专题5.2 导数的运算（七大题型）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.2 导数的运算（七大题型） 【题型1基本初等函数的导数公式的简单应用】 【题型2解析式中含，求】 【题型3在点处，求切线方程】 【题型4过点处，求切线方程】 【题型5四则运算法则的简单应用】 【题型6根据复合函数求导法则求导】 【题型7与相关的计算问题】 【题型1基本初等函数的导数公式的简单应用】 1．已知，则等于（    ） A． B． C．0 D．不存在 【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．曲线在原点处的切线斜率为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 3．设函数的导函数为，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】首先求函数的导数，利用三角函数的性质判断奇偶性. 【详解】由题意可知，，是偶函数. 故选：B 4．已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据常数的导数为直接计算即可. 【详解】因为，所以， 故答案为： 5．若，且，则 ． 【答案】4 【分析】求出导函数，接着直接计算结合即可得解. 【详解】由题，所以， 故即. 故答案为：4. 【题型2解析式中含，求】 6．已知，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，令，即可求解. 【详解】由，可得， 令，可得，解得. 故选：A. 7．已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】求得，令，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得. 故选：A. 8．已知则的值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据题意，结合常见函数的导数公式即可求解. 【详解】由，得， 令，则，解得. 故选：B 9．已知函数及其导函数满足，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，对原式进行求导，然后令，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则 令，则，解得 故选:A 10．若函数，则 . 【答案】 【分析】对求导得到，代入函数值，即可求解. 【详解】因为，所以， 得到，解得， 故答案为：. 【题型3在点处，求切线方程】 11．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可. 【详解】，，，曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：B. 12．已知，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何含义求出切线的斜率及切点，写出切线方程. 【详解】已知，∵，∴， 又，∴切线过， ∴所求切线为，即， 故选：A. 13．在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，利用导函数求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程整理即可. 【详解】由已知， 则， 所以切线方程为， 整理得 故选：B. 14．曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程，即可得到所求切线的方程． 【详解】的导数为，在点处的切线斜率为， 即有在点处的切线方程为，即. 故选：C 15．函数，则在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求导，再求斜率，进而可得直线方程. 【详解】依题知切点为， 则，则， 则切线方程为：， 即. 故答案为： 16．曲线在点处切线的方程为 . 【答案】 【分析】求导后，根据导数的几何意义求得斜率，再根据点斜式方程即可求解. 【详解】求导得，则当时，， 所以曲线在点处切线的方程为，即. 故答案为：. 17．已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数解析式，求出导数，把代入，求解即可. 【详解】因为， 所以 故 解得， 故答案为： 18．已知函数的导函数为，且满足，则 ． 【答案】1 【分析】对已知式求导，然后令代入即得． 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故答案为：1． 19．曲线在点处的切线方程 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意求解即可 【详解】由，得， 所以， 所以所求的切线方程为，即， 故答案为： 20．函数在处的切线方程为 【答案】 【分析】求导，根据切点和导数的几何意义得到切线斜率，由点斜式写出方程. 【详解】，则，于是在处的切线斜率为，故切线方程为：，即. 故答案为： 21．曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】由导数的概念和求导公式直接计算即可. 【详解】因为，所以在点的斜率， 又因为，所以切线方程为， 化简得. 故答案为：. 22．曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】先求导，将代入导函数求得斜率，写出切线方程即可. 【详解】由，得，当时，， 则曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【题型4过点处，求切线方程】 23．多选题过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设过点的切线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出，即可得解. 【详解】设过点的切线与曲线相切于点， 因为，则曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以，解得或， 故切线方程为或. 故选：BC. 24．过点作曲线的切线，写出一条切线方程： . 【答案】或（写出一条即可） 【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入求得切点坐标，即可得切线方程. 【详解】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将代入得，解得或， 故切点坐标为或， 故切线方程为或， 故答案为：或 25．已知曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1)，； (2)或 . 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的切线及切点，结合导数的几何意义求解即得. （2）由（1）的结论，设出切点坐标，再建立方程求出切点坐标即得. 【详解】（1）依题意，，即，又， 所以，解得，所以. （2）由（1）知，，， 由，得不是切点，设切点为，显然， 则， 联立得，解得或，即或， 当时，，切线方程为， 当时，，切线方程为 所以曲线过点的切线方程为或 . 【题型5四则运算法则的简单应用】 26．多选题已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（    ） A．的图象关于对称 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质、简单复合函数求导逐个判断即可得结果. 【详解】由题意可得，两式相减可得①， 所以,令，可得, 所以， 所以的图象关于对称，故A正确； 因为为奇函数，所以关于中心对称， 所以②，②式两边对求导可得， 结合，可得： 所以，令，可得：， 所以即，故B错， 因为，可知也是周期为4的周期函数， 即，两边求导可得，所以，故C正确； 是周期为4的周期函数，所以， 因为，令，则，即， 又，所以，又因为是周期为4的周期函数， 则，由可得， 所以，所以，D正确. 故选：ACD 【题型6根据复合函数求导法则求导】 27．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘法的导数以及复合函数的导数等知识来求得正确答案. 【详解】因为， 所以 . 故选：D 28．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根据复合函数的求导法则和基本函数的求导公式及运算法则逐个求解即可. 【详解】（1）结合题意可得：. （2）结合题意可得：. （3）结合题意可得：． （4）结合题意可得：． （5）结合题意可得：， （6）结合题意可得： 29．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用复合函数求导运算求解即可； （2）利用复合函数求导运算求解即可； （3）利用复合函数求导运算求解即可； （4）诱导公式和二倍角公式先化简，再直接求导； （5）利用复合函数求导运算求解即可； （6）利用复合函数求导运算求解即可. 【详解】（1）由， 则. （2）由， 则. （3）由， 则. （4）由 ， 则. （5）由， 则. （6）由， 则. 30．求下列函数的导数： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据常用函数导函数、复合函数导数以及导数的四则运算即可得到答案. （2）根据常用函数导函数、复合函数导数以及导数的四则运算即可得到答案. 【详解】（1） （2） 31．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复合函数的求导法则计算可得答案. 【详解】（1） （2） （3）， 【题型7与相关的计算问题】 32．已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】对函数求导，代入，求出，得到函数解析式，可求 【详解】函数，则， 则， 所以，则， 则. 故答案为：. 33．若函数，则 . 【答案】 【分析】利用导数列方程，先求得，进而求得. 【详解】对求导，得， 所以，解得， 所以，将代入，可得. 故答案为： 34．已知函数的导函数为，且. (1)求的值； (2)求在处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，由求的值； （2）求出切线的斜率及切点坐标，从而求出曲线在处的切线的方程. 【详解】（1）由已知得， 又，故； （2）由（1），则曲线在处切线的斜率为，切点坐标为， 曲线在处切线的方程为， 即. 35．已知函数，且. (1)求的值； (2)求函数的图象在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导即可代入求解， （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【详解】（1）由，得， 又，所以，解得. （2）由，得，所以，即切点为， 又切线的斜率为， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即. 36．已知函数的导函数为. (1)求； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本初等函数的求导公式及导数的减法运算即可求解； （2）求出及，根据导数的几何意义即可求解. 【详解】（1）. （2）由（1）知，， 又， ∴曲线在点处的切线方程为. 37．已知函数. (1)求的值； (2)求在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，再代入计算可得； （2）由（1）可得，求出，，再由点斜式求出切线方程. 【详解】（1）因为， 所以， 代入得：，所以. （2）由（1）可得，则 所以，， 所以切线方程为，即. 38．已知函数的图象过点，且. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件列出方程组求解； （2）利用导数求出切线斜率，再求直线在坐标轴上的截距即可求三角形面积. 【详解】（1）由，得， 由题意可得，，解得； （2）由（1）得，，， ∴，， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 取，得，取，得. ∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 40．已知函数，其中是的导函数. (1)求； (2)求过原点与曲线相切的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出函数的导函数，再令，计算可得； （2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出切点坐标，再代入求出切线方程. 【详解】（1）因为， 所以， 令，得， 解得； （2）由（1）可知，所以， 设切点，则， 所以切线方程为， 由题， 整理得，解得或. 当时，切线方程为； 当时，切线方程为. 综上，曲线过原点的切线方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 导数的运算（七大题型） 【题型1基本初等函数的导数公式的简单应用】 【题型2解析式中含，求】 【题型3在点处，求切线方程】 【题型4过点处，求切线方程】 【题型5四则运算法则的简单应用】 【题型6根据复合函数求导法则求导】 【题型7与相关的计算问题】 【题型1基本初等函数的导数公式的简单应用】 1．已知，则等于（    ） A． B． C．0 D．不存在 2．曲线在原点处的切线斜率为（    ） A． B．0 C． D．1 3．设函数的导函数为，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 4．已知函数，则 . 【答案】 5．若，且，则 ． 【题型2解析式中含，求】 6．已知，则等于（     ） A． B． C． D． 7．已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 8．已知则的值为（    ） A． B． C． D．不存在 9．已知函数及其导函数满足，则（    ） A． B．0 C． D． 10．若函数，则 . 【题型3在点处，求切线方程】 11．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 13．在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 14．曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 15．函数，则在处的切线方程为 ． 16．曲线在点处切线的方程为 . 17．已知函数，则 . 18．已知函数的导函数为，且满足，则 ． 19．曲线在点处的切线方程 . 20．函数在处的切线方程为 21．曲线在点处的切线方程为 . 22．曲线在点处的切线方程为 . 【题型4过点处，求切线方程】 23．多选题过点且与曲线相切的直线的方程为（    ） A．B． C． D． 24．过点作曲线的切线，写出一条切线方程： . 25．已知曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程. 【题型5四则运算法则的简单应用】 26．多选题已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（    ） A．的图象关于对称 B． C． D． 【题型6根据复合函数求导法则求导】 27．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 28．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 29．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 30．求下列函数的导数： (1)； (2). 31．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【题型7与相关的计算问题】 32．已知函数，则 . 33．若函数，则 . 34．已知函数的导函数为，且. (1)求的值； (2)求在处的切线方程. 35．已知函数，且. (1)求的值； (2)求函数的图象在点处的切线方程. 36．已知函数的导函数为. (1)求； (2)求曲线在点处的切线方程. 37．已知函数. (1)求的值； (2)求在点处的切线方程. 38．已知函数的图象过点，且. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 40．已知函数，其中是的导函数. (1)求； (2)求过原点与曲线相切的切线方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$