期末押题预测卷02（范围：立体几何+解析几何+数列）-2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期末押题预测卷02 （范围：立体+解析几何+数列 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．两平行直线之间的距离为（   ） A． B．3 C． D． 3．已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 4．在2和14之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 6．如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆，点.若圆上存在点使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．的最小值为2 C．存在点使得 D．当离心率为时，的最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．是递增数列 C．当时，取得最小值 D．若，则的最小值为11 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线与的右支交于点，与轴交于点，若为正三角形，则（    ） A．双曲线的焦距为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．的面积为 11．在四面体中，，PA垂直于平面ABC，，且该四面体外接球表面积的最小值为，则（    ） A． B．四面体的体积恒为定值 C．若二面角的正弦值为，则 D．当时，四面体的内切球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是 . 13．如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数 ． 14．造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为 .    四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则． (1)若是直线上所有点的集合,计算的值． (2)对（1）中的点集,能否确定（其中）的值？ (3)对（1）中的点集,若,请你写出实数,,可能的值． 16．已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 17．已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 18．如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点.    (1)当时，求四棱锥的体积； (2)当直线与平面所成的角为时，求的值. 19．已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版） 期末押题预测卷02 （范围：立体+解析几何+数列 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线，即， 所以直线的斜率为，则倾斜角为. 故选：B. 2．两平行直线之间的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意即为直线， 所以两平行直线之间的距离为． 故选：C 3．已知数列的前n项的和为，．当时，，则（    ） A． B．1006 C．1007 D．1008 【答案】D 【详解】易知当时，，． 两式相减得，即． 又，， 即满足上式， 可得． 故选：D． 4．在2和14之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，令这个等差数列为，，， 则，因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 5．已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是平面外任意一点，且， 若，，，四点共面的充要条件是，即. 故选：B. 6．如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： ， 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. 7．已知圆，点.若圆上存在点使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则点P在以AB为直径的圆上，即圆，即两圆存在公共点, 由两圆位置关系可得 即的最小值为， 故选:B 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（   ） A．离心率的取值范围为 B．的最小值为2 C．存在点使得 D．当离心率为时，的最大值为 【答案】D 【详解】因为长轴长为4，所以，即， 因为点在椭圆内部， 所以，即，故 对于，故A错误； 对于B，由于，故由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，所以的最小值为1，故B错误． 对于C：若，则在以为直径的圆上，则， 由A选项知，，,，所以， 所以不存在使得，故C错误； 对于D， 当点，，共线且在轴下方时，取最大值， 由，即，解得，所以,， 所以， 所以的最大值为，故D正确； 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．是递增数列 C．当时，取得最小值 D．若，则的最小值为11 【答案】BD 【详解】对于A，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，，故是递增数列，故B正确； 对于C，， 所以，当时，取到最小值，故C错误； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为11，故D正确. 故选：BD 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线与的右支交于点，与轴交于点，若为正三角形，则（    ） A．双曲线的焦距为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．的面积为 【答案】AC 【详解】因为，，所以，， 所以，双曲线的焦距为，故A正确； 因为为等边三角形，所以，， 因为，， 由对称性可知，（为原点）， 又因为， 所以在中，，得， 所以，，故虚轴长为，离心率，故B错误，C正确； 因为，故D错误． 故选：AC． 11．在四面体中，，PA垂直于平面ABC，，且该四面体外接球表面积的最小值为，则（    ） A． B．四面体的体积恒为定值 C．若二面角的正弦值为，则 D．当时，四面体的内切球半径为 【答案】BCD 【详解】由于四面体外接球表面积的最小值为， 所以外接球半径的最小值为. 由于平面，平面，所以，， 而，所以， 当且仅当时等号成立. 即的最小值，A选项错误. 四面体的体积，B选项正确. 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，所以， ， 设平面的法向量为， 则，故可设. 设平面的法向量为， 则，故可设， 所以， 由于二面角的正弦值为， 所以， ， ，其中， 故解得，即，C选项正确. 对于D选项，若，则， 设四面体的内切球半径为， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以，， 四面体的表面积为， 四面体的体积为， 所以，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知过点且斜率为2的直线交坐标轴于两点，若圆经过点，则半径为的圆的圆心坐标是 . 【答案】 【详解】由题意得直线方程为， 不妨取两点的坐标为. 设圆的方程为， 则, 故圆的圆心坐标为. 故答案为： 13．如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数 ． 【答案】8 【详解】设第n个正方形的边长为，第个正方形的边长为， 即，即数列是首项为，公比为的等比数列， ，故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于8， 故答案为：8. 14．造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为 .    【答案】 【详解】依题意，抛物线的每条包络线与该抛物线相切， 显然过点的包络线所在的直线斜率存在，设方程为， 由消去并整理得：， 则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设是由直线上所有点构成的集合,即,在点集上定义运算“”：对任意则． (1)若是直线上所有点的集合,计算的值． (2)对（1）中的点集,能否确定（其中）的值？ (3)对（1）中的点集,若,请你写出实数,,可能的值． 【答案】(1) (2)可以,48 (3)(答案不唯一) 【详解】（1）由运算“”的定义知,. （2）∵,即点在直线上,∴,得． 同理由,得． 由运算“”的定义知,． 所以可以确定，值为48. （3）由,知,即,且,即. 由运算“”的定义知,,解得． 取,知,此时,即符合题意． 取,知,即也符合题意． 16．已知圆心在直线上. (1)若圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，求圆心的坐标 (2)若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆. 【答案】(1) (2)不存在 【详解】（1）根据题意可设圆心，半径为； 由圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，可得半径，如下图所示：    由勾股定理可得，解得， 此时圆心，半径为2，圆的方程为； 所以圆心的坐标为； （2）依题意设圆心，半径为，如下图所示：    因为圆心在直线上，所以； 若圆与直线相切可得， 若圆与圆相外切，则， 即，可得， 该方程，所以该方程无解， 故不存在满足题意的圆. 17．已知正项数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)若数列的前n项和为，恒成立，求实数的最大值； 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由可得， 相减可得， 因此， 由于为正项数列，所以，因此， 故， 故数列为等差数列，且公差为2， 又，所以， 故 （2），故， 由可得，化简可得， 因此， 记，则 ， 当时，，故，而， 当时，， ，故， 故为数列的最小项，故， 故的最大值为 18．如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点.    (1)当时，求四棱锥的体积； (2)当直线与平面所成的角为时，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意平面平面， 所以，又因为， 得，所以， 因为， 所以， 故，又， 故平面， 所以. （2）如图，易知两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，    由题知，则， 故， 设平面的一个法向量为， 由得 取，得，故， 又， ， 即， 化简可得， 解得或（舍去）. 19．已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)在 【详解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    2 学科网（北京）股份有限公司 $$