第01讲 二次根式-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

第01讲 二次根式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二次根式的概念； 2．掌握二次根式的性质，能够运用二次根式的性质进行化简； 知识点 1 二次根式的概念 1.定义 一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号，“”称为被开方数. 2.二次根式定义的理解 (1)二次根式“”,一般省略根指数2,写作“” (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. (3)≥0是有意义的前提条件， (4)在具体问题中，如果已知二次根式,就意味着给出≥0这一隐含条件。 知识点2 二次根式的性质 1.二次根式的性质 （1），即非负数的算术平方根是非负数. （2），即非负数的算术平方根的平方等于它本身. （3）即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 2.与的区别与联系 表达式 取值范 围不同 是全体实数 区 别 运算顺 序不同 先平方后开方 先开方后平方 运算结 果不同 联系 ①结果都是非负数； ②当时， 考点01：二次根式有意义的条件 例题1．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式1-1】已知函数有意义，则的取值范围 ． 【变式1-2】若，则的值是 ． 【变式1-3】（22-23八年级下·四川成都·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 考点02：求二次根式的值 例题2.已知，均为实数，，则的值为 ． 【变式2-1】计算： ． 【变式2-2】当时，二次根式的值为 ． 【变式2-3】已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 考点03：求二次根式中的参数 例题3.如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【变式3-1】二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【变式3-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 考点04：利用二次根式的性质进行化简 例题4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 【变式4-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）若，则 ． 【变式4-2】（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）已知a，b在数轴上的位置如图，化简＝ ． ​ 【变式4-3】已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C．3 D． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ． 6．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 三、解答题 7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（23-24八年级下·重庆开州·期中）若，都是实数，且满足，试化简代数式：． 9．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 10．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， ______； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二次根式的概念； 2．掌握二次根式的性质，能够运用二次根式的性质进行化简； 知识点 1 二次根式的概念 1.定义 一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式.其中“”称为二次根号，“”称为被开方数. 2.二次根式定义的理解 (1)二次根式“”,一般省略根指数2,写作“” (2)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子. (3)≥0是有意义的前提条件， (4)在具体问题中，如果已知二次根式,就意味着给出≥0这一隐含条件。 知识点2 二次根式的性质 1.二次根式的性质 （1），即非负数的算术平方根是非负数. （2），即非负数的算术平方根的平方等于它本身. （3）即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 2.与的区别与联系 表达式 取值范 围不同 是全体实数 区 别 运算顺 序不同 先平方后开方 先开方后平方 运算结 果不同 联系 ①结果都是非负数； ②当时， 考点01：二次根式有意义的条件 例题1．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式1-1】已知函数有意义，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【解析】解：∵函数有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得，的值． 【解析】解： 和有意义， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-3】（22-23八年级下·四川成都·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件解答即可． 【解析】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 考点02：求二次根式的值 例题2.已知，均为实数，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【变式2-1】计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【解析】 故答案为：3． 【变式2-2】当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】把代入原式化简即可． 【解析】解：当时，原式， 故答案为：． 【变式2-3】已知关于x的方程有实数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性，即可求解． 【解析】∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 考点03：求二次根式中的参数 例题3.如果是二次根式，且值为5，试求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的定义，根据二次根式的定义可得：，，可得，再进一步解答即可． 【解析】解：是二次根式，且值为5， ， 解得． 故的算术平方根为． 【变式3-1】二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【解析】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 【变式3-2】（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【解析】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 【变式3-3】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【解析】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 考点04：利用二次根式的性质进行化简 例题4.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】由题图可知，于是可得，，，，然后对原式化简绝对值并利用二次根式的性质化简，即可得出答案． 【解析】解∶由题图可知，， ，，，， ． 【变式4-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）若，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是化简 ． 【解析】解：， ， ， 故答案为：8． 【变式4-2】（23-24八年级上·内蒙古包头·期中）已知a，b在数轴上的位置如图，化简＝ ． ​ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值、数轴等知识点，关键是根据数轴得出，进而得出，去括号后合并即可． 【解析】解：由数轴可得，且， 则，， 原式 ， 故答案为：． 【变式4-3】已知a为整数，且满足，则a的值为 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解． 【解析】解：， ， ， 又∵为整数， ． 故答案为：25． 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解析】解：A、被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意； B、是二次根式，故此选项符合题意； C、是有理数，不符合二次根式的定义，故此选项不合题意； D、时，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意； 故选：B． 2．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【解析】解：∵式子与在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知x，y为实数，且，则 ． 【答案】5或 【解析】解：∵， ∴且， ∴，即，解得， ∴， ∴或， 故答案为：5或． 6．（24-25八年级上·上海·期中）如果在实数范围内有意义，则、的大小关系为 ． 【答案】 【解析】解：在实数范围内有意义， 则， 总小于0， ， ， 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】（1）解：∵要使有意义， ∴， 解得：； （2）解：要使有意义， ∴， ∴； （3）解：∵要使有意义， ∴ ∴； （4）解：∵要使有意义， ∴， ∴． 8．（23-24八年级下·重庆开州·期中）若，都是实数，且满足，试化简代数式：． 【答案】 【解析】解：由题可知， ， 解得， 将代入求得， 则 ． 9．（23-24八年级下·贵州黔西·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为______； (2)若x，y为实数，且，求的值． 【答案】(1)(2)7或3 【解析】（1）解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 10．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）（1）问题背景：请认真阅读下列这道例题的解法． 例：已知，求的值． 解：由，得， ， ______； （2）尝试应用：若，为实数，且，化简：； （3）拓展创新：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）0；（3） 【解析】解：（1）由，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：， ∴， ∴ ； （3）由题意得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$