期末各名校真题-压轴必刷题（50题）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 一、单选题 1．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质平行线的判定等知识。①根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出；然后根据，可得为等边三角形，所以，据此判断出即可．③根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出．④首先根据，可得，然后判断出，再根据，即可判断出．⑤，据此判断即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，结论①正确． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，结论②正确． ∵， ∴，结论③正确． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，结论④不正确． ∵，结论⑤正确． 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤． 故选：C． 2．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；连接，过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴， ∴ ，故②正确； 连接，过分别作于，于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 如图，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定， 三角形的内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别点在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选D． 4．如图，点在的平分线上，且与互补，，，将绕点任意旋转，下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④的最小值为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】作于，于，由平分，，，可推出，根据勾股定理和角平分线的性质可得，证明得到，证明得到，，由，可判断①；根据，可判断②；根据将绕点任意旋转时，的长度是变化的，可判断③；证明是等边三角形，得到，当，时，有最小值，可判断④． 【详解】解：如图，作于，于， ， ， ， ， ， 平分，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，故①正确； ，故②正确； 将绕点任意旋转时，的长度是变化的，故③错误； ，， 是等边三角形， ， ，，即时，有最小值，最小值为，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 5．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，，， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故④符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 6．如图，C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，．以下六个结论：①；② ；③；④；⑤；⑥平分，其中正确的结论的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理，构造辅助线，利用角平分线判定定理是解题的关键．证明即可判断①正确，证明即可判断②和③正确，证明，即进一步可判断④错误，过点O作于点G，于点H，只要证明，即可根据角平分线的判定定理判断⑤正确． 【详解】和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 所以①正确； ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 所以②③都正确； ， ， ， 都是等边三角形， ， ， 所以④错误； 是等边三角形， ， ， ， ， 所以⑤正确； 过点O作于点G，于点H， ， ， ， ， ， 平分， 所以⑥正确； 所以正确的结论的有5个． 故选C． 7．如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． ①根据等边对等角，可得、、则，据此即可求解；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，据此即可求解；③证明且，即可证得是等边三角形；④先证明，则． 【详解】解：①如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ∴，故①正确； ②由①知：， ∵点是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴；故④正确； ∴正确的结论有：①③④． 故选：B． 8．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，轴上有一点，，分别为直线和轴上的两个动点，当的周长最小时，点，的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置．作点关于直线的对称点和关于轴的对称点，由可得，，所以是等腰直角三角形，求得，，待定系数法求出直线的解析式为，直线与轴的交点即为点的坐标，直线的交点即为点坐标． 【详解】解：作点关于直线的对称点和关于轴的对称点，如图， 则，，， ∴， 当共线时周长最小， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，， ∴，， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵C、关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 则点， 联立，解得， 则 故选：A． 9．如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先证明出，再根据全等三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质推出其他选项，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 点是的中点， ，平分，且， ， 又， ， ， 故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故②正确； ， ， ， ∴，， 故③错误； 当时，的最小，如图所示：   是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， 故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是16，为定值， 故⑤正确， 即正确的有4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，外角的性质，三角形的面积，证明是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于平面直角坐标系中找点的规律问题，先根据，可得，再根据，即可推出的坐标，找到某种循环规律之后，可以得解． 【详解】解：由图可得， ， ， ， ， 故选：D． 11．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由三角形为等边三角形，得到三边相等，且内角为，根据题意得到，利用得到，则可得，可判定①正确；由全等三角形的性质得，从而可证明，，即可得出，可判定②正确；分与为直角两种情况求出的值，即可判定③；当时，求得，，从而可证明是等边三角形，，继而证得  ，即可判定④正确． 【详解】解：设点、Q运动时间为t秒， 根据题意得：， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ∴，故①正确； ∵ ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，故②正确； 若，由，得到， ∴，即， 解得：； 若，由，得到， ∴，即， 解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③正确； 当时，则，， ∵ ∴P、Q是、边的中点，即、是的中线， ∴， 为等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形重心的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 12．在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三线合一，三角形的面积公式，等式的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 作关于的对称点，连接，，，由，可得，，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知，于是可得答案． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接，，， ，， ，， 是关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， 垂线段最短， ， 即：， 的最小值是， 故答案为：． 13．如图，，以为斜边作直角，以的各边为边分别向外作正方形，于M，于N，则图中阴影面积和的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，完全平方公式的应用． 向两端延长，交于点P，交于点Q，过点C作于点O，证明，得到，，同理得到，，从而 ．设，，则，根据完全平方公式可得，再根据的面积得到，即可解答． 【详解】解：向两端延长，交于点P，交于点Q，过点C作于点O， 由题意可得，，，，， ， ∵， ， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴，， 同理可证， ∴，， ∴ ∴当取得最大值时，阴影面积和为最大． 设，， ∵在中，， ∴， ∵，即， ∴ ∵， ∴， ∴的最大值为， 此时阴影面积的和最大为． 故答案为： 14．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 15．如图，在中，，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，翻折的性质等知识，当时，画出图形即可解决问题，熟练掌握翻折的性质是解决此题的关键． 【详解】如图，当时， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴点A，，D共线， ∴， ∵，， ∴， ∴； 若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为， 故答案为：． 16．如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径以及含的直角三角形的性质，根据题意得出的值最小时的情况是解本题的关键．作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】解：作点D关于轴的对称点M，过点作，过点作，如图，此时的值最小， 等边三角形中，，点D是上一点，且． ，， 点D关于轴的对称点是M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F的横坐标为， 故答案为： 17．如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，推断出“点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行”是解题的关键．过点D作于点M，点F作于点N，分①点N在点D下方，②点N在点D上方，③点N与点D重合三种情况讨论，都可以得到，重合得到点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行，再根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，最小，重合得解． 【详解】过点D作于点M，过点F作于点N， ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴ 又∵，D为中点， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ①当点N在点D下方时，作图如下：(两图情况略有不同，但证明过程完全一致)    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ②当点N在点D上方时，作图如下：    ∵，， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ③当点与点重合时，作图如下：    由图可知：， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， 综上所述：点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行． 根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，最小， 即， 故答案为：． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形等，过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而可得的横坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，则，      即的横坐标为， ∵， ∴， ∵ 轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B，则， 即的横坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为， 同理可得，的横坐标为， 由此可得的横坐标为， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 19．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 【答案】30 【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴直线为的一条对称轴，，， 平分， ∴点B，点C关于直线对称， 连接，交于点，则点为取最小值时的位置点， ∵， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是等边三角形角平分线的交点， 连接 ∴平分， ∴， 故答案为：30． 20．如图所示，点，，，……在轴上，点点，，，……在直线上．已知，轴，……，……，，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，求一次函数的值，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，，的规律是解题的关键．根据题意可知是等腰三角形，从而推出，根据平行线的性质同理可推出，……，，代入，即可得到坐标． 【详解】解： 是等腰三角形 又轴， ， ，轴 是等腰三角形，且 同理，,，是等腰三角形 当时， 点的坐标为 故答案为：． 21．如图，在直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线翻折，B点落在D点的位置，那么点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．先证明，利用等角对等边可得出，在中，利用勾股定理可求出、，根据等面积法可求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点D作于F，设交于E， ∵长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为， ∴，，，， ∴， ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 22．如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、、，作于点，由，，求得，，则，所以，由，，且，得，即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、、，作于点， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，且， ∴， 即， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 23．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)、，直线的解析式为 (2)或 (3)所有符合条件的点的坐标为，， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）根据直角顶点不同分情况讨论，画出图形构造一线三垂直全等模型求解即可． 【详解】（1）解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； （3）解：∵、， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴当，时，如图中点，过作轴于， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 同理当，时，如图中点，此时； 当，时，如图中点，此时为中点，则, 综上所述，当为等腰直角三角形时，所有符合条件的点的坐标为，，． 24．如图，等腰中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图，若点的横坐标为，求点的坐标； (2)如图，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）作轴，证，得到，进而根据点的横坐标为即可求解； （）延长交延长线于点，证明和，可得，进而即可求解； （）作轴，证和，可得和，据此即可求证． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则， ∵，， ∴, ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴, ∴点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵， ∴， ∵轴平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，作轴于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，余角性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②存在，或 【分析】（1）把代入，可得答案； （2）①过点作，垂足为点．求解直线表达式为．可得．证明，过作，垂足为点．证明．可得，则，从而可得答案； ②若点在射线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．证明．可得，结合点B坐标为，可得点的坐标为．若点在的延长线上时，如图．过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点．同理．从而可得答案． 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：①过点作，垂足为点．   ． ， ． ． 点在直线上， ． 直线表达式为． 把代入中， 得 ． ． ． 在中，． ， ． 过作，垂足为点． ． ． 又平分， ． ， ． ． 在直线上，令，得， ， 设直线的函数表达式为． 把代入，得． 直线的表达式为． ②存在． 若点在射线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． ． ． 又， ． ． ， 为等腰直角三角形， ． ． ． 点B坐标为 ． ． 点的坐标为． 若点在的延长线上时，如图．    过作轴，交轴于点，过作，交的延长线于点． 同理． ． 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键． 26．如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等；线段和线段垂直，理由见解析 (2)存在，或，使得与全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，在解题时注意分类讨论思想的运用． （1）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由，分两种情况：，，建立方程组求得答案即可． 【详解】（1）解：（1）与全等，线段和线段垂直．理由如下： 当时，， 又，即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． ∴， 即线段和线段垂直． （2）存在，或，使得与全等． 理由：依题意得： ①若， 则， 则， 解得； ②若， 则， 则， 解得：， 综上所述，存在或，使得与全等． 27．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得： ，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 28．5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 【答案】(1)； (2)第分钟后会开始拥堵 (3)举措有效，见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）利用待定系数法分别求解即可； （2）设楼梯口的总人数为人，当时，则，据此列不等式计算即可求解； （3）学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，则，据此楼梯口的总人数为，画出图象，根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴； 当时，设直线的解析式为， 将和代入得，，解得， ∴； 综上，； （2）解：设楼梯口的总人数为人， 当时，， 令，则， 得， 答：第分钟后会开始拥堵； （3）解：学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，有效， 由题意得， 即， 楼梯口的总人数为， 即， 画出图象如图： 由图可知，总人数最多为65人，小于70人，故不会发生拥堵． 29．一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 【答案】(1)； (2)3小时 (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法即可得到答案； （2）根据两车相遇是相等，列方程解答即可； （3）根据（2）中相遇时间，分，两种情况计算即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，经过点，经过点， ， ，， ， 故答案为：，． （2）解：当时，两车相遇 解得： 答：两车同时出发后3小时相遇． （3）解：根据题意，当时， 解得： 当时， 解得： 即当或4时，两车相距． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，实际问题与一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并从图像获取准确信息是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线交x轴负半轴于点D (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______； (2)横坐标为m的点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为y（），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、一次函数与特殊三角形问题，掌握待定系数法以及分类讨论的数学思想是解题关键． （1）设直线的解析式为，由A、D即可求解；由可得，设直线的解析式为：，将点A代入即可求解； （2）由（1）可求点，由题意设点P ；根据题意可求得，即可求解； （3）分类讨论时，时，时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵ ∴ ∴设直线的解析式为：， 将点A代入可得：， 解得： ∴直线的解析式为：， 故答案为：， （2）解：中可得： ∴点 由题意设点P ∵轴， ∴ ∵点E在上， ∴ 解得： ∴ （3）解：时， 则， 解得： ∴ 时， 则 解得： ∴ ∴ 时， 则 ∵轴， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴ 综上所述：或或 31．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 【答案】(1)三人间间；双人间间 (2) (3)人住三人间，人住双人间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． （1）设三人间有间，双人间有间，注意凡团体入住一律五折优惠，根据客房人数；住宿费元列方程组求解； （2）根据题意，三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数； （3）根据的取值范围及实际情况，运用函数的性质解答． 【详解】（1）解：设三人间有间，双人间有间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住三人间间，双人间间； （2）解：根据题意，三人间住了人，住宿费每人元，则双人间住了人，住宿费每人元， ； （3）解：因为，所以随着的增大而减小， 故当满足、为整数，且最大时， 即时，住宿费用最低，此时， 答：一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元． 所以住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间． 32．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)210海里 (4) 【分析】（1）延长到点G，使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）延长到点G．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）连接，延长、相交于点C，根据题意得到，，，根据图2的结论计算； （4）作，使，连接，，先证明，再证明，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：；理由如下： 如图1，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，即．理由： 如图2，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，连接，延长、相交于点C， ∵，， ∴， ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． ∴此时两舰艇之间的距离为210海里． （4）解：如图4，作，使，连接，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 33．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元 (2)①；②有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆；方案一利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据题意，得，化简得，即可求解； ②根据题意，得，两种车都买，故m，n都是正整数，得到，解得，且m是偶数，得到方案；设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大解答即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的增减性，熟练掌握方程组，一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）①设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 根据题意，得， 化简得， 得到． 故； ②根据题意，得，由两种车都买，故m，n都是正整数， 得到，解得，且m是偶数， 具体如下： ，，， 故有三种方案，方案一：购进A型车2辆，B型车13辆；方案二：购进A型车4辆，B型车8辆；方案三：购进A型车6辆，B型车3辆； 设总获利W元，根据题意，得，根据一次函数的性质，m最小时，利润最大，故方案一，利润最大，最大利润为元． 34．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由题意知，，则，，，由，求解作答即可； （2）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （3）延长至点H，使，连接，先证明，再证明，得到，利用线段的和差关系以及等量代换，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图③，延长至点H，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵ ∴． 35．如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 【答案】(1)，否； (2)①；②； (3)． 【分析】（）根据速度路程时间即可求出货车行驶的平均速度，进而根据限速即可判断是否超速； （）①利用待定系数法即可求解；②利用待定系数法求出射线的函数表达式，再联立两函数表达式得到方程组，解方程组即可求解； （）当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，利用待定系数法可得，把代入得，据此即可求出激光射线与射线有交点的时长； 本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数函数表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，该货车行驶的平均速度为， ∵限速， ∴该货车没有超速， 故答案为：，否； （2）解：①设射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴； ②设射线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴， 由，解得， ∴射线、射线的交点坐标为； （3）解：当时，激光射线与射线没有交点，设此时，射线所在直线的函数表达式为，把代入得， ， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， ∵， ∴， ∴激光射线与射线有交点的时长为． 36．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等； （1）由，，得，又，可得，根据可证； （2）过点作交于点，过点作平行于轴的直线过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、，由将直线绕点顺时针旋转至直线，可得，是等腰直角三角形，即可得，有，，求出，，可得点的坐标为，用待定系数法得直线的函数表达式为； （3）求出，设，又，分当、、为直角顶点时，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作平行于轴的直线，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同（1）可得，， ，， 直线：与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， 点的坐标为，， 设的函数表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， ， 设，又， 当为直角顶点时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴交轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴负半轴时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴正半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或或时，为等腰直角三角形． 37．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接． 问题发现： 如图1，当点在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为___________，并猜想和、之间的数量关系：__________． 尝试探究： （2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长． 【答案】（1）， （2）当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由见详解． （3）13 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据证明，则可得，．又由，可得，进而可得，则可得，． （2）根据证明，则可得，．又由，可得，进而可得，则可得，． （3）根据证明，则可得，．再证，然后根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：， ， 即， 又，， ， ，， 中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ． 故答案为：， （2）当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系仍然成立，和、之间的数量关为：，理由如下： ， ， 即， 又，， ， ，， 中，，， ， ， ， 即， ， ， ， ． （3）， ， 即， 又，， ， ，， 中，，， ， ， ， ， ， ，， ． 38．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） (1)直接写出点的坐标． (2)射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． (3)连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或； (3)当时，为定值． 【分析】（）利用非负数的性质求出点的坐标即可求解； （）分点分别在线段上；点在的延长线上，点在线段上和点在线段上，点在的延长上三种情况，画出图形解答即可求解； （）由平分，是的三等分线，可得，，过点作，即到，可得，， 进而得到，同理可得，即可得到，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴点的坐标为； （2）解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形为长方形， ∴， 当点分别在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 当点在的延长线上，点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在线段上，点在的延长上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，与之间的数䞢关系为：当点分别在线段上时，；当点在的延长线上，点在线段上时，；点在线段上，点在的延长上时，； （3）解：能为定值，理由如下： ∵平分，是的三等分线， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，     同理可得， ∴ ， ， ， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，四边形内角和，平行线的性质，角平分线和三等分线的定义，平行公理的推论，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 39．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．    【答案】（1）SAS；；（2）；（3），证明见解析 【分析】（1）由已知和作图得到，得到，根据三角形三边关系得到； （2）延长到M，使，连接， 根据，推出，根据，推出，得到，，根据，得到，得到； （3）延长到点G，使，连接，，根据线段垂直平分线性质得到，根据，推出，得到，，根据，得到，中，由勾股定理得：，即得． 【详解】（1）由已知和作图得到，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． （2）延长到M，使，连接，如图所示：    ∵，，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． （3）等量关系为：．         理由如下：延长到点G，使，连接，，如图所示：    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，三角形全等的判断和性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，三角形三边关系，是解决问题的关键． 40．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，勾股定理，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：对于，由得：， ∴， 由得：，解得， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设，则、 如图1，过点B作于点D， ∴，， ∴， 解得， ∴M或M ②如图2，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 设，则 ∴，，， ∴， 解得． ∴． 当点M在y轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点P的坐标为或． 41．【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①90度；②2；（3）6 【分析】（1）先证明，再利用“边角边”证明三角形全等即可； （2）①同（1）证明即可；②过点A作，垂足为M，先证明，再根据等腰直角三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可； （3）连接，同（1）得，，可得，再证明，，由平行线间距离处处相等得出，再根据，得出，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵，， ∴； （2）①∵， ∴， 即， ∵，， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点A作，垂足为M，    ∴， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）连接，    同（1）得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴同底等高，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 42．如图1，直线的解析式为，D点坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线的解析式； (2)如图2，在x轴上是否存在点F，使，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由； (3)点P是直线上方第一象限内的动点．如图3，当为等腰直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用勾股定理求出，根据对称性求出，，在中，利用勾股定理可求出，即求出点B的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）求出的面积，根据列出方程求出的长度，即可求解； （3）分①，；②，；③，讨论，根据全等三角形的性质，求出线段长度，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解∶对于，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵C、O关于对称， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点F的坐标为或，即或； （3）解：①当，时， 如图，过点P作于H， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； ②当，时， 如图，过点P作于H， 同理可证， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； ③当，时， 如图，过点P作于M，过点A作于N， 同理可证， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； ∴点P的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 43．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．                                 备用图 (1)求线段的中点坐标； (2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】（1）根据题意先求出点，，的坐标，根据中点坐标公式即可得出线段的中点坐标； （2）设，分两种情况，当点在直线上方时，当点在直线下方时，根据三角形面积的关系分别求解即可； （3）过作于，过作轴，过作于，过作于，设，证明，则，，可得，解方程可得，由，得直线解析式为，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 令，解得：， ， 令，解得：， ， 线段的中点坐标为； （2）设， 当点在直线上方时， ， ， ，，， ， ，， ，解得， 点的坐标为； 当点在直线下方时， ， ， ，，， ， ，， ，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）过作于，过作轴，过作于，过作于， 设， 又点的坐标为，， ∴，， ，， 是等腰直角三角形， ，， 又， ， ，， ， 解得， ， 设直线的解析式是， 将点，代入得：， 解得：， 直线解析式为， 令，得，解得， 点的坐标为，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查中点坐标公式，三角形的面积，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题，以及分类讨论思想的应用． 44．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；②图见解析， 【分析】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． （1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 45．已知在四边形中，，． (1)如图，，分别是边上的点，线段之间的关系是 ； (2)如图，，分别是边上的点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； (3)如图，，分别是边延长线上的点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，，证明见解析 【分析】（）延长至，使，连接，证明得到，，进而可得，再证明得到，据此即可求解； （）延长至，使，连接，同理（）可求证； （）在上截取，连接，同理（）可求证； 本题考查了三角形全等的性质与判定，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：（）中的结论不成立，，理由如下： 如图，在上截取，连接， 同（）中证法可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 46．小莉同学在一次数练习中曾经遇到了平面直角系中的折叠问题，张老师讲评完试卷后又让她尝试完成以下同类问题： (1)如图①，在平面直角坐标系中，点，B分别是坐标轴上的两点，当时，将沿边翻折得到，点O的对应点为C，则点C坐标为________； (2)如图②，长方形位于平面直角坐标系中，点，，分别位于两个坐标轴上，D是上一动点，将沿翻折得到，当F落在上时，试求所在直线的函数表达式． (3)如图③，四边形是工厂张师傅设计的某零件平面示意图一部分，P，D分别是，上两点，且，，，现准备在边上再确定一点Q，画出一条分割线，使得，若存在点Q，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由得到，根据，并结合勾股定理可求得，由翻折可得是等边三角形，过点C作于点D，根据“三线合一”与勾股定理即可求得点C的坐标； （2）由，，，得到，，，，根据长方形的性质与勾股定理求得，， ，设点D的坐标为，则，，根据勾股定理有，代入即可求出点D的坐标，进而根据待定系数法即可求出所在直线的函数表达式； （3）过点B作，交的延长线于点E，可得四边形是长方形，从而，，，根据勾股定理求得，进而得到，从而证得，得到，又证，得到，因此，根据面积公式求得，．连接，得到，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 过点C作于点D， ∴， ， ∴点C的坐标为． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ，， ∴在中，， 设点D的坐标为，则，， 由翻折可得，，， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴点， ∵四边形是长方形，，， ∴点， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴所在直线的函数表达式为． （3）解：过点B作，交的延长线于点E， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴∵，，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，且与的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查图形与坐标，勾股定理，轴对称图形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定及性质，待定系数法求解析式，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 47．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 【答案】[方法探究]（1）；[问题解决]（2）证明方法见详解；[问题拓展]（3）证明过程见详解 【分析】本题主要考查了倍长中线，三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线，构造三角形全等，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． [方法探究]（1）延长到点，使，连接，运用“边角边”证明得到，由三角形三边数量关系即可求解； [问题解决]（2）根据题意可得点是中点，如图所示，延长到点，使得，可证，得到，再证，得到，由此即可求解； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点，可证，，，得到，即点是的中点，再证，得到，证明，得到，由此即可求证． 【详解】解：[方法探究]（1）延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； [问题解决]（2）∵， ∴， ∵， ∴，即点是中点， 如图所示，延长到点，使得， ∵点是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； [问题拓展]（3）如图所示，延长交于点，延长到点，使得，过点作于点，过点作于点， ∵，，，点共线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即点是的中点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 48．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据与的运动时间相等，利用的路程的路程列方程，可得结论； （2）根据列方程，可得结论； （3）先证明，得，列方程可得结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， 为12时，、两点第一次重合； （2）解：如图1所示： 是等边三角形， ， 当时，是等边三角形， ， ； （3）解：存在以为底边的等腰， 如图2所示： 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，几何动点问题，全等三角形的判定和性质，正确理解两个动点的路程是本题的关键，并与一元一次方程相结合解决问题． 49．如图，直线与直线交于点，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C． (1)求m和b的值； (2)已知点D在x轴上，且的面积为4，求直线的解析式； (3)在x轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为4，b的值为5 (2)或 (3)存在，P的坐标为或或或 【分析】（1）把代入，求得，代入求得； （2）根据的面积为4，求得，根据，求得，得到或，设直线解析式为，当时，求得直线的解析式为；当时，求得直线的解析式为； （3）设，求出，①当时，根据，得到轴，根据，得到；当时，根据勾股定理得到，，解得或，得到，；当时，根据点与C关于对称，求出，得到． 【详解】（1）解：把代入得： ， ∴， 把代入得： ， 解得; ∴m的值为4，b的值为5； （2）解：∵的面积为4， ， 即， ∴， 在中，令，则， 解得，， ∴， ∴或 设直线解析式为， ， 当时，， 解得，， ∴直线的解析式为：； 当时，， 解得，， ∴直线的解析式为：； 故直线的解析式为：或； （3）解：存在点P，使为等腰三角形，理由如下： 设， 在中， 令，则， 解得，， ∴， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴； ②当时， ∵，， ∴， 解得，，或， ∴，； ③当时， 点与C关于对称， ∴， ∴， ∴； 故P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与三角形综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，等腰三角形判断和性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 50．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或 或 【分析】（1）由及面积关系，即可求得； （2）由，得，由面积公式即可求得t的值； （3）当时，得；证明，则得，从而得；分三种情况讨论：①当点N在上，且时，有，可得点N的坐标；②过点 A 作轴于 A， 使得 ，连接，则可得从而可得点的坐标；③过点 B作轴于B，使得 连接，与②同理得：，从而可得点的坐标；综合起来即可得到点N的坐标． 【详解】（1）解∶ ， ， 或（舍）， ； （2）解：由题意知：， ， ， ， ， ， ； （3）解：当时，； 轴⊥轴， ， ， ， 在中，， ， ， ； 在和中， ， ． ， ； ①当点N在上，且时， 则，且， ， ； ， ， ； ②过点 A 作轴于 A， 使得 连接， ，， ， ， ， ， 则 轴， ， ， ； ③过点 B作轴于B，使得 连接， 与②同理得：， 轴，  ， ； 综上所述，在坐标平面内存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与 全等， N点坐标为或 或 ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，注意分类讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题-压轴必刷题（50题） 一、单选题 1．如图，C为线段上一动点（不与A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 3．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 4．如图，点在的平分线上，且与互补，，，将绕点任意旋转，下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④的最小值为 A．个 B．个 C．个 D．个 5．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，C为线段上一动点（不与点A，点E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，．以下六个结论：①；② ；③；④；⑤；⑥平分，其中正确的结论的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．如图，等腰中，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的个数为（　　）个 A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，轴上有一点，，分别为直线和轴上的两个动点，当的周长最小时，点，的坐标分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是4；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 11．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 12．在中，，，，为的中点，为上一动点，连接，，则的最小值是 ． 13．如图，，以为斜边作直角，以的各边为边分别向外作正方形，于M，于N，则图中阴影面积和的最大值为 ． 14．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 15．如图，在中，，，，点为的中点，点为边上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接，若是以点为直角顶点的直角三角形，则的长为 ． 16．如图，等边三角形中，，点D是上一点，且．若点E是y轴正半轴上一动点，F是线段上一动点．当的值最小时，点F的横坐标为 ．（用含a的式子表示） 17．如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是 ．    19．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 20．如图所示，点，，，……在轴上，点点，，，……在直线上．已知，轴，……，……，，则的坐标为 ． 21．如图，在直角坐标系中，长方形的边在x轴上，边在y轴上，点B的坐标为，将矩形沿对角线翻折，B点落在D点的位置，那么点D的坐标为 ． 22．如图，在中，，，点，分别在边，上，则的最小值为 ． 三、解答题 23．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线的解析式； (2)若为直线上一动点，，求点的坐标； (3)点是直线AB上方第一象限内的动点，当为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 24．如图，等腰中，，，点分别在坐标轴上． (1)如图，若点的横坐标为，求点的坐标； (2)如图，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值； (3)如图，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限作等腰、等腰，连接交轴于点，当点在轴的正半轴上移动时，求证：． 25．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点． (1)求m的值； (2)点D是直线上一动点． ①如图2，当点D恰好在的角平分线上时，求直线的函数表达式； ②是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 26．如图（1），，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； (2)如图（2），将图（1）中的“”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 27．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 28．5月12号是全国防灾减灾日，学校对校园隐患进行了排查，发现放学时，七、八年级所处的教学楼楼梯口空间窄，人流量大，极易发生拥堵，从而出现不安全因素、通过观察，发现七年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足关系：，八年级学生从放学时刻起，准备通过楼梯口的人数 (人)与时间x(分钟)满足如图的关系．已知两个年级同时准备通过楼梯口的人数超过70人，就会发生拥堵． (1)试写出八年级学生准备通过楼梯口的人数(人)和时间x(分钟)之间的函数关系式； (2)若七、八年级学生同时放学，几分钟后楼梯口开始拥堵？ (3)为了解决拥堵问题，排除校园安全隐患，学校决定让八年级学生延迟5分钟放学，请通过计算说明学校的这一举措是否有效． 29．一辆货车从地运送一批物资到地，一辆客车从地运送一批乘客到地，两车同时出发，图中，分别表示两车相对于地的距离与行驶时间之间的关系． (1)根据图象，直接写出，对应的函数关系式； (2)求两车同时出发后的相遇时间； (3)当为何值时，两车相距？ 30．如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过点A的直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，，直线交x轴负半轴于点D (1)直线的解析式为______；直线的解析式为______； (2)横坐标为m的点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作x轴的平行线交于点E，设的长为y（），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m的取值范围； (3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使为等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 31．已知深圳湾大酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．为吸引客源，促进旅游，在十一黄金周期间深圳湾大酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房． (1)若每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)设三人间共住了人，一天一共花去住宿费元，请写出与的函数关系式； (3)一天元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种入住的房间正好被住满的入住方案，使住宿费用最低，并求出最低的费用． 32．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 33．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求 A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆． ①求n关于m的关系式； ②请你帮助该公司设计购买方案；若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，在你给出的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 34．【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题： 如图1，在中，，，边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图1，请写出的取值范围是　　　． （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：； 【问题拓展】 （3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由． 35．如图，某高速路有一段区间测速，限速．现有一辆大货车经过测速区，以测速区起始线为轴，以高速路路边的围栏为轴，建立平面直角坐标系如图，为区间测速货车行驶的笔直路线（轴）．． (1)该货车通过测速区间的时间为分钟（车身长忽略不计），该货车行驶的平均速度为 千米/小时，是否超速 （填“是”或“否”）； (2)在测速区起始线且距车头米的点处有一个固定激光测速仪，激光射线与 交于点； 在点 处设置可转动的另一台测速仪， 射出的激光线追踪货车头点，当车头刚好在测速区起始线时． ①求射线 所在直线的函数表达式， ②射线、射线的交点坐标； (3)若车头刚好在测速区起始线时开始计时，请直接写出激光射线与射线有交点的时长． 36．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 37．已知中，，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，使，，连接． 问题发现： 如图1，当点在边上时， （1）请写出和之间的位置关系为___________，并猜想和、之间的数量关系：__________． 尝试探究： （2）如图2，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系、和、之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由； 拓展延伸： （3）如图3，当点在边的延长线上且其他条件不变时，，，求线段的长． 38．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） (1)直接写出点的坐标． (2)射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． (3)连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 39．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到，依据是________．由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． （3）【灵活运用】如图③，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接．试猜想线段、、三者之间的等量关系，并证明你的结论．    40．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图2，若，求点P的坐标． 41．【基础巩固】    （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为中点． ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点，，，的面积为18，请直接写出的长． 42．如图1，直线的解析式为，D点坐标为，点O关于直线的对称点C在直线上． (1)求直线的解析式； (2)如图2，在x轴上是否存在点F，使，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由； (3)点P是直线上方第一象限内的动点．如图3，当为等腰直角三角形时，求点P的坐标． 43．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点．                                 备用图 (1)求线段的中点坐标； (2)若点是直线上的一点，连接，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点在第一象限内，以为顶点作，射线交轴于．求点的坐标． 44．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 45．已知在四边形中，，． (1)如图，，分别是边上的点，线段之间的关系是 ； (2)如图，，分别是边上的点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； (3)如图，，分别是边延长线上的点，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 46．小莉同学在一次数练习中曾经遇到了平面直角系中的折叠问题，张老师讲评完试卷后又让她尝试完成以下同类问题： (1)如图①，在平面直角坐标系中，点，B分别是坐标轴上的两点，当时，将沿边翻折得到，点O的对应点为C，则点C坐标为________； (2)如图②，长方形位于平面直角坐标系中，点，，分别位于两个坐标轴上，D是上一动点，将沿翻折得到，当F落在上时，试求所在直线的函数表达式． (3)如图③，四边形是工厂张师傅设计的某零件平面示意图一部分，P，D分别是，上两点，且，，，现准备在边上再确定一点Q，画出一条分割线，使得，若存在点Q，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 47．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出． 这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是______________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，点是边上的一点，连接，过点分别向外作、，使得，，若，求证：且为的中线． 48．如图，在边长为的等边中，、两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒．求： (1)为何值时，、两点第一次重合？ (2)为何值时，为等边三角形？ (3)当点、在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． 49．如图，直线与直线交于点，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C． (1)求m和b的值； (2)已知点D在x轴上，且的面积为4，求直线的解析式； (3)在x轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 50．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B分别为x轴负半轴和y轴正半轴上一点，； (1)分别求出 A、B两点的坐标； (2)点P 从点O出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，运动时间为t秒． 点P在动过程中，若，求此时t的值； (3)在（2）的条件下，连接，过点A作垂足为C，交y轴交于点M，在坐标平面内是否存在点N，使以B、A、M为顶点的三角形与全等（点N不与点M重合），若存在，请求出N点坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$