寒假作业04 尺规作图分类训练（4种类型40道）-【寒假巩固提升】2024-2025学年八年级数学寒假作业（人教版）

寒假作业04 尺规作图分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 作已知角相等的角】 1 【题型2 作角平分线】 3 【题型3 作垂直平分线】 6 【题型4 过点作已知直线垂线】 8 【题型1 作已知角相等的角】 1．如图，已知． (1)利用尺规作图，在的下方作，在射线上截取，并连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)延长与射线交于点，若，，，求的周长． 2．尺规作图：作一个角，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，已知，点C在上． (1)在的右侧作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)与平行吗？ 为什么？ 4．尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） 如图，已知，点在射线上， (1)在上取一点，使； (2)作． 5．作图题： 已知：，求作：，使.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）    6．如图，D是的边延长线上一点，以点C为顶点，射线为一边，在上方利用尺规作，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 7．如图，已知，点D，B，C在同一直线上，运用尺规作图在直线上方作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 8．如图，已知． (1)作，使；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图中，作出与互补的角．（画出一个即可） 9．如图，射线在的内部， (1)尺规作图：在的外部作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (2)在（1）的条件下，若，则_________． 10．尺规作图：如图，已知，平分，请用尺规在边上求作一点P，使得． 【题型2 作角平分线】 11．如图，点是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 12．作尺规作图：画一个角的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 已知：．求作：射线，使． 13．如图，已知在四边形中，，连接、． (1)用基本尺规作图：作的角平分线，交的延长线于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若F是的中点，，求的长． 14．如图，在中， (1)尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 15．如图，在中，，，，为的一个外角． (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； ②取线段的中点N，过N画的垂线，与交于点F，与交于点E． (2)求证：． 16．已知，按下列要求画图：（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (1)作的角平分线，交于点； (2)若的高线为，当，，时，的面积是_____， 与的面积比是______． 17．已知如图所示： (1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，的面积为16，点E在边上，且，连接，求的面积． 18．如图，中，，于． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法） (2)若，求的度数． 19．如图，在中， (1)尺规作图，求作的平分线，交于点D (2)若，直接写出的面积． 20．如图，在中，于点． (1)作的角平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法） (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 【题型3 作垂直平分线】 21．如图，在中． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于D，E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，，求的周长． 22．如图，已知． (1)利用尺规作图，作出的垂直平分线，使其与交于点D，与交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求的周长． 23．如图，在中，，． (1)利用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 24．尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 25．如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)，，点P是直线上动点，则的最小值为_______． 26．如图，在中，．    尺规作图：作的垂直平分线，交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； 27．如图，在中，，是的一个外角．根据要求用尺规作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作的平分线； (2)作线段的垂直平分线，与交于点，与交于点． 28．如图，在中． (1)（不写作法，保留作图痕迹）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点E，连结． (2)若的周长等于，求的周长． 29．如图，已知是的角平分线． (1)尺规作图．作的垂直平分线，交边于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断和的位置关系，并加以证明 30．如图，在中，的角平分线交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点、点F、点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，证明：． 【题型4 过点作已知直线垂线】 31．如图，在外有一点D，满足且． (1)过点B作直线的垂线，交于点F，并在射线上取，连接交于点G；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求的大小． 32．如图，在中，，平分，交于点D． (1)过点B作⊥直线于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)与之间有何数量关系？请说明理由． 33．如图，在中，平分，于点E，点F在上，． (1)过点D作，垂足为E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 34．如图，长方形中，为的中点．小明过点E作的垂线交边于点F (1)请在图中作出点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； (2)连接，求证：． 35．如图，在中，，是的外角的平分线．    (1)用直尺和圆规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹） 过点作，垂足为点； 作的平分线，与交于点； (2)在的条件下，试判断与的关系，并说明理由． 36．如图，在中，，，D是上一点，过点C作，交的延长线于点E． (1)实践与操作：过点A作的垂线，交于点F．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想线段与的数量关系，并说明理由． 37．如图，在，． (1)请用尺规作图：过点A作，垂足为点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则______． 38．如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 39．如图，，在上，平分，是线段上的点（不与，重合），过点作，与交于点，与直线交于点． (1)依据题意补全图形： (2)若，则__________； (3)判断与有怎样的数量关系，并证明． 40．如图，已知直线截平行线、于点、，平分，平分且与交于点，过点作于． (1)用直尺和圆规补全图形；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求当，时线段的长． 精选考题 才是刷题的捷径 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   【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图“作一个角等于已知角”．根据作一个角等于已知角的作法，先作，进而再的外部作，即可得到． 【详解】解：即为所求．     ． 6．如图，D是的边延长线上一点，以点C为顶点，射线为一边，在上方利用尺规作，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角的基本步骤是解题的关键． 根据作一个角等于已知角的方法作图即可． 【详解】解：如图所示， 即为所求． 7．如图，已知，点D，B，C在同一直线上，运用尺规作图在直线上方作，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 在直线上方，利用基本作图作． 【详解】如图，为所作． 8．如图，已知． (1)作，使；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图中，作出与互补的角．（画出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是基本作图，利用尺规作图作一个角等于已知角以及补角的概念． （1）先作，然后在其外部再作，则可得； （2）延长至，则，即与互补． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． ． （2）解：如图所示，即为所求． ． 9．如图，射线在的内部， (1)尺规作图：在的外部作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (2)在（1）的条件下，若，则_________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，等式的性质等知识点，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键． （1）按照尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）由即可推出，于是可得答案． 【详解】（1）解：在的外部作，使，如下图所示： （2）解：， ， 故答案为：． 10．尺规作图：如图，已知，平分，请用尺规在边上求作一点P，使得． 【答案】见解析 【分析】本题考查了基本作图，平行线的性质等知识，过点D作，可得出，由角平分线定义得出，利用平行线的性质可得出，则 ． 【详解】解：如图，点P即为所求， 【题型2 作角平分线】 11．如图，点是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的作法及全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）结合角平分线的定义可得，然后证明即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； ； （2）证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 12．作尺规作图：画一个角的平分线．（保留作图痕迹，不写作法） 已知：．求作：射线，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，作已知角的平分线．以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交两边于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点C；作射线．则射线为的角平分线． 【详解】解：如图，即为所作． 13．如图，已知在四边形中，，连接、． (1)用基本尺规作图：作的角平分线，交的延长线于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若F是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线，全等三角的判定以及性质，平行线的性质知识． （1）利用基本作图，作出的平分线即可； （2）证明，推导出即可得解． 【详解】（1）解：如图，CM即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在中， (1)尺规作图：作的平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． （1）根据角平分线的尺规作图方法进行求解即可得； （2）作，由的面积为，求得，再根据角平分线的性质可得． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求； （2）解：过点D作，交于点E，在中， ， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴． 15．如图，在中，，，，为的一个外角． (1)请按以下要求画出图形，并在图中标明相应字母． ①尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； ②取线段的中点N，过N画的垂线，与交于点F，与交于点E． (2)求证：． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）①根据尺规作平分线的步骤作图即可作出图形； ②按要求作图即可； （2）根据证明可得结论． 【详解】（1）解：①②图形如图所示； （2）证明：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵线段的中点为N， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 16．已知，按下列要求画图：（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (1)作的角平分线，交于点； (2)若的高线为，当，，时，的面积是_____， 与的面积比是______． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）以点为圆心画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧交于点，最后连接，交于点，即为所求； （2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而求出与的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）如图，过点作于点， 是的高， ， 是的角平分线，， ， ，， ，， 故答案为：，． 17．已知如图所示： (1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，，的面积为16，点E在边上，且，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法利用尺规即可作的角平分线交于点； （2）过点D作，垂足为P，作，垂足为Q，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即所求， ； （2）解：如图，过点D作，垂足为P，作，垂足为Q． ∵是的角平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴． 答：的面积为4． 18．如图，中，，于． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法） (2)若，求的度数． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，掌握尺规作角平分线的方法，直角三角形的性质，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，根据角平分线的定义可得，再根据是的外角，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，是的角平分线， （2）解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴ ∵于， ∴在中，， ∵是的外角， ∴． 19．如图，在中， (1)尺规作图，求作的平分线，交于点D (2)若，直接写出的面积． 【答案】(1)见详解 (2)30 【分析】此题主要考查了角平分线的作法与性质，正确掌握角平分线的性质是解题关键． （1）直接利用角平分线的尺规作法得出答案； （2）过点作于点，利用角平分线的性质结合三角形面积求法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：过点作于点，如图2所示： ∵平分， ∴， ∴的面积． 20．如图，在中，于点． (1)作的角平分线，交于点，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法） (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析； (2)． 【分析】（）根据作角平分线的方法即可； （）求出，，再利用三角形的外角的性质求解； 本题考查了作图-基本作图，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形及熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）如图， 以为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于点， 分别以为圆心，大于长度半径画弧，两弧交于点， 连接，交于点，交于点， ∴即为所求； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型3 作垂直平分线】 21．如图，在中． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于D，E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知，，求的周长． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质； （1）分别以为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线，交，于D，E即可； （2）如图，连接，证明，再结合三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：如图，连接， 由作图可得：是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长为：． 22．如图，已知． (1)利用尺规作图，作出的垂直平分线，使其与交于点D，与交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 的周长． 23．如图，在中，，． (1)利用尺规作边的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质： （1）根据作已知线段的垂直平分线的作法画出图形，即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到的周长为：，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：因为是的垂直平分线． 所以．     所以的周长为：，     因为，． 所以的周长为：． 24．尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）： (1)在如图所示的中，作边上的垂直平分线，交于点，交于点． (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为18，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为12． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，由的周长为18，求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：由题意得，， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为12． 25．如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)，，点P是直线上动点，则的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查作图—基本作图、轴对称最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由题意知，当点与点重合时，取得最小值，为的长，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ，， ∴， 当点与点重合时，，为最小值． ，， ， 的最小值为9． 故答案为：9． 26．如图，在中，．    尺规作图：作的垂直平分线，交于点，（不写作法，保留作图痕迹）； 【答案】见解析 【分析】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 利用基本作图（作线段的垂直平分线）作的垂直平分线，此垂直平分线与的交点为点． 【详解】解：如图，点为所作；    27．如图，在中，，是的一个外角．根据要求用尺规作图，并在图中标明相应字母．（保留作图痕迹，不写作法） (1)作的平分线； (2)作线段的垂直平分线，与交于点，与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）利用基本作图作出的平分线； （2）利用基本作图作出的垂直平分线，与交于点，与交于点即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：直线即为所求． 28．如图，在中． (1)（不写作法，保留作图痕迹）尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点E，连结． (2)若的周长等于，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）根据中垂线的性质，结合的周长，得到，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）∵垂直平分， ∴， ∵的周长， ∴的周长． 29．如图，已知是的角平分线． (1)尺规作图．作的垂直平分线，交边于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断和的位置关系，并加以证明 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意，作的垂直平分线，交边于点； （2）根据角平分线的定义得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，得出，即可得证． 【详解】（1）如图，点即为所求； （2）和的位置关系为：， 证明：是的角平分线， ， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，平行线的判定，角平分线的定义，等边对等角，三角形的外角的性质；掌握基本作图是解题的关键． 30．如图，在中，的角平分线交于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点、点F、点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，证明：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图、作线段垂直平分线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图步骤是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可． （2）由线段垂直平分线的性质可得，证明，证明，结合全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：图形如图所示： ； （2）证明：， ， 平分， ，又， ， ． 【题型4 过点作已知直线垂线】 31．如图，在外有一点D，满足且． (1)过点B作直线的垂线，交于点F，并在射线上取，连接交于点G；（尺规作图，保留作图痕迹） (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，全等三角形的判定及性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据作垂线的方法作图即可； （2）先利用证明，得，再结合直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）∵，， ∴，则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 32．如图，在中，，平分，交于点D． (1)过点B作⊥直线于点E．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)与之间有何数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解答 【分析】本题考查的是作图基本作图，三角形内角和定理以及角平分线的定义，掌握三角形内角和是解题的关键． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交的上方于一点，作过这点和点的直线交于点； （2）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 理由：平分， ，． ， ． ， ． ． 33．如图，在中，平分，于点E，点F在上，． (1)过点D作，垂足为E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查尺规作垂直平分线，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，牢记全等三角形的判定方法及性质和角平分线的性质是解题的关键． （1）根据尺规作垂直平分线的方法求解即可； （2）根据角平线的性质可求得，进而可证得，即可证得结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵平分，，， ∴． 在和中 ∴． ∴． 34．如图，长方形中，为的中点．小明过点E作的垂线交边于点F (1)请在图中作出点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据要求作出图形即可； （2）证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， ； （2）证明：延长交的延长线于， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．如图，在中，，是的外角的平分线．    (1)用直尺和圆规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹） 过点作，垂足为点； 作的平分线，与交于点； (2)在的条件下，试判断与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了尺规作图、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形外角与内角的关系． （1）①根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作； ②根据作已知角的平分线的方法作平分； （2）首先根据等边对等角可证，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和可得，根据角平分线的定义可知，从而可证，再根据角平分线的定义和平行线的性质可证． 【详解】（1）解：①如下图所示，分别以点、为圆心，相同的长度为半径画弧， 两弧交于点，连接交于点， 则有垂足为点；    ②如下图所示，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点， 连接并延长交于点，则为的平分线；      （2）解：， 理由如下： ， ， 是的外角， ， 平分， ， ， 平分， ， 又， ， ， ． 36．如图，在中，，，D是上一点，过点C作，交的延长线于点E． (1)实践与操作：过点A作的垂线，交于点F．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用基本作图，过点作的垂线即可； （2）通过证明可判断． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）．理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴． 37．如图，在，． (1)请用尺规作图：过点A作，垂足为点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，若，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． （1）利用过直线外一点作直线的垂线画出即可； （2）利用同角的余角相等即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）证明：， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 38．如图，在中，，为的平分线． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了尺规作垂线，角平分线的定义，垂直平分线的性质，全等三角形的判断．正确的作垂线是解题的关键． （1）以D为圆心，适当长为半径画弧交于M、N，以M、N为圆心，大于长为半径画弧，交于点G，连接，交于E，则是线段的垂直平分线， 即为所求； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质得，，证，即可得出结论． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）证明：为的平分线，为的垂线，， ，， 在和中 ， ， ， ． 39．如图，，在上，平分，是线段上的点（不与，重合），过点作，与交于点，与直线交于点． (1)依据题意补全图形： (2)若，则__________； (3)判断与有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)50 (3)，证明见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、垂线、平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据垂直的定义画图即可． （2）由垂直的定义可得，则，可得，由平行线的性质可得，，根据角平分线的定义可得，进而可得答案． （3）根据平行线的判定与性质、角平分线的定义可得结论． 【详解】（1）解：如图所示． （2）， ， ， ， ． 平分， ， ， ． 故答案为：50． （3）． 证明：， ． 平分， ． ， ， ． 40．如图，已知直线截平行线、于点、，平分，平分且与交于点，过点作于． (1)用直尺和圆规补全图形；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求当，时线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）利用尺规作图作平分且与交于点，过点作于即可； （）过作于点，先由平行线的性质及角平分线得，进而由勾股定理得，从而利用角平分线的性质及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图，过作于点， ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴即， ∴ ， ∵平分，，， ∴ ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$