4，B'F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由折叠可得，∠ACE＝∠DCE＝∠ACD，∠BCF＝∠B'CF＝∠BCB'， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCB'＝90°， ∴∠ECD+∠FCD＝×90°＝45°， 即∠ECF＝45°； （2）由折叠可得，∠DEC＝∠AEC＝90°，BF＝B'F＝1， ∴∠EFC＝45°＝∠ECF， ∴CE＝EF＝4， ∴BE＝4+1＝5， ∴Rt△BCE中，BC＝＝， 设AE＝x，则AB＝x+5， ∵Rt△ACE中，AC2＝AE2+CE2， Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2， ∴AE2+CE2＝AB2﹣BC2， 即x2+42＝（x+5）2﹣41， 解得x＝， ∴S△ABC＝AB×CE＝（+5）×4＝． 二十八．坐标与图形变化-平移（共1小题） 59．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）． （1）写出点B的坐标（ 　4，6　）． （2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标． （3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据长方形的性质，可得AB与y轴平行，BC与x轴平行； 故B的坐标为（4，6）； 故答案为：（4，6）； （2）根据题意，P的运动速度为每秒2个单位长度， 当点P移动了4秒时，则其运动了8个长度单位， 此时P的坐标为（4，4），位于AB上； （3）根据题意，点P到x轴距离为5个单位长度时，有两种情况： P在AB上时，P运动了4+5＝9个长度单位，此时P运动了4.5秒； P在OC上时，P运动了4+6+4+1＝15个长度单位，此时P运动了＝7.5秒． 二十九．坐标与图形变化-旋转（共1小题） 60．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　（﹣1，﹣2）或（5，2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2， 当x＝0时，y＝3， 所以，点A（2，0），B（0，3）， 所以，OA＝2，OB＝3， 根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′， ∴AO′＝OA＝2，O′B′＝OB＝3， ①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2）， ②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2）， 综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）或（5，2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$