5.3 导数在研究函数中的运用（知识解题+达标测试）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3 导数在研究函数中的运用 【考点1：求函数的单调区间（不含参）】 【考点2：己知函数的单调区间求参数的取值范围】 【考点3：根据定义判断极值】 【考点4：求函数极值】 【考点5：根据极值求参数】 【考点6：求函数的最值（不含参）】 【考点7：求函数的最值（含参）】 【考点8：已知函数最值求参数】 知识点1：函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 2.求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求导数 （3）解不等式， （4）结合定义域下结论。 3．已知函数单调性求参数范围 (1)已知可导函数在区间D上单调递增，则在区间D上恒成立； (2)已知可导函数在区间D上单调递减，则在区间D上恒成立； (3)已知可导函数在区间D上存在增区间，则在区间D上有解； (4)已知可导函数在区间D上存在减区间，则在区间D上有解． 【考点1：求函数的单调区间（不含参）】 【典例1】已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【变式1-1】（多选）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的单调递减区间为 . 【变式1-3】已知函数，函数的单调增区间为 . 【考点2：己知函数的单调区间求参数的取值范围】 【典例2】若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点2：极大值与最大（小）值 1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ． 特别提醒： （1），不一定是极值点 （2）只有且两侧单调性不同 ，才是极值点. (3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性. 2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程的根 （3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况 若左正右负，则为极大值； 若 左负右正，则为极小值； 若 左右同号，则无极值。 3.最大值: 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有; （2）存在，使得 那么，称是函数的最大值 4.最小值: 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有; （2）存在，使得 那么，称是函数的最小值 、 【考点3：根据定义判断极值】 【典例3】已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 【变式3-1】函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 【变式3-2】已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 【考点4：求函数极值】 【典例4】多选题如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则关于函数有关极值的结论错误的是（    ） A．有极小值没有极大值 B．有极大值没有极小值 C．至少有两个极小值和一个极大值 D．只有一个极小值和两个极大值 【变式4-1】已知函数，，在处的切线与直线平行. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【变式4-2】已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 【考点5：根据极值求参数】 【典例5】已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【变式5-1】已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．0 【变式5-2】若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点6：求函数的最值（不含参）】 【典例6】已知函数，记为的导函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值． 【变式6】函数的最小值为 ，最大值为 ． 【变式6-2】已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 【考点7：求函数的最值（含参）】 【典例7】函数. (1)求的单调区间； (2)求在上最小值. 【变式7-1】已知函数 ． (1)若曲线在点处的切线斜率为，求的取值和曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值． 【变式7-2】已知函数． (1)若函数在是增函数，求实数的取值范围； (2)当时，令，求在上的最大值． 【变式7-3】函数. (1)函数的单调性； (2)数在区间上的最小值． 【考点8：已知函数最值求参数】 【典例8】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有最大值3，求a的值． 【变式8-1】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【变式8-2】设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【变式8-3】已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 1．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，下列说法错误的是（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 3．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（    ） （1）函数一定有三个零点；        （2）函数一定有三个极值点； （3）函数有最小值；            （4）函数有最大值； （5）函数的图象一定经过坐标原点．    A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是的极小值 B．是的极大值 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 6．多选题已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 7．已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．有两个零点 C．是偶函数 D．在定义域内恒成立 8．已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．为极值点 D．为极值点 9．函数在上的单调递增区间为 . 10．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是 . 11．函数是上的单调增函数，则a的取值范围是 . 12．已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 13．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 导数在研究函数中的运用 【考点1：求函数的单调区间（不含参）】 【考点2：己知函数的单调区间求参数的取值范围】 【考点3：根据定义判断极值】 【考点4：求函数极值】 【考点5：根据极值求参数】 【考点6：求函数的最值（不含参）】 【考点7：求函数的最值（含参）】 【考点8：已知函数最值求参数】 知识点1：函数的单调性 1．函数的单调性与导数的关系 函数在区间内可导， (1)若，则在区间内是单调递增函数； (2)若，则在区间内是单调递减函数； (3)若恒有，则在区间内是常数函数． 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 2.求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求导数 （3）解不等式， （4）结合定义域下结论。 3．已知函数单调性求参数范围 (1)已知可导函数在区间D上单调递增，则在区间D上恒成立； (2)已知可导函数在区间D上单调递减，则在区间D上恒成立； (3)已知可导函数在区间D上存在增区间，则在区间D上有解； (4)已知可导函数在区间D上存在减区间，则在区间D上有解． 【考点1：求函数的单调区间（不含参）】 【典例1】已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．在内单调递减 【答案】B 【分析】求得，求得函数的单调区间，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得的定义域为， 且， 令，可得；令，可得或， 所以在区间内单调递减，在和内单调递增， 由，所以A错误；由，所以B正确； 由，所以C错误；由，所以D错误． 故选：B. 【变式1-1】（多选）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对求导，令即可求出函数的单调递增区间. 【详解】， 令可得， 所以函数的单调增区间为：， 故选：CD. 【变式1-2】函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数单调性即可得到结论. 【详解】，， 由，即，解得 ， ，即函数的单调减区间为， 故答案为： 【变式1-3】已知函数，函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】利用函数单调性与导数的关系可求出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为， 则， 由，可得，故函数的单调增区间为. 故答案为：. 【考点2：己知函数的单调区间求参数的取值范围】 【典例2】若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 【变式2-1】函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在上单调递减，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式2-2】若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，参变分离后计算即可得. 【详解】由题意可得在上恒成立， 故在上恒成立， 由，故. 故选：B. 【变式2-3】已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知在[1,2]上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可. 【详解】 ，若函数在区间上单调递减， 即在上恒成立， 即在[1,2]上恒成立. 令，则在上单调递减，, 所以,, 即 故选：C. 知识点2：极大值与最大（小）值 1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ． 特别提醒： （1），不一定是极值点 （2）只有且两侧单调性不同 ，才是极值点. (3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性. 2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程的根 （3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况 若左正右负，则为极大值； 若 左负右正，则为极小值； 若 左右同号，则无极值。 3.最大值: 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有; （2）存在，使得 那么，称是函数的最大值 4.最小值: 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于任意的，都有; （2）存在，使得 那么，称是函数的最小值 、 【考点3：根据定义判断极值】 【典例3】已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 【答案】D 【分析】根据导函数的图象判断出其符号分布情况，进而可求出函数的单调区间及极值点，即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在和处取得极小值，在处取得极大值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【变式3-1】函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 【答案】C 【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 【详解】根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C 【变式3-2】已知函数的导函数为，定义域为，且函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．有极小值，极大值 B．仅有极小值，极大值 C．有极小值和，极大值和 D．仅有极小值，极大值 【答案】C 【分析】根据函数的图象，得出导函数符号的分布情况，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由函数的图象， 得当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数有极小值，极大值和. 故选：C. 【考点4：求函数极值】 【典例4】多选题如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则关于函数有关极值的结论错误的是（    ） A．有极小值没有极大值 B．有极大值没有极小值 C．至少有两个极小值和一个极大值 D．只有一个极小值和两个极大值 【答案】ABD 【分析】如图，记直线与曲线切点横坐标，，结合图形，根据导数在研究函数单调性的应用和导数的几何意义可得当时，则，当时，则，由极值点的定义知是的极小值点.同理可得、c分别是的极小、大值点. 【详解】如图， 记直线与曲线的切点横坐标为，， 将直线向下平移到与曲线相切，设切点横坐标为， 由图可知，当时，单调递增，所以有且. 对于， 有，所以在时单调递减； 当时，单调递减，所以有且. 有，所以在时单调递增； 所以是的极小值点. 同理可得是的极小值点，是的极大值点. 故选：ABD. 【变式4-1】已知函数，，在处的切线与直线平行. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 【分析】（1）由求出实数的值； （2）利用导数得出的单调性，进而得出极值. 【详解】（1）由题意可知，， ； （2）， ； 即函数在上单调递增，在上单调递减； 故函数的极大值为，无极小值. 【变式4-2】已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）先求出导数，再求出切线的斜率，再由点斜式方程求解； （2）求出导数，令，解得，再列表，给出函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，得 ， 又因为，故切点为， 所以切线方程为，即； （2）由（1）知，令，解得或3， ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的极大值为，极小值为． 【考点5：根据极值求参数】 【典例5】已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【分析】对求导，就导函数中的参数,分情况讨论函数的极值情况即得. 【详解】由求导得，. ①当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，不合题意； ②当时，，故在R上单调递增，无极值，不合题意； ③当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，解得. 综上，. 故选：A. 【变式5-1】已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．0 【答案】B 【分析】求出函数的导数，利用导数为0求出值并验证即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当时，，当时，， 函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，，当时，，当时，， 函数在处取得极大值，符合题意， 所以. 故选：B 【变式5-2】若函数存在极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导后，对进行分类讨论，分、、以及四种情况讨论即可求解. 【详解】， ， 当时，二次函数开口向上，且， 此时，即恒成立， 所以在上单调递增，此时不存在极大值，故不满足题意； 当时，， 当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故符合题意； 当时，或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时，取极大值，故满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A. 【变式5-3】若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在内无变号零点，根据函数的单调性确定最小值和最大值的范围即可求解. 【详解】函数在内无极值， 所以在内无变号零点， 根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增， 所以或即可， 解得或， 故选：C. 【考点6：求函数的最值（不含参）】 【典例6】已知函数，记为的导函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1) (2)最小值为2，无最大值 【分析】（1）通过求导得到，再结合，由直线的点斜式方程得到切线方程； （2）令，通过求导得到函数的单调性，求得最值. 【详解】（1）由题得，则，又， 故曲线在点处的切线方程为． （2）令，则，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，故的最小值为2，无最大值． 【变式6】函数的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 【分析】求导判断函数单调性，进一步可求得函数的最值. 【详解】，令，令，得， 令，得或，所以函数在上单调递增， 在，上单调递减，所以的极小值为，极大值为． 又当时，，当时，，所以的最小值为，最大值为1． 故答案为：，1. 【变式6-2】已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可； （2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值. （3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可. 【详解】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线方程为， 则，即，解得. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （3）函数在，上单调递增，在上单调递减， 且， 函数在上的最大值,最小值. 【考点7：求函数的最值（含参）】 【典例7】函数. (1)求的单调区间； (2)求在上最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导函数的符号求的单调区间； （2）分、和三种情况结合（1）中的单调区间求函数最小值. 【详解】（1）由题意可知：的定义域，其导函数， 当，则在内恒成立， 可知的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，令，解得；令，解得； 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）因为，由（1）可知： 当，在上单调递增，则在上最小值为； 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上最小值为； 当时，在上单调递减， 所以在上最小值为. 【变式7-1】已知函数 ． (1)若曲线在点处的切线斜率为，求的取值和曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出，即可得到函数解析式，从而求出，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的单调区间，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数在区间上的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 则，∴， ∴，， 则切线方程为，整理得； （2）由，因为，令，解得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， ①当，即时，函数在区间上单调递减， 所以在区间上的最小值为， ②当，即时，函数在区间上单调递增， 所以在区间上的最小值为， ③当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 所以当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 综上可知，当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为． 【变式7-2】已知函数． (1)若函数在是增函数，求实数的取值范围； (2)当时，令，求在上的最大值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定单调区间及单调性建立恒成立的不等式，并求解即得. （2）求出函数及导数，再按正数的取值情况分类讨论求出最大值. 【详解】（1）函数，求导得， 由在是增函数，得，， 而函数在上单调递减，则当时，，于是， 所以实数的取值范围. （2）当时，，求导得， 当时，，函数递增，当时，，函数递减， 而，因此当，即时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，， 所以当时，的最大值为；当时，的最大值为； 当时，的最大值为. 【变式7-3】函数. (1)函数的单调性； (2)数在区间上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出的定义域，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）对正实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，由此可求得结果. 【详解】（1）因为的定义域为，且，又， 当，即时，当时，当时， 所以函数在上为增函数，在上为减函数； 当时，所以函数在上为增函数； 当时，当时，当时， 所以函数在上为增函数，在上为减函数； 综上所述： 当时，函数在上为增函数，在上为减函数； 当时函数在上为增函数； 当时函数在上为增函数，在上为减函数. （2）由（1）可知：当时函数在区间上为增函数， 所以， 当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数， 所以， 当，即时，函数在上为减函数， 所以， 综上：. 【点睛】方法点睛：用导数解决含参数函数的最值问题，关键是对参数进行分类讨论求出函数的单调区间，利用单调性求其最值. 【考点8：已知函数最值求参数】 【典例8】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有最大值3，求a的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）分类讨论求导函数根据正负求出函数单调性； （2）求导数得出函数单调性再根据最大值求参. 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1），当时，在上单调递增，则无最大值，即不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 即，解得． 【变式8-1】已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若的最小值为，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】（1）求出函数的导数函数，再按为非正数与正数讨论值的正负即可得解； （2）由（1）知的单调性，可得，即，构造函数，利用导数探讨的最值即可计算作答. 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增 当时，由得，由得 所以在区间单调递减，在区间单调递增 （2）由（1）知，当时，在区间单调递增，无最小值 当时，在区间单调递减，在区间单调递增 所以，所以 令，则， 由得，， 所以在区间单调递增，在区间单调递减，所以的最大值为 所以， 所以的值为1. 【变式8-2】设函数. (1)求曲线的单调区间； (2)已知在区间上的最大值为13，求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用函数导数判断函数单调区间； （2）根据函数的最大值，结合（1）中函数单调性，在处取得极大值，也为最大值，代入计算的出的值. 【详解】（1）已知的定义域为，所以， 当时，解得，当时，解得， 所以，的递增区间为，递减区间为. （2）由（1）可知在上，在上单调递增，上单调递减， 所以在处取得极大值，也为最大值， 所以，解得. 【变式8-3】已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，再求切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解； （2）利用导数求出函数的极值，根据题意，极小值即为最小值，建立方程得解. 【详解】（1）当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 （2）函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. 1．函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案. 【详解】函数 的定义域为 ， ， 由 得，解得 ， 所以 的单调增区间为 . 故选：B. 2．已知函数，下列说法错误的是（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 【答案】C 【分析】对函数求导，根据导函数的正负确定原函数的单调性，通过计算关键点的值判断极值、零点情况以及函数的值域；通过验证是否成立判断D项. 【详解】由，可得， 当或时，；当时，. 即函数在上单调递减；在上单调递增. 对于A，由上分析知在处取得极小值，故A正确； 对于B，结合以上分析，因， 由零点存在性定理知，有3个零点，故B正确； 对于C，因在上递减，在上递增，在上递减， 而，故在区间上的值域为，故C错误； 对于D，因 ，即， 故曲线的对称中心为,即D正确. 故选：C. 3．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导函数，根据导函数在给定区间上大于等于0恒成立，结合二次函数的零点分布即可求出的取值范围． 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 所以或， 解得或 综上可得， 故选：A 4．已知是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（    ） （1）函数一定有三个零点；        （2）函数一定有三个极值点； （3）函数有最小值；            （4）函数有最大值； （5）函数的图象一定经过坐标原点．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由导函数与原函数之间的关系即可判断. 【详解】根据导函数的图象可知， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以都是函数的极值点，因此（2）的说法正确； 函数的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0个，即（1）的说法错误； 由以上分析知，函数的图象不一定过原点，即（5）的说法错误； 由单调性可知，和都是函数的极小值点，所以都是函数的极小值， 因此函数有最小值，且为中的较小者，无最大值， 所以（3）的说法正确，（4）的说法错误． 综上可得，只有（2）（3）的说法正确． 故选：B． 5．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是的极小值 B．是的极大值 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义与极值极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图像可知是函数的极小值点，的极小值为，A选项错误； B选项：时，，的极大值为，B选项错误； C选项：由导函数图像可知，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图像可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确； 故选：D. 6．多选题已知定义在R上的可导函数和的导函数、图象如图所示，则关于函数的判断正确的是（    ） A．有1个极大值点和2个极小值点 B．有2个极大值点和1个极小值点 C．有最大值 D．有最小值 【答案】BC 【分析】图象可知，的图象有三个不同交点，将其横坐标按从小到大依次设为，则，结合图象，利用导数判定的单调性，即可得到极值点. 【详解】根据的图象可得，与的图象有三个不同的交点， 设这些点的横坐标依次为，满足，其中. 由图可知，当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减， 当时，，即， 故函数在上单调递增， 当时，，即， 故函数在上单调递减. 综上所述，函数分别在时取得极大值，在时取得极小值, 即函数有2个极大值点和1个极小值点,故B项正确，A项错误； 因时，的趋近值未知，时，的趋近值也未知，故无法判断函数的最小值能否取得， 但因函数分别在时取得极大值， 故可取与中的较大者作为函数的最大值，故C项正确，D项错误. 故选：BC. 7．已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．有两个零点 C．是偶函数 D．在定义域内恒成立 【答案】AD 【分析】利用导数研究函数的单调性、最值即可判断各项正误. 【详解】由在定义域上递增，即函数的定义域不关于原点对称，C错， 又，在上，递减；在上，递增，A对， 所以，B错，D对. 故选：AD 8．已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．为极值点 D．为极值点 【答案】BC 【分析】根据导函数的图象可判断导函数值的正负，从而求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值点. 【详解】由的图象可得 当或时，， 当或时，， 所以在和上递增，在和上递减， 所以和为极大值点，为极小值点. 所以AD错误，BC正确. 故选：BC 9．函数在上的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】直接利用导数求递增区间即可. 【详解】由题意得，则，又， 解得，所以函数的单调递增区间为， 故答案为：. 10．若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为是 . 【答案】 【分析】求导后结合二次函数的性质分析即可. 【详解】， 因为函数存在单调递减区间， 所以存在，使得小于零， 所以导函数的判别式，解得或， 所以实数的取值范围为是， 故答案为：. 11．函数是上的单调增函数，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为函数在上是递增函数，所以可利用导数恒大于或等于零来研究参数的取值范围. 【详解】由函数求导得：， 因为函数是上的单调增函数， 所以，即， 又由，则，解得， 故答案为：. 12．已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若函数在区间上单调递减，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）求导，令，进而可判断函数的单增区间与单减区间，进而可求极值； （2）利用导数，分或两种情况讨论，可求的取值范围. 【详解】（1）由，可得， 令，解得或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，； （2）由，可得， 因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立， 当时，由，可得， 当，由，可得，所以， 又在上单调递减，所以，所以， 所以的取值范围为. 13．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)的极小值为，无极大值. 【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值； （2）利用导数分析函数的单调性，利用极值与导数的关系可求得该函数的极值. 【详解】（1）因为，则， 因为函数在处的切线方程为， 则，解得. （2）函数的定义域为， 则， 由可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的单调减区间为，单调增区间为， 故函数的极小值为，无极大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$