6.5 相似三角形的性质（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

6.5　相似三角形的性质（2） 第2课时　相似三角形高、中线、角平分线的性质 学习目标 1. 理解相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）性质； 2. 能运用相似三角形的性质解决实际问题. 2 问题情境 全等三角形的对应线段(如高、中线、角平分线等)有怎样的数量关系？相似三角形呢？ 知识回顾 回顾“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这个结论的探究过程，你有什么发现？ A B C A′ B′ C′ D D′ 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠B＝∠B'， ∵AD⊥BC，A'D′⊥B'C'， ∴∠ADB＝∠A′D′B'＝90°. ∴△ABD∽△A'B'D'. ∴ ＝＝k， ∴ ＝＝kk＝k2 4 新知归纳 相似三角形对应高的比等于相似比． A B C A′ B′ C′ D D′ 符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′， 且AD⊥BC ，A′D′⊥B′C′ ； ∴AD : A′D′ ＝k. 5 思考与探索 类似地，相似三角形对应中线、对应角平分线等对应线段的比是否也等于相似比呢? 6 思考与探索 A B C A′ B′ C′ E E′ 如图，△ABC∽△ A'B'C'，相似比为k，AE、A'E'分别是△ABC和△ A'B'C'的中线．试说明 ＝k. 解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k． ∴ ＝＝k，∠B＝∠B′， ∵ AE、A'E'是中线， ∴ k， ∴ ， ∴ △ABE∽△A′B′E′． ∴ k. 7 思考与探索 相似三角形对应中线的比等于相似比． A B C A′ B′ C′ E E′ 符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′， 且 BE＝EC，B′E′＝E′C′， ∴AE : A′E′＝k. 8 相似三角形对应角平分线之间也具有上述关系吗？为什么? 思考与探索 9 思考与探索 A B C A′ B′ C′ F F′ 如图，△ABC∽△ A'B'C'，相似比为k，AF、A'F'分别是△ABC和△ A'B'C'的角平分线．试说明 ＝k. 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k． ∴ ∠BAC＝∠B′A′C′，∠B＝∠B′， ∵ AF、A'F'是角平分线， ∴ ∠BAF＝∠BAC，∠B′A′F′＝∠B′A′C′， ∴ ∠BAF＝∠B′A′F′， ∴ △ABF∽△A′B′F′． ∴ ＝k. 10 思考与探索 相似三角形对应角平分线的比等于相似比． A B C A′ B′ C′ F F′ 符号语言： ∵△ABC∽△A′B′C′， 且∠BAF＝∠FAC， ∠B′A′F′＝∠F′A′C′， ∴AF: A′F′＝k. 11 思考与探索 如图，△ABC∽△ A'B'C'，相似比为k，点G、G′分别在BC、B′C′上，且＝k． ＝k还成立吗？ A B C A′ B′ C′ G G′ 证明：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为k． ∴ ＝k，∠B＝∠B′， ∵ ＝k， ∴ ， ∴△ABG∽△A′B′G′， ∴ ＝k. 12 相似三角形对应线段的比等于相似比． A B C A′ B′ C′ G G′ 当点G、G′在边BC、B′C′上运动时，对应线段可能是对应高、对应中线、对应角平分线. 13 例题讲解 例1 如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于点G．设DE＝6，BC＝10，GF＝5，求点A到DE、BC的距离． D B C E G F A ┛ 解：由DE∥BC，∠AFB＝90°得 ∠AGD＝90°，即 AG⊥DE. 可知AG、AF的长分别为点A到DE、BC的距离. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADG∽△FEB， ∴，即， 计算，得AG＝7.5，AF＝AG＋5＝12.5， 即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12.5. 14 例题讲解 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，正方形DEFG的顶点D、G分别在 AB、AC 上，EF在BC上. 设AB＝5，BC＝6，求正方形DEFG的边长. A B C D G E F M N 解：设正方形DEFG的边长为x， 作△ABC的高AM，AM交DG于点N. ∵AB＝AC，BC＝6， ∴BM＝CM＝BC＝×6＝3， ∵AM⊥BC， ∴ ∠AMB＝90°， 在Rt△AMB中，由勾股定理得 AM＝＝4. 15 例题讲解 A B C D G E F M N ∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC. ∴， ∴， 解得x＝2.4. ∴正方形DEFG的边长为2.4. 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，正方形DEFG的顶点D、G分别在 AB、AC 上，EF在BC上. 设AB＝5，BC＝6，求正方形DEFG的边长. 16 新知巩固 1. 如图，点 D、E分别在 AC、AB上，且∠ADE=∠B，F、G分别是 BC、DE的中点. 设 AD＝3，AB＝5，求的值. 解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB， ∴△EAD∽△CAB. ∵AG、AF分别是△ADE、△ABC的中线， ∴. E B C D G F A 17 新知巩固 2. 如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C' 的角平分线，且AB＝2A'B'，AC＝2A'C'，∠BAC＝∠B'A'C' . 求：(1) 的值；(2) △ABC与△A'B'C'的面积的比. A B C A′ B′ C′ D D′ 解：(1)∵AB＝2A'B'，AC＝2A'C'， ∴＝2， ∵∠BAC＝∠B'A'C' ， ∴△BAC∽△B'A'C' ， ∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C' 的角平分线， ∴＝2. (2)△ABC与△A'B'C'的面积的比为4. 18 3. 如图，在△ABC中，AD是高，点E、F分别在AB、AC上，且EF∥BC， EF交AD于点G，. 求： (1)的值；(2)△AEF与△ABC的面积的比. E F B C A G D 解：(1)∵EF∥BC， ∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠C. ∴△AEF∽△ABC. ∵AG、AD分别是△AEF、△ABC的高， ∴ . (2)∵△AEF∽△ABC， ∴ . 新知巩固 19 新知巩固 4. 如图，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC 上，QM 在 BC上，AD交PN于点 E．设BC＝48，AD＝16，PQ:PN＝5:9，求矩形PQMN的面积. A B C P N Q E D M 解：∵PN∥BC， ∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C. ∴△APN∽△ABC. ∵AE、AD分别是△APN、△ABC的高， ∴ . 即 ， 解得PQ＝10，PN＝PQ＝18， ∴矩形PQMN的面积＝180. 20 拓展与提升 C A B D E 5.如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，且EC∥AB，EB∥DC. (1) △ABE与△ECD相似吗？为什么？ 解：(1)由EC∥AB ，EB∥DC， 得∠A＝∠CED，∠AEB＝∠D. ∴△ABE∽△ECD. 21 拓展与提升 C A B D E (2)设△ABE的边BE上的高为h1，△ECD的边CD上的高为h2，△ABE的面积为3，△ECD的面积为1，求的值以及△BCE的面积. (2)由题意，得. 又由EB∥ DC，得△BCE的边BE上的高与△ECD 的边 CD 上的高相等， ∴ ， . 22 相似三角形对应中线等于相似比 相似三角形对应角平分线等于相似比 相似三角形对应线段的比等于相似比 课堂总结 当堂检测 基础过关 1. 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为 (　　) A. 3∶2                   B. 3∶5   C. 9∶4                    D. 4∶9 A 2. 若△ABC∽△DEF，且对应角平分线长度之比为2∶3，则△ABC与△DEF的面积之比为 (　　) A. 3∶2                 B. 2∶3   C. 4∶9                    D. 9∶16 C 24 当堂检测 基础过关 3. 顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是( ) A．1：4 B．1：3 C．1： D．1：2 D 4.已知两个相似三角形的一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为 (　　) A.90 B. 180 C. 270 D. 3600 A 25 当堂检测 基础过关 5. 若△ABC ∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别是△ABC、△A'B'C' 的高，AD:A'D'＝3:4，△A'B'C' 的一条中线 B'E'＝16 cm，则△ABC 的中线 BE＝_____cm. 12 26 当堂检测 基础过关 6. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝_____. E B C D M N A 27 当堂检测 基础过关 7. 在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高. △ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为________. 15.5 B C A D B C A D(A) E F 28 当堂检测 基础过关 8.已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm. (1)求A′B′边上的中线C′D′的长； 解：(1) ∵△ABC∽△A′B′C′， ＝，AB边上的中线CD＝4 cm， ∴＝＝ ， ∴C′D′＝4×2＝8(cm)． 29 当堂检测 基础过关 8.已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，△ABC的周长为20 cm. (2)求△A′B′C′的周长. 解：(2)∵△ABC∽△A′B′C′，＝ ，△ABC的周长为20 cm， ∴＝＝， ∴△A′B′C′的周长＝20×2＝40(cm)． 30 当堂检测 基础过关 9. 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，且∠CDE＋∠B＝180°，F，G分别是DE，BC的中点.若AD＝3，AB＝5，AG＝4，求AF的长. A B C D E F G 解：∵∠CDE＋∠B＝180°， ∠ADE＋∠CDE＝180°， ∴∠ADE＝∠B. ∵∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB， ∴＝， ∴ ＝， 解得AF＝. 31 当堂检测 能力提升 1. 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP、DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ的值为 ( ) A．2 B．4 C．1 D. C 32 当堂检测 能力提升 2. 如图，正方形ABCD与△EBC中，AD分别与EB，EC相交于点F，G，若△EBG的面积为6，正方形ABCD的面积为16，则的值为(　　) A. 3∶5   B. 3∶6   C. 3∶7   D. 3∶8 C A B C D E F G 33 当堂检测 能力提升 3. 有一块直角三角形铁片ABC，AB＝4 cm，BC＝3 cm，∠B＝90°，现要按照如图所示方式截一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为(　　) A. cm　　　　  B.  cm C. cm　　　   D.  cm D A B C D E F G 34 当堂检测 能力提升 4. 如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F.若 ＝，则＝______. B C A D E F 35 当堂检测 能力提升 5. 如图，直线MN∥BC，直线MN经过△ABC的重心，且直线MN交AB，AC于点D，E，那么△ADE与四边形BDEC的面积比是_______. 4∶5 A B C D E N M 36 当堂检测 能力提升 6. 如图，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点P处，正好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是_____米. 36 37 当堂检测 能力提升 7.如图是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，若灯泡距离地面3米，求地面上阴影部分的面积. (精确到0.01平方米，π取3.14) 解：构造几何模型如图，依题意得， DE＝1.2米，FG＝1米，AG＝3米， 由△DAE∽△BAC， 得 ＝， 即 ＝ ， 解得BC＝1.8米， ∴S阴影＝π·＝π·≈2.54(平方米)． A B C D E F G 38 当堂检测 能力提升 8. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，要把它加工成一个矩形零件PNMQ，使MN边在BC上，其余两个顶点P，Q分别在边AB，AC上. (1)若矩形PNMQ是正方形，那么正方形的边长是多少毫米？ 解：(1)设正方形的边长为x mm， ∵矩形PNMQ为正方形， ∴PQ∥BC，PN∥AD， 根据平行线的性质可以得出＝， ＝ ， 由题意知PN＝x mm，AD＝80 mm，BC＝120 mm，PQ＝x mm， ∴＝，＝ ，解得x＝48. 答：若矩形PNMQ是正方形，那么正方形的边长是48 mm. 39 当堂检测 能力提升 (2)若矩形PNMQ的长是宽的2倍，则矩形的长和宽分别是多少毫米？ 解：设矩形PNMQ的宽为x mm，则长为2x mm， ∵四边形PNMQ为矩形， ∴PQ∥BC，PN∥AD， 根据平行线的性质可以得出＝， ＝ . ①PN为长，PQ为宽： 由题意知PN＝2x mm，AD＝80 mm，BC＝120 mm，PQ＝x mm， ∴ ＝ ，＝ . ∵AP＋BP＝AB， ∴＋＝＋＝1， 解得x＝30，2x＝60， 即矩形的长为60 mm，宽为30 mm. 40 当堂检测 能力提升 ②PN为宽，PQ为长： 由题意知PN＝x mm，AD＝80 mm，BC＝120 mm，PQ＝2x mm， ∴ ＝， ＝. ∵AP＋BP＝AB， ∴＋＝＋＝1， 解得x＝，2x＝， 即矩形的长为 mm，宽为mm. 答：矩形PNMQ的长为60 mm，宽为30 mm或者长为 mm，宽为mm.. (2)若矩形PNMQ的长是宽的2倍，则矩形的长和宽分别是多少毫米？ 41 2021 Blues 4800.0 $$