专题5.3 导数在研究函数中的运用（八大题型）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.3导数在研究函数中的运用（八大题型） 【题型1求函数的单调区间（不含参）】 【题型2己知函数的单调区间求参数的取值范围】 【题型3根据定义判断极值】 【题型4求函数极值】 【题型5根据极值求参数】 【题型6求函数的最值（不含参）】 【题型7求函数的最值（含参）】 【题型8已知函数最值求参数】 【题型1求函数的单调区间（不含参）】 1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 2．若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 3．定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 4．曲线与曲线在处的切线平行，则的减区间为（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 6．函数，的增区间为 . 7．如图是的图象，则函数的单调递减区间是        【题型2己知函数的单调区间求参数的取值范围】 8．已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 11．若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 12．若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3根据定义判断极值】 17．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）    A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 18．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．下列函数中，存在极值的函数为（    ） A． B． C． D． 20．多选题设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（   ）    A．函数有极大值 B．函数有极小值 C．函数有极大值 D．函数有极小值 【题型4求函数极值】 21．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 22．函数的极小值为 . 23．已知函数． (1)求函数的极值； (2)解不等式：． 24．已知函数. (1)求函数单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值. 25．已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 26．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 27．已知函数在点处的切线与x轴平行． (1)求a的值； (2)求的单调区间与极值． 28．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 【题型5根据极值求参数】 29．函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 30．若是函数的一个极值点，则a的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 31．函数在时有极小值－4，那么的值为（    ） A．6 B．6或32 C．2或42 D．6或30 32．函数在处取得极大值9，则（    ） A．3 B． C．或3 D．0 33．若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．若函数在区间上有极值，则a的取值范围为 . 【题型6求函数的最值（不含参）】 35．函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 36．函数的最小值为 . 37．半径为2的球内切于一个圆锥，则该圆锥的侧面积的最小值为 . 38．已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值. 39．已知函数在处取得极小值5. (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最大值. 【题型7求函数的最值（含参）】 40．已知函数，若，则的最小值为 . 41．函数. (1)求的单调区间； (2)求在上最小值. 【题型8已知函数最值求参数】 42．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 43．设函数，若，且的最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 44．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 45．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 46．已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 47．若函数在上的最小值为4，则 ． 48．已知函数在时有极大值. (1)求的值； (2)若在的最大值为32，求实数的取值范围. 49．已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上的最小值为3，求实数的值. 50．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有最小值2，求a的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3导数在研究函数中的运用（八大题型） 【题型1求函数的单调区间（不含参）】 【题型2己知函数的单调区间求参数的取值范围】 【题型3根据定义判断极值】 【题型4求函数极值】 【题型5根据极值求参数】 【题型6求函数的最值（不含参）】 【题型7求函数的最值（含参）】 【题型8已知函数最值求参数】 【题型1求函数的单调区间（不含参）】 1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出定义域以及导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可 【详解】由题意， 在中，， 当时，解得（舍）或， 当即时，函数单调递减， ∴的单调递减区间为. 故选：B. 2．若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，令，求解再结合定义域即可． 【详解】由题可知，定义域为， ， 令得，所以的增区间为， 故选：B． 3．定义在区间上的函数，则的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】对函数求导并令，利用三角函数单调性解不等式即可求得结论. 【详解】由可得， 令, 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得； 因此可得在的单调递减区间是和. 故选：D 4．曲线与曲线在处的切线平行，则的减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求导，因为两曲线的切线平行，列出方程，求出值．令即可求出减区间． 【详解】求导，， 因为曲线与曲线在处的切线平行， 则，即，解得． 此时， 令，解得，则的减区间为． 故选：B. 5．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出导函数，令，即可得解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 6．函数，的增区间为 . 【答案】 【分析】求出函数导数，解不等式即可得解. 【详解】，， 由可得， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 7．如图是的图象，则函数的单调递减区间是        【答案】和 【分析】根据图象，得出在各区间上的正负，进而得出的减区间即可. 【详解】根据图象，得出在和导数值为负数，则函数的单调递减区间为：和． 故答案为：和． 【题型2己知函数的单调区间求参数的取值范围】 8．已知是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，根据是上的增函数，可得在上恒成立，分离参数，从而可求得答案. 【详解】由， 得， 因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由于，所以，即 故选：A. 9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 10．已知函数的单调递增区间为，则的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得到方程，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以没有单调递增区间，不符合题意； 当时，单调递增，令，解得， 所以的单调递增区间为（或）， 依题意可得，解得. 故选：C 11．若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，令，则在上为减函数，即在上恒成立，求解即可. 【详解】，又，所以， 所以， 由已知对任意的，，且时，， 设，则在上为减函数， 因为，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，所以，所以的取值范围为． 故选：A． 12．若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数有两个不等根计算即可. 【详解】由题意得函数的定义域为，， 要使函数恰有三个单调区间， 则有两个不相等的实数根，∴，解得且， 故实数a的取值范围为， 故选：C. 13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知导函数在上恒大于等于零.再参变分离求解函数最值即可. 【详解】函数在上单调递增， 即在恒成立. 故，即在恒成立， 因为在上单调递减， 所以在处取得的最大值0，所以. 故选：A 14．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导函数的符号求解. 【详解】，由条件知当时，，即， 令，是减函数，； 故选：D. 15．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数与函数单调性的关系列出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围. 【详解】，则 由函数在区间上是增函数， 可得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又由，可得，则 故选：D 16．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】原函数在区间上单调递增，则导函数在区间上恒大于或等于0，可求实数的取值范围. 【详解】由，则， 因为函数在区间上单调递增，所以恒成立， 即恒成立，则，解得. 故选：B 【题型3根据定义判断极值】 17．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）    A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 【答案】D 【分析】结合函数图像及极值点定义可以判断极大值及极小值. 【详解】由题图可知，当时，； 当时，； 当时，； 当时， 由此可以得到函数在处取得极大值， 在处取得极小值． 故选:D 18．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合图像，由函数极值的定义即可得到结果. 【详解】依题意，记函数的图像与轴的交点横坐标依次为 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以为极小值点，为极大值点，为极小值点 故极大值点有1个 故选:A 19．下列函数中，存在极值的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值的定义进行求解即可. 【详解】A：因为函数是实数集上的增函数，所以函数没有极值； B：因为函数是正实数集上的增函数，所以函数没有极值； C：因为函数在区间、上是减函数，所以函数没有极值； D：因为，所以该函数在上是增函数，在上是减函数，因此是函数的极小值点，符合题意， 故选：D 20．多选题设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则（   ）    A．函数有极大值 B．函数有极小值 C．函数有极大值 D．函数有极小值 【答案】AD 【分析】根据给定条件，结合图象求出函数的零点，再求出大于0、小于0的x取值区间即可判断作答. 【详解】依题意，三次函数的导函数为是二次函数，观察图象知，是函数的两个零点， 当或时，，当时，， 所以函数有极小值，有极大值，AD正确，BC错误. 故选：AD 【题型4求函数极值】 21．函数的极大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的单调性，即可求出函数的极大值. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，则或，所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 故选：D． 22．函数的极小值为 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域与导函数，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以当或时，当或时， 所以在，上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，即极小值为. 故答案为： 23．已知函数． (1)求函数的极值； (2)解不等式：． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）根据导数的运算性质，结合极值的定义进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为全体正实数， 由， 令，于是有 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，并且极大值为， 时，有极小值，并且极小值为； （2）由（1）可知： 函数在时单调递增，而，所以此时有， 在时单调递减，所以有， 因此要想，有，则必有， 当时，函数单调递增，而， 所以由， 因此不等式的解集为. 24．已知函数. (1)求函数单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，最大值为0 【分析】（1）利用导数可得答案； （2）利用导数求出极值与端点值可得答案. 【详解】（1）， 当，或时，， 当时，， 所以的单调递增区间为，， 单调递减区间为， 所以极小值为，极大值为； （2）由（1），在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以极小值为，极大值为， ，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 25．已知曲线：. (1)求在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）先求出导数，再求出切线的斜率，再由点斜式方程求解； （2）求出导数，令，解得，再列表，给出函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，得 ， 又因为，故切点为， 所以切线方程为，即； （2）由（1）知，令，解得或3， ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数的极大值为，极小值为． 26．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【详解】（1）因为，则， 可得，，即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为函数的定义域为， 由（1）可知：， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 且函数的极小值为，无极大值. 27．已知函数在点处的切线与x轴平行． (1)求a的值； (2)求的单调区间与极值． 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增，极小值5，函数无极大值． 【分析】（1）由求解； （2）求导，给出函数的单调性求出极值． 【详解】（1）解：因为，所以，即， （2）因为的定义域为，由（1）知， 所以， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增 所以当时，取得极小值，函数无极大值． 28．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调区间见详解，极大值为，极小值为 【分析】（1）由导函数，求出切线斜率，由点斜式得切线方程，整理即得； （2）由导函数可得的解，列表确定的正负，得的单调区间与极值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴，又 所以切线方程为. 即； （2） 设可得或. 令，得或；令，得. 当变化时，，的变化情况如下表： x 5 + 0 0 + 单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗ 所以，的单调增区间为，单调减区间为， 当时，有极大值，并且极大值为 当时，有极小值，并且极小值为． 【题型5根据极值求参数】 29．函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】对求导，得到，由题知，解得，即可求解. 【详解】因为，所以， 由题知，解得， 此时， 由，得到或，由，得到， 所以的增区间为，，减区间为， 故满足题意，所以， 故选：A. 30．若是函数的一个极值点，则a的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】求导，根据极值点的定义直接求值，并代入检验. 【详解】由，得， 依题意可得，解得， 当时．，， 令，解得， 列表 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 所以在处取得极小值， 故选：A. 31．函数在时有极小值－4，那么的值为（    ） A．6 B．6或32 C．2或42 D．6或30 【答案】D 【分析】求导，根据和得到方程组，求出相应的，检验后得到答案. 【详解】，由题意得， 即， 且， ，代入， 得，解得或， 当时，， ，令得或， 令得， 故为极小值点，满足要求，故， 当时，， ，令得或， 令得， 故为极小值点，满足要求，故， 综上，的值为6或30. 故选：D 32．函数在处取得极大值9，则（    ） A．3 B． C．或3 D．0 【答案】B 【分析】先由取极值的必要条件求出参数，然后回过头去检验是否满足题意即可. 【详解】由题意，函数，可得， 因为在处取得极大值9，可得， 解得或， 检验知，当时，可得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值9，与题意矛盾，故不符题意； 当时，可得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值9，故符合题意； 所以. 故选：B. 【点睛】方法点睛：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； 2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论； 3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 33．若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，由既有极大值也有极小值可知，一元二次方程在上有2个不同的实根，进而建立不等式组，解之即可求解. 【详解】，则， 函数既有极大值，也有极小值， 等价于一元二次方程在上有2个不同的实根， 则，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 34．若函数在区间上有极值，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由函数有极值通过求导，得出导函数方程在区间上有实根，继续转化为函数与在区间上有交点，结合双勾函数的图象单调性即可求得 【详解】由求导可得，， 因函数在区间上有极值， 则方程在区间上有实根， 故须使，（若，得，此时，函数在上无极值） 解得或 且方程在区间上有实根， 也即函数与在区间上有交点. 因在上递减，在上递增，且，， 故，即，解得，又或， 故a的取值范围为. 故答案为：. 【题型6求函数的最值（不含参）】 35．函数的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数商关系化简函数，构造函数，结合函数导数判断函数单调性求出函数最小值； 【详解】，， 故， 令，则，， 令 ，当时，在上单调递减， 当时，在 上单调递增， 取最小值为． 故选：B． 36．函数的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用导数求出函数的极值，再求出端点的函数值，然后比较大小即可求出函数的最小值. 【详解】,令,得或, 当或时，，当时，， 所以的极大值为， 极小值为， 因为，， 所以. 故答案为： 37．半径为2的球内切于一个圆锥，则该圆锥的侧面积的最小值为 . 【答案】 【分析】设底面圆半径，，根据三角形相似和勾股定理得到，，表达出侧面积，利用导函数求出单调性和最值，得到答案. 【详解】设底面圆半径，， 由题意得，∽， 故，即，故， 又，即， 故， 故圆锥的侧面积为， 故， 令得，令得， 故当时，单调递减，当时，单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值， 故最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求得，从而得到关于的表达式，利用导数即可得解. 38．已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的最大值. 【答案】(1) (2)21 【分析】（1）求导可得，可求切线方程； （2）求导可得在上的单调性，从而可求结论. 【详解】（1）因为，所以. 所以切线方程为，即. （2）令， 因为，所以在单调递增，单调递减， 所以. 39．已知函数在处取得极小值5. (1)求实数a，b的值； (2)当时，求函数的最大值. 【答案】(1)，. (2)10 【分析】（1）直接求导得，解出值，验证即可； （2）由（1）知，求导再列表即可得到其最大值. 【详解】（1）， 因为在处取极小值5，所以，得， 此时， 令，解得；令，解得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在时取极小值，符合题意. 所以，. 又，所以. 综上，，. （2）由（1）知，， 列表如下： 0 （0,1） 1 2 （2,3） 3 0 0 1 极大值6 极小值5 10 由于，故时，. 【题型7求函数的最值（含参）】 40．已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】法1，利用导数探讨函数单调性，求出的最小值；法2，由已知可得，换元构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】解法l：隐零点处理策略 函数的定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，，得在上存在唯一的零点，即， 于是当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 解法2：同构变形 依题意，，令，， 设，求导得， 当时，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故答案为： 41．函数. (1)求的单调区间； (2)求在上最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导函数的符号求的单调区间； （2）分、和三种情况结合（1）中的单调区间求函数最小值. 【详解】（1）由题意可知：的定义域，其导函数， 当，则在内恒成立， 可知的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，令，解得；令，解得； 则的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）因为，由（1）可知： 当，在上单调递增，则在上最小值为； 当，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上最小值为； 当时，在上单调递减， 所以在上最小值为. 【题型8已知函数最值求参数】 42．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，．若函数在上的最小值为4，则实数a的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合偶函数性质函数在上的最小值为4，然后利用导数对进行分类讨论，确定函数单调性，进而可求． 【详解】因为是定义域为的偶函数， 且函数在上的最小值为4， 所以函数在上的最小值为4， 当时，，此时， 当时，在上恒成立，函数在上单调递增， 当时，函数取得最小值，解得，符合题意， 当时，，，函数单调递减； ，，函数单调递增， 时，函数取得最小值，解得，不符合题意， 综上，． 故选：B． 43．设函数，若，且的最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出的大致图象，令，结合图象得到的范围，再将所求转化为关于的表达式，构造函数，利用导数即可得解. 【详解】因为，作出的大致图象，如图，    令，由图象可得， 因为，所以，即， 则， 令， 则，令，解得， 当，即时，，则，单调递减， 则，解得，符合； 当，即时， 当时，；当时，； 故在单调递减，在单调递增， 则，解得，不符合； 综上，. 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题考查双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围. 44．已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数与函数性质的关系，分类讨论的取值范围，分析得的最值，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以在单调递增， 此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在单调递减增， ①当时，在区间上单调递增， 所以最小值为，不符合题意舍去； ②当时，在上先减后增， 所以最小值为，解得； ③当时，在上单调递减， 所以最小值为，解得，不符合题意，舍去， 综上所述. 故选：D. 45．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，和三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a的取值范围. 【详解】当时，单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当或时，， 令得或， 当时，恒成立， 故表格如下： 0 + 0 极小值 极大值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 且，， 故的解集为， 时，令可得， 当时，， 令得， 故在上单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当时，恒成立， 故表格如下： + 0 0 + 极大值 极小值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 时，，单调递增， 又，故上，无解， 综上：实数a的取值范围是. 故选：C 【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等. 46．已知函数，在上的最小值为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由题有，根据条件得到有两根为，且有， ，从而转化成求解方程，令，将问题转化成求方程的解，构造函数，再利用函数的单调性及，即可解决问题. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以， 令，因为在开区间上有最小值， 则在上必有两根，即有， 又在上的两根为，且， 由的图象可知， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又在开区间上有最小值，则必有，且， 令，得到，所以， 整理得到，令， 则，易知在区间上单调递减， 又，所以，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，所以在上有且只有一根， 由，解得， 故答案为：. 47．若函数在上的最小值为4，则 ． 【答案】/ 【分析】求导，得到函数单调性，得到为在上的极小值和最小值，列出方程，求出答案. 【详解】，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为在上的极小值，也是最小值， 故，解得. 故答案为： 48．已知函数在时有极大值. (1)求的值； (2)若在的最大值为32，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数在时有极大值.得讨论解得; （2）由函数的单调性求得上的最大值，再结合题设求解即可. 【详解】（1）函数，， 由函数在处有极大值.得， 即：，所以：或， 当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，此时，为极大值，符合题意. 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增；此时，为极小值，与题设矛盾. 所以. （2）由（1），得；由，得：，或； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时，极大值为，极小值为，且， 因为在的最大值为32，所以所求的取值范围为，即. 49．已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在上的最小值为3，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解； （2）分类讨论的取值范围，结合（1）中结论得到的最小值，进而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）因为，则， 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令，得， 当时，，上单调递减； 当时，，上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在单调递增. （2）当，即时，由（1）知在上单调递增， 所以，即（舍去）； 当，即时，由（1）知在单调递减，在单调递增 所以，解得（舍去）； 当，即时，由（1）知在单调递减， 所以，解得； 综上所述，. 50．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若函数有最小值2，求a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求得答案； （2）对求导，得到的单调性，可得，再令，证得，即，可得出答案. 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则，则，， 由于函数在点处切线方程为，即. （2）的定义域为， ， 当时，令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，即 则令，设，， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，解得：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$