专题6.7 期末复习之解答压轴题十四大题型总结-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题6.7 期末复习之解答压轴题十四大题型总结 【浙教版】 【题型1 与三角形面积有关的计算】 1 【题型2 与双角平分线有关的计算】 4 【题型3 全等三角形的动态问题】 5 【题型4 手拉手模型】 7 【题型5 一线三等角模型】 9 【题型6 半角模型】 10 【题型7 确定两角度之间的关系】 13 【题型8 证明线段间的关系】 14 【题型9 利用勾股定理证明线段平方关系】 16 【题型10 利用勾股定理在网格中作图】 18 【题型11 勾股定理的应用】 20 【题型12 一次函数中求图形面积】 22 【题型13 一次函数中的动点问题】 24 【题型14 用一次函数解决问题】 27 【题型1 与三角形面积有关的计算】 【例1】（23-24八年级·四川成都·期中）如图所示，直角三角形中，求阴影部分的面积． 【变式1-1】（23-24八年级·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 【变式1-2】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）阅读理解【解析】 提出问题：如图1，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手： 当AP＝AD时(如图2)： ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等， ∴S△ABP＝S△ABD， ∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等 ∴S△CDP＝S△CDA， ∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA， ＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)＝S△DBC+S△ABC. (1)当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式并证明； (2)当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　 　； (3)一般地，当AP＝AD(n表示正整数)时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系为：　 　； (4)当AP＝AD(0≤≤1)时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　 　． 【变式1-3】（23-24八年级·江苏扬州·期中）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD（图2）中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．得折线AOC，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为四边形ABCD的一条“好线”． (1)如图，试说明中线AD平分△ABC的面积； (2)如图，请你探究四边形ABCO的面积和四边形ABCD面积的关系，并说明理由； (3)在上图中，请你说明直线AE是四边形ABCD的一条“好线”； (4)如图，若AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出四边形ABCD经过F点的“好线”，并对你的画图作适当说明． 【题型2 与双角平分线有关的计算】 【例2】（23-24八年级·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）（问题背景） ，点分别在上运动（不与点重合）. （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点点的运动，求的度数. （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点. ①若，则__________； ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③），__________.（用含的代数式表示） 【变式2-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）已知：直线与直线平行，、是直线上的点，、是直线上的点，且． (1)如图1，为的角平分线，交于点，连接，猜测、，之间的等量关系并给出证明． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点．若，且，请直接写出的度数． 【题型3 全等三角形的动态问题】 【例3】（贵州省三联教育集团毕节赫章乌蒙山2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试题）如图，中，，，，点为边上的点，且．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：_____． (2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度是多少时，能够使与全等？ 【变式3-1】（23-24八年级·湖北恩施·期中）如图1，在四边形中，，点在边上上，且． (1)求证：． (2)如图2，若，．点从点出发，沿折线以速度为每秒2个单位长度向终点运动；点从点出发，沿折线以速度为每秒1个单位长度向终点运动；，向作垂线，垂足分别为，．设点的运动时间为．当与，，三点构成的三角形全等时，求的长． 【变式3-2】（23-24八年级·重庆·期中）（1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【变式3-3】（23-24八年级·重庆巴南·阶段练习）如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．    (1)如图1，当 时，； (2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 【题型4 手拉手模型】 【例4】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【变式4-1】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【变式4-2】（23-24八年级·北京海淀·期末）在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 【变式4-3】（23-24八年级·广东深圳·阶段练习）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【题型5 一线三等角模型】 【例5】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【变式5-1】（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由． 【变式5-2】（23-24八年级·吉林长春·期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【变式5-3】（23-24八年级·山东滨州·期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【题型6 半角模型】 【例6】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【变式6-1】（2024八年级·全国·专题练习）（2024秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【变式6-2】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【变式6-3】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【题型7 确定两角度之间的关系】 【例7】（23-24八年级·四川绵阳·期中）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 【变式7-1】（23-24八年级·北京西城·开学考试）已知，点为中点，，为边，上的动点，且满足，为平面内一点，，，连接，． (1)若点为边和边上的高的交点，求证：； (2)若点不与三角形高的交点重合，与是否还有上述关系？请说明理由． 【变式7-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图1，在中，点在边上，．    (1)在图、图中，请用直尺和圆规作图：画出关于直线对称的； (2)利用中画出的图形，求证：； (3)如图，已知点在边上，且，连接，试探索和之间的数量的关系，写出你的结论并证明． 【变式7-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）在中，，点D是直线上的一点（不与点B、C重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接．    (1)如图1，当点D在线段上，如果，则________度． (2)设，． ①点D是在线段上移动时，如图2，则之间有怎样的数量为关系，试说明理由． ②点D是在线段延长线上移动时，则①中之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由． 【题型8 证明线段间的关系】 【例8】（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 【变式8-1】（23-24八年级·上海闵行·期中）已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于； (1)当为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明． (2)①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）； ②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由． 【变式8-2】（23-24八年级·河北沧州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，（不与点A重合）过点H作直线于H，分别交直线于点N、E．M． (1)如图1，判断与的数量关系并证明． (2)当直线经过点C时（如图2），求证：； (3)当M是中点时，请直接写出和之间的等量关系． 【变式8-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在等腰中，，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、、，交于． (1)如图，若垂直平分， 求证：； 判断与的关系，并说明理由； (2)如图，是线段上一点，若，求证：． 【题型9 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例9】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【变式9-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【变式9-2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接． （1）求证：； （2）探究、、的数量关系，并证明； （3）若，求两个三角形重叠部分的面积． 【变式9-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 【题型10 利用勾股定理在网格中作图】 【例10】（23-24八年级·江苏盐城·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； (3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 【变式10-1】（23-24八年级·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1） 【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点） 【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长． 【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形． 【变式10-2】（23-24八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 【变式10-3】（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 【题型11 勾股定理的应用】 【例11】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【变式11-1】（23-24八年级·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【变式11-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【变式11-3】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【题型12 一次函数中求图形面积】 【例12】（23-24八年级·四川达州·期末）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交轴于点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求点C的坐标，并直接写出直线的函数关系式； (3)若点P是图1中直线上的一点，连接，得到图2．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择 ． A．当点P的纵坐标为3时，求的面积； B．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，求的面积； (4)若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择 ． A．当以点B，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标； B．当以点C，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标． 【变式12-1】（23-24八年级·重庆铜梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．现将点B向右平移6个单位得到点C，，且，连接AB交y轴于点D． (1)如图1，点A，C的坐标分别为_________，_________，并求出三角形的面积； (2)如图2，与的角平分线相交于点E，，垂足为点F，求证：． (3)如图3，点P是线段上一动点，将点P向下平移2个单位到点Q，连接、、，当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，请直接写出此时点的坐标． 【变式12-2】（23-24八年级·广东梅州·期中）已知坐标平面上的三个点，，，，且满足． (1)求点A，B，C的坐标； (2)求的面积，如图1，若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过多长时间，该直线经过点C． (3)如图2，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求的度数． 【变式12-3】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 【题型13 一次函数中的动点问题】 【例13】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，，，且，满足，点从原点出发以每秒个单位长度向轴正方向运动，点同时从原点出发以每秒个单位长度向轴正方向运动，设运动的时间为秒，当点运动到点时，两点均停止运动．    (1)求； (2)在图1中，若点为线段中点，四边形的面积不小于，求的取值范围； (3)平移线段至线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解，若轴上方的点为直线上一点，且到轴距离为，求点的横坐标． 【变式13-1】（23-24八年级·山西运城·期末） 【探索发现】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．    (1)如图2，当时， 在第一象限构造等腰直角， ； ①直接写出 ， ； ②求点E的坐标； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B 作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图4，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴 于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一 象限内．问点A、P、 Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能， 请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 【变式13-2】（23-24八年级·江苏无锡·期末）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）. (1)当t为何值时，为直角三角形？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？ 【变式13-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 【题型14 用一次函数解决问题】 【例14】(24-25八年级·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【变式14-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： (1)甲车的速度为 千米小时，乙车的速度为 千米小时，B、C两地间的距离为 千米； (2)求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 【变式14-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【变式14-3】（23-24八年级·福建厦门·期末）双十中学初二生物学习小组研究同一盆栽内A、B两种植物的生长情况．他们发现施用某种药物时，会对A、B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验观察，得到如下信息： 下表为植物A的生长高度与药物施用量的关系． 药物施用量 1 2 5 9 10 14 15 植物A生长高度 8.3 8.6 9.5 10.7 11.1 12.2 12.5 下图为植物B的生长高度与药物施用量的关系（图象是一条线段）．    (1)求植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式； (2)植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成某种函数，试求出这个函数表达式；若植物A按这个规律生长，请估计药物施用量为时，植物A的生长高度； (3)该小组继续研究发现，植物A、B按照（1）（2）中的生长规律继续生长，当药物施用量超过（且a为整数）时，植物B的抑制作用更明显，药物施用量每增加，植物B的生长高度g减少．小组记录了5次实验数据，当药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的平均生长高度为．当两种植物高度差不超过时，二者的生长会处于一种平衡状态，求满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 期末复习之解答压轴题十四大题型总结 【浙教版】 【题型1 与三角形面积有关的计算】 1 【题型2 与双角平分线有关的计算】 9 【题型3 全等三角形的动态问题】 19 【题型4 手拉手模型】 29 【题型5 一线三等角模型】 36 【题型6 半角模型】 44 【题型7 确定两角度之间的关系】 54 【题型8 证明线段间的关系】 62 【题型9 利用勾股定理证明线段平方关系】 73 【题型10 利用勾股定理在网格中作图】 81 【题型11 勾股定理的应用】 88 【题型12 一次函数中求图形面积】 96 【题型13 一次函数中的动点问题】 110 【题型14 用一次函数解决问题】 122 【题型1 与三角形面积有关的计算】 【例1】（23-24八年级·四川成都·期中）如图所示，直角三角形中，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形面积，弄清楚三角形间的面积关系成为解题的关键． 如图：连接，易得，根据可得，，再证明、，进而得到，最后根据三角形面积的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接，， ∵为直角三角形，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【变式1-1】（23-24八年级·福建厦门·期末）【问题情境】如图6，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小明同学经过思考，给出以下解答： 在图中过A作于点． 是的中线， ． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图，点在的边上，点在上． ①若是的中点，求证：； ②若，则 ． 【拓展延伸】 （2）如图，在上，在上，且，，求与的数量关系． 【答案】（1）①见解析，②2 （2） 【分析】本题考查利用三角形的中线求三角形面积及其应用．熟练掌握等高（或同高）的两三角形面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①根据是的中点，则，，从而得，即可得出结论； ②根据，则，，即，得出，即可求    解． （2）连接，根据，得，，根据，则，，设，，则，，，，根据，则，从而求得，再根据则求得，则有，所以，即可得出． 【详解】解：（1）①∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 设，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）阅读理解【解析】 提出问题：如图1，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手： 当AP＝AD时(如图2)： ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等， ∴S△ABP＝S△ABD， ∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等 ∴S△CDP＝S△CDA， ∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA， ＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC)＝S△DBC+S△ABC. (1)当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式并证明； (2)当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　 　； (3)一般地，当AP＝AD(n表示正整数)时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系为：　 　； (4)当AP＝AD(0≤≤1)时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：　 　． 【答案】(1)S△PBC＝S△DBC+S△ABC，证明见解析；(2)S△PBC＝S△DBC+S△ABC；(3)S△PBC＝S△DBC+S△ABC；(4)S△PBC＝S△DBC+S△ABC． 【分析】（1）根据题中的方法进行求解即可；（2）由（1）即可得到；（3）方法同（1），进行求解；（4）利用（3）中的结论即可求解. 【详解】(1)∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等， ∴S△ABP＝S△ABD． 又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等， ∴S△CDP＝S△CDA． ∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP ＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA ＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC) ＝S△DBC+S△ABC． ∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC (2)由(1)得，S△PBC＝S△DBC+S△ABC； (3)S△PBC＝S△DBC+S△ABC； ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等， ∴S△ABP＝S△ABD． 又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等， ∴S△CDP＝S△CDA ∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP ＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA ＝S四边形ABCD﹣(S四边形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四边形ABCD﹣S△ABC) ＝S△DBC+S△ABC． ∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC (4)由(3)得，S△PBC＝S△DBC+S△ABC． 【点睛】此题主要考查四边形的面积关系，解题的关键是根据材料的方法进行求解. 【变式1-3】（23-24八年级·江苏扬州·期中）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD（图2）中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．得折线AOC，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为四边形ABCD的一条“好线”． (1)如图，试说明中线AD平分△ABC的面积； (2)如图，请你探究四边形ABCO的面积和四边形ABCD面积的关系，并说明理由； (3)在上图中，请你说明直线AE是四边形ABCD的一条“好线”； (4)如图，若AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出四边形ABCD经过F点的“好线”，并对你的画图作适当说明． 【答案】(1)三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形； (2)，理由见解析； (3)见解析； (4)见解析 【分析】（1） ABD和 ACD是等底同高的两个三角形，故面积相等； （2）由（1）知，S△AOB=S△AOD, S△BOC=S△DOC,故 （3）设AE与OC的交点是F．要说明直线AE是“好线”，根据已知条件中的折线AOC能平分四边形ABCD的面积，只需说明三角形AOF的面积等于三角形CEF的面积．则根据两条平行线间的距离相等，结合三角形的面积个数可以证明三角形AOE的面积等于三角形COE的面积，再根据等式的性质即可证明； （4）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出过点F的“好线”; 【详解】（1）如图中，作AH⊥BC于H． ∵AD是中线， ∴BD=CD， ∴S△ABD=•BD•AH，S△ADC=•DC•AH， ∴S△ABD=S△ADC， ∴中线AD平分△ABC的面积． （2）关系： 由（1）知，S△AOB=S△AOD, S△BOC=S△DOC, ∴ ∴ （3）如图中，设AE交OC于F． ∵OE∥AC， ∴ S△AOE=S△COE， ∵S△AOF=S△CEF， 又因为（2）知，折线AOC能平分四边形ABCD的面积， ∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”． （4）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”． ∵AG∥EF，     ∴S△AGE=S△AFG． 设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE， 又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线” 【点睛】本题主要运用了三角形的面积，平行线之间的距离的应用，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 【题型2 与双角平分线有关的计算】 【例2】（23-24八年级·安徽滁州·期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后再次利用三角形的内角和定理即可得出的度数； （2）设与交于点，由三角形角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理、对顶角相等可推出，于是可得结论； （3）由三角形角平分线的定义可得，，进而可推出，由（2）可知，根据三角形的内角和定理可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可得出的度数，进而得出的度数． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ； （3）解：平分，平分， ，， ， 平分，平分， ∴由（2）可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，对顶角相等，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期末）在中，，的角平分线，交于点． (1)【问题呈现】如图1，若，求的度数； (2)【问题推广】如图2，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，设，．射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，折叠的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）当两种情况画图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由折叠可得：，， ∴ ∴， ∴， 又∵，分别平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，设与相交于点G， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴； 如图，设直线交于点G， ， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，是和的平分线， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）（问题背景） ，点分别在上运动（不与点重合）. （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点点的运动，求的度数. （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点. ①若，则__________； ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③），__________.（用含的代数式表示） 【答案】（1）（2）①②的度数不随、的移动而发生变化，理由见解析（3） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； ②由①的思路可得结论； （3）在②的基础上，将换成即可． 【详解】解：（1）， ， 、分别是和角的平分线， ，， ， ； 故答案为：； （2）①，， ，， 是的平分线， ， 平分， ， ， 故答案为：； ②的度数不随、的移动而发生变化， 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）已知：直线与直线平行，、是直线上的点，、是直线上的点，且． (1)如图1，为的角平分线，交于点，连接，猜测、，之间的等量关系并给出证明． (2)如图2，在（1）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点．若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行线，三角形的内角和，三角形的外角，二元一次方程等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形的内角和，三角形的外角，二元一次方程组的运用，即可． （1）根据平行线的性质，，，根据，等量代换，则，根据角平分线的性质，则，根据三角形的内角和，则，求得，根据三角形的内角和，则，求得，等量代换，即可； （2）根据题意，设，；设，；根据三角形内角和，求得，根据（1）得，，三角形内角和，求得；根据平行线的性质，则，，根据角平分线的性质，等量代换，则，根据三角形的内角和，求得，联立，解得：，再根据，即可． 【详解】（1）证明，如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴设，， ∵， ∴设，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平方， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平方， ∴， 在中，， ∴， ∴， 联立 ∴， 解得：， ∴． 【题型3 全等三角形的动态问题】 【例3】（贵州省三联教育集团毕节赫章乌蒙山2024—2025学年上学期期中考试八年级数学试题）如图，中，，，，点为边上的点，且．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． (1)用含的代数式表示的长度：_____． (2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度是多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形常用的判定定理有：、、、、，熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键． （1）根据线段的和差关系，结合点速度即可得答案； （2）根据点、的运动速度相等及得出，利用等角对等边得出，根据得出，利用即可证明； （3）根据点、的运动速度不相等可得，根据可得，，，结合点速度可求出值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵，点在线段上以的速度由点向点运动， ∴， 故答案为： （2）解：，理由如下： ∵点、的运动速度相等， ∴， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴． （3）解：∵点的运动速度不相等， ∴， ∵与全等，且， ∴ ∴，， ∵， ∴ ， ∴，， ∴当时，能够使与全等． 【变式3-1】（23-24八年级·湖北恩施·期中）如图1，在四边形中，，点在边上上，且． (1)求证：． (2)如图2，若，．点从点出发，沿折线以速度为每秒2个单位长度向终点运动；点从点出发，沿折线以速度为每秒1个单位长度向终点运动；，向作垂线，垂足分别为，．设点的运动时间为．当与，，三点构成的三角形全等时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)长为或或 【分析】（1）根据题意，，可以得到、互余，、互余，因此得到． （2）根据题意分析，要使，需要满足，经分析、运动情况可以分为三种：当在段，在段时，列出等量关系，求出的长；当在段，在段时，列出等量关系，求出的长；当在段，在段时，列出等量关系，求出的长． 【详解】（1）证明： ， ， （2）解：由（1）知：， 在和中， ，， 现在只需要即可满足， 经分析，若要，、运动情况可以分为三种： 当在段，在段时， ，解得， 此时， 当在段，在段时， ，解得， 此时， 当在段，在段时， ， 此时， 故答案为长为或或 【点睛】本题考查了三角形全等，直角三角形两锐角互余，路程、速度、时间的知识点，在分析中，利用已知速度的关系，合理分析满足时，，的三种运动情况是解答本题的关键． 【变式3-2】（23-24八年级·重庆·期中）（1）如图1，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等角的余角相等，内角和定理等． （1）先证明出，得出即可得出结果； （2）证明出，得出即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，可知，而的表示由的位置决定，所以需要对的位置分别讨论继而得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，根据点所在的位置分情况讨论： ①当在上时，在上时，即， ∵点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，，，设运动时间为， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ②当在上时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； ③当到达时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：， 综上所述：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【变式3-3】（23-24八年级·重庆巴南·阶段练习）如图1，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．    (1)如图1，当 时，； (2)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或 【分析】本题考查全等三角形与动点的综合，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行解答． （1）点运动的速度为，则，；根据，分类讨论：点在上时；点在上时，进行解答，即可； （2）根据全等三角形的性质，分类讨论：当点在上，，，；当点在上，点在上，，，；当点在上，，，；当点在上，点在上，，，，求出对应的点的运动速度，即可． 【详解】（1）∵点运动的速度为， 点在上时， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：；   点在上时，过点作于点， ∴点的运动路程为， ∴，， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴当点在的中点时，，， ∴， 解得：； 故答案为：或； （2）∵在中，，，，， ∴当点在上，，，； ∴点的速度为：；   当点在上，点在上，，，， ∴点的速度为：；   当点在上，，，， ∴点运动的距离为：， 点运动的距离为：， ∴点的速度为：；   当点在上，点在上，，， ∴点的速度为：；    综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，点的运动速度为或或cm/s或． 【题型4 手拉手模型】 【例4】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【答案】①见详解；②120；③见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． ①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； ③由“”可证，可得结论． 【详解】证明：① 、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2） ， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 【变式4-1】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接、交于点P； (1)求证∶． (2)求的度数． (3)如图（2），是等腰直角三角形，，，，点D是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据题意得出，即可证明； （2）根据题意可得是等边三角形，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （3）分情况讨论，当在线段上时，当在的延长线上时，证明，得出，结合图形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，当在线段上时， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，当在的延长线上时， 同理可得，∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，或． 【变式4-2】（23-24八年级·北京海淀·期末）在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 【答案】(1) (2)①时等边三角形，理由见解析；②，理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）求出，由四边形内角和为即可得到； （2）①证明，求出，即可证明结论；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明是等边三角形，再证明，得到，进一步得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图1中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①结论：是等边三角形． 理由：如图2中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②结论：． 理由：如图3中，作点D关于直线的对称点，连接． 当点P在的延长线上时，的值最大，此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级·广东深圳·阶段练习）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．    (1)观察猜想： 图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______； (2)探究证明： 把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由； (3)拓展延伸： 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)为等腰直角三角形，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据，，得 ，再根据三角形中位线定理可知， ，，，利用平行线的性质可证得； （）先通过证明，得 ，，再由()同理可证； （）由三角形三边关系可知：，由() 知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵∠， ∴， 故答案为：，； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由旋转可知：， 又∴，， ∴， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴，，，， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：由三角形三边关系可知：，即， ∴的最大值为， 由()知，是等腰直角三角形， ， ∴时，最大，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键． 【题型5 一线三等角模型】 【例5】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）①由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得；②因为，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②由①知， ∴，， ∴； （2）解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 【变式5-1】（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． (1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)25°，115° (2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，证明见解析 (3)可以，∠BDA的度数为110°或80° 【分析】（1）根据平角的定义，利用角的和差关系可得∠EDC的度数，利用三角形内角和即可求出∠DEC的度数； （2）根据外角性质及角的和差关系可得∠BAD=∠EDC，根据∠B＝∠C，要使△ABD≌△DCE，则CD=AB，即可得答案； （3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可得答案． 【详解】（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝180°－115°－40°＝25°， 在△DEC中，∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝115°， 故答案为：25°，115° （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下： ∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE=40°， ∴∠BAD=∠EDC， ∵∠B=∠C＝40°，△ABD≌△DCE， ∴AB＝DC＝2． （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下： ∵∠B=∠C=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°， 分三种情况讨论： ①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA， ∵∠ADE=40°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°， ∴∠DAE=（180°-40°）÷2=70°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°； ②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°， ∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-40°-40°=100°， 又∵∠BAC=100°， ∴∠DAE=∠BAE， ∴点D与点B重合，不合题意； ③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°， ∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°， 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级·吉林长春·期中）通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现]如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：． [模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________． [深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为_____________． 【答案】[模型呈现]见解析；[模型应用]50；[深入探究]63 【分析】[模型呈现]证明，根据全等三角形的对应边相等得到； [模型应用]根据全等三角形的性质得到，，，根据梯形的面积公式计算，得到答案； [深入探究]过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】[模型呈现]证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [模型应用]解：由[模型呈现]可知，， ∴， 则， 故答案为：50； [深入探究]过点D作于P，过点E作交AG的延长线于Q， 由[模型呈现]可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形确定的判定定理是解题的关键． 【变式5-3】（23-24八年级·山东滨州·期中）（1）课本习题回放：“如图①，，，，，垂足分别为，，，．求的长”，请直接写出此题答案：的长为________． （2）探索证明：如图②，点，在的边、上，，点，在内部的射线上，且．求证：． （3）拓展应用：如图③，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程） 【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5 【分析】（1）利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根据AAS可证明△ABE≌△CAF； （3）先证明△ABE≌△CAF，得到与的面积之和为△ABD的面积，再根据故可求解． 【详解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∴∠EBC＋∠BCE＝90°． ∵∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠DCA． 在△CEB和△ADC中， ∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE−DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5−1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm 故答案为：0.8cm； （2）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠BEA＝∠AFC． ∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠ABE＋∠3， ∴∠4＝∠ABE． ∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． （3）∵ ∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF ∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF 又 ∴△ABE≌△CAF， ∴ ∴与的面积之和等于与的面积之和，即为△ABD的面积， ∵，△ABD与△ACD的高相同 则=5 故与的面积之和为5 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【题型6 半角模型】 【例6】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，． 【分析】()延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论； ()延长至，使，连接 ，仿照()的证明方法解答； ()在上截取，连接，仿照()的证明方法解答． 【详解】解：（）， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）（）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （）（）中的结论不成立，， 理由如下：如图，在上截取，连接，    同（）中证法可得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． 【变式6-1】（2024八年级·全国·专题练习）（2024秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD． 【答案】详见解析 【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAS证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根据∠EAF∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【详解】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD． ∴∠GAE＝∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线求解． 【变式6-2】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4） 【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC； 归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC； （4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 【变式6-3】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解； （3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解． 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， 在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN=45°， ∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°， 即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下： 如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， ∵∠A+∠C＝180°， ∴∠BCM'+∠BCD=180°， ∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN， ∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N= M'C+CN， ∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下： 如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°， ∴∠BAM=∠C， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△CB M'， ∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'， ∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC， ∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN， ∵BN=BN， ∴△NBM≌△NBM'， ∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'，   ∴MN=CN-AM． 故答案是：MN=CN-AM． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键． 【题型7 确定两角度之间的关系】 【例7】（23-24八年级·四川绵阳·期中）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)；见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，；； （2）解：如图2，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， 设和交于点， ， ． （3）解：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键． 【变式7-1】（23-24八年级·北京西城·开学考试）已知，点为中点，，为边，上的动点，且满足，为平面内一点，，，连接，． (1)若点为边和边上的高的交点，求证：； (2)若点不与三角形高的交点重合，与是否还有上述关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】（1）利用三角形内角和即可得到本题答案； （2）取和中点分别为，连接，利用中位线定理及直角三角形斜边中线可得，，则证明 ，再利用全等性质及外角和性质即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：取和中点分别为，连接， ， ∵点为中点， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴和是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质，外角和性质．正确作出辅助线是解决本题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图1，在中，点在边上，．    (1)在图、图中，请用直尺和圆规作图：画出关于直线对称的； (2)利用中画出的图形，求证：； (3)如图，已知点在边上，且，连接，试探索和之间的数量的关系，写出你的结论并证明． 【答案】(1)作图见解析； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据画轴对称图形方法即可； （）作出轴对称，根据角度和差证明即可； （）通过角度和差，全等三角形的性质与判定即可证明． 【详解】（1）如图，延长，以点为圆心长为半径画弧，交延长线与点，连接，    ∴即为所求； （2）如图，同（）作点关于对称点，连接    ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴是垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3），理由： 如图，    设， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了轴对称，垂直平分线，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【变式7-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）在中，，点D是直线上的一点（不与点B、C重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接．    (1)如图1，当点D在线段上，如果，则________度． (2)设，． ①点D是在线段上移动时，如图2，则之间有怎样的数量为关系，试说明理由． ②点D是在线段延长线上移动时，则①中之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由． 【答案】(1)90 (2)①，理由见解析；②，理由见解析 【分析】（1）证明，得，即可证明； （2）②与（1）同理，得，则根据即可证明；②与（1）同理，得，再根据即可证明． 【详解】（1）解：， ， ，，， ，， ， ， 故答案为：90； （2）①，理由如下： 由题（1）知， ， ， ， ； ②，理由如下： 类比题（1），可得， ， ，， ， ， ， ， ．    【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． 【题型8 证明线段间的关系】 【例8】（23-24八年级·河北邯郸·阶段练习）如图1，图2，在和中，，，，与所在直线相交于点，于点．    (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图1，若，，则的长为___________； (3)如图2，若，，连接，交于点． ①是否为线段的垂直平分线？并说明理由； ②过点作，交的延长线于点，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)①是线段的垂直平分线，理由见解析；② 【分析】（1）作，证明和，可以推出，就可得到平分； （2）证明，推出，利用三角形面积公式即可求解； （3）①利用等腰三角形三线合一的性质即可得证； ②由是线段的垂直平分线，推出，，得到，再证明，等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过点C作，垂足为N，    在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解①：是线段的垂直平分线，理由如下： 由（1）可得，平分， ∵， ∴，， ∴是线段的垂直平分线； ②， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． ∴， 【点睛】本题是一道与三角形相关的综合性题目，考查的知识点有：全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定和性质，本题熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键． 【变式8-1】（23-24八年级·上海闵行·期中）已知：如图，等边三角形，点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同．点沿射线运动，点沿边的延长线运动，设与直线相交于点，作于； (1)当为等腰三角形时，过点作的平行线，交于，试探究线段与的大小关系，并加以证明． (2)①当点在边上时，直接写出与的数量关系（不需要证明）； ②当点在的延长线上时，①中的结论还成立吗？若成立在图中画出图形并证明．如不成立，指出与的关系并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②成立，画图及证明见解析 【分析】（1）由等边三角形性质可得，由平行线的性质可得，得出，由等边三角形判定得出；再证明，，再由题意得出，最后可得结论； （2）①作，交直线的延长线于点，易证，可得，，可证，可得，即，等量代换得，； ②作，交直线的延长线于点，连接，．再依照①证明即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 为等腰三角形，， ， ， 点和分别从和两点同时出发，它们的速度相同． ， ； （2）解：①如图1，作，交直线的延长线于点， 又于， ， 点、做匀速运动且速度相同， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ，， 又，， ， ， ， ， ； ②结论还成立．理由如下： 如图2，作，交的延长线于点，连接，． 同①可得， ，， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，平行线的性质的运用，熟练掌握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，全等三角形判定与性质，平行线的性质是解答本题的关键． 【变式8-2】（23-24八年级·河北沧州·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，点H为上一动点，（不与点A重合）过点H作直线于H，分别交直线于点N、E．M． (1)如图1，判断与的数量关系并证明． (2)当直线经过点C时（如图2），求证：； (3)当M是中点时，请直接写出和之间的等量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形底边三线合一性质即可解题； （2）连接，易证，易证，可得，即可解题； （3）过点C作交于，过点C作交直线l于点G，由（1）可得，易证，即可证明，可得，即可解题． 【详解】（1）解：∵平分，， ； （2）证明：连接， ∵平分， ， ∵直线于H， ， ， ， 是线段的中垂线， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：当M是中点时，和之间的等量关系为， 理由：证明：过点C作交于，过点C作交直线l于点G， 由（1）可得， ， ， ， ， ∵M是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形底边三线合一的性质，作出辅助线证明全等是解题的关键． 【变式8-3】（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在等腰中，，，在边上取一点，连接，点为线段上一点，以为斜边作等腰．连接、、，交于． (1)如图，若垂直平分， 求证：； 判断与的关系，并说明理由； (2)如图，是线段上一点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； ，，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）过作于点，则，由是等腰直角三角形，则，得到即，同理，由垂直平分线的性质得，，则，，再证明，又可证则，从而求解； 过作于点，则，根据等腰直角三角形的性质得，通过角度和差得，则，从而证明，再证明，根据性质得出，，从而得出，最后由角度和差即可求出，从而证明； （）过点作的垂线交延长线于点，连接，通过角度和差得出，证明，则，，由，，则，，从而得出，再证明 ，然后根据性质即可求证． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 同理：， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解： ，，理由如下： 如图，过作于点，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定，角度和差，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【题型9 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例9】（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． 【详解】（1）解：证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 【变式9-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）证明：由（2）得：， ， ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式9-2】（23-24八年级·福建福州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接． （1）求证：； （2）探究、、的数量关系，并证明； （3）若，求两个三角形重叠部分的面积． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）． 【分析】（1）由题意，先得到，然后由SAS，即可证明结论成立； （2）由（1）得BD=AE，，则，再由勾股定理，即可得到答案； （3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，然后根据题意，得到，再利用面积公式，得到，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）由（1）， ∴，BD=AE， ∵， ∴， ∴， ∴△ABD是直角三角形， ∴， ∴； （3）设AB与CD相交于点O，作OM⊥AD，ON⊥BD，如图， ∵BD=AE，， ∴， ∵OD平分∠ADB，OM⊥AD，ON⊥BD， ∴OM=ON， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，角平分线的性质定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而进行解题． 【变式9-3】（23-24八年级·河南郑州·期中）在和中，点在边上，，，． (1)如图1，当时，连接，写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，过点作的垂线并延长，交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】（1）依题意得和均为等腰直角三角形，则，证和全等得，，则，然后在中由勾股定理可得出，，之间的数量关系； （2）连接，，过断作交的延长线于，依题意得和均为等边三角形，则，同理可证和全等得，，则，进而得，，由此可求出，，设，则，，根据等边三角形性质得是线段的垂直平分线，则，然后在中由勾股定理求出即可得的长． 【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下： 当时，则， ，， 和均为等腰直角三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即； （2）解：连接，，过作交的延长线于，如下图所示： 当时，， ，， 和均为等边三角形， ， 同理可证：， ，， ， ， ， 在中，，， ，由勾股定理得：， 设，则， ，， ， ， 为等边三角形，， 是线段的垂直平分线， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 【题型10 利用勾股定理在网格中作图】 【例10】（23-24八年级·江苏盐城·期中）方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，小正方形的顶点称为格点，我们把顶点都是格点的多边形称为“格点多边形”． (1)在图1中．点A、B都是格点，则的长度是______； (2)在图1中，找出一个格点C，请用无刻度的直尺画一个以为腰的等腰； (3)在图2中，是格点三角形，请用无刻度的直尺找出一个格点D，使平分不写画法，保留画图痕迹 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，等腰三角形的性质，利用勾股定理求两点间距离． （1）利用勾股定理求解即可； （2）作一个直角边分别为3和4的直角三角形即可； （3）在的延长线上取格点E，使，连接，取的中点D，连接，即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理得，． 故答案为：5； （2）解：如图，等腰即为所求(答案不唯一) （3）解：如图，即为所求． 【变式10-1】（23-24八年级·广东佛山·期中）小明对数学课上老师给出的一道思考题“在方格纸上画一个面积为3的三角形”产生了浓烈的兴趣，课后他想进一步探究学习，请你与他一起来完成．（注：方格纸中每个小方格的边长为1） 【思考尝试】（1）如图（1），线段的长为6，请以为一边，画出一个面积为3的钝角三角形，并直接写出它的另外两边长分别为__________，__________（三角形的顶点均为格点） 【实践探究】（2）如图（2）①，小明截取出方格纸的局部，你能剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的正方形吗？请在图（2）①中画出剪切线，在图（2）②中画出拼成的正方形，并计算它的边长． 【拓展迁移】（3）如图（3），边长分别为的两个正方形和摆放到一起，剪一剪，并把它们拼成一个无重叠无缝隙的大正方形，请你在图（3）中画出裁剪线，并画出拼成的大正方形． 【答案】（1），；（2）图见解析，边长为；（3）见解析 【分析】本题考查了复杂作图，掌握勾股定理及正方形的面积公式是解题的关键． （1）线段为底，高为1的三角形，利用勾股定理即可求得另外两边长； （2）拼图：以图（2）①中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图（2）②； （3）将两个正方形分割为1个边长为的正方形和4个两直角边分别为a和b的直角三角形即可． 【详解】解：（1）如图，即为所作， ，，， 故答案为：，； （2）拼成的大正方形的面积是5，边长为； 剪切示意图如图（2）①：拼图如图（2）②所示： （3）拼成的大正方形的面积是，边长为； 剪切线如图（3）所示；拼成的图形如图（4）所示： ． 【变式10-2】（23-24八年级·湖北恩施·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．画图过程用虚线表示． (1)如图中，点是线段上一点，先画出的高；再在上画出一点，使． (2)如图中，先在边上画出一点，使；再在内画出一点，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，即为的高，连接交于点，作射线交于点，点即为所求； （2）取点、、、、，连接，，交于，交于点，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求； 理由如下：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的高， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴（）， ∴； （2）解：如图，点，点即为所求． 理由如下：连接、， 同（）可证，由（）得，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题考查无刻度直尺格点作图．涉及等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【变式10-3】（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 【答案】见解析；；    ； 【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可 【详解】解：钝角三角形时，如图， ∵BC⊥BD，BC=5， ∴△ABC是钝角三角形， 根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4, ∴； 直角三角形时，如图， 取格点F使得BF=4，FC=3， 根据勾股定理，得BC==5， ∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°， ∴△AEB≌△BFC， ∴∠EAB=∠FBC， ∵∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠FBC+∠EBA=90°， ∴∠ABC =90°， ∴△ABC是直角三角形， 根据勾股定理，得AB==5， ∴ ； 锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4， 根据勾股定理，得BC==5， 根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°， ∴∠ABC＜∠ABN， ∴∠ABC＜90° ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠A=∠C＜90°， ∴△ABC是锐角三角形， ∴=12； 【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键． 【题型11 勾股定理的应用】 【例11】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 【变式11-1】（23-24八年级·江西景德镇·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． (2)如图①，求该长度最短的金属丝的长． (3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ 【答案】(1)A (2) (3) 【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍． 【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故选：A； （2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长，圆柱的高， 该长度最短的金属丝的长为． （3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍： ． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式11-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）该蚂蚁爬行的最短路程是厘米；（3）蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 【变式11-3】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 【题型12 一次函数中求图形面积】 【例12】（23-24八年级·四川达州·期末）如图1，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交轴于点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求点C的坐标，并直接写出直线的函数关系式； (3)若点P是图1中直线上的一点，连接，得到图2．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择 ． A．当点P的纵坐标为3时，求的面积； B．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，求的面积； (4)若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点．请在下面的A，B两题中任选一题解答，我选择 ． A．当以点B，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标； B．当以点C，D，Q为顶点的三角形与全等时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)选择A时，，选择B时， (4)选择A时，，，；选择B时，，， 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）过点作轴于，由，推出点的坐标为，再利用待定系数法即可解决问题． （3）．点在直线上，且点的纵坐标为3，把代入，得，过点作轴于点，推出，根据计算即可．．点在直线上，设，因为点在第二象限，到轴，轴距离相等，得，推出，根据即可解决问题． （4）．如图3中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形，根据轴对称的性质即可求解，．如图4中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形，根据轴对称的性质和全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 点的坐标为． 把代入， 得， 解得， 点的坐标为． （2）解：如图1中，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 直线的解析式为． （3）解：如图2中， ．点在直线上，且点的纵坐标为3， 把代入， 得， 过点作轴于点， ， ． ．点在直线上， ， 点在第二象限，到轴，轴距离相等， ， ， 过点作轴于点， ， ． （4）解：．如图3中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形如图所示， ①点C关于x轴的对称点记为，此时由轴对称的性质得到符合题意， ∴； ②当点关于的垂直平分线的对称点记为点，此时由轴对称的性质得到符合题意， ∵，当时，则， ∴， ∴， ∵， ∴的垂直平分线为：， ∵， ∴， ③点关于x轴的对称点记为，则，此时由轴对称的性质得到符合题意， ∴选择A时，，，； ．如图4中，以点，，为顶点的三角形与全等时，点有三种情形如图所示， ①当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点B作的对称点记为，由轴对称得，过点作射线的垂线于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得， ∴，， ∴， ③过点D作的平行线，过点C作的平行线，交于一点，记为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴点向右平移1个单位，向下平移2个单位， ∴向右平移1个单位，向下平移2个单位即可得到点， ∴选择B时，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点的平移，轴对称性质，坐标与图形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 【变式12-1】（23-24八年级·重庆铜梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．现将点B向右平移6个单位得到点C，，且，连接AB交y轴于点D． (1)如图1，点A，C的坐标分别为_________，_________，并求出三角形的面积； (2)如图2，与的角平分线相交于点E，，垂足为点F，求证：． (3)如图3，点P是线段上一动点，将点P向下平移2个单位到点Q，连接、、，当三角形的面积是三角形的面积的4倍时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)，，的面积是15 (2)见解析 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）根据点B的平移可得点C的坐标，根据，，可得点A的坐标，根据三角形的面积公式即可求出的面积； （2）由，得到，从而，由角平分线的定义得到，，从而，进而根据三角形的内角和定理得到，因此，从而，得证； （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，表示出三角形和三角形的面积，根据三角形的面积是三角形的面积的4倍即可列出方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：∵将点向右平移6个单位得到点C， ∴， ∵，且， ∴， ． 故答案为：， （2）∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）解：设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵将点P向下平移2个单位到点Q， ∴， 过点Q作轴于点M，作于点N， ∴，， ∴， ， ∵当三角形的面积是三角形的面积的4倍时， ， 解得：或， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查点的平移的坐标变化，待定系数法，三角形的面积，平行线的判定及性质，三角形的内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． 【变式12-2】（23-24八年级·广东梅州·期中）已知坐标平面上的三个点，，，，且满足． (1)求点A，B，C的坐标； (2)求的面积，如图1，若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过多长时间，该直线经过点C． (3)如图2，，的角平分线与的补角的角平分线交于点E，求的度数． 【答案】(1)，， (2)；若直线以每秒2个单位的速度向左移，经过秒，该直线经过点C (3) 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可求出三个点的坐标； （2）求出直线的解析式：，求出直线与x轴的交点坐标，得出，再求出； （3）延长交的延长线于H，点P为y轴上A点上方的一点，设，，交x轴于F，根据平行线的性质得出，，根据，求出，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． ∴，，． （2）解：设的关系式：， 把，，代入得 ， 解得：． ∴直线的解析式：， 令，则， 解得：， ∴直线与x轴的交点坐标， ， 直线以每秒2个单位的速度向左移的时间：（秒）． ． （3）解：延长交的延长线于H，点P为y轴上A点上方的一点， 设，，交x轴于F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，非负数的性质，求一次函数解析式，平行线的性质，三角形外角的性质，平移的性质，三角形的面积计算，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线． 【变式12-3】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． （1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把代入中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （2）设，则，则，，由等腰得到，即，求解即可解答； （3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作与AM的延长线交于点N．证明是等腰直角三角形，得到．过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．易证，得到，，进而得到．通过待定系数法求出直线的解析式，令，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解． 【详解】（1）解方程组，得． ∴点A的坐标为． 把代入得， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （2）存在． 如图， 设，则． ∴． ∵轴． ∴． ∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）或． 分两种情况： ①若点M在点E的下方， 如图，过点B作与AM的延长线交于点N． ∵，轴， ∴，， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点N作轴于点F，过点A作轴于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∵，． ∴，． ∴． ∴． 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令，得． ∴点M的坐标为． ②若点M在点E的上方， 如图， 由对称性可知． 综上所述：或． 【题型13 一次函数中的动点问题】 【例13】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，，，且，满足，点从原点出发以每秒个单位长度向轴正方向运动，点同时从原点出发以每秒个单位长度向轴正方向运动，设运动的时间为秒，当点运动到点时，两点均停止运动．    (1)求； (2)在图1中，若点为线段中点，四边形的面积不小于，求的取值范围； (3)平移线段至线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解，若轴上方的点为直线上一点，且到轴距离为，求点的横坐标． 【答案】(1)6; (2) (3) 【分析】（1）根据实数满足，求出值即可求得； （2）过点作,，垂足为、，连接，先利用全等三角形求得,，根据当点运动到点时，两点均停止运动，四边形的面积不小于，列不等式组求解即可得到答案； （3）根据题意，如图所示，结合平移线段至线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解，设、，由点的平移法则得到，即可求出、，设直线的表达式为，利用待定系数法得到直线，进而即可求解． 【详解】（1）解：实数满足， ，解得， ∴,, ∴； （2）解：如图所示：过点作,，垂足为、，连接，    由题意可得，， ∵点是线段的中点，, ∴, ∵,， ∴，，, ∴, ∴, ∴, ∴,, ∵四边形的面积不小于， ∴，   解得； （3）解：如图所示：   平移线段至线段，其中点对应点为，点对应点为，且点的坐标是方程的一组解，点的坐标是方程的一组解， 设、， ∵， ∴， ， 解得， 、， 设直线的表达式为，则， 解得， 直线的表达式为， 轴上方的点为直线上一点，且到轴距离为， 在直线上运动， 当时，即，解得， 点横坐标为：． 【点睛】本题考查坐标与图形综合，涉及非负式和为零成立的条件、待定系数法求直线表达式、平面直角坐标系中三角形面积求法、解不等式组、点的平移等知识，读懂题意，根据题意作出图形，数形结合转化为常见题型求解是解决问题的关键． 【变式13-1】（23-24八年级·山西运城·期末） 【探索发现】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．    (1)如图2，当时， 在第一象限构造等腰直角， ； ①直接写出 ， ； ②求点E的坐标； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B 作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图4，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴 于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一 象限内．问点A、P、 Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能， 请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①  2，3；② (2)当k变化时，的面积是定值，，见解析 (3)或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）过点N作于M，由题意易证，然后可得，进而问题可求解； （3）设点，由（1）知，，然后可得或，进而问题可求解 【详解】（1）解：①若，则直线为直线， 当时，， ， 当时，， ， ，， 故答案为：2，3； ②作于，如图所示：    ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：当k变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时， ， 过点N作于M，    ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ∴， ∴k变化时，的面积是定值，； （3）解：如下图，设点，    当时， 由（1）知，， ∴，即或 解得：或， ∴或 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式13-2】（23-24八年级·江苏无锡·期末）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点P从点A出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（s）. (1)当t为何值时，为直角三角形？ (2)当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)当的值为5或时，为直角三角形； (2)当的值为或或10时，为等腰三角形． 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想与分类思想思考问题． （1）首先容易求出，两点的坐标，然后求出，的长度，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可； （2）分三种情况：①当时，②当时，③当时，利用等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴、轴分别交于点、， 当时，；当时，， ，， ，， ， 为直角三角形，分两种情况： ①当时，点与点重合， ， 点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为． 当的值为5时，为直角三角形； ②当时，设， ，， ， ，解得， ， 当的值为时，为直角三角形； 综上，当的值为5或时，为直角三角形； （2）解：由题意得， ①当时，， ， 在中，， ， ， 当的值为时，为等腰三角形； ②当时，， 当的值为时，为等腰三角形； ③当时， ，， ， ， 当的值为10时，为等腰三角形； 综上，当的值为或或10时，为等腰三角形． 【变式13-3】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①3，6；② (2)的面积是定值，定值为18，理由见解析 (3)2或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点Q作于E，交于F，分两种情况：当点Q在下方时；当点Q在上方时，分别 求出a值即可． 【详解】（1）解：①若，则直线为， 当时，， ， 当时，， ， ，； ②作于，    ， ， 是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点C的坐标为； （2）解：当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于，如图，    ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ． 变化时，的面积是定值，定值为18． （3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，， 过点Q作于E，交于F， 分两种情况：当点Q在下方时，如图，    ∵，， ∴， 由“k型全等”可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 当点Q在上方时，如图，    同理得： ， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形， 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，一次函数图象性质，坐标与图形，掌握“k型全等”模型是解题的关键． 【题型14 用一次函数解决问题】 【例14】(24-25八年级·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【变式14-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，乙车从B地驶往C地，同时甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速驶往C地．结果甲车比乙车早2小时到达C地后停车修整．两车均匀速行驶，如图是两车距A地的距离y（单位：千米）与乙车出发的时间x（单位：小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： (1)甲车的速度为 千米小时，乙车的速度为 千米小时，B、C两地间的距离为 千米； (2)求乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出乙车到达C地前，两车出发多长时间，两车之间相距50千米． 【答案】(1)80；30；240 (2) (3)小时或小时或小时或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确理解甲乙两车的行驶过程是解题的关键． （1）由已知得乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地，所以可求得甲车的速度为千米小时，以及两地相距千米，同时由已知可得乙车从B地到达C地共用时8小时，乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； （2）由（1）可知D，G两点的坐标，设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为，用待定系数法即可求得答案； （3）由题意知，，用待定系数法求出甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式，即可求出当小时时，甲乙两车相遇，再分，，，四种情况分别列方程，求出两车之间相距50千米时的时间节点，即得答案． 【详解】（1）甲车从B地驶往A地，到达A地后因故停留1小时， 乙车出发后2小时,甲车从A地出发驶向C地， 甲车的速度为千米小时， 两地相距千米， 甲车比乙车早2小时到达C地， 乙车从B地到达C地共用时8小时， 乙车的速度为千米小时，B、C两地间的距离为千米； 故答案为：80；30；240． （2）由（1）可知，，， 设乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 则， 解得， 所以乙车从B地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为； （3）设甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 由题意知，， 则， 解得， 所以甲车从A地到C地的行驶过程中y与x的函数关系式为， 令， 解得， 所以当小时时，甲乙两车相遇， 乙车到达C地前，两车之间相距50千米的情况有四种： ①当时，乙车出发1小时以内， ， 解得； ②当时，即甲车从A地出发后到两车相遇前， ， 解得； ③当时，即在两车相遇后到甲车到达C地前， ， 解得； ④当时，即甲车到达C地后到乙车到达C地前， ， 解得； 综上说述，乙车到达C地前，两车出发小时或小时小时或小时或小时，两车之间相距50千米． 【变式14-2】（23-24八年级·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 【变式14-3】（23-24八年级·福建厦门·期末）双十中学初二生物学习小组研究同一盆栽内A、B两种植物的生长情况．他们发现施用某种药物时，会对A、B两种植物分别产生促进生长和抑制生长的作用．通过实验观察，得到如下信息： 下表为植物A的生长高度与药物施用量的关系． 药物施用量 1 2 5 9 10 14 15 植物A生长高度 8.3 8.6 9.5 10.7 11.1 12.2 12.5 下图为植物B的生长高度与药物施用量的关系（图象是一条线段）．    (1)求植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式； (2)植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成某种函数，试求出这个函数表达式；若植物A按这个规律生长，请估计药物施用量为时，植物A的生长高度； (3)该小组继续研究发现，植物A、B按照（1）（2）中的生长规律继续生长，当药物施用量超过（且a为整数）时，植物B的抑制作用更明显，药物施用量每增加，植物B的生长高度g减少．小组记录了5次实验数据，当药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的平均生长高度为．当两种植物高度差不超过时，二者的生长会处于一种平衡状态，求满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）根据表中的数据可知植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成一次函数，运用待定系数法可求出函数关系式，再把代入函数关系式求解即可； （3）根据函数关系式列出不等式组求解即可． 【详解】（1）设植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式为， 把代入解析式得，， 解得， ∴植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式为； （2）从表格中所给数据可得出：药物施用量每增加植物A生长高度增加，故可得植物A的生长高度f与药物施用量x的关系可近似地看成一次函数， 设此一次函数的表达式为， 把代入解析式得，， 解得，， ∴植物A的生长高度f与药物施用量x的函数关系式为； 当时， （3）解：依题意得：当时，， 当、、、时，5次实验数据，植物B的平均生长高度均大于． 当时，药物施用量分别为12，15，17，21，27时，植物B的生长高度分别为，、、、，植物B的平均生长高度为． 故植物B的生长高度g关于药物施用量x的函数关系式： 根据题意得：当时， ， 解得：， 当时，， 解得：， 所以，满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$