专题4.1 数列的概念（六大题型）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年高二数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.1 数列的概念（六大题型） 【考点1：数列的有关概念和分类】 【考点2：由数列的递推公式写出数列的项 】 【考点3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 【考点4：递推公式的应用】 【考点5：前项和公式与通项的关系】 【考点6：由数列的单调性求参数】 【考点1：数列的有关概念和分类】 1．下列叙述正确的是（    ） A．数列与是相同的数列 B．数列可以表示为 C．数列是常数列 D．数列是递增数列 2．多选题下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 3．多选题下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 4．多选题下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．若数列的首项为3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 D．a，，，1，b，5，7一定能构成数列 【考点2：由数列的递推公式写出数列的项 】 5．已知数列满足，（），则（    ） A．2 B． C． D．2023 6．数列满足，且，则（    ） A．15 B．3 C．12 D．4 7．已知数列满足，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 8．数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 9．数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 10．数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 11．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 12．已知数列的前5项依次为1，，，，，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 13．数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 14．某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（    ） A． B． C． D． 【考点4：递推公式的应用】 15．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（    ） A．324 B．297 C．256 D．168 16．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．55 B．58 C．60 D．62 17．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则（    ） A． B． C． D． 18．多选题意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【考点5：前项和公式与通项的关系】 19．若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 20．已知数列的前n项和，则 ． 21．已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为 . 22．设数列的前项和是，则 ． 23．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ． 24．已知数列满足，若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为 . 25．已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. 26． 设为数列的前项和，，求. 27．已知数列的前项之积为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求的最大值． 28．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【考点6：由数列的单调性求参数】 29．记为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 30．数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 数列的概念（六大题型） 【考点1：数列的有关概念和分类】 【考点2：由数列的递推公式写出数列的项 】 【考点3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 【考点4：递推公式的应用】 【考点5：前项和公式与通项的关系】 【考点6：由数列的单调性求参数】 【考点1：数列的有关概念和分类】 1．下列叙述正确的是（    ） A．数列与是相同的数列 B．数列可以表示为 C．数列是常数列 D．数列是递增数列 【答案】D 【分析】根据数列的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，数列与不是相同的数列，故A错误； 对于B，数列可以表示为，故B错误； 对于C，数列是摆动数列，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确. 故选：D. 2．多选题下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的通项公式是唯一的 【答案】BC 【分析】根据数列的定义判断A，根据数列的分类判断B，根据数列为特殊的函数判断C，根据通项公式概念判断D. 【详解】由数列中项是有次序的，可知A错误； 根据数列中项数是无限个，可判断数列为无穷数列，故B正确； 由于数列看作函数时，自变量是从1开始的正整数，故图象为一群孤立的点，故C正确； 数列的通项公式不是唯一的，如可以表示同一个数列，故D错误. 故选：BC 3．多选题下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【答案】BD 【分析】由数列概念判断各选项正误即可得答案. 【详解】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误； B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确. C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误； D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确. 故选：BD 4．多选题下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．若数列的首项为3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 D．a，，，1，b，5，7一定能构成数列 【答案】AC 【分析】根据数列的基本概念及性质判断各选项的正误即可. 【详解】根据数列的相关概念，易知第1项即首项为4，故A正确． 同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 由无穷数列的概念，易知C正确． 由数列是按一定次序排列的一列数，若a，b都代表数时构成数列，若a，b中至少有一个不代表数时不能构成数列，故D错误． 【考点2：由数列的递推公式写出数列的项 】 5．已知数列满足，（），则（    ） A．2 B． C． D．2023 【答案】B 【分析】由题意确定数列为周期数列，然后求解即可. 【详解】由, 可推得 , 所以数列 是以3为周期的一个周期数列, 所以 . 故选：B. 6．数列满足，且，则（    ） A．15 B．3 C．12 D．4 【答案】A 【分析】根据条件，利用递推关系，令和，即可求出结果. 【详解】因为，且，所以，， 故选：A. 7．已知数列满足，且，那么（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用数列的递推式依次求得即可得解. 【详解】因为，， 所以，. 故选：C. 故选：AC 【考点3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 8．数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果. 【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误； 观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的， 所以递推公式为，故C正确，D错误. 故选：C. 9．数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 10．数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将数列前5项改写为统一格式即可发现规律得到数列的通项公式. 【详解】由题数列的前5项可改写为， 其中负号交替出现在偶数项，分母为从1开始的奇数， 故数列的通项公式为. 故选：D. 11．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】排除法，代入求值即可判断. 【详解】对于A：时，，舍去； 对于B：时，，舍去； 对于D：时，，舍去； 经检验数列的一个通项公式为， 故选：C. 12．已知数列的前5项依次为1，，，，，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数列的前5项分析其变化规律即可求解. 【详解】数列的前5项依次为1，，，，，即，，，，， 所以的一个通项公式为． 故选：A. 13．数列{an}：1，， ， ，…，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的项归纳出一个规律即得． 【详解】观察数列{an}各项，可写成：，选项D满足，选项A中，，选项B中，，选项C中，，均不符合题意． 故选：D 14．某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式即可得解. 【详解】依题意，，. 故选：A. 【考点4：递推公式的应用】 15．“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为，能发出第三个基准音的乐器的长度为，……，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（    ） A．324 B．297 C．256 D．168 【答案】A 【分析】根据“三分损益法”的规律可得出数列中各项的关系，代入计算即可. 【详解】由损益规律可知， 即， 解得. 故选：A 16．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．55 B．58 C．60 D．62 【答案】A 【分析】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求. 【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴， 又∵; ; ; ; ; , 故选：A. 17．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用化简得出，即可得出结果. 【详解】由于，则 ， 因此，. 故选：D. 18．多选题意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】，，∴ 成立，故选项A正确； 由，两边累加： 即， ∴，故选项B错误； 由，，，…，， 可得：．选项C正确； 斐波那契数列总有， 则 ，，，…， ，； ∴，即答案D成立． 故选ACD． 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换是解题的关键，属于中档题. 【考点5：前项和公式与通项的关系】 19．若数列的前n项和，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由条件取，可求，结合关系，求，由此可得结论. 【详解】当时，, 又，所以； 当时，， 因为，也满足关系， 所以 . 故答案为：. 20．已知数列的前n项和，则 ． 【答案】56 【分析】注意到，结合已知代入，求值即可. 【详解】由题意 . 故答案为：56. 21．已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，数列的前n项和为， 当时，； 当时， 将代入上式可得，即时，适合上式， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 22．设数列的前项和是，则 ． 【答案】. 【分析】利用,求得即可. 【详解】结合题意：由可得： 当时，, 当时，, 所以，，不满足， 故. 故答案为：. 23．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用的递推关系式即可求得当时，，检验时不符合该式，即可得出结果. 【详解】由已知可得，当时，， 两式相减可得，即， 当时，，不满足上式， 所以可得. 故答案为： 24．已知数列满足，若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意知数列为递增数列，则在每一段上都是递增的，同时，进而求出结果. 【详解】根据题意，数列满足成立，则数列为递增数列， 又由数列满足， 则有， 解可得：， 即a的取值范围是； 故答案为：. 25．已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】利用降次作差并验证即可. 【详解】，当时，; 当时，. 由于不适合. 故. 26．设为数列的前项和，，求. 【答案】 【分析】 由及代入计算即可. 【详解】 因为， 所以当时，， 当时，， 经验证当时上式不成立， 所以. 27．已知数列的前项之积为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）利用退一作差法求得，由求得. （2）先判断的单调性，由此求得的最大值. 【详解】（1） ①， ②， ①-②可得也满足上式，③． 数列的前项之积为当时，，代入③可得， ． （2） ， ， ， ，即单调递减， 的最大值为． 28．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据与的关系即可求解数列的通项公式； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解. 【详解】（1）①， 当时，，解得. 当时，②， ①-②，得，所以， 又，符合上式，故. （2）由（1）知，则， 所以， 则 . 【考点6：由数列的单调性求参数】 29．记为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知可得，结合的表达式可求得结果. 【详解】 因为为数列的前项和，且， 则. 故选：A. 30．数列的通项公式为，已知其为单调递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用数列的单调性的定义及不等式恒成立的解决方法即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为数列为单调递增数列， 所以在恒成立， 所以，即可. 令，，则， 由一次函数知，当时，取得最大值为,即. 所以的取值范围为. 故选：B. 31．已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为递增数列，则，可得的范围． 【详解】若为递增数列，则， 则有，对于恒成立． ，对于恒成立，． 故选：A． 32．已知数列满足，，若对于任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数列满足单调递减，得到且，再比较端点值大小，求出，得到答案. 【详解】因为时，，而要满足，故要单调递减，所以，解得， 时，，而要满足，故要单调递减，所以， 从而， 还需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 33．已知数列满足，若为递增数列，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用得到，求出时，取得最大值，得到答案. 【详解】要想为递增数列，则恒成立， 故， 又时，取得最大值，最大值为，故， 故选：B 34．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案. 【详解】当时，有，即；当时，有， 又，即，综上，有， 故选：C． 35．已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列是递增数列，列出符合条件的不等式组，求出的取值范围即可. 【详解】数列是递增数列，且， 则，解得， 故的取值范围是 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$